Skip to main content

Full text of "Sitzungsberichte der Mathematisch-Naturwissenschaftlichen Klasse der Bayerischen Akademie der Wissenschaften zu München"

See other formats


This  is  a  digital  copy  of  a  book  that  was  preserved  for  generations  on  library  shelves  before  it  was  carefully  scanned  by  Google  as  part  of  a  project 
to  make  the  world's  books  discoverable  online. 

It  has  survived  long  enough  for  the  Copyright  to  expire  and  the  book  to  enter  the  public  domain.  A  public  domain  book  is  one  that  was  never  subject 
to  Copyright  or  whose  legal  Copyright  term  has  expired.  Whether  a  book  is  in  the  public  domain  may  vary  country  to  country.  Public  domain  books 
are  our  gateways  to  the  past,  representing  a  wealth  of  history,  culture  and  knowledge  that 's  often  difficult  to  discover. 

Marks,  notations  and  other  marginalia  present  in  the  original  volume  will  appear  in  this  file  -  a  reminder  of  this  book's  long  journey  from  the 
publisher  to  a  library  and  finally  to  you. 

Usage  guidelines 

Google  is  proud  to  partner  with  libraries  to  digitize  public  domain  materials  and  make  them  widely  accessible.  Public  domain  books  belong  to  the 
public  and  we  are  merely  their  custodians.  Nevertheless,  this  work  is  expensive,  so  in  order  to  keep  providing  this  resource,  we  have  taken  Steps  to 
prevent  abuse  by  commercial  parties,  including  placing  technical  restrictions  on  automated  querying. 

We  also  ask  that  you: 

+  Make  non-commercial  use  of  the  file s  We  designed  Google  Book  Search  for  use  by  individuals,  and  we  request  that  you  use  these  files  for 
personal,  non-commercial  purposes. 

+  Refrain  from  automated  querying  Do  not  send  automated  queries  of  any  sort  to  Google's  System:  If  you  are  conducting  research  on  machine 
translation,  optical  character  recognition  or  other  areas  where  access  to  a  large  amount  of  text  is  helpful,  please  contact  us.  We  encourage  the 
use  of  public  domain  materials  for  these  purposes  and  may  be  able  to  help. 

+  Maintain  attribution  The  Google  "watermark"  you  see  on  each  file  is  essential  for  informing  people  about  this  project  and  helping  them  find 
additional  materials  through  Google  Book  Search.  Please  do  not  remove  it. 

+  Keep  it  legal  Whatever  your  use,  remember  that  you  are  responsible  for  ensuring  that  what  you  are  doing  is  legal.  Do  not  assume  that  just 
because  we  believe  a  book  is  in  the  public  domain  for  users  in  the  United  States,  that  the  work  is  also  in  the  public  domain  for  users  in  other 
countries.  Whether  a  book  is  still  in  Copyright  varies  from  country  to  country,  and  we  can't  off  er  guidance  on  whether  any  specific  use  of 
any  specific  book  is  allowed.  Please  do  not  assume  that  a  book's  appearance  in  Google  Book  Search  means  it  can  be  used  in  any  manner 
any  where  in  the  world.  Copyright  infringement  liability  can  be  quite  severe. 

About  Google  Book  Search 

Google's  mission  is  to  organize  the  world's  Information  and  to  make  it  universally  accessible  and  useful.  Google  Book  Search  helps  readers 
discover  the  world's  books  white  helping  authors  and  publishers  reach  new  audiences.  You  can  search  through  the  füll  text  of  this  book  on  the  web 


at|http  :  //books  .  google  .  com/ 


über  dieses  Buch 

Dies  ist  ein  digitales  Exemplar  eines  Buches,  das  seit  Generationen  in  den  Regalen  der  Bibliotheken  aufbewahrt  wurde,  bevor  es  von  Google  im 
Rahmen  eines  Projekts,  mit  dem  die  Bücher  dieser  Welt  online  verfügbar  gemacht  werden  sollen,  sorgfältig  gescannt  wurde. 

Das  Buch  hat  das  Urheberrecht  überdauert  und  kann  nun  öffentlich  zugänglich  gemacht  werden.  Ein  öffentlich  zugängliches  Buch  ist  ein  Buch, 
das  niemals  Urheberrechten  unterlag  oder  bei  dem  die  Schutzfrist  des  Urheberrechts  abgelaufen  ist.  Ob  ein  Buch  öffentlich  zugänglich  ist,  kann 
von  Land  zu  Land  unterschiedlich  sein.  Öffentlich  zugängliche  Bücher  sind  unser  Tor  zur  Vergangenheit  und  stellen  ein  geschichtliches,  kulturelles 
und  wissenschaftliches  Vermögen  dar,  das  häufig  nur  schwierig  zu  entdecken  ist. 

Gebrauchsspuren,  Anmerkungen  und  andere  Randbemerkungen,  die  im  Originalband  enthalten  sind,  finden  sich  auch  in  dieser  Datei  -  eine  Erin- 
nerung an  die  lange  Reise,  die  das  Buch  vom  Verleger  zu  einer  Bibliothek  und  weiter  zu  Ihnen  hinter  sich  gebracht  hat. 

Nutzungsrichtlinien 

Google  ist  stolz,  mit  Bibliotheken  in  partnerschaftlicher  Zusammenarbeit  öffentlich  zugängliches  Material  zu  digitalisieren  und  einer  breiten  Masse 
zugänglich  zu  machen.  Öffentlich  zugängliche  Bücher  gehören  der  Öffentlichkeit,  und  wir  sind  nur  ihre  Hüter.  Nichtsdestotrotz  ist  diese 
Arbeit  kostspielig.  Um  diese  Ressource  weiterhin  zur  Verfügung  stellen  zu  können,  haben  wir  Schritte  unternommen,  um  den  Missbrauch  durch 
kommerzielle  Parteien  zu  verhindern.  Dazu  gehören  technische  Einschränkungen  für  automatisierte  Abfragen. 

Wir  bitten  Sie  um  Einhaltung  folgender  Richtlinien: 

+  Nutzung  der  Dateien  zu  nichtkommerziellen  Zwecken  Wir  haben  Google  Buchsuche  für  Endanwender  konzipiert  und  möchten,  dass  Sie  diese 
Dateien  nur  für  persönliche,  nichtkommerzielle  Zwecke  verwenden. 

+  Keine  automatisierten  Abfragen  Senden  Sie  keine  automatisierten  Abfragen  irgendwelcher  Art  an  das  Google-System.  Wenn  Sie  Recherchen 
über  maschinelle  Übersetzung,  optische  Zeichenerkennung  oder  andere  Bereiche  durchführen,  in  denen  der  Zugang  zu  Text  in  großen  Mengen 
nützlich  ist,  wenden  Sie  sich  bitte  an  uns.  Wir  fördern  die  Nutzung  des  öffentlich  zugänglichen  Materials  für  diese  Zwecke  und  können  Ihnen 
unter  Umständen  helfen. 

+  Beibehaltung  von  Google -Markenelementen  Das  "Wasserzeichen"  von  Google,  das  Sie  in  jeder  Datei  finden,  ist  wichtig  zur  Information  über 
dieses  Projekt  und  hilft  den  Anwendern  weiteres  Material  über  Google  Buchsuche  zu  finden.  Bitte  entfernen  Sie  das  Wasserzeichen  nicht. 

+  Bewegen  Sie  sich  innerhalb  der  Legalität  Unabhängig  von  Ihrem  Verwendungszweck  müssen  Sie  sich  Ihrer  Verantwortung  bewusst  sein, 
sicherzustellen,  dass  Ihre  Nutzung  legal  ist.  Gehen  Sie  nicht  davon  aus,  dass  ein  Buch,  das  nach  unserem  Dafürhalten  für  Nutzer  in  den  USA 
öffentlich  zugänglich  ist,  auch  für  Nutzer  in  anderen  Ländern  öffentlich  zugänglich  ist.  Ob  ein  Buch  noch  dem  Urheberrecht  unterliegt,  ist 
von  Land  zu  Land  verschieden.  Wir  können  keine  Beratung  leisten,  ob  eine  bestimmte  Nutzung  eines  bestimmten  Buches  gesetzlich  zulässig 
ist.  Gehen  Sie  nicht  davon  aus,  dass  das  Erscheinen  eines  Buchs  in  Google  Buchsuche  bedeutet,  dass  es  in  jeder  Form  und  überall  auf  der 
Welt  verwendet  werden  kann.  Eine  Urheberrechtsverletzung  kann  schwerwiegende  Folgen  haben. 

Über  Google  Buchsuche 

Das  Ziel  von  Google  besteht  darin,  die  weltweiten  Informationen  zu  organisieren  und  allgemein  nutzbar  und  zugänglich  zu  machen.  Google 
Buchsuche  hilft  Lesern  dabei,  die  Bücher  dieser  Welt  zu  entdecken,  und  unterstützt  Autoren  und  Verleger  dabei,  neue  Zielgruppen  zu  erreichen. 


Den  gesamten  Buchtext  können  Sie  im  Internet  unter  http  :  //books  .  google  .  com  durchsuchen. 


Jti 


^r 


;♦ 


•i.  ' 


IC 


,^-r^ 


Sitzung'sberichte 


Her 


mathematiscti-physikalischeü  Klasse 


der 


K.  B.  Akademie  der  Wissenschaften 


'      THISlTENfHAS 
■     STANFORD  V 
REFORMATITNO 
SULCATALOoSit 


Band  XXXVll.    Jahrgang  1907. 


H&ncben 

ll»08. 


UV,  070 


Akademische  Baelidniekerei  Ton  F.  Stnab  in  München. 


Übersicht 

des  Inhaltes  der  Sitzungsberichte  Bd.  XXXVII 
Jahrgang  1907. 

Die  mit  *  bezeiebntttan  AbhAndlungen  sind  in  den  Sitsungaberiehten  nicht  abgedruckt. 

Süjsung  vom  12.  Januar  1907.  s«it« 

*F.  Lindemann:   Über  die  Bewej^ng  der  Elektronen.    I.  Teil      .        1 
G.  Landsberg:  Zur  Theorie  der  elliptischen  Modulfunktionen  3 


Sitzung  vom  9.  Februar  1907. 

*K.  V.  Linde:  Über  Versuche  zur  Feststellung  des  Wärmedurch- 
ganges von  einem  wärmeren  zu  einem  kälteren  Wasserstrome 
durch  eine  Metallwand 15 

L.  Burmester:  Kinetographische  Verwandtschaft  ebener  Systeme 

und  räumlicher  Systeme 17 

*E.  Voit:   Über  den  zeitlichen  Ablauf  der  Eiweißresorption  .  IG 


Sitzung  vom  2.  März  1907. 

M.  Th.  Edelmann:  Neues  Absorptions-Hjgrometer         ...      35 
C.W.Lutz:  Über  ein  Saitenelektrometer  (mit  Tafel  1)   .  .61 

A.Voss:   Über  Krümmung  und  konforme  Transformation  77 


Sitzung  vom  4.  Mai  1907. 

•W.  K.  Röntgen:  Über  die  Leitung  der  Elektrizität  in  Kalkspat 

und  über  den  Einfluß  der  X-Strahlen  darauf  .113 


IV 

SUzufig  vom  8,  Juni  1907.  seitc 

K.  Goebel:    Experimentell-morphologische  Mitteilungen  .         .119 

S.  Günther:    Ein  Naturmodell  der  Dünenbildung           .  .         .139 

A.  Sommerfeld:   Über  die  Bewegunjif  der  Elektronen    .  .         .155 


Siteung  vom  6,  Juli  1907, 

*R.  Hertwig:    Untersuchungen  über  das  Sexualitäts-Problem  173 

*F.  Lindemann:    Über  die  Bewegung  der  Elektronen.     II.  Teil     173 

*P.  P.  Koch:    Über  die  Abhängigkeit  des  Verhältnisses  der  spezi- 

Cv 
fischen  Wärme    jt-  =  k  in  trockener  kohlensäurefreier  atmo- 
Cv 

sphärischer  Luft  von  Druck  und  Temperatur  .        .        .175 

*K.  Parrot:    Beiträge  zur  Ornithologie  Sumatras    und   der   Insel 

Bangka 175 

F.  Lindemann:    Zur  Elektronentheorie 177 

Fr.  Thalreiter:  Flächen  eines  dreifach  unendlich  linearen  Systems, 

welche  mit  einer  gegebenen  algebraischen  Raumkurve  eine 

Berührung  3.  Ordnung  eingehen 211 


Öffentliche  SUeung  zur  Feier  des  148,  Stiftungstages 
am  16,  März  1907, 

K.  Th.  V.  Heigel:    Ansprache 233 

C.  V.  Voit:   Nekrologe 249 


Sitzung  vom  2,  November  1907, 

*S.  Günther:   Über  einen  portugiesischen  Portulanatlas  des  Ent- 

deckungszeitalt^rs 277 

A.  Joffe:  Eine  Bemerkung  zu  der  Arbeit  von  E.  Laden  bürg:  Über 
Anfangsgeschwindigkeit  und  Menge  der  photo- elektrischen 
Elektronen  etc.  (mit  Tafel  II) 279 

A.  Sommerfeld:   Zur  Diskussion  über  die  Elektronentheorie  281 

Sitzung  vom  7,  Dezember  1907, 

*K.  A.  Hofmann:    Über  die  Struktur  der  Cyanide  282 

F.  Lindemann:  a)  Über  das  sogenannte  letzte  Fennatsche  Theorem    287 

b)  Zur  Elektronen theorie  II    .        .  .353 


V 

Seite 
J.  B.  Messerschmitt:  Magnetische  Ortshestimmungen  in  Bayern. 

8.  Mitteilung 381 

*Dr.  Wassilieff:   Japanische  Aktinien 286 

O.  Perron:  a)  Über  die  Konvergenz  der  Jacobi- Kettenalgorithmen 

mit  komplexen  Elementen 401 

b)  über   die  Kettenbruchentwicklung   des  Quotienten 
zweier  Besselschen  Funktionen  ....     483 

Protokoll  über  die  Sitzung  der  luftelektrischen  Kommission  der  kar- 
tellierten Deutschen  Akademien  zu  München  am  26.  Oktober 
1907 606 


Öffentliche  Sitzung  zu  Ehren  Seiner  Königlichen  Hoheit 
des  Prinzregenten  am  14,  November  1907, 

•K.  Th.v.  Heigel:    Rede 620 

Wahlen 520 


Eiug^elaufene  Druckschriften  im  Jahre  1907      ....      1*— 40* 


•••:  .  :'\: 


Sitzunffsberichte 


der 


KöiiigK   Bayer.  Akademie  der  Wissenschaften. 


9t 


Mathematisch-physikalische  Klasse. 

Sitzung  vom  12.  Januar  1907. 

1,  Herr  Febdinai^d  LiT^TDEMAp™  legt  eine  Arbeit:  ,Über  die 
Bewegung  der  Elektronen,  L  Teil*  vor  und  bespricht 
die  Rr^-iJuUate  derselbeiip  Die  Arbeit  ist  für  die  Denkij^ehriften 
bestimmt. 

Die  Beobachtungen  an  den  Kathodenstrahlen  haben  be- 
kanntlich dazu  geführt,  eine  atomistische  Theorie  der  Elektrizität 
zu  entwickeln;  jene  Strahlen  sind  nichts  anderes  als  ein  Strom 
kleinster  elektriseher  Teilchen  oder  Elektronen,  Da  die  Aus- 
breitung der  elektrischen  Kraft  Zeit  erfordert,  so  steht  ein 
b<jwegt^s  Elektron  in  einer  späteren  Zeit  noch  unter  dem  Ein- 
da&&e  der  Kräftet  die  von  ihm  selbst  zu  einer  früheren  Zeit 
lU^egangen  sind.  Dieser  Einflnfä  verleiht  dem  bewegten  Elek- 
on  eine  Eigenschaft,  die  der  Trägheit  der  materiellen  Massen 
entspricht,  indem  eine  Änderung  der  Geschwindigkeit  des  Elek- 
trons nur  infolge  der  Wirkung  einer  äußeren  Kraft  eintreten 
k&on,  die  Bewegung  mit  konstanter  Geschwindigkeit  also 
kraftefrei  erfolgt,  wenigstens  bei  Unterlich tgeschw^indigk ei t. 
Gestm^t  auf  solche  Erwägungen  ist  man  neuerdings  dazu  über- 
g^angen«  die  Trägheit  der  naateriellen  Massen  auf  diese  schein- 
bare Triigheit  der  bewegten  Elektronen  zurückzuführen,  um  so 
die  ganze  Mechanik  der  Massen  elektrodynamisch  zu  begründen 
und  schlielilich  eine  elektromagnetische  Theorie  des  Weltgebätnies 
ztt   eotwickeln.     Bei   der   hohen  Bedeutung  derartiger  kühner 


2  Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  12.  Januar  1907. 

Spekulationen  für  die  Klärung  der  mechanischen  Grundbegriffe 
erscheint  es  vor  allem  nötig,  die  Grundlagen  der  Betrachtung 
genau  zu  prüfen  imd  die  aus  den  Diflferentialgleichungen  der 
Elektronentheorie  zu  ziehenden  mathematischen  Folgerungen 
möglichst  in  alle  Einzelheiten  zu  verfolgen.  Dabei  ergibt  sich 
das  Resultat,  daß  die  erwähnte  Anschauung,  nach  welcher  die 
Bewegung  des  Elektrons  mit  konstanter  Geschwindigkeit  sich 
von  selbst,  d.  i.  ohne  Hinzufügung  äußerer  Kräfte,  aufrecht 
erhält,  nicht  mit  jenen  Grundgleichungen  verträglich  ist. 
Sowohl  bei  konstanter  Unter-  als  bei  konstanter  Überlicht- 
Geschwindigkeit  erzeugt  das  bewegte  Elektron  verzögernde 
ÜLTäfte  auf  sich  selbst,  die  durch  Hinzufügung  einer  äußeren 
Kraft  aufgehoben  werden  müssen.  Der  Übergang  von  Unter- 
zu  Überlicht-Geschwindigkeit  und  umgekehrt  gestaltet  sich 
einfacher,  als  nach  den  bisherigen  Theorien,  die  zu  dem  Zwecke 
unendlich  große  Kräfte  in  Anspruch  nehmen.  Hiernach  er- 
scheint es  zweifelhaft,  ob  die  elektromagnetische  Erklärung 
der  materiellen  Mechanik  sich  ohne  Einführung  neuer  Hypo- 
thesen wird  durchführen  lassen.  Auch  die  Analogie  eines 
konstanten  elektrischen  Stromes  mit  einem  Strome  von  Elek- 
tronen, die  sich  mit  konstanter  Geschwindigkeit  bewegen,  ist 
nicht  so  vollständig,  wie  man  bisher  voraussetzte,  indem  ersterer 
keine  Selbstinduktion  zeigt,  der  Konvektionsstrom  bewegter 
Elektronen  aber  auch  bei  konstanter  Geschwindigkeit  auf  sich 
selbst  induzierend  wirkt. 

2.  Herr  Alfbed  Pbingsheim  legt  eine  Abhandlung  des  Herrn 
Professor  Georg  Landsbeeg  in  Kiel:  „Zur  Theorie  der  ellip- 
tischen Modulfunktionen"  vor. 

Der  Verfasser  untersucht  nach  dem  Vorgange  von  Cayley 
den  arithmetischen  Charakter  der  unendlichen  Produkte,  durch 
welche  die  Modulfunktionen  dargestellt  werden,  und  legt  eine 
Methode  dar,  nach  der  die  Wertänderungen  bestimmt  werden 
können,  welche  die  auftretenden  Doppelsummen  bei  Vertau- 
schung der  Summationsfolgen  erfahren. 


Zur  Theorie  der  elliptischen  ModulfunktioneB. 

Von  Ue^irg  LaDd»lieri^  in  Kiel. 

Csyley  hat  sich  in  seißen  letzten  Lebensjahren  mit  dem 

|Ärithjii etlichen  Charakter   der   lu   der  Theorie   der   ellif)hisi;lieu 

lodullVinktionen  uuftretenden  Produktentwicklungen  beschUftigt 

und  sich  bemüht  das  Verhalten  der  durch  sie  dargestellten  Funk- 

LÜotii^ti  hei  lititüirer  Transform Fition  der  aniibhäTigigen  Variahelen 

L^iureh     Uiulürmung  in    Doppelprodukte    zu    gewinnen.*)     Bei 

die^r  Untersucbung  ist  er  indes  auf  Schwierigkeiten  gestossen, 

die  er  nicht  überwunden  hat   und  die,   kui'z  gesagt,   darin  be- 

r^t-eben,  da&  die  ürbalteuen  Doppelsummen,  resp.  Doppelprodukte 

iiügt    konvergent    sind    und    darum    eine  Vertausch ung   der 

Sujntnationäordnung  nicht  gestatten.    Diesen  Schwierigkeiten  ist 

iHerr  Weber^)  durch  Heranziehung  der  Kroneckerschen  Grenz- 

nel*)  gtrrecht  geworden,   aus  weicher  sich  die  gewQnschteu 

Ilate,  allerdings  nur  unter  einschränkenden  Annahmen  filr 

den  Bereich  der  VariabeknT   durch  geeignete  Grenzübergänge 

g4*winnen   lassen.     Aber  in    dem  Briefwechsel   der  beiden  Ge- 

fkhrien  tritt  mehrfach  der  Gedanke  hervor,  dalä  es  einen  direkten 

Weg   geben    müsse,    um    die  Wertanderung    der    betrachteten 


*>  Sur  !a  fönction  mudrtlLiire  ;(  u«ij.    Cömptes  Rendui  12.  Jim,  1893. 

Vier  Briefe  üWr  eJUptistihe  Modul fuMktionen.    Math.  ÄDn..  Bd.  47,  S.  1—5. 

^)  Bemerkujigea  zu  den  vonteiienden  Briefen,   Math.  Ann,,  Bd,  47» 

•)  Kronecker,  Berliner  SiUiinyflbenclifce  186B,  83,  86,  8Ö. 
Weber,  Klliptiscbe  Funktionen  und  algebraiacbe  Labien,  §  113* 


4  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  12.  Januar  1907. 

analytischen  Gebilde  als  Folge  der  Summationsänderung  erkennen 
zu  lassen.  Im  folgenden  glaube  ich  eine  Methode  angeben  zu 
können,  welche  jener  Forderung  genügt.  Es  ergibt  sich,  daß  die 
beiden  verschiedenen  Doppelsununen,  die  zu  verschiedenen  Anord- 
nungen der  Summenbildung  gehören,  direkt  miteinander  ver- 
gleichbar sind  und  daß  ihre  DifiFerenz  ein  bestimmtes  Integral 
ist,  welches  in  jedem  einzelnen  Falle  leicht  ausgewertet  werden 
kann.  Der  Kürze  der  Darstellung  halber  führe  ich  die  Methode  nur 
an  dem  Beispiele  der  Diskriminante  r]  (a>)  durch;  sie  bleibt  aber 
auch  für  die  übrigen  in  jenem  Briefwechsel  betrachteten  Modul- 
funktionen anwendbar,  und  sie  bedarf  nur  unwesentlicher  Modi- 
fikationen, wenn  andere  als  die  hier  untersuchten  Änderungen 
der  Summationsordnung  in  ihren  Wirkungen  diskutiert  werden 
sollen. 

I. 

In  der  Theorie   der   elliptischen  Modulfunktionen   werden 
aus  den  beiden  unabhängigen  Variabelen  coj,  co^  die  Summen: 

(1)  &  =  £■  ^ 


in 


gebildet,  welche  über  alle  ganzzahlige  Wertepaare  (mj,mj)  mit 
Ausschluß  des  Paares  Wj  =  Wg  =  0  erstreckt  sind;  dieselben 
konvergieren  aber  nur  dann  absolut  und  unbedingt,  wenn  w  >  1 
ist.  Für  n  =  1  hingegen  ist  der  Wert  der  Summe  von  der 
Anordnung  der  Glieder  abhängig;  je  nachdem  man  erst  über 
Wj  und  dann  über  m,  oder  in  umgekehrter  Reihenfolge  summiert, 
erhält  man  die  beiden  Summen: 

^  =  £2:, ^- ^    und 


'■  =  L£ 


«t  "-.  (»»1  «»i  +  n^t  <««)*' 

wobei  t]^  und  »;,  die  beiden  Perioden  des  Integrales  zweiter 
Gattung,  aufgefaßt  als  Funktionen  der  entsprechenden  Perioden 
(o^  und  o),  des  Integrales  der  ersten  Gattung,  bedeuten.     Die 


6.  Landsberg:  Theorie  der  elliptischen  Modulfunktionen.  5 

beiden  Summen  auf  der  rechten  Seite  der  obigen  Gleichungen 
sind  aber  niemals  einander  gleich;  denn  es  besteht  die  «Legendre- 
sehe  Relation'': 

(3)  ^iV%  —  ö>,  17,  =  ±  2  jr  i, 

in  welcher  das  obere  oder  das  untere  Zeichen  gilt,  je  nachdem 
das  Periodenverhältnis: 

(4)  0,  =  ^ 

eine  positive  oder  eine  negative  imaginäre  Koordinate  hat.  Wir 
stellen  uns  zunächst  die  Aufgabe,  diese  Relation  direkt  aus  der 
obigen  Definition  der  Größen  tj^  und  rj^  durch  Vergleichung 
der  beiden  verschiedenen  Anordnungen  der  Summe  S^  abzuleiten. 

Zu  diesem  Zwecke  betrachten   wir  die  beiden  Größen  — 

CO, 

und  —  als  Grenzwerte  der  beiden  mit  endlichem  X  gebildeten 
Summen : 

Tx  —     Jj         S     7 ; Tö    und 


(5) 


mi=-X    m,=-«  (»»,  O),  +  W,  (0,y 


-A 


6  Sitzung  der  math.-pbys.  Klasse  vom  12.  Januar  1907. 

von  denen  die  erste  über  sämtliche  Gitterpunkte  des  zu  den 
Perioden  o),  und  co^  gehörigen  parallelogrammatischen  Netzes 
erstreckt  ist,  die  im  Inneren  oder  auf  dem  Rande  des  von  den 
beiden  Parallelen  21,  3),  und  ©,  S,  begrenzten  Streifens  gelegen 
sind,  während  die  zweite  in  derselben  Beziehung  zu  dem  Parallel- 
streifen Slg  ©2  ßg  ©2  steht.  Beide  Summen  vergleichen  wir 
zunächst  mit  einer  dritten,  endlichen  Summe: 

deren  zugehörige  Gitterpunkte  im  Inneren  oder  auf  dem  Rande 
des  Parallelogrammes  ABCD  gelegen  ist,  das  den  beiden 
Parallelstreifen  gemein  ist.  Demzufolge  finden  wir  für  die 
Differenz : 

(7) 


mj=-A    m,=A+I  (»»,  W,  +  >»,  (»,)* 


»l2=-f  A 


»ii  =  —  c 


ma=-;.    mi=-A-l  K  O),  +  Wg  Cüg)^ 

wobei  sich  von  den  beiden  Teilsummen  auf  der  rechten  Seite 
der  Gleichung  die  erste  auf  den  Streifen  !C,  2)  (7  @, ,  die  zweite 
auf  den  Streifen  21,  -4  i?  ©^  bezieht.  In  derselben  Weise  ergibt 
sich  für  die  Differenz: 


iWj=5-f-/.      ffijs:  —  00  1 

«.,=-/.     m2=-A-  1   (m,  CO,   +  mg  ö>2)2 

wobei  die  erste  Teilsumme  zu  dem  Streifen  9^  B  0  0.2,  ^^^ 
zweite  zu  dem  Streifen  Jl^  -4  Z>  Dg  gehört. 

Gehen  wir  nun  zur  Grenze  f ür  A  =  oo  über,  so  ist: 

lim  r,  = -"?!-,    limi7A='^* 

und  der  Grenz>vert  von  P;.  ist  im  Bereiche  der  gleichmäßigen 
Konvergenz  der  Reihe  eine  eindeutige  Funktion  von  co„  cog, 
welche  mit: 


G.  Landsberg:  Theorie  der  elliptischen  Modulfunktionen.  7 

P  (o)j,  o),)  =»  lim  Fl 

bezeichnet  sein  möge.  Von  den  vier  Summen  der  Gleichungen 
(7)  und  (8)  ist  aber  die  erste: 

»»2=+^     «1=+  OD  ^2 

für  A  =  00  nichts  anderes  als  das  Integral: 

*,=-!  xi=i  (aTj  ö>i  +  x^  cüj)' "~  li  CO,  (fü,  +  a:^  o>g)  ~"  co,  co,  i/»  ^  ' 

wobei  das  letzte  Linienintegral  in  geradliniger  Richtung  von 
dem  Punkte  co,  —  co,  oder  A  nach  co^  -{-  cog  oder  F  zu  führen 
ist.     Ebenso  ergibt  sich  für  die  übrigen  drei  Integrale: 

lim  -r  T  r-4—^=y  x',^i^^ 

2  =  0»  «,=-A  mi=-A-i  (w,  a>,  +  w,  a>j)»      li  _^a,  (a?,  ö),  +  x^  (o^y 
__     1       /•  d^ 
CO,  eoj  ^A  ^ 

i  =  »  mt=-A    m,=A+l    (W,  CO,  +  W,  Cü,)=^         1,  j'    (ä?,  CO,  +  0?,  CO,)» 
1  n  d^ 

o>,  CO,  Ar  ^ 
••i=-M  «ij=-Q«)               1  "t'  ■;;^        dT  dr 

lim      S        S       , i_ Y.=SS7—-r"\. 

1         n  dz 

CO,  CO,  JA    -2^   ' 

Man  erhält  hiernach  durch  den  Grenzübergang  die  beiden 
Gleichungen: 

i;                                    n    djs          i    dz  2  a>^'\- (o^ 

a_P(m,cog)  =  — J J =  —       log      '         ? 

-'?l-P(a,.,a,.)=      X-4^-  +  f_^^_=   1     log-^^»- 

«,  ^     *       '  Ba)^(O^Z        IjCOjCO,^        CO,  CO,      "     C0j4- co. 


8  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  12.  Januar  1907. 

wobei  die  Logarithmen  als  Hauptwerte  zu  nehmen  sind  und 
somit  eindeutige  Funktionen  des  Periodenverhältnisses  co  =     * 

CO, 

werden.  Subtrahiert  man  schließlich  die  erste  der  obigen 
Gleichungen  von  der  zweiten,  so  vereinigen  sich  die  vier  In- 
tegrale zu   dem    um  das  Parallelogramm  ABFA   erstreckten 

Integral |  —  und  man  erhält  die  zu  beweisende  Relation : 

5i  _  .^  =  +  3jli 

in  welcher  das  obere  oder  untere  Vorzeichen  gilt,  je  nachdem 
die  Umkreisung  des  Nullpunktes  im  positiven  oder  im  negativen 
Sinne  erfolgt,  d.  h.  je  nachdem  das  Perioden  Verhältnis  (o  eine 
positive  oder  negative  imaginäre  Koordinate  besitzt. 

Mit  Hilfe  der  Legendreschen  Relation  folgt  nunmehr  leicht 
das  Verhalten  der  Funktionen  i/^  und  t]^  bei  beliebiger  linearer 
Transformation  der  Perioden  co^  und  co,;  da  sich  jede  solche 
Transformation : 

(o'i  =  a(Oi-\-  ßcOij       €0*2  =  y ö>i  +  6 w,     (ad  —  ßy  =  1) 

aus  elementaren  zusammensetzen  läßt,  für  die  sich  die  Ver- 
änderung von  r/j  und  rj^  unmittelbar  übersehen  läßt,  so  ergibt 
sich: 

(9)     fj[  =  rji  (cü'i,  Cüi)  =  a  ?;i  4-  ^  ?;„    rj'^  =  rj^  (col,  wi)  =  yrj^-\-dr]^. 


IL 

Wir  betrachten   jetzt  die   von   zwei  Periodenverhältnissen 
--   und  -^  abhängige  Summe: 

^'"^      ^  V«>;  Qj      ^  K  ^1  +  ^n,  o>,)  (m,  Ü,  +  m,  ü,y 

welche  ebenfalls  über  alle  ganzzahligen  Wertepaare  (m^ ,  m,) 
mit  Ausschluß  von  m,  =  m^  =  0  erstreckt  und  deren  Wert 
ebenfalls  von  der  Anordnung  der  Glieder  abhängig  ist.    Diese 


G,  Li*nd»beirg:  Theone  ätar  elÜptkcben  Mothil funktionell. 


Reihe  konvertiert  bei  jfder  Gliederanordriiing,  bei  welcher  die 
Reihe  S^  in  (l)  konvergiert  und   die  Funktion  des  Qüatienfcen 

*  ,    die  sie  bei  einer  bestimnateti  Reihenfolge  der  Sunimation 

Btellt,  steht  in  innij^eni  Zusanittienhange  mit  den  Funktionen 
71  und  fj^.  Denn  dilferenziiert  man  gliedweise  nach  m^  und  w^, 
so  erhält  man.  falls  man  in  (10)  erst  über  m^  und  rJann  über  m^ 
summiert  und  0)  auf  die  positive  Halbebene  beschränkt: 


(in 


9  COj  mi   ntf 


tu. 


2  s  —— ^ 


«,   ff«,  (W,  €;J|  +  fftj  tt>,)' 


^  =  ^t 


fO, 


ü}. 


(mjcoj  +  m.oi,) 


\ä  =  -ir*?*  =  -'^i^ 


tu, 


nnd  hieraus  folgt  zunächst  die  Konvergenz  der  Reihe,  weil  die 
gliedweise  Integration  einer  gleichmäßig  konvergenten  Reihe 
g^tattet  ist.    Weiter  aber  ergibt  sich  aus  den  Gleichungen  (11): 


(12) 


dff  s^i/jdctij  —  Vi^^t —  2  jridlog 


Cl>, 


Eb  bleibt  also  das  Differential  der  Funktion: 

9  -f  2  JT  i  log  o)^ 

bei  linearer  Transformation  der  Perioden  un geändert,  denn  ^ 
bt  infolge  der  Formeln  (9)! 

lyi d cal  —  t;l  d cj>s  =  Tj^daii  —  i^j d Oj. 
Bilden  wir  daher  die  Funktion; 

+  2^nogg^, 

[_JlMtert  fich  diese  bei  jeder  linearen  Transformation  entweder 
TKHiöden    f«j,  öj,   oder   der  Perioden  D^,  Q^   nur   um   eine 
a^idiiiTe  Konstante,  und  wenn  man  beide  Periodenpaare  der- 
»tlbeti  linearen  Transformation  unterwirft»  so  ist  die  Konstante 
gJcli  Null,    weil  die  Funktion  verschwindet,   falls  die  beiden 


10  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  12.  Januar  1907. 

Periodenpaare  koinzidieren.  Die  Funktion  ist  also  in  Beziehung 
auf  beide  eine  Modulform  erster  Stufe  bei  kongruenter  Ver- 
änderung der  Argumente. 

Man  kann  die  Funktion  in  mannigfacher  Weise  als  Differenz 
zweier  anderer  darstellen,  welche  nur  von  je  einem  der  beiden 
Periodenpaare  abhängen  und  im  wesentlichen  nichts  anderes 
als  die  in  der  Theorie  der  Modulfunktionen  auftretende  Dis- 
kriminante  zf  (ö>,,  cog)  (in  der  Bezeichnung  von  Herrn  Klein) 
oder  1]  {(o)  (in  der  Bezeichnung  von  Herrn  Weber)  sind. 

Sind  nämlich  n^  und  n^  zwei  ganze  oder  gebrochene  Zahlen, 

welche  zu  jedem  Zahlenpaare  (m,,  m^)  so  hinzubestimmt  werden, 

dais: 

n,  m,  —  n,  m,  =  1 

ist,  so  ist: 

mi  ms  (w,  o)^  +  tn^  cüj)  (m,  ß,  —  m,  fig) 
_  y.  y^  /n,  CO,  Hr  w^ö>2  _  n,  Q^  +  n^ ßA 

""  m,  ma  Wi  Ö>i  +  »»2  f^^«  ^^  ^^l  +  *^*2  ^«/  ' 

wobei  in  jedem  Gliede  der  Summe  der  Minuend  bloß  von 
a)  =  — ^,  der  Subtrahend  bloß  von  ß  =  ^*  abhängt.  Setzt 
man  also:  .         ^  .., 

so  ergibt  die  Ausführung  der  Summation  über  m^: 

^  =  — -  (co  —  ß)  +  2  wT  ij       (ctg  ^  w?  Ö  —  ctg  TT  m  a>) 

04)     =?(™-ß)  +  *-Ü(i  :iV.-i-V.) 


'Jn 


Setzt  man  also  mit  Herrn  Weber: 

,(£o)  =  2iT  77(1  _  2-2-), 

,;(ß) 


so  ist: 


(15)  (p^  inilog 

^  ^7]  (Cü) 


ii.  LikinlMbeij.f:  Tli*iori€'  fI».H*  elHptiäehen  McKlulfunktioiifn. 


n 


Tn  fVr  Bezeichnung  ?on  Herrn  Klein  wird: 


es  ist  alsdann: 


(16) 


cü^ 


;i^ , 


^  +  2 ;i ilog '"^  =  '^ log  ^ p'-"»^. 


Im  Gegeusatis  zu  diesen  hergebrachten  DarsteHungen  der 
Diskritjuriun^.e  .1  (fUj,  m^)  läßt  die  Doppelsumine  (1Ü)|  von  der 
wir  hier  ausgegangee  sind,  die  Grenzatellen  der  Funktion  in 
Evidonr  treten  und  ergibt  das  Yerbjilten  der  Funktion  bei 
Uneari^r  Transibrmation  als  KvJust^quenz  einer  Änderung  der 
Sumtnationsordnuug.  Die  Emfübrung  zweier  Argumentenpaare 
fi*j,  in^  und  flj,  ^i|  »tatt  eines  einzigen  erweist  sich  hierbei  als 
XV  \  'f^ig  zu  übers^ichtlicher  Behandlung  der  betrachteten 
n:  !  lien  Gebilde;  man  kann  nachträglich  natürlich  zu  Funk- 
Iii7tien  nur  eiiie?^  Arguraentenpaares  übergehen,  indem  man  z*  B* 

*  ^  i  OD,  also  Q  —  0  setzt. 
1/, 

IIL 

Das  Verhalten  der  Funktionen  tf  (fi>\  resp.  J  (ojj,  cu^)  bei 
linearer  Transformation  wurde  im  vorigen  Abschnitte  aus  dem 
Verhjüten  der  Funktionen  t|^  und  fj^  durch  Integration  er- 
»cblcK^isen.  Man  kann  aber  das  gleiche  Verlaiiren,  welches  im 
eisten  Abschnitte  auf  die  IJntersueliung  der  Wertänderung  der 
Samtiie  S^  bei  Vertauschnng  der  Suramationsordnung  ange- 
reoilvt  wurde^  auch  in  ganz  analoger  Weise  auf  die  Summe 
►  (m,  i/)  des  vorigen  Ahschnities  übertragen  und  auf  diesem 
fweiten  Wege  die  letzten  Resultate  in  direkter  Weise  erlangen. 

Zu  di<»sem  Zwecke  vergleichen  wir  die  Summen: 


<">  <"^H: 


<o,  Qf  —  w,  Q, 


und: 


'^V     0»,'      Qj     XXi 


(fftj  cü,  +  m^m^  (m,  fi,  -|-  «i,fi,) 


12  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  12.  Januar  1907. 

miteinander,  die  durch  Vertauschung  der  Summationsordnung 
auseinander  hervorgehen.  Bezeichnen  wir  das  allgemeine  Glied 
mit  Om  ,  so  erscheinen  die  ursprüngliche  und  die  transformierte 
Funktion  als  Grenzwerte  der  Summen: 

und: 

für  A  =  00.  Wir  setzen  alsdann  beide  miteinander  in  Beziehung, 
indem  wir  sie  mit  einer  dritten  Summe: 

ß;.  =   2j        L     a« 

vergleichen.  Ganz  analog  wie  im  ersten  Abschnitte  ergibt  sich 
alsdann : 

tfif=:  — A   wi2^=A-l-l  fnj:= — A   tn2=  —  A  — l 

ni2=-|-A     m]=(»  in2=+A     »11=:— oo 

fn2^^ — A   wij^At-1  fii2=— a   fif|^ — A— 1 

Gehen  wir  nun  zur  Grenze  für  A  =  oo  über,  so  konver- 
giert die  erste  der  vier  zuletzt  auftretenden  Teilsunimen  gegen 
das  Doppelintegral: 

"V  f      (q>i  ^i  —  ft>2  ^1)  ^^1  ^^» 

welches  sich  durch  Ausführung  der  Integration  über  x^  als  das 
einfache  Integral: 

darstellen  läßt;  hierbei  sind  die  Logarithmen  in  der  auftreten- 
den Klammergröße  so  zu  wählen,  daß  ihre  DifiFerenz  ver- 
schwindet,  falls   das  Periodenverhältnis  (o  =  --  mit  Q=—^ 

CO,  fl, 


6.  Landsbeig:  Theorie  der  elliptischen  Modulfunktionen.  13 

zusammenfallt.  Führt  man  die  gleiche  Rechnung  für  die  übrigen 
Doppelintegrale  aus,  so  ergibt  sich  schliefilich: 

(18)  •»«  •»«  (^1  ^1  +  *^2  ^«)  (^1  ^^  +  ^2  •^«^ 

-i:i:^ co,fi,-co,ß  j-(eo)^J(ß), 

worin  e7'(a>)  die  Summe  der  vier  Integrale: 

J{^)  =  S  -^^^^0^+^^)  —  S  -^ log (1  —  a: a>) 

und  J{a)  dieselbe  Funktion  von  Q  bedeutet;  die  Logarithmen 
können  und  sollen  hierbei  so  bestimmt  sein,  daß  sie  für  o;  =  0 
verschwinden. 

Die  noch  übrigbleibende  Aufgabe  der  Ermittelung  der 
Funktion  J{(jo)  erledigt  sich  am  einfachsten  durch  Differentiation 
nach  (o.     Man  findet  so: 

"^n      dx         Y      dx         "^^       dx  ^n       dx 

Das  auf  der  rechten  Seite  dieser  Gleichung  stehende  Aggregat 
ist  aber  nichts  weiter  als  die  Summe  der  vier  auf  geradlinigem 
Wege  erstreckten  Integrale: 

CO_jJfI    IZ  CO   cAl       ^  ft>a?+l    ^  CÜ-«_l    Z  ' 

also  wie  ein  Blick  auf  die  obige  Figur  zeigt,  das  um  das  Parallelo- 
granrim  ABFA    in   positivem  Sinne    herumgeleitete   Integral: 

1    C  dz       2ni 
coj    z  (O 

Folglich  ist: 

J{co)  =  2  71  i  log  (o  -\-  const, 


14  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  12.  Januar  1907. 

wobei  die  Integrationskonstante  zwar  für  unsere  Zwecke  be- 
langlos, aber  durch  die  Annahme  co  =  l  leicht  bestimmbar, 
nämlich  gleich  n^  ist. 

Es  ergibt  sich  also  die  Relation: 

und  diese  Gleichung  steht  in  genauer  Übereinstimmung  mit 
der  Gleichung  (13)  des  vorigen  Abschnittes,  welche  aussagte, 
daß  die  Funktion: 


-(»•§:)+^»"»«t. 


bei  kongruenter  linearer  Transformation  der   beiden  Perioden- 
paare ungeändert  bleibt. 


15 


Sitzting  der  math.-plijs.  Klaase  vom  0.  Febrimr  19Q7. 

1*  Herr  Karl  t.  Linde  berichtet  über  Versuche,  welche 
Laboratorium  für  technische  Physik  (itiübesondere  von  Herrn 
PtBWAmiER)  zur  Peststellung  des  Wärmedurchganges 
ton  einem  wärmeren  zu  einem  kälteren  Wasserstrome 
darcli  eine  Metall  wand  ausgefilbrt  worden  sind, 

Hiebei  hat  sich  för  konstante  Wassergeschwindigkeit  neben 
dar  bekannten  proportionalen  Zunahme  der  Wärmemenge  mit 
BT  Teroperaturdifferenz  zwischen  den  beiden  Strömen  eine 
igigkeit  dieser  Wärmemenge  von  der  mittleren  Temperatur 
ingebeu,  weiche  bei  kleineren  Teniperaturdifferenzen  ak  eine 
lineare  aich  darstellt,  bei  größeren  Difierenzen  ein  langsameres 
Anwachsen  steigt. 

Die  Abhängigkeit  des  Wärmedurchganges  von  der  Ge- 
sebwiodigkeii  des  strömenden  Wassers  wird  in  hohen j  Maüe 
be&timnit  einerseits  davon,  ob  die  Geschwindigkeit  kleiner  oder 
ist,  als  die  , kritische*  und  andt^rei-seits  durch  die  Be- 
fenheit  der  Wandflächen.  Bei  Geschwindigkeiten  über  der 
, kritischen*  und  bei  rauhen  Wandflächen  erscheint  die  durch- 
lebende Wärme  für  konstante  Ttinjperaturdifi'erenzen  als  eine 
Iratische  Funktion  der  Geschwindigkeit,  während  bei  glatten 
WAndflächen  für  Geschwindigkeiten  über  1,5  ni,  p.  s.  diese 
Funktion  eine  fast  genau  lineare  ist,  nach  unten  hin  aber 
Abweicbnugen  zeigt,  welche  mit  dem  Übergange  zur  kritischen 
fit^^'h windigkeit  :£usammenhängen  dürften. 


16  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  9.  Februar  1907. 

2.  Herr  Ludwig  Bubmesteb  hält  einen  Vortrag:  »Über 
kinetographische  Verwandtschaft  ebener  Systeme.* 

Bei  einer  gesetzmäßigen  Bewegung  eines  ebenen  Systems 
in  einem  als  ruhend  angenommenen  anderen  ebenen  System 
beschreibt  jeder  Punkt  des  bewegten  Systems  eine  Bahnkurve 
in  dem  ruhenden  System,  und  femer  beschreibt  jeder  Punkt 
des  ruhenden  Systems  eine  Bahnkurve  in  dem  bewegten  System. 
Werden  nun  den  Punkten  einer  Kurve  in  dem  einen  System 
die  Punkte  einer  Kurve  in  dem  anderen  eindeutig  zugeordnet, 
dann  beschreiben  je  zwei  zugeordnete  Punkte  entsprechende 
Bahnkurven  in  den  beiden  Systemen;  und  in  jedem  Bewegungs- 
moment sind  die  Punkte  auf  den  entsprechenden  Bahnkurven 
entsprechende  Punkte  der  beiden  Systeme.  Die  hierdurch  de- 
finierte geometrische  Beziehung  dieser  Systeme  wird  eine  kineto- 
graphische Verwandtschaft  derselben  genannt. 

3.  Herr  Ebwin  VoiT  spricht:  Ȇber  den  zeitlichen  Ab- 
lauf der  Eiweißresorption.* 

Derselbe  berichtet  über  Versuche,  welche  Herr  Kugleb 
unter  seiner  Leitung  über  den  zeitlichen  Ablauf  der  Eiweiß- 
resorption bei  Tieren  angestellt  hat. 

Diese  lehren,  daß  der  Resorptionsverlauf  von  der  zu  Be- 
ginn des  Versuches  im  Verdauungstraktus  vorhandenen  Eiweiß- 
menge abhängt.  Somit  muß  sich  die  Resorptionskurve  für 
geringere  Eiweißmengen  aus  der  bei  größerer  Zufuhr  gewon- 
nenen Kurve  ableiten  lassen.  Die  Form  der  Kurve  wird  durch 
die  Änderungen  im  Füllungszustande  des  Dünndarmes  bestimmt. 


17 


Kiöetographische  Verwandtachaft  ebener  Systeme, 
nnd  räumlicher  Systeme. 


Von  Lndirtf  Biirjiiester« 


Aügemeine  DarleguEigen. 

We  Gesamtheit  aller  io  einer  Ebene  befindlichen  Punkte, 
gegenseitige  Lage  sich  nicht  ändert,  wird  ein  starres 
^enes  System  oder  kurz  ein  ebenes  System  genannt;  nnd 
ilog  wird  die  GeBanitheit  aller  in  einem  Rnum  befindlichen 
Punkte^  deren  gegenseitige  Lage  sich  nicht  ändert»  ein  starres 
riumliches  System  oder  kurz  ein  räumliches  System 
gisnsnnt. 

Bei  einer  gesetzmäßigen  Bewegung  eines  ebenen  Systems  S 
in  ttinem  anderen  ebenen  System  Z,  welches  wir  als  ruhend 
uv.>  *  i.  beschreibt  ein  angenommener  Punkt  ^^  des  beweg- 
|h-  ms  S  eine  Bahnkurve  ot  in  dem  ruhenden  System  Z, 

ttnd  femer  he^ch reibt  ein  angenommener  Punkt  A^  des  ruhenden 
S^fEtetns  E  eine  Bahntunre  a  in  dem  bewegten  System  S. 

Wenn  wir  in  dem  Hystem  S  auf  einer  gegebenen  Kurve  k^ 
die  Punkte  A^^  JS^,  (7^  ,  .  und  in  dem  System  Z  auf  einer 
^ebenen  Kurve  x^  xuriachst  der  Einfachheit  wegen  eindeutig 
>rdnete  Punkte  Afl.  Bö.  Tö^  .  annehmen,  dann  beschreiben  die 
iktc*  A^,  B^y  t\, .  des  bewegten  Systems  S  die  Bahnkurven 
pt^ß^y**  in  dem  ruhenden  System  Z  und  die  Punkte  Aß,  B^,  T^  *  ^ 
des  niht^nden  System  E  die  Bahnkurven  a,  b,  e .  .  in  dem  be- 
wegten Hystem  S.    In  jedem  Bewegungsmoment  bestimmen  die 


18  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  9.  Februar  1907. 

beschreibenden  Punkte  Äg,  B^,  Cg  ,  .  des  Systems  S  auf  den 
zugehörigen  Bahnkurven  oc,  ^,  y  . .  Punkte  A»  B,  T  . .  in  dem 
System  Z,  und  ebenso  bestimmen  die  beschreibenden  Punkte 
Aö,  Bö,  Tg . .  des  Systems  E  auf  den  zugehörigen  Bahnkurven 
a,b,  c  . ,  Punkte  A,  B,  C  .  .  in  dem  System  S,  Die  so  in  jedem 
Bewegungsmoment  bestimmten  Punkte  A,  B,  T . .  und  A^B.C ,, 
nennen  wir  entsprechende  Punkte,  die  beschriebenen  Bahn- 
kurven oc,  /S,  y . .  und  a,  b^  c . .  entsprechende  Kurven  in  den 
ebenen  Systemen  Z»  S, 

Die  hierdurch  definierte  Beziehung  der  Systeme  Z,  S 
nennen  wir  eine  kinetographische  Verwandtschaft  zweier 
ebener  Systeme.  Dieselbe  ist  demnach  bestimmt  durch  eine 
gegebene  gesetzmäßige  Bewegung  des  Systems  S  in  dem  Sy- 
stem Z  und  durch  die  eindeutige  Zuordnung  der  Punkte  auf 
den  in  den  Systemen  S,  Z  gegebenen  Kurven  kg,  x^. 


Fig.  1. 

Um  die  Bewegungsvorgänge  des  einen  der  Systeme  S,  Z 
in  bezug  auf  das  andere  in  Fig.  1  zu  veranschaulichen ,  sind 
in  dem  bewegten  System  S  auf  der  Kurve  kg  die  Punkte  Äg^ 
Bg,  Cff..  und  in  dem  ruhenden  System  Z  auf  der  Kurve  x^ 


L. 


Kinetographisehe  Yei-wandteehafb. 


19 


die  eindeutig  zugeordneten  Punkte  A^n  B^^  r<j  *  -  angenommen. 
Die  Kurve  k^  sowie  die  Pyukte  A^,  B^,  C^  .  ,  des  Systems  S 
btfiiideti  sich  im  Anfang  der  Bewegung  in  Deckung  mit  der 
Kurve  -^^^  und  den  Punkten  Ao-  Bq.  P^  —  des  Systems  E;  und 
ferner  beünden  sicti  die  Kurve  x^  sowie  die  Punkte  A^,  Bß.  Prt^  ■ 
im  Systems  E  in  Deckung  mit  der  Kurve  k^  und  den  Punkten 
A^.  B^.  (\,.  .  des  Systems  8.  Die  Punkte  A^,  B^,  ü^  .  ,  be* 
sehreiben  die  Balinknrven  m,  ß,  y  ^  .  in  dem  ruhenden  System  E 
und  die  Punkte  Aß,  Bö*  P^  -  -  beschreiben  die  entsprechenden 
Bahnkurven  a,  b,  €  , .  in  dem  bewegten  System  S,  Durch  die 
Bewegung  des  Systems  *S'  gdangt  die  Kurve  k^  mit  den  Punkten 
J,,  B^,  €^  , ,  aus  der  Anfangslage  y,^  (Ao-  ßn*  Po  *  ■)  in  ver- 
fehlt dene  Lagen  n,  (A,,  B, ,  Fi  .  ^h  ^t  (As.  Bi»  Pf  - .)  *  .,  die 
mal]  gleichsam  als  Abdrücke  von  k^{A^,  B^,  C^  .  ,)  auf  das 
fohenden  System  E  t*etrachten  kann.  Femer  gelangt  die  in 
Jem  ruhenden  System  Z  liegende  Kurve  x^  mit  den  Punkten 
A(i,  ßfit  Pö-**  von  der  anfänglichen  Deckung  mit  k^{Aj^,Bj^,Cf^..X 
iiffigahend  in  denselben  Momenten  zur  Deckung  mit  den  Lagen 
l,(J^.  B^,C^.^,  Ä*j(-dj,  Z/g,  t^.),,,  die  auch  gleichsam  die  Ab- 
drOeke  von  x^^  (A^^  B(i,  Pß  -  ^)  auf  das  bewegte  System  S  sind 
wenn  es»  sich  in  der  zeichneten  Anfnngslage  befindet.  Während  der 
Bewpgnng  von  S  beschreiben  die  Punkte  A^^,  B^^  C^_  die  Bahn- 
kurreii  «.  ß.  y  -  -  '^  2f  ^^^»^  ^i^  ruhenden  Punkte  A^,  Bß,  Pe  *  * 
bMchreiben  die  Bahnkurven  n,  b,  c  . .  in  S,  die  also  über  die.se 
Punkte  gleiten.  Wenn  femer  die  Kurve  A,  des  hevregten  Sy- 
i^ems  S  in  die  Lagen  Xj,Xg..  gelangt,  dann  treten  die  in  S 
Gegenden  Kurven  k^,k^..  nach  einander  in  Deckung  mit  der 
Kurte  x^  des  ruhenden  Systems  X-  Demnach  entspricht  der 
Sehar  «ler  unter  sich  kongruenten  Kurven  A„,  Aj,  fc,  . »  in  8  die 
Seluor  der  unter  sich  kongruenten  Kurven  x^^  x^,  h^  .  .  in  £; 
und  *ii«!»e  Kurven  wollen  wir  die  Lagen  kurven  nennen.  Da 
tach  dii*  Schar  der  Bahnkurven  a,  h,  €  .  .  in  8  der  Schar  der 
Bahnkurven  oc*  /?»  y  . .  in  X  entj^pncht,  so  ergeben  sich  in  den 
Bfileini'n  S,  £  di^  ontÄp  rechen  den  Netze  der  Kurven  a,  6,  c, 
i^^i^,  k^  *.  wnd  «,  /5f»  7  ,  ,♦  x^,  x,,  x^  *  *  mit  den  entsprechenden 
Nilspiiiikten 


^ 


20  Sitzung  der  matb.-pbjs.  Klasse  vom  9.  Februar  1907. 

Aq  A^  A^  ,  ,  Ao  Ai  At  .  • 

B,  B,B,,,  Bo  B,  B, . . 

Cq  Cj  c\  . .  To  r,  fg . . 

Die  Kurven  a,  6,  c . . ,  Ä^ ,  Äj ,  Äg . .  in  S  sowie  die  Kurven  oc,  /?,  y . . , 
'^of  ^1«  ^s  *  *  ^^  ^  können  als  Parameterlinien  oder  als  krumm- 
linige Koordinaten  betrachtet  werden.  Einer  Kurve  in  S,  die 
z.  B.  durch  die  Punkte  A^^  -Bj,  C^  geht,  entspricht  in  dem 
System  Z  eine  durch  die  Punkte  Ao»  Bi»  T,   gehende  Kurve. 

Die  Bahnkurven  a,  6,  c  . .  und  oc,  /8,  y  . .  sind  durch  die 
gesetzmäßige  Bewegung  des  System  S  bestimmt  und  ihre  Ver- 
teilung ist  durch  die  Zuordnung  der  Punkte  der  angenommenen 
Kurven  i^,  x^  bedingt;  und  mit  diesen  Kurven  sind  die  Lagen- 
kurven Äq»  *i'  *«  '  •  "^^  ^0»  *^n  *^i  •  •  S^S^^^^^  deren  Lagerung 
durch   die   angenommenen  Bewegungsmomente  bestimmt  sind. 

Wenn  wir  insbesondere  kongruente  Kurven  kg,  x^  an- 
nehmen, die  in  ihren  Anfangslagen  x^,  k^  zusammenliegen,  und 
die  sich  denkenden  Punkte  dieser  Kurven  als  zugeordnete 
Punkte  betrachten,  dann  erhalten  wir  eine  spezielle  Zuordnung, 
die  wir  eine  identische  Zuordnung  nennen.  Die  speziellste 
identische  Zuordnung  ergibt  sich,  wenn  anstatt  der  Kurven  kg,  x^ 
Gerade  angenommen  werden. 

Die  Bewegung  des  Systems  S  in  dem  System  Z  ist  be- 
stimmt, wenn  z.  B.  zwei  Kurven  oc,  ß  als  Bahnkurven  der  Punkte 
Ag,  Bg  gegeben  sind.  Um  die  so  bestimmte  Bewegung  zu  ver- 
wirklichen und  die  Zeichnung  in  Fig.  1  auszuführen,  wird  die 
Kurve  kg  mit  den  Punkten  Ag,  1?,,  Cg  . .  auf  ein  durchsichtiges 
Papierblatt,  welches  das  System  S  vertritt,  gezeichnet.  Dann 
führen  wir  die  Punkte  Ag,  Bg  auf  den  Kurven  a,  ß,  markieren 
auf  dem  durchsichtigen  Papierblatt  in  verschiedenen  Lagen  des- 
selben die  Punkte,  die  sich  mit  den  Punkten  Agi  B(j»  Fß . .  der 
ruhenden  Kurve  x^  decken.  Durch  diese  markierten  Punkte 
ergeben  sich  in  S  die  Bahnkurven  a,h,c.,,  die  während  der 
Bewegung   über   die  ruhenden  Punkte  Aß,  Bß,  Fg  •  .   gleiten. 


L.  Burmesier^  Kiiietogmphifiche  Yerwandtsclrnft. 


21 


weh  naartieren  wir  in  den  Feiseliiedeneii  Lagen  Termittelst 

be  durch  den  Punkt  C^  die  Punkte,  welche  die  Kurve  y 
in  E  bestimmen. 

üiri  die  Definition  der  kinetographischeu  Verwandtschaft 
zu  rerallgemeinerni  nehmen  wir  auch  eine  mehrdeutige  Zu- 
ordnung der  Punkte  auf  den  Kurven  A^,  x^  an;  und  es  kann 
jedoch  auch  bei  Annahme  einer  eindeutigen  Zuordnung  durch 
den  Bewegungsvorgang  eine  mehrdeutige  Zuordnung  eintreten* 
Wenn  se.  B.  die  Kurve  k^  mit  den  Punkten  ^4^.,  B^,  C^  .  .  eine 
Gerade  ist,  die  von  ihrer  anianglichen  Lage  h^  aus  geht  und 
irch  die  Bewegung  wieder  in  diese  Lage  gelangt»  aber  so, 
\ü  die  aui'  der  Geraden  h^  liegenden  Punkte  Ao^  ßo»  To  ■  •» 
die  sich  anfänglich  rnit  den  Punkten  A^,  B^^  C^ , .  der  Geraden 
k^  decken,  nftn  wieder  mit  anderen  Punkten  A*^,  B\,  Cj . .  des- 
selben zur  Deckung  gelangen ;  dann  ergibt  sich,  daß  auf  der  Ge- 
filden k^  die  Punkte  -4^,  B*^^  C^ . .  ebenso  wie  die  Punkte  A^^ 
fi^,  C^ , .  den  Punkten  Agi  ßöi  Tß  • .  der  Kurve  h^  zugeordnet 
liod.  Demnach  erscheint  bei  diesem  Bewegungsvorgang  eine 
*^^weideutige  Zuordnung  und  bei  Wiederholung  desselben  eine 
nftehfdeutige.  Das  Gleiche  gilt  unter  denselben  Bedingungen, 
w^enn  die  Kurve  k^  ein  Kreis  ist 

Wird  in  jedem  der  Systeme  S.  £  ein  zwecknuilaiges  Ko- 
ordinatensystem  angenommen,  sind  ferner  die  Gleichungen  der 
m  dean  ruhenden  System  Z  befindlichen  Bahnkurven  zweier 
Pttnkie  des  bewegten  Systems »  deren  Abstand  bekannt  ist» 
g^^ben,  und  ist  die  Zuordnung  der  Punkte  auf  den  Kurven 
t,,  3^5  durch  Gleichungen  bestimmt,  so  kann  man  unter  günsti- 
|{TO  umständen  die  allgemeinen  Gleichungen  ab  leiten  ^  welche 
die  bestimmenden  Beziehungen  enthalten.  Die  Eliminationen 
mr  Erlangung  der  vier  reduzierten  Gleichungen  der  kiueto* 
piphtschen  Verwandtschaft  sind  jedoch  nur  in  geeigneten 
PiUcn  ausfahrbar. 

Zu  einer  kinetographischen  Verwandtschaft  zweier  ebener 
Systeme  S,  Z,  in  denen  sich  Punkte  entsprechen,  ergibt  sich 
durch  Dualität  eine  kinetographische  Verwandtschaft  zweier 
tbener  Systeme  S^  Z,  in  denen  sich  Gerade  entsprechen,  wenn 


22  Sitzunff  der  math.-phys.  Klasse  vom  9.  Februar  1907. 

wir  anstatt  der  zugeordneten  Punkte  der  Kurven  i^,  x^  zu- 
geordnete Tangenten  dieser  Kurven  annehmen. 

Die  Definition  der  kinetographischen  Verwandtschaft  ebener 
Systeme  gilt  verallgemeinert  auch  für  die  kinetographische 
Verwandtschaft  räumlicher  Systeme.  Bei  einer  gesetzmäßigen 
Bewegung  eines  räumlichen  Systems  S  in  einem  anderen  räum- 
lichen System  Z,  welches  wir  als  ruhend  annehmen,  beschreibt 
ein  angenommener  Punkt  Äg  des  bewegten  räumlichen  Sy- 
stems S  eine  Kurve  oc  in  dem  ruhenden  räumlichen  System  Z, 
und  ferner  beschreibt  ein  angenommener  Punkt  Aß  des  ruhen- 
den räumlichen  Systems  Z  eine  Kurve  a  in  dem  bewegten 
räumlichen  System  S,  Wenn  wir  nun  den  Punkten  A^^^  Bg.  . 
einer  in  dem  bewegten  System  S  gegebene  Fläche  kg  eindeutig 
die  Punkte  Aß,  Bg . .  einer  in  dem  ruhenden  System  Z  ge- 
gebenen Fläche  pcß  zuordnen,  so  ist  dadurch  die  kinetographische 
Verwandtschaft  der  räumlichen  Systeme  S^  Z  in  analoger  Weise 
wie  bei  den  ebenen  Systemen  definiert.  Und  durch  eine  An- 
nahme einer  mehrdeutigen  Zuordnung  der  Punkte  auf  den 
Flächen  A^,  x^^  wird  diese  Verwandtschaft  verallgemeinert. 
Werden  anstatt  der  Punkte  auf  den  Flächen  Ä;,,  Xß  die  Be- 
rührungsebenen an  denselben  zugeordnet,  dann  ergibt  sich  eine 
kinetographische  Verwandtschaft  zweier  räumlicher  Systeme  S,  Z, 
in  denen  sich  Ebenen  entsprechen. 

Durch  die  kinetographischen  Verwandtschaften  wird  ein 
Gebiet  neuer  geometrischer  Verwandtschaften  eröffiiet;  denn 
mit  jeder  gesetzmäßigen  Bewegung  eines  Systems  in  einem 
anderen  System  nebst  einer  gesetzmäßigen  Zuordnung  ist  eine 
kinetographische  Verwandtschaft  gegeben,  die  zwar  im  allge- 
meinen sehr  kompliziert  sein  wird;  aber  in  besonderen  Fällen 
auch  zu  manchen  interessanten  Ergebnissen  führen  kann. 

Im  Folgenden  wollen  wir  noch  auf  einige  Beispiele  spe- 
zieller Bewegungen  und  spezieller  Zuordnungen  hinweisen,  aus 
denen  mannigfaltige  kinetographische  Verwandtschaften  her- 
vorgehen. 


L.  Burmeitter:  KinetQgrapll 


vandt^chtift. 


23 


Beispiele  der  Bewegungen  und  der  Zyordoungen. 

Ifi  Fig.  2  wird  die  Bewegung  eines  ebenen  Systems  S  in 
einem  anderen  ebenen  System  X  dadurch  erzeugt,  dalä  sich 
jiwei  Punkte  C^.  D^  einer  Geraden  k^  des  Systems  S  auf  den 
ktüchten  Geraden  y,  Ö  In  dem  ruhenden  System  E  bewegen; 
imd  ferner  ist  eine  identische  Zuordnung  der  Punkte  A^,  B^^ 
C7^,  ß^  .  ,  der  Geraden  k^  und  der  Punkte  A^»  85 *  Tß,  A5  *  * 
der  Geraden  xg,  wobei  die  zugehörigen  Anfangslagen  Hq,  ft„ 
dcb  lö  der  Geraden  6  befinden,  angenommen.  Für  verschiedene 
Bewegungsmoraente  sind  die  T^gen  «f,  (A^,  Bßt  Tn.  An  -  *li 
«,  (A,.  8»t  Tp  Ai<.)*  Jfj  (A^.  Bi.  r^.  A^*.)  der  Geraden  k^  und 
die  entÄprechenden  Lagen  k^^  {A^,  B^,  C^,  D^  ,  .),  A^  {A^,  B^, 
C,,  />, .  .)t  ^,  (-^s*  ^it  ^V'  A  •  •)  ^^^  Geraden  h^  in  der  oben 
angegebenen   Weise  gezeichnetp 


Die  Punkte  ^1^,  B^,  C^,  D^  . .  beschreiben  in  dem  ruhen- 
Awn  System  X  die  Bahnen  ot,  ß,  y^  d . .»  die  koaxiale  Ellipsen 
nndt  deren  Achsen  in  den  Geraden  y,  S  liegen*),  Ftlr  die 
Pimkt«  C^,  D^  degenerieren  die  Ellipsen  zu  Strecken  auf  den 
Geraden  y,  d.     Die  Punkte  Aßi  Bö»  fflt  -i^e  —   beschreiben   in 


-.  BuTEDitttar,  lehrlmcli  der  Kiuematik.    1888,  S,  37.  4L 


24  Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  9.  Febroar  1907. 

dem  bewegten  System  S  Bahnen  a,  6,  c,  d  . .,  die  allgemeine 
Kardioiden  (Pascalsche  Kurven)  sind  und  für  die  der  Punkt  Dq 
ein  gemeinsamer  Doppelpunkt  ist.  Für  den  Punkt  F^  de- 
generiert die  Kardioide  c  zu  einem  Kreis  und  für  den  Punkt  A(j 
ist  die  Bahn  eine  gespitzte  Kardioide  d.  Die  Geraden  x^,  Xj,  x, 
sind  Tangenten  einer  vierspitzigen  Hypotrochoide^),  die  auch 
Astroide  genannt  wird;  und  die  Geraden  k^,  Äj,  k^  sind  Strahlen 
eines  Strahlenbüschels,  dessen  Mittelpunkt  Dq  ist.  Hieraus 
ergibt  sich  eine  zwei-vierdeutige  kinetographische  Verwandt- 
schaft der  Ebenen  System  Z,  S,  d.  h.  einem  Punkt  in  S 
entsprechen  zwei  Punkte  in  Z  und  einem  Punkt  in  Z  ent- 
sprechen vier  Punkte  in  S. 

Bei  dieser  Bewegung  rollt  der  über  C^  Dg  als  Durchmesser 
beschriebene  Kreis  Pg  des  Systems  S,  der  mit  dem  Kreis  c 
identisch  ist,  innerhalb  eines  doppelt  so  großen  Kreises  tt^*). 
Wir  können  auch  für  jene  Kurven  i^,  x^  die  Kreise  Pg,  n^ 
annehmen,  und  können  die  Punkte  des  rollenden  Kreises  Pg 
und  die  Punkte  des  ruhenden  Kreises  tt^,  die  in  Berührung 
kommen  als  zugeordnete  Punkte  betrachten;  dann  sind  jedem 
Punkt  des  rollenden  Kreises  Pg  zwei  Punkte  des  ruhenden 
Kreises  n^  zugeordnet,  weil  jeder  Punkt  des  Kreises  Pg  bei 
einer  ganzen  Umrollung  an  den  Kreis  7i^  zweimal  mit  den- 
selben in  Berührung  tritt. 

Bei  dieser  Bewegung  sind  in  dem  System  Z  die  Bahnen 
der  Punkte  des  rollenden  Kreises  Pg  Durchmesser  des  Kreises  n^^ 
und  ferner  sind  in  dem  bewegten  System  S  die  Bahnen  der 
Punkte  des  ruhenden  Kreises  ti^  gespitzte  Kardioiden. 

Wenn  ein  Kreis  p^  innerhalb  oder  außerhalb  an  einem 
Kreis  tt^  rollt,  deren  Radien  in  einem  rationalen  Verhältnis 
stehen,  und  eine  identische  Zuordnung  der  Punkte  auf  einer 
zentralen  Geraden  angenommen  wird,  dann  erhalten  wir  eine 
kinetographisclie  Verwandtschaft,  bei  der  in  beiden  Systemen 
die  Bahnkurven  geschlossene  Trochoiden  und  die  Lagen  der 
Geraden,   Tangenten  an   gespitzten  Trochoiden  sind^).    Ferner 


1)  A.  a.  0.  Ö.  185.     -)  A.  a.  0.  S.  37.    »)  a.  a.  0.  S.  157. 


L*  Banii«0ter  i  Kinetogniphische  Verwand  Ucb&ft. 


25 


kj>iiuen  wir  auch  die  BerÜliruiigüp unkte  der  Kreise  p^.,  tiq  als 
xogeordn^te  Punkte  betrachten,  dann  sind  die  Bahnkurven  in 
Biden  Systeiuen  gespitzte  geschlossene  Trochoiden, 

Wenn  insbesondere  ein  Kreis  auf  einem  gleich  groiaen 
anderen  Kreis  rollt,  so  ist  die  Zuordnung  der  Berührungspunkte 
emileufcig,  und  alle  Bahnen  sind  kongruente  gespitzte  Kardioiden. 

Die  durch  die  llollung  eines  Kreises  auf  einen  anderen 
uod  durch  flie  Zuordnung  der  Berührungspunkte  bestimmte, 
kinetographisch  verwandten  Systemen  sind  von  je  zwei  kon- 
sentrischen  Kreisen  begrenzt  und  demnach  ringförmige  Felder. 
bi  dereine  Kreis  z.  B«  der  ruhende  unendlich  grolä;  rollt  also 
ein  Kreis  auf  einer  Geraden,  dann  ist  das  Feld  des  ruhenden 
Systems  zwischen  dieser  Geraden  und  der  zu  ihr  parallelen 
Twgente  dieses  Kreises  eingeschlossen,  aber  das  Feld  des  be- 
wegten Systems  erstreckt  sich  ins  Unendliche  und  wird  einer- 
S€ste  nur  von  dem  rollenden  Kreis  begrenzt.  In  diesem  Fall 
mi  die  Bahnen  in  dem  ruhenden  System  kongruente  gespitzte 
Zykloiden  und  in  dem  bewegten  System  kongruente  gespitzte 
Kreise  vol  Ten  ten. 

Durch  Terschiedeue  Zuordnungen  können  bei  einer  Bewegung 
eines  Systenas  mannigfaltige  kinetographische  Verwandtschaften 
entstehen.  So  2.  B.  in  dem  einfachen  Fall,  wenn  sich  das  bewegte 
System  um  einen  Punkt  dreht,  und  auf  einer  durch  ihn  gehen- 
den Geraden  eine  identische  Zuordnung  angenommen  wird; 
dami  sind  die  kinetographisch  verwandten  Systeme  symmetrisch 
kcxogniente  Systeme,  werden  aber  die  entsprechenden  Punkte 
iweier  kongruenter,  zweier  ähnlicher  oder  zweier  projektiver 
Puokfcreihen  als  zugeordnete  Punkte  angenommen,  so  ergeben 
rieh  komptizierte  kinetographisch  verwandte  Systeme, 

Wir  wollen  ferner  auf  einige  Beispiele  der  Bewegungen 
MM  ebenen  Systems  bei  einfachen  Getrieben  und  auch  auf 
mfttche  Zuordnungen  hinweisen. 

B^i  einem  Kurbelgetriebe  in  Fig.  3  bewegen  sieh  die 
KopfK'lpunkte  F^,  L^  auf  den  Kreisen  97,  I,  deren  Mittelpunkte 
^^^  /V5  sind ;  und  werden  je  zwei  entsprechende  Punkte  der 
ölinliehen  Punkt  reihen  F^,  ^g*-*  ^^^  ^öt  As  *  -  ^  zugeordnete 


2C 


Hitznng  der  math.-phyi.  Klasse  Tom  9.  Februar  1907. 


Punkte  angenommen,  dann  sind  die  Bahnen  in  beiden  Systemen 
NymmetriHche  Kurven  sechster  Ordnung  resp.  in  bezug  auf  -F^,  L^ 
und  (|)^  Ar;  ftl^  »Symmetralgeraden. 

h 


rr^ 


FiK.  3. 

Wenn  inshesonders,  wie  in  Fig.  4  bei  einem  Zwillings- 
kurbelgetriebe 7*'^  Lg  =  (J)^  Aß,  ^ö  F^  =  Aö  L^  ist,  und  die 
enisprorhonden  Punkte  der  kongruenten  Punktreihen  F^^Lg,. 
und  (J)^,  Aö  . .  zugeordnete  Punkte  sind,  dann  sind  die  Bahnen 
synnnotrische  Kurven  vierter  Ordnung  resp.  in  bezug  auf  JP^  L^, 
(l)j^  Art  hI«  Symmetralgeraden.  Diese  Kurven  sind  Fufapunkten- 
kurven  einer  Fillipse  oder  einer  Hyperbel,  je  nachdem  die 
Koppel  F^  /.^  oder  der  Steg  (J)^  A^  kürzer  oder  langer  als 
die  Kurbeliirme  (J),,  F^,  Ar,  ^^^  '*^*'-  ^^^^  ergibt  sich,  weil  bei 
dieser  Bewegung  des  Systems  S  ein  Kegelschnitt,  dessen 
Bronnpunkte  F^,  L^  sind  und  deren  Hauptachse  gleich  der 
Längte  der  Kurbelarme  ist,  auf  einem  kongruenten  Kegelschnitt 
rt>Ut,  dessen  Brennpunkte  (J)^,  A^  sind,  so  daß  symmetrische 
Punkte  dit^er  Kegelschnitte  in  Berührung  kommen'). 


Kii:-  > 


*)  A.  a.  O,  ^.  :W;l  ;\W4. 


L*  Hurmeaterr  Kinetogmphische  Verwand  tich «iE. 


27 


Bei  dem  vieiitmchen  Schubkurbelgetriebe  in  Fig.  5  be- 
&gt  sich  der  Koppelpunkt  F^  auf  eiuem  Kreis  fp,  dessen 
Mittel]ninkt  tf*^  ist,  und  der  Koppelpunkt  Lg  auf  einer  Ge- 
raden k,  die  durch  den  Mittelpunkt  ct>fi  geht  Die  entsprechenden 
Punkte  der  aof  den  Geraden  t\  L^  und  <|>5  k  liegenden  kon- 
gruetitc*n  Punktreihen  i^,  »  *  und  c|>ß  .  *  betrachten  wir  als  zu- 
geordnete Punkte.  Dann  sind  die  Bahnen  der  auf  F^  L^ 
tiejfc^nden  Punkte  symmetrische  Kurven  vierter  Ordnung  in  bezug 
4*,!  Ji  als  Sjmmetralgerade  und  die  Bahnen  der  auf  cj>^  k 
ide  Punkte  symmetrische  Kurven  sechster  Ordnung  (Kreis- 
lUlen)  in  bezug  auf  i^'^  L^  als  Symmetralgerade  *),  Ferner 
'wir  auch  die  ents[>recbenden  Punkte  der  auf  F^  L^ 
und  F^  k  liegenden  kongruenten  Punktreihen  F,^ , .  und  F^ , , 
tU  zugeordnete  Punkte  annehmen ;  und  wenn  dann  insbeson- 
dere die  Koppe!  gleich  dem  Kurbelarm.  also  F^  L^  =  <}>q  F^ 
ist,  so  ergibt  sich  in  diesem  speziellen  Fall  die  S,  24  genannte 
iwm-viertleutige  kinetographische  Verwandtschaft, 

Jede  ge^setzmäiäii/e  Bev^-pgung  eines  ebenen  Systems  ^  in 
tinetu  anderen  System  Z  kann  auch  durch  Rollimg  einer 
Karre  p^  dm  Systems  8  auf  einer  Kurve  st^  des  Systems  Z 
erzeugt  werden^)*  Diese  Kurren,  die  BoUkurven  oder  Pol- 
bahnen heilte»,  sind  aber  oft  sehr  komplizierte  Kurven,  z.  B- 
lirt  dem  Kurbelgetriebe  von  achter  Ordnung,  und  koomien 
bäupi^äeblich  dann  in  Betracht»  wenn  sie  als  Kreise  auftreten. 
Zu  den  angeführten  Beispielen  erffeben  sich  Analogien 
für  die  Bewegungen  eines  räumlichen  Systems  S^  in  einem 
aodefBn  räumlichen  System  Z^,  Betrachten  wir  die  ebenen 
irsteine  S,  Z  resp.  als  zu  den  räumlichen  Systemen  S%  Z^ 
phflnnid,  und  die  Itollkurven  p^^  tt^  als  Leitkurven  zweier 
ßjlinderflächen  p^,  n*^^^  die  auf  der  Ebene  der  Systeme  S^  Z 
setibrecbt  stehen,  so  kann  eine  Bewegung  des  räumlichen  Sy- 
ems  S''  in  dem  ruhenden  System  Z^  durch  die  RoUung  der 
Rylinderfläche  p^   auf  der   Zylinderfläche  n^   erzeugt  werden. 

Eine   solche    Bewegung   des   räumlichen    System  S^   in    dem 


»I  k.  m.  0*  S.  32T*  3;i9.      ^)  A.  a,  O.  S.  32. 


28  Sitzung  der  matb.-phjs.  Klasse  vom  9.  Februar  1907. 

anderen  räumlichen  System  Z^  wird  eine  zylindrische  Rol- 
lung genannt*).  Bei  derselben  bewegen  sich  die  Punkte  des 
einen  Systems  in  parallelen  Ebenen  des  anderen  Systems,  und 
die  Punkte  in  einer  auf  diesen  Ebenen  senkrechten  Geraden  des 
einen  Systems  beschreiben  kongruente  Kurven  in  dem  anderen 
System. 

Als  Beispiel  einer  zylindrischen  Rollung  nehmen  wir  das 
Analogon  zu  der  in  Fig.  2  betrachteten  Bewegung.  Demnach 
rollt  eine  Kreiszylinderfläche  p*"  innerhalb  an  einer  doppelt  so 
großen  Kreiszylinderfläche  n^,  dann  sind  die  Bahnen  der  Punkte 
des  bewegten  räumlichen  Systems  S^  in  dem  ruhenden  räum- 
lichen System  L^  Ellipsen,  deren  Mittelpunkte  in  der  Achse 
Kreiszylinderfläche  tt^  liegen.  Für  die  Punkte  der  rollenden 
Kreiszylinderfläche  p^  degenerieren  die  Ellipsen  zu  Durch- 
messern der  Kreiszylinderfläche  Ji^.  Ferner  sind  die  Bahnen 
der  Punkte  des  ruhenden  räumlichen  Systems  21^  in  bezug 
auf  das  bewegte  räumliche  System  S^  allgemeine  Kardioiden, 
die  für  die  Punkte  der  Kreiszylinderfläche  ti^  in  gespitzte 
Kardioiden  übergehen.  Bei  gleichförmigem  Rollen  der  Kreis- 
zylinderfläche  p^  heißt  die  Rollung  eine  harmonische  Rollung. 

Wird  nun  eine  identische  Zuordnung  der  Punkte  auf  einer 
durch  die  Achsen  der  beiden  Kreiszylinderflächen  p^,  Ji^  gehen- 
den Ebene  angenommen,  so  ergibt  sich  ebenso  wie  S.  24  bei  den 
ebenen  Systemen  Z,  S  in  Fig.  2  eine  zwei-vierdeutige  kineto- 
graphische  Verwandtschaft  der  räumlichen  Systeme  Z^,  S^. 
Denn  bei  jeder  zylindrischen  Rollung  mit  einer  Zuordnung  der 
Punkte  auf  Zylinderflächen  oder  Ebenen,  die  parallel  sind  zu 
den  Rollzylinderflächen,  ist  durch  die  kinetographische  Ver- 
wandtschaft der  ebenen  Systeme  Zi  S  auch  die  kinetographische 
Verwandtschaft  der  räumlichen  Systeme  Z^,  S**  gegeben. 

Werden  den  Punkten  der  rollenden  Kreiszylinderfläche  p^ 
die  Punktpaare  der  ruhenden  Kreiszylinderfläche  tt^  zugeordnet, 

»)  L.  Hurmester,  Kinematische  Fläohenerzeugung  vermittelst  zylin- 
drischer Rollung.     Zeitschr.  f.  Mathematik  u.  Physik,  1888,  B.  38,  S.  337. 


L.  Bunnester:  Kioet^jgmphiache  YerwandtiabÄÜ. 


29 


mit  deneD  sie  in  Berülirung  kommen^  dann  erhalten  wir  eine 
kiiiefcogmphkche  Verwandtschaft  der  räumlichen  Sy.steme  £^,  5% 
bei  der  das  KaiungebLet  in  Z^  von  der  Kreiszjlinderfläche  n^ 
umgr^mi  wird,  und  das  Raumgebiet  in  ^S^  zwischen  der  Kreis- 
zjlinderätlche  j>^  und  der  koaxialen  Kreiszylinderflüche  mit 
dreimal  größeren  Durchmesser  eingeschlossen  ist* 

Nehmen  wir  an,  data  die  Kreiszylinderfläche  j?**  wahrend 
üirer  barmanischen  Bollung  eine  harmonische  Schwingung 
längs  den  Mantellinien  der  Kreiszylinderfläche  n^  vollzieht,  so 
d&ti  die  Schwingungszeit  zu  der  Umroll nngszeit  in  einem  be- 
i^mmten  rationalen  Verhältnis  n  steht,  dann  ergibt  sich  eine 
Bewegung  die  harmonische  zylindrische  Schrotung 
beiÜt.  Je  nachdem  wir  das  Verhältnis  n  und  die  Phasen diflFerenz 
3£ wischen  der  harmonischen  Rollung  und  der  harmonischen 
Schwingung  wählen,  gehen  bei  einer  angenommenen  Zuordnung 
mannigfaltige  kinetogruphische  Verwandtschaften  der  räum- 
lichen Systeme  Ä'",  Xr  aus  der  harmonischen  zylindrischen 
Schrotung  hervor.  Bei  derselben  sind  die  Bahnen  aller  Punkte 
der  schrotenden  Kreiszylinderfläche  p*'  Lissajoussche  Kurven 
in  Ebenen,  die  durch  die  Achse  der  ruhenden  Kreiszylinder- 
flache   n^  gehen, 

W^nn  insbesondere  «  —  1  ist,  dann  sind  die  Bahnen 
der  Punkte  des  Systems  S^  in  bezug  auf  das  System  E^ 
Kliipseo,  deren  Mittelpunkte  in  der  Achse  der  Kreiszylinder- 
deiche  -ng  liegen.  Dieser  spezieller  Fall  der  harmonischen 
zylindrischen  Schrotung,  der  bt*züglich  der  Bewegungsvorgänge 
und  der  Bahnkurven  untersucht  wurde'),  führt  äu  einer  inte- 
ntsatiten  kinetographischen  Verwandtschaft  der  räumlichen 
Systeme  Z-f  ^^*  wenn  eine  identische  Zuordnung  der  Punkte 
ia  der  durch  die  Achsen  der  beiden  KreiszjUnderflächen  gehen- 

^)  Vgl.  L,  Btiruiester,  ZeiUchiift  für  Mnthematik  und  Phjaik,  l&BB, 
8*  847,  —  A*  Mannbeim,  Journal  de  Fficole  polytechnique,  1890, 
bier,  p.  75.  —  G.  DurhK)«,  Kote  III,  in  G.  KoeeiiifB,  Le^ons  de 
Gintefliktiiiue,  1B97,  p.  352.  —  A,  GHlnwald,  Zeitschrift  für  Mathematik 
mä  FVsik.  imi,  B.  54,  3.  154. 


80  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  9.  Februar  1907. 

den  Ebene  angenommen  wird.  Diese  kinetograpbische  Ver- 
wandtschaft kann  gleichsam  als  aus  zwei  kinetographischen 
Verwandtschaften  zusammengesetzt  betrachtet  werden.  Die  zu 
den  Mantellinien  der  Kreiszylinderäächen  parallelen  Geraden, 
die  sich  in  den  kinetographisch  verwandten  räumlichen  Sy- 
stemen Z^,  S"*  entsprechen,  schneiden  eine  zu  diesen  Mantel- 
linien senkrechte  Ebene  in  entsprechenden  Punkten  der  S.  24 
genannten  zwei-vierdeutigen  kinetographischen  Verwandtschaft 
der  ebenen  Systeme  Z,  S;  und  auf  den  entsprechenden  Geraden 
werden  die  entsprechende  Punkte  durch  die  kinetographische 
Verwandtschaft  bestimmt,  welche  ohne  Rollung  aus  der  har- 
monischen Schwingung  bei  zugehöriger  Zuordnung  hervorgeht. 

Aus  dieser  harmonischen  zylindrischen  Schrotung  ergeben 
sich  ferner  noch  besondere  kinetographische  Verwandtschaften 
der  räumlichen  Systeme,  wenn  den  Punkten  der  schrotenden 
Kreiszylinderfläche  p^  die  Punktpaare  der  ruhenden  Kreis- 
zylinderfläche n^  zugeordnet  werden,  mit  denen  sie  in  Be- 
rührung kommen,  und  wenn  eine  identische  Zuordnung  der 
Punkte  in  einer  zu  diesen  Kreiszylinderflächen  senkrechten 
Ebene  angenommen  wird. 

Aus  der  Schraubung  eines  räumlichen  Systems  und  deren 
beiden  Spezialfällen,  der  Drehung  sowie  der  geradlinigen  Ver- 
schiebung ergeben  sich  bei  identischen  Zuordnungen  involu- 
torische  kinetographische  Verwandtschaften  zweier  räumlicher 
Systeme  S**,  Z^,  in  denen  sich  also  die  Punkte  wechselweise  ent- 
sprechen. 

Bei  der  Schraubung  sind  die  Bahnen  der  Punkte  in  jedem 
der  Systeme  S**,  Z^  koaxiale  Schraubenlinien  mit  gleicher 
Ganghöhe.  Die  entsprechenden  Bahnen  je  zweier  identisch 
zugeordneter  Punkte  fallen  in  einer  Schraubenlinie  zusammen 
und  auf  derselben  entsprechen  sicli  die  Punkte  der  Systeme 
S'",  Z"  involutorisch ;  denn  diese  Punkte  befinden  sich  beider- 
seits von  der  gemeinsamen  Anfangslage  der  beiden  zugeordneten 
Punkte  in  gleichen  Abständen  auf  der  Schraubenlinie. 

Werden  die  Punkte  einer  beliebig  gegen  die  Schrauben- 
achse geneigten  Zuordnungsebene  als  identisch  zugeordnet  an- 


L,  Hurmester:  Kintt^rapliiiclie  Verwand tschftft. 


31 


oiumen,  fio  ist  dadurch  eine  idvoIu torische  kinet^ographische 
Verwaiiil tschaft  der  räumlichen  Systeme  S^\  Yß  bestiramt.  Die 
Bahnen  je  zwei  zugeordneter  Punkte  auf  eiuer  in  der  Zuord- 
nisiigsebene  iiegendeu  Geraden  sind  Schraubenlinien  auf  der 
won  dieser  Geraden  erzeugten  Regelschranhenfläche*  die  in  den 
baidfü  riiumlichen  Systemen  eine  selbstentaprechende  Fläche 
»t-  Demnach  bilden  auf  einer  solchen  Regelschraubenfläche 
ibe  entsprechenden  Punkte  in  ihrer  Gesamtheit  zwei  involu- 
Uirbch  kinetogniphisch  verwandte  Fläch ensjsteme. 

In  dem  Special  falle,  wenn  die  Ganghöhe  der  Schraubung 
)^leich  null  ist.  geht  die  Schraubung  in  Drehung  über,  und 
die  Bahnen  ihr  Punkte  sind  in  beiden  Systemen  Kreise,  deren 
^BCttel punkte  in  der  Drehachse  liegen.  Aub  der  Drehung  und 
der  angenommen  identischen  Zuordnung  ergibt  sich  dann  eine 
spezielle,  involu torische  kinetographische  Verwandtschaft  der 
rämn  lieben  Systeme  6'^  X,^.  Denn  jene  Kegelschrauben  fläche 
dtgeneriert  zu  einem  einschal  igen  Drehungshyperholoid,  welches 
in  eine  Drehungskegelfiäche  oder  in  eine  Ebene  ausartet,  je 
itadidem  die  in  der  Zuordnungsebene  liegende  Gerade  die 
Drefa^urhse  schneidet,  oder  sich  zu  derselben  in  einer  senk- 
reehten  Lage  befin<iet» 

Bei  der  Sei* raubung  ergeben  sich  femer  spezielle  involu- 
he  kinetographi^'^che  Verwandtschaften,  wenn  die  Zuord- 
nungsebene entweder  durch  die  Schraubenachse,  parallel  zu  ihr 
nli^  senkrecht  zu  ihr  gelegt  wird  ;  und  ferner  bei  der  Drehung, 
wtnn  die  Zuordnungsebene  durch  die  Drehachse  gehend  oder 
itt  ihr  parallel  angenamnien  wird* 

Die  Schraubung  geht,  wenn  ihre  Ganghöhe  unendlich 
gnifi  ist,  in  eine  geradlinige  Vei^chiebung  über.  In  diesen 
«|»«ziell«n  Fall  sind  die  involutorisch  kinetographischen  ver- 
««ndien  System©  S^  £^  involutorisch  affine  räumliche  Systeme^ 
denen,  wenn  S*  die  Anfangslage  erhält,  die  Zuordnungs- 
flii^  die  Affinifcätgebene  ist.  Wenn  insbesondere  die  Zuord- 
tning^henp  »enkrecht  zu  der  Hiclitung  der  Verschiebung  steht, 
djmn  ^ind  diese  Systeme  symmetrisch  kongi*uent  und  die  Zu- 
ördnungsebene  ist  die  Symmetralebene  derselben. 


•^^  Sitzung;  der  math.-phjs.  Klasse  vom  9.  Februar  1907. 

Werden  anstatt  der  identischen  Zuordnung  der  Punkte  in 
der  Zuordnungsebene  die  allgemeineren  eindeutigen  Zuordnun- 
gen, Kongruenz,  Ähnlichkeit,  Affinität  oder  KoUineation  an- 
genommen, so  ergeben  sich  aus  den  drei  betrachteten  Be- 
wegungsarten allgemeinere  kinetographische  Verwandtschaften 
der  räumlichen  Systeme  S'',  Z^.  In  dem  einfachen  Fall  der 
geradlinigen  Verschiebung  und  der  kollinearen  Zuordnung  ist 
die  kinetographische  Verwandtschaft  der  räumlichen  Systeme 
eine  spezielle  Verwandtschaft  zweiten  Grades. 


Sitzung  der  math^-pbjs.  Kimm  vom  2.  Mar»  1907, 

1.  Uerr  Ueräann  Ebekt  legte  vor: 

ä)  Eine  Arbeit  des  Herrn  Professor  Mai  Thoäas  Epelhank 
an  der  techDischen  Hochschule  dabierr  ^Über  ein 
neues  Aspirations-Hygrometer/ 

Das  Instrunient  ist  als  Biisisiostruinent  fOr  St^itionen  zur 
Aichung  auderer  Hjgro-  und  Psychrometer  bestimmt  In  ein 
Üiäfhü  wird  eine  Probe  der  auf  ihren  Feucbtigkeitsgehalt  zu 
prüfenden  Luft  eingesogen,  der  Wasserdampf  wird  (ohne 
Änderung  des  Volumens)  mittels  Schwefelsäure  entfernt 
am  Apparate  befestigtes  Manometer  gestattet  dann  unmittel- 

die  Spannkraft  des  Dampfes,  beigegebene  Tabellen  die 
rt'liitire  Feuchtigkeit  zu  bestimraen. 

b)  Eine  Mitteilung  des  Herrn  Ur.  K.  Lutz:  ^Über  ein 
Saitenelektrometen** 

Ein  sehr  dünner  Metalldraht  ist  «wischen  zwei  länglichen 
T€rst?^Ubaren  Platten  ausgespannt»  welche  durch  eine  kleine 
Äkkumuktorenbatterie  geladen  werden  können.  Wird  der 
Druhi.  die  .Saite'  mit  einer  Elektrizitätsquelle  Terbunden,  so 
icigi  die  mittels  eines  Mikroskopes  mit  Okularteilung  ge- 
massene  Ausbiegung  der  Saite  die  Spannung  derselben  an. 
Dnrch  eine  Keibe  von  KnrTen  wirtl  der  Melabereich  und  die 
Empfindlichkeit  bei  verschiedenen  Schaltungen  erläutert. 


d.  viftlh,-pli7B,  Kl 


^4:  Sitzung  der  matb.-phjs.  Klsusse  vom  2.  Man  1907. 

2.  Herr  Aubel  Voss  berichtet  über  eine  Arbeit:  .Kon- 
forme Transformation  und  Krümmung.' 

Bei  jeder  Punkttransformation  der  Ebene  findet  eine  nur 
von  der  Tangentenrichtung  abhängige  Beziehung  zwischen  den 
Krümmungen  entsprechender  Kurven  statt.  Einen  besonders 
einfachen  Charakter  erhält  dieselbe  für  die  konformen  Trans- 
formationen, die  in  Bezug  auf  die  vorliegende  Frage  für  die 
Ebene  und  für  krumme  Flächen,  schlieMich  auch  für  den 
Kaum  untersucht  werden. 


u 


Neues  Al)sorption8  Hygrometer. 

Von  S.  Tti.  EdehiiADti. 

imt*ffitiinf4H  7.  Man  ifiOT.} 

Im  Jahre  1879')  habe  ich  einen  einfachen  Apparat  snge* 
in  welchem  man  einer  Lui'tprobe  ohne  Volumver- 
*ung  Schwefelsäure  zusetzen  kann.  Die  Säure  absorbiert 
den  Wasserdampf,  worauf  der  Druck  um  jenen  Betrag  sinkt, 
den  TOrher  der  Wasserdampf  ausgeübt  hat.  Ein  einfaches 
Queeksilbermanometer,    von   dem    der    eine    Schenkel    mit    der 


Fig.  U 

hlire,  der  andere  mit  dem  die  Luftprobe  enthaltenden 
kommuniziert,  läQt  in  Millimetern  Quecksilber  den 
Dimpfdnick  erkennen*  Für  die  Einrichtung  des  Apparates 
«»r  die  folgende  Form  vorgeschlagen. 

Mit    dem    durch    doppelten    Blech mantel    wärmeisolierten 
Qktfgüf^  R  (Fig,  1)  kommunizieren  durch  konische  Glasschliffe 

"»  Meteorolog,  Zeitübr.  %\Y,  p.  51.  Wiedemann.  Ann.  1878,  VT»  156. 

3* 


36  Sitzung  der  matb.-phys.  Klasse  vom  2.  März  1907. 

und  drei  Glashähne  abc  das  Quecksilbermanometer  M,  der 
Kautschukschlauch  K  und  das  Glasgefaß  S.  Bevor  MKS 
eingesetzt  werden,  füllt  man  das  vor  jedem  Versuche  sorgfältig 
gereinigte  und  getrocknete  Gefäß  R  durch  Einsaugen  mit  Luft 
vom  Beobachtungsorte,  schlieM  die  Hähne,  setzt  MKS  auf, 
füllt  S  mit  Schwefelsäure  und  setzt  dann  den  Glasstöpsel  über  S. 
Nun  öffnet  man  alle  Hähne,  worauf  sich  die  Schwefelsäure  ins 
Innere  von  li  ergielit  und  zwar  ohne  Volumveränderung, 
weil  die  von  der  Schwefelsäure  verdrängte  Luftmenge  durch  K 
hindurch  in  S  Platz  nimmt.  Wegen  der  großen  Oberfläche, 
die  nun  die  Schwefelsäure  erhält,  absorbiert  dieselbe  fast 
momentan  allen  Wasserdampf;  das  Monometer  stellt  sich  sofort 
auf  den  Dampfdruck  ein.  Das  Thermometer  T  gibt  die  Tem- 
peratur im  Innern  von  R  an. ') 

Dieses  Instrument  (und  seine  Varianten),  welches  anfanglich 
behufs  Konstantenbestimmung  anderer  Hygrometer  häufig  an- 
gewendet wurde,  ist  indessen  wegen  der  Umständlichkeit,  die 
mit  der  gewissenhaften  Reinigung  und  Austrocknung  nach 
jedem  einzelnen  Versuche  verknüpft  ist,  bald  wieder  außer 
Gebrauch  gekommen.  Vor  kurzer  Zeit  ist  jedoch  eine  Neu- 
konstruktion erzielt  worden,  welche  eine  beliebige  Anzahl  von 
Feuchtigkeitsbestimmungen  zuläßt,  ohne  daß  eine  Reinigung 
und  Austrocknung  vorgenommen  werden  muß.  Beifolgende 
Konstruktionsskizze  (Fig.  2)  soll  dazu  dienen,  die  Einrichtung 
und  Behandlung  des  Instrumentes  darzustellen. 

Ein  weites  Glasrohr  G  ist  oben  und  unten  durch  zwei 
aufgekittete  Metalldeckel  geschlossen,    wodurch   ein  luftdichtes 

*)  Spater  haben  Rüdorff  und  Sehwackhofer  daj>  Konstruktions- 
prinzip, welches  im  Austausch  der  Schwefelsaure  in  (.letali  .S  (Fig.  1)  gegen 
Luft  durch  den  Schlauch  H  lie^'t  und  die  Konstanz  des  Volumens  beim 
Einströmen  der  Säure  verbürgt,  verwendet  und  die  Form  des  Apparates 
vereinfacht.  Vgl.  Die  Methoden  und  Instrumente  der  Feuehtigkeits- 
bestimmung  von  Dr.  0.  Steffens  in  der  Zeitsi-hrifl  ,l>er  Mechaniker* 
XIV,  p.  223,  Fig.  172  und  173.  In  dem  ersten  KiuiorftWhen  Apparate 
(Chem.  Nachr.  XIII.  p.  149j  ist  ISSO  die  Austausch  Vipette  noch  nicht 
verwendet. 


M,  th.  I'kielmiitm :  Nuuea  Abiorptiona-Hygroineter. 


37 


von  etwa  mnem  Liter  Inhalt  s^ur  Aufnahme  der  zu 
Qniersuclieuden  Luftprobt?  gebildet  wird?  dieses  GelBß  steht 
«iif  dem  DreifuEa  DJ).    In  den  unteren  Metalldeckel  N  ist  ein 


§ 


Ftg, 


ßtshfthn  H  mit  einfacher  Bohmng  und  Schlauehansatz  n,  sowie 
*!fn  Hohrstut/en  R  luftdicht  eingeschrnuht  In  diesem  Rohr- 
iiutorit  Ä,  an  sei  nein  oberen  in  das  Gefiiß  G  hineinragenden 
Baiitlfi  surgfiUlig  ebengeschUHen,  ist  ein  längliches  Glasrohr  S 


38  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  März  1907. 

eingekittet,  welches  die  zur  Austrocknung  der  Luft  dienende 
Schwefelsäure  aufnimmt. 

Auf  dem  oberen  Mctalldeckel  M  sitzt  ein  Dreiweghalm  «/, 
welcher  nach  Belieben  die  Kommunikation  zwischen  dem  Ge- 
fäße 6r,  einem  Schlauchansatz  iv,  sowie  dem  Quecksilbermano- 
meter P  besorgt,  welch'  letzteres  (vermittelst  konischen  Schliffes  d 
in  das  Hahnstiick  eingesetzt)  an  einer  Millimeterskala  die 
zwischen  dem  Gefaßinnern  und  der  Atmosphäre  beruhende 
Luftdrucks-Differenz  ablesen  läßt. 

Außerdem  ist  in  dem  oberen  Metalldeckel  ein  Thermo- 
meter T  eingesetzt  und  ein  Konus  m  eingeschliffen,  der  sich 
nach  oben  in  die  Kurbel  K,  nach  unten  in  die  schnellgängige 
Schraubenspindel  E  fortsetzt.  Dreht  man  an  der  Kurbel,  so 
kann  man  vermittelst  der  Schraube  E  (an  der  Stange  F  ge- 
führt) das  Metallstück  f  im  Innern  des  Gefäßes  G  hoch  und 
niedrig  einstellen.  Schraubt  man  f  ganz  herunter,  so  legt 
sich  der  auf  seiner  Unterseite  ebengeschliffene  Deckel  r  aut 
den  gleichfalls  ebengeschliffenen  Rand  des  Rohrstutzens  R  luft- 
dicht auf;  die  an  dem  Deckel  r  hängende  Glasspirale  S  taucht 
tief  in  die  Schwefelsäure  S.  Schraubt  man  nunmehr  in  ver- 
kehrter Richtung,  so  bringt  man  schließlich  die  Glasspirale  S^ 
welche  mit  Schwefelsäure  benetzt  ist  und  an  welcher  wegen 
ihrer  großen  Oberfläche  viel  Schwefelsäure  hängen  bleibt,  ohne 
Volumveränderung  in  den  Bereich  der  auf  ihren  Dampf- 
gehalt zu  prüfenden  Luft:  die  Feuchtigkeit  wird  sehr  schnell 
absorbiert,  ihr  Druck  am  Manometer  P  und  die  Temperatur 
am  Thermometer  T  abgelesen;  diese  Arbeit  erfordert  etwa  drei 
Minuten. 

Schraubt  man  nun  die  Glasspirale  wieder  herab,  bis  der 
Deckel  r  schließt,  so  ist  der  Raum  G  nach  dem  (Mfnen  der 
Hähne  zur  Aufniihnio  einer  neuen  Luftprobe  durch  Ansaugen 
vermittelst  eines  Gunimiball-Saugers  wieder  bereit. 

Sollte  nach  vielen  Bestimmungen  die  Schwefelsäure  an 
ihrer  Absorptionsfähigkeit  verloren  haben,  dann  wird  das  Ge- 
fäß S  nach  unten  abgeschraubt  und  vermittelst  einer  Pipette 
die  verbrauchte  Säure  durch  frische  ersetzt. 


M,  Tb.  EtJelmüiin:   Neue»  Äbaorptioiis*Hj|p*onieier. 


H9 


Die  V©i*wendung  des  Apparates  enipfieblt  sich  aus  folgenden 
tideu*  Die  K^sultate  sind  bt^i  allen  Tempt^raturen  voll- 
komuien  zuYerlässig  und  mit  Aufwand  von  sehr  wenig  Zeit 
und  Muhe  zu  gewinnen.  Der  Ort  für  die  Anfstellutig  des 
Apparates  ist  unabhängig  Tom  Orte  der  Entnahme  der  Lnft- 
probe:  diese  kann  durch  eine  Seh laueblej hing  dem  Apparate 
jrggettihTt  werden,  wobei  jedoch  selbstverständlich  die  wegen 
TempemturdifFerenz  beider  Orte  nötige  Korrektion  'in  berück- 
sicliiigten  ist^  wofür  im  weiteren  Verlaufe  dieser  Al>handlung 
eine  Tabelle  angefügt  ist. 

ROcksiclitlich  des  Oehrauehes  des  Apparates  sind  noch 
falgi'nfli?  Bemerkungen  anzufügen.  Von  groiäer  Wichtigkeit 
»4  «iie  Könstanterhaltung  resp,  genaue  Berücksichtigung  der 
Tetupemtur  im  Inneren  des  Absorjitionsgefätäes  G  (Fig.  2)  während 
iew  Fenditigkeitshestin^munfc,  da  durch  Temperaturverände- 
rii]tgeti  der  Stand  des  Manometers  stark  beeinflulat  wird;  es 
wird  X.  B,  bei  mittlerem  Barometerstand  durch  eine  Temperatur- 
idiTung  nni  l**C,  eine  solche  des  Manometers  um  2,79  mm 
rgebracht.  Man  hat  also  alle  Veranlassung,  das  Absorption**- 
durch  Umhüllung  mit  wänaeisolierenden  Substanzen  etc, 
viir  Hufinrlichen  Wärmeeinflüssen  sorgfältigst  zu  schützen  und 
ferner  im  Inneren  des  Absorptionsgeiafies  ein  genügend  emp- 
fittdlichtt^  Thermometer  zu  verwenden.  Wenn  man  Peuchtig- 
htttsbestimniungen  mit  der  Genauigkeit  von  1  Prozent  erreichen 
will,  nmß  flie  Temperstur  ebenfalls  wenigstens  auf  1  Pro5&ent 
geimti  b^^bachtet  werden.  Sollte  sich  vom  Augenblicke  ab, 
ia  welchem  durch  Schliefen  der  Hähne  der  Druckausgleich 
iwiscfaeu  dem  Inneren  des  Absorptionsgefäfie®  und  der  äuläeren 
Atmosphäre  aufgehoben  wurde,  eine  Temperatnrvernndernng 
ti geben,  so  kann  man  bezüglich  der  nötigen  Korrektion  die 
fidigende  TabeJle  I  benützen : 

Tabelle  I. 

0,10       0.15       0/iO 


0,05 


0,25    o.ao^a 


740 

oim 

0.272 

0,407 

o,r>u 

0,680 

0,816 

750 

Q,n7 

a27ft 

0.413 

0,550 

0.688 

0,825 

760 

0440 

0.279 

0.419 

0,558 

0MB 

0,837 

170 

OJ42 

0,293 

0,425 

0,56^ 

0J08 

0,849 

40  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  März  1907. 

In  dieser  Tabelle  stehen  in  horizontaler  Flucht  neben- 
einander (für  die  Barometerstände  740  bis  770  mm  berechnet 
die  Zahlen,  um  welche  die  Manometerablesungen  zu  ver- 
kleinern resp.  zu  vergröfsem  sind,  wenn  die  Temperatur 
um  0,05,  0,10  ..  .  Grade  Celsius  während  der  Feuchtigkeits- 
bestimmung im  Absorptionsgefaiä  zugenommen  resp.  abge- 
nommen hat.  War  z.  B.  durch  die  Wirkung  der  Schwefel- 
säure eine  DruckdiflFerenz  am  Manometer  von  6  mm  hervor- 
gebracht, jedoch  währenddessen  bei  750  mm  Barometerstand 
eine  Temperaturzunahme  von  0,25^  C.  am  Thermometer  T 
(Fig.  2)  beobachtet  worden,  so  würde  als  absolute  Feuchtigkeit 
der  Luft  ein  Dampfdruck  von  6  —  0,688  mm  Quecksilber  ein- 
zusetzen sein. 

Übrigens  kann  man  sich  auf  sehr  einfache  Weise  gegen 
die  Temperatureinflüsse  auf  das  Messungsresultat  schützen.') 
Zu  diesem  Zwecke  ist  dem  Apparate  ein  kurzes  Glasrohr  bei- 
gegeben, welches  vermittelst  konischen  Schliffes  in  das  oberste 
freie  Ende  des  Manometers  P  (Fig.  2)  eingesetzt  werden  kann. 
Vermittelst  dieses  Ghisröhrchens  und  eines  an  dasselbe  ge- 
steckten Gummischlauches  setzt  man  den  sonst  mit  der  freien 
Atmosphäre  kommunizierenden  Schenkel  des  Manometers  nun- 
mehr mit  dem  Inneren  eines  (gleichfalls  dem  Apparat  beige- 
gobenen)  Glasgefaües  in  Kommunikation,  welches  Gefäß  in 
Form,  Inhalt  und  Umhüllung  dem  Absorptionsgefaß  ungefähr 
gleichkommt  und  neben  diesem  aufgestellt  wird.  Es  wirkt 
dann  auf  die  Einstellung  des  Manometers  nicht  mehr  die  Druck- 
differenz zwischen  der  ausgetrockneten  Luftprobe  und  der  freien 
Atmosphäre,  sondern  lediglich  die  Druckdifferenz  zwischen 
beiden  Getatien,  für  welche  gleiche  Temperaturbeeinflussung 
anzunehmen  ist.  In  der  Behandlung  des  solcherweise  ergänzten 
Apparates  ändert  sich  selbstverständlich  gegen  früher  nur,  daß 
man  das  erwähnte  Verbindungsröhrclien  während  der  Feuchtig- 
keitsbestimmung  i\\\i  «las  Manometer  zu  stecken  hat. 

»'  Piose  Eir.riohtuii'-r  wur.lo  nioinos  KnichttMis  zuerst  von  Wolpert 
;ini:t»4:»*b*Mi .  ,lVr  Mechaniker'  XIV.  p.  224.  und  7wur  zur  Vermeidung 
des  KinHusseö  von  Baromete^sohwaukun>^Ml. 


M.  Tk  Edelmann:  Neues  A bsorptions-Hygrometen 


41 


Bei  nieilrigen  Temperaturen  wird  die  Ablesung  *les  Queck« 
silberniannineters  wegen  der  Kleinheit  der  Druckdifferenzen 
tiBsicher.  In  diesem  Falle  benützt  man  ala  Füllflüssigkeit  Mr 
das  Manometer  Glyzerin  oder  Petroleum  von  bekanntem  spezi- 
tkcben  Gewichte.  Am  einfachsten  WTrd  natürlich  die  Arbeit, 
imliesondere  wegen  Benützung  der  am  Schlüsse  angefügten 
Tabelle  IIl,  wenn  man  sich  eine  Tabelle  herstellt,  in  welcher 
die  foogUchen  Ablesungen  an  der  Füllflüssigkeit  den  zuge- 
hörigen Queckdlberdrucken  gegenüberstehen. 

Wenn  dem  Abaorptions-Hygrometer  die  Luftprobe  durch 
^tine  Ht^htaJichleitung  von  einem  entfernten  Orte  zugeführt  wird, 
ad  die  Temperatur  des  Hjgrometergefitße.s  sich  um  t^^X  von 
der  Temperatur  des  Ortes  untersi-heidet,  dem  die  Luftprobe 
linommen  wurde  und  für  welchen  die  Feuchtigkeitsbestiramnng 
&lt©n  soll,  dann  sind  die  am  Hygrometer  abgelesenen  Drucke 
SU  korrigieren;  dies  geschieht  mit  Hilfe  der  Tabelle  U,  in 
welcher  im  Schnittpunkt  für  die  Temperaturdifferenz  (vertikale 
len)  und  iibgelesenen  Drucke  (horizontale  Reihen)  jene  Zahl 
fimlen  ist,  die  man  vom  abgelesenen  Werte  abzuziehen 
reip.  im  Fall©  die  Außentemperatur  die  höhere  ist,  zuzuzählen 
hat,  um  den  gesuchten  Dampfdruck  anzugeben.  Die  Tabelle 
bi  b^trtjchnet  bis  in  Drucken  von  30  ram  und  Temperatnr- 
differenzen  bis  zu  20^0,  Wäre  z.  B.  im  Inneren  des  Hygro- 
cneleri  8**  C,  am  Orte  des  Schlauchendes  —  2*  C,  beobachtet 
forden  und  hatte  das  Manometer  9  mm  gezeigt,  so  ist  für 
pie  Temperaturdifferenz  10"  die  Korrektionsziffer  — 0,33  mm. 
Es  geschieht  sekr  häutig,  daS  man  den  Darapfgehalt  der 
jaft.  in  Prozenten  jener  Wassermenge  angibt,  welche  die 
\tr,,.,wfJ|fi|'e  bei  der  beobachteten  Temperatur  ad  maximum 
.1  könnte  (relative  Feuchtigkeit).  Die  Tabelle  III  gibt 
nim  für  Temperaturen  Ewischeii  —  20^  C*  und  +  30''  C,  sowie 
relative  Feuchtigkeit  von  0  bis  100  Prozent  die  zugehörigen 
Daoipfdrucke  an,  so  daß  man  umgekehrt  für  eine  gegebene 
Tefii|ieratur  mit  Hilfe  der  Tabelle  IH  und  dem  mit  dem  Ab- 
«;  -Hygrometer  gefundenen  Kesnitat  sofort   die    relative 

iH.^<.....^keit  aufsuchen  kann. 


42  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  Mftrz  1907. 


Tabelle 

mm  1  2  3          4  5  0  7  8  9  ](>^ 

1  0,00  0,01  0,01  0,02  0,02  0,02  0,03  0,03  0,03  0,04 

2  0,01  0,02  0,02  0,03  0,04  0,04  0.05  0,06  0,07  0,07 

3  0,01  0,02  0,03  0,04  0,06  0,06  0,08  0,09  0,09  0,11 

4  0,02  0,03  0,04  0,06  0,07  0,09  0,10  0,12  0,13  0,15 

5  0,02  0,04  0,06  0,07  0,09  0,11  0.13  0,15  0,17  0,18 

6  0,02  0,04  0,07  0,09  0,11  0,13  0,15  0,18  0,20  0,22 

7  0,03  0,05  0,08  0,10  0,13  0,15  0,18  0,21  0,23  0,26 

8  0,03  0,06  0,09  0,12  0,15  0,18  0,21  0,24  0,20  0,29 

9  0,03  0,07  0,10  0,13  0,17  0,20  0,23  0,26  0,30  0,33 

10  0,04  0,07  0,11  0,15  0,18  0,22  0,26  0,29  0,33  0,37 

11  0,04  0,08  0,12  0,16  0,20  0,24  0,28  0,32  0,36  0,40 

12  0,04  0,09  0,13  0,18  0,22  0,26  0,31  0,35  0,40  0,44 

13  0,05  0,10  0,14  0,19  0,24  0,29  0,33  0,38  0,43  0,48 

14  0,05  0,10  0,15  0,21  0.26  0,31  0,36  0,41  0,46  0,51 

15  0,06  0,11  0,17  0,22  0,28  0,33  0,39  0,44  0,50  0,55 

16  0,06  0,12  0,18  0,23  0,29  0,35  0,41  0,47  0,53  0,59 

17  0,06  0,12  0,19  0,25  0,31  0,37  0,44  0,50  0,56  0.62 

18  0,07  0,13  0,20  0,26  0,33  0,40  0,46  0,53  0,60  0,66 

19  0,07  0,14  0,21  0,28  0,35  0,42  0,49  0,56  0,63  0,70 

20  0,07  0,15  0,22  0,29  0,37  0,44  0,51  0,59  0,66  0,73 

21  0,07  0,15  0,23  0,31  0,39  0,46  0,54  0,62  0.69  0,77 

22  0,08  0,16  0,24  0,32  0,40  0,48  0,57  0,65  0,73  0,81 

23  0,08  0,17  0,25  0,34  0,42  0,51  0,59  0,68  0.76  0.84 

24  0,08  0,18  0,26  0,35  0,44  0,53  0.62  0,71  0,79  0,88 

25  0,09  0,18  0,28  0,37  0,46  0,55  0,64  0,73  0,83  0,92 

26  0,09  0,19  0,29  0,38  0,48  0,57  0,67  0,76  0,86  0,95 

27  0,10  0,20  0,30  0,40  0,50  0,60  0,69  0,79  0,89  0,99 

28  0,10  0,21  0,31  0,41  0,51  0,62  0,72  0,82  0,92  1,03 

29  0,10  0,21  0.32  0,43  0,53  0,64  0,75  0,85  0,96  1,06 

30  0,11  0,22  0,33  0,44  0,55  0,66  0,77  0,88  0,99  1,10 


■ 

*lli*  Edelmaiia:  Neuea  Abaorptiona-Hygroniate!. 

43     ^H 

|n- 

■ 

^^H  wm 

11 

li? 

IS 

14 

15 

m 

17 

W 

m 

^^1 

*     l 

(l»04 

0,04 

0,05 

0,05 

0,06 

0.06 

0,06 

0,07 

0,07 

^^1 

2 

0,08 

0.09 

0.10 

OJO 

0.1 1 

0.12 

0.12 

0.13 

o,u 

^^1 

S 

QJ2 

0,13 

0,14 

0,15 

0,17 

0.18 

0.19 

0,20 

0,21 

^^H 

4 

0,16 

o,ie 

0,19 

0,21 

0.2ti 

0,23 

0,25 

0,26 

0,28 

^^H 

5 

0^ 

0.22 

0.24 

0.26 

0,28 

0,29 

0,31 

0,33 

0,35 

^^H 

a 

0,24 

0,26 

0,29 

0.31 

0,33 

0,35 

0,37 

0,40 

0,42 

^H 

7 

0,28 

0,31 

0,33 

0,36 

0,39 

0,41 

0.44 

0.46 

0,49 

^^H 

d 

0,32 

0,35 

0.38 

0.41 

0,44 

0,47 

0.50 

0.53 

0,56 

^^H 

d 

0,3Ö 

0,40 

0.43 

0.46 

0.5^) 

0,53 

0,56 

0,59 

0,63 

^^H 

10 

0.40 

0,44 

0.48 

0,51 

0,55 

0.59 

0.62 

0.66 

0,70 

^^H 

u 

W4 

0,48 

0.52 

0,56 

0,61 

0.65 

0,69 

0,73 

0,77 

^^H 

li 

0,48 

0,53 

0.57 

0,62 

0,66 

OJO 

0,75 

0,79 

0,84 

0,88       ^^M 

IS 

(ym 

0.57 

0.62 

0,67 

0,72 

0.76 

0,81 

0,96 

0,91 

^^1 

li 

0,56 

0,62 

0.67 

0.72 

0^77 

0,82 

0,87 

0.9a 

0.99 

^^H 

15 

0,G0 

0.0G 

0,71 

0,77 

o,ss 

0.88 

0.94 

0.99 

1.05 

^H 

in 

0,6& 

0,70 

0,76 

0.82 

0,88 

0,94 

l.OO 

1,06 

1,11 

^^1 

17 

0,69 

0,75 

0,81 

0,87 

0,94 

1.00 

1,06 

1.12 

1.18 

^^1 

18 

Oj3 

0J9 

0,86 

0,92 

0.99 

1,06 

1,12 

1,19 

1,25 

^^H 

^H  19 

0,77 

0.84 

0,91 

0,98 

1,05 

l.ll 

1,18 

1,25 

1,32 

^^1 

^V  20 

031 

0.88 

0.95 

1,03 

1.10 

1.17 

1,25 

1,32 

1,H9 

^H 

^L           Sil 

0,85 

0.92 

1.00 

1.08 

1.15 

1,23 

1,31 

1,39 

L46 

^^1 

^■^9 

0,69 

0,97 

1.05 

1,13 

1.21 

1.29 

1,37 

1,45 

1.53 

^^H 

^■^«5 

o,»a 

1.01 

i.io 

1,18 

1.27 

1,35 

1,43 

1,52 

1,60 

^^H 

[        24 

0,07 

1,06 

1.14 

1,23 

1,32 

1,41 

1,50 

1.58 

1,67 

^^1 

^K25 

1.Ü1 

1.10 

1,19 

1,28 

1,38 

1.47 

1,56 

1,65 

1,74 

^^H 

^■^ 

i,0& 

l.U 

1.24 

1,33 

1,43 

1,52 

\m 

1.T2 

1,81 

^^1 

^■ar 

l.OO 

1,19 

1.39 

1,39 

1,49 

1,58 

1.68 

1,78 

1.88 

^^1 

^■ss 

I.IS 

I,i3 

1.33 

1,44 

1.54 

1.64 

1J4 

1.86 

1.95 

2.05               V 

^■S9 

1.17 

1.29 

1.38 

1,49 

1.60 

1,70 

1.81 

1,91 

2,02 

2.13                ■ 

1,32 

1,43 

l,M 

1,65 

1,76 

1,87 

1,98 

2,09 

j 

■ 

44  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  März  1907. 

—  20»  (0,927  mm)  Tabelle 

0123456789 

0  0  0,01   0,02  0,03  0,04  0,05  0,06  0,07  0,07  0,08 

10  0,09  0,10  0,11  0,12  0,13  0,14  0,15  0,16  0,17  0,18 

20  0,19  0,20  0,21  0,21  0,22  0,23  0,24  0,25  0.26  0,27 

30  0,28  0,29  0,30  0,31  0,32  0,33  0,34  0,34  0,35  0,36 

40  0,37  0,38  0,39  0,40  0,41  0,42  0,43  0,44  0,45  0,46 

50  0,47  0,47   0,48  0,49  0,50  0,51  0,52  0,53  0,54  0,55 

60  0,56  0,57  0,58  0,59  0,60  0,60  0,61  0,62  0,63  0,64 

70  0,65  0,66  0,67  0,68  0,69  0,70  0,71  0,72  0,73  0,73 

80  0,74  0,75   0,76  0,77  0,78  0,79  0,80  0,81  0,82  0,83 

90  0,84  0,85  0,86  0,86  0,87  0,88  0,89  0,90  0,91  0,92 

100  0,93 

—  190  (1,008  mm) 

0           12  3          4          5  0           7          8  9 

0  0  0,01   0,02  0,03  0,04  0,05  0,06  0,07  0,08  0,09 

10  0,10  0,11   0,12  0,13  0,14  0,15  0,16  0,17  0,18  0,19 

20  0,20  0,21   0,22  0,23  0,24  0,25  0,26  0,27  0,28  0,29 

30  0,30  0,31   0,32  0,33  0,84  0,35  0,36  0,37  0,38  0,39 

40  0,40  0,41   0,42  0,43  0,44  0,45  0,46  0,47  0,48  0,49 

50  0,50  0,51   0,52  0,53  0,54  0,55  0,57  0,58  0,59  0,60 

60  0,01  0,02   0,63  0,64  0,65  0,66  0,67  0,68  0,69  0,70 

70  0,71  0.72  0,73  0,74  0,75  0,76  0,77  0,78  0,79  0,80 

80  0,81  0,82   0,83  0,84  0,85  0,86  0,87  0,88  0,89  0,90 

90  0,91  0,92   0,93  0,94  0,95  0,96  0,97  0,98  0,99  1,00 

100  1,01 

—  18«  (1,095  mm) 

0           1334          5  6789 

0  0  0,01   0,02  0,03  0,04  0,06  0,07  0,08  0,09  0,10 

10  0,11  0.12   0.13  0,11  0,15  0,17  0.18  0,19  0,20  0,21 

20  0,22  0,23   0,24  0,25  0,26  0,27  0,29  0,30  0,31  0,32 

30  0,33  0,34   0,35  0,36  0,37  0,38  0,40  0,41  0,42  0,43 

40  0,44  0,45   0,46  0,47  0,48  0,49  0,50  0,52  0,53  0,54 

50  0,55  0,50   0,57  0.58  0,59  0,60  0,61  0,63  0,64  0,65 

60  0,66  0,67   0,68  0,69  0,70  0,71  0,72  0,73  0,75  0,76 

70  0,77  0.78  0,79  0,80  0,81  0,82  0,83  0,84  0.86  0,87 

80  0,88  0,89   0,90  0,91  0,92  0,93  0,94  0,95  0,96  0,98 

90  0.99  1.00   1.02  1,03  1.04  1,05  1,06  1,07  1,08  1,10 

100  1,11 


Mm  %,  EddmaiiE  r  Neaee  Abaoqstiöns-Hygroiiieter. 

45     ^M 

1     m. 

-  17«  (1,189  mm) 

^M 

0 

J 

2 

3 

4 

6 

e 

7 

8 

^^1 

1            0 

0 

0.01 

0,02 

0,04 

0,05 

0.06 

0,07 

0,08 

0,10 

H 

^K   10 

aj2 

o;i3 

0.14 

0,16 

0,17 

0,18 

0,19 

0,20 

0,22 

0.23               ■ 

^V  so 

1124 

0/25 

0,26 

0,27 

0,29 

0.30 

0,31 

0,32 

0,33 

0,35               B 

W       so 

OM 

0J7 

0,38 

039 

0,41 

0,42 

0,43 

0,44 

0,45 

H 

^H     40 

0.48 

0.49 

0,60 

0.51 

0,52 

0,54 

0.56 

0,66 

0,57 

0,58               ■ 

^P    60 

«t.fiO 

0,61 

0,G2 

0,63 

0,G4 

0.66 

0,67 

0,68 

0,Ü9 

■ 

■          60 

OJl 

0,73 

0,74 

0,75 

0.76 

0,77 

0,79 

0.80 

0,81 

H 

^K    70 

a,8S 

034 

0,86 

0,87 

0,88 

0,89 

0,90 

0.92 

0,93 

0,94               ■ 

^m  80 

0,9fi 

0,96 

0,98 

0,99 

1,00 

1,01 

1,02 

1.04 

1,05 

1,06               ■ 

^m  90 

1.07 

1,06 

IJO 

IM 

1,12 

1,13 

1,15 

1.16 

1,17 

■ 

^H  100 

1,10 

^^M 

—  16«  (1,290  mm) 

^H 

0 

J 

Ä 

3 

4 

5 

6 

7 

S 

^^^1 

^^      0 

0 

0,01 

0,03 

0,04 

0,05 

0,07 

0,06 

0,09 

0,10 

^^B 

1       ^^ 

0J3 

0.14 

0,16 

0,17 

0,18 

0,19 

0.21 

0,22 

0,23 

0,25               H 

1       ^ 

0.26 

0,27 

0,28 

0,30 

0,31 

0,32 

0.34 

0J5 

0,86 

0,38               H 

1          30 

0,39 

0,40 

0,41 

0,4B 

0,44 

0,45 

0.47 

0,48 

0,49 

0,50                ■ 

1          ^ 

0,52 

o,m 

0.64 

0.56 

0,57 

0,58 

0,59 

0,61 

0,62 

0,63                ■ 

■          fiO 

0,65 

OM 

0,67 

0,68 

0,70 

0,71 

0.72 

0,74 

0,75 

H 

^K  ^ 

0.77 

0,79 

0,80 

O.Bl 

0,83 

0,84 

0.85 

0,87 

0.88 

0,89                H 

^B  ^ 

0,90 

UM 

0,9J 

0,94 

0.96 

0,97 

0,98 

0.99 

l,Oi) 

1,02                ■ 

^m  m 

im 

1,05 

1,06 

1.07 

1,08 

1,10 

1,11 

1,12 

1,14 

H 

^*    «0 

1,16 

1,17 

1,19 

1.20 

1,21 

1,23 

1,24 

1,25 

1.27 

1,28                ■ 

j        100 

1.29 

^^B 

—  16®  (1,400  mm) 

^fl 

0 

3 

^ 

3 

4 

5 

6 

7 

fi 

^^H 

1 

0 

i}fil 

0.03 

UM 

0,06 

0,07 

0,08 

0,10 

0,11 

^^1 

1          10 

0,14 

0,15 

0,17 

0,18 

0,20 

0,21 

0,22 

0.24 

0.25 

^^1 

^K   20 

0;ä8 

0,29 

OM 

0,32 

0,34 

0,55 

0,B6 

0,38 

0,39 

^^H 

^P  ao 

0.42 

0,43 

0,4& 

0,4ti 

0,48 

0,49 

0,50 

0,52 

0,53 

^^H 

■^    40 

t^M 

0,57 

0,59 

0,6i) 

0,G2 

0,63 

0,64 

0,66 

0,67 

0,69        ^^B 

^^  so 

0,70 

Ct,7l 

0.75 

0,74 

0J6 

0,77 

0,78 

0,80 

0,81 

^^1 

^V  §0 

aei 

o,a6 

0,87 

0,88 

0,90 

0,91 

0,92 

0,94 

0,95 

^^M 

■          70 

n,96 

0,99 

1,01 

1,02 

1,04 

1.05 

1,06 

1,08 

1,09 

s 

^H    80 

]J2 

1,13 

l.lo 

1,16 

1,18 

1.19 

1,20 

1,22 

1,23 

1.25             ^1 

^P'tO 

1.36 

1,27 

1,20 

l,3ü 

1,82 

1,33 

1.34 

1,86 

1J7 

1^1 

^^100 

1,10 

j 

^ 

46  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  Tom  2.  März  1907. 

— 140  (1^518  mm) 


0 

/ 

2 

3 

4 

6 

6 

7 

8 

9 

0 

0 

0,02 

0,03 

0,05 

0,06 

0,08 

0,09 

OJl 

0,12 

0,14 

10 

0,15 

0,17 

0,18 

0,20 

0,21 

0,23 

0,24 

0,26 

0,27 

0,29 

20 

0,30 

0,32 

0,33 

0,35 

0,36 

0,38 

0,39 

0,41 

0,42 

0.44 

30 

0,46 

0,47 

0,49 

0,50 

0,52 

0,53 

0,55 

0,56 

0,58 

0,59 

40 

0,61 

0,62 

0,64 

0.65 

0,67 

0,68 

0,70 

0,71 

0,73 

0,74 

60 

0,76 

0,77 

0,79 

0,80 

0.82 

0,83 

0,84 

0,86 

0,87 

0,89 

60 

0,91 

0,93 

0,94 

0,96 

0.97 

0,99 

1,00 

1,02 

1,03 

1,05 

70 

1,06 

1,08 

1,09 

1,11 

1,12 

1,14 

1,15 

1.17 

1,18 

1.20 

80 

1,22 

1,23 

1,25 

1,26 

1,28 

1,29 

1,31 

1,32 

1,84 

1.35 

90 

1,37 

1,39 

1,40 

1,41 

1,43 

1,44 

1,46 

1.47 

1,49 

1.50 

100 

1,52 

— 130  (1,646  mm) 
0123456789 

0  0  0,02  0,03  0,05  0,07  0,08  0,10  0,12  0,13  0,15 

10  0,17  0,18  0,20  0,22  0,23  0,25  0,27  0,28  0,30  0,32 

20  0,33  0,35  0,36  0,38  0,40  0,41  0.43  0,45  0,47  0,48 

30  0,49  0,51  0,53  0,55  0,56  0,58  0,60  0,61  0.63  0,65 

40  0,66  0,68  0,69  0,71  0,73  0,74  0,76  0,78  0.79  0,81 

50  0,82  0,84  0,86  0,87  0,89  0,91  0,92  0,94  0,96  0,97 

60  0,99  1,01  1,02  1,04  1,05  1,07  1,09  1,10  1,12  1,14 

70  1,15  1,17  1,19  1.20  1,22  1,24  1,25  1,27  1,28  1,30 

80  1,32  1,33  1,35  1,37  1,88  1,40  1,42  1,43  1,45  1,47 

90  1.48  1,50  1,51  1,53  1,55  1,56  1,58  1,60  1,61  1,63 

100  1,65 

—  12»  (1,783  mm) 
0123456789 

0  0  0,02  0,04  0,05  0,07  0,09  0,11  0,13  0,14  0,16 

10  0,18  0,20  0,21  0,23  0,25  0,27  0,28  0,30  0,32  0,34 

20  0,36  0,37  0,39  0,41  0,43  0,45  0,46  0,48  0,50  0,52 

30  0,54  0,55  0,57  0,59  0.61  0,62  0,64  0,66  0,68  0,70 

40  0,71  0,73  0,75  0,77  0,78  0,80  0,82  0,84  0,86  0,87 

50  0,89  0,91  0,93  0,95  0,96  0,98  1,00  1,02  1,03  1,05 

60  1,07  1,09  1,10  1,12  1,14  1,16  1,17  1,19  1,21  1,28 

70  1,25  1,26  1,28  1,30  1,32  1,34  1,86  1,37  1,39  1,41 

80  1,43  1,44  1,46  1,48  1,50  1.52  1,53  1,55  1,57  1,59 

90  1,61  1,62  1,64  1,66  1,68  1.69  1.71  1.78  1,75  1,77 

100  1,78 


■ 

■ 

ßdelinatin:  Ni 

mm  AbsorptionB-Hygrometer. 

47     _^B 

^^v 

—  ll»  (1.933  mm) 

^H 

^v 

0 

l 

2 

B 

4 

5 

6' 

7 

8 

^^H 

■     ** 

0 

0,02 

0.04 

0,06 

0.08 

0,10 

0,12 

0,14 

0,16 

^^M 

■         10 

0J9 

0.21 

0,23 

0.25 

0,27 

0,29 

0.31 

0,33 

036 

^^H 

m       au 

039 

0.41 

0,43 

0.44 

0,4ti 

0.48 

0,50 

0,62 

0,64 

^^1 

^m  ao 

0,&B 

0,60 

0,62 

0,64 

0,66 

0,68 

OJü 

0J2 

0,73 

^^H 

^M  40 

0J7 

0,74) 

OJl 

0.83 

0,85 

0,87 

0,89 

0,91 

0.93 

^^H 

■         GO 

0,97 

0,^ 

1,01 

1.02 

1,04 

1,06 

1.08 

1,10 

1.12 

^H 

1      m 

IJÖ 

1,18 

1,20 

1,22 

1.24 

1.26 

1.28 

1,30 

1,31 

^^1 

^^     40 

i*35 

1,37 

1,39 

1.41 

1,43 

1,45 

1,47 

1,49 

1,51 

^^M 

^B  80 

1,65 

1,57 

IM 

1.60 

1,62 

1,64 

1.66 

1,68 

1,70 

^^M 

^■to 

I.T4 

1,7Ö 

1,78 

1,80 

1.82 

1,84 

1,8G 

1.88 

1.89 

^^M 

^^boo 

1.93 

^^H 

^H 

—  IQO  (2,093  mm] 

^H 

^p 

f> 

1 

2 

ä 

4 

5 

6 

7 

8 

^^H 

^n  0 

0 

0,02 

0,04 

0.06 

0,08 

0,11 

0,13 

0,15 

0,17 

^^1 

■         10 

0,21 

0.23 

ü,25 

0,27 

0,29 

0.31 

0.33 

0,36 

0.38 

0,40          ^^H 

I         20 

OM 

0.44 

0,46 

0,48 

0,50 

0,53 

0,55 

0,57 

0.59 

^^H 

1         30 

Up63 

0,65 

0.67 

0,69 

0.71 

0,73 

0,75 

0,78 

0,80 

^^H 

■         40 

0.84 

0,86 

0,88 

0,90 

0,92 

0,94 

0,96 

0,98 

1,01 

^^M 

^^  60 

1,0^ 

1.07 

1,09 

1.11 

1,13 

1,15 

1,17 

l,l^i 

1.21 

^^H 

^^  60 

1,21) 

1,2a 

1,30 

1,32 

1,31 

1,30 

1,38 

l,4Li 

1,42 

^^M 

t         70 

1,47 

1.4B 

1,51 

1,Ö3 

1,55 

1,57 

1,59 

1,61 

1,63 

^^H 

^Kao 

1.67 

1,70 

1,72 

1,74 

1.7G 

1,78 

1,80 

1.82 

1.84 

^^H 

^Km 

1,86 
3,0a 

1,91 

1,33 

1,95 

1.97 

1,99 

2,01 

2,03 

2.06 

^^1 

^B 

-  9*  (2,267 

mm) 

^^1 

^^ 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

e 

T 

8 

^^H 

I 

0 

0,02 

0,05 

0.07 

0.09 

0,11 

0,14 

0.16 

0,18 

^^H 

1          10 

0,23 

0,25 

0,27 

0,30 

0,82 

0.34 

0,36 

0,39 

0.41 

^^H 

^^do 

ü,4f 

0,48 

0,50 

0.52 

0,64 

0,57 

0.69 

0,61 

0,64 

^^H 

^■iO 

0.63 

0,70 

0,73 

0,76 

0,77 

0,79 

0.82 

0,84 

0,86 

^^H 

^■40 

OM 

0.93 

0,^5 

0.98 

1.00 

1,02 

1,04 

1.07 

1,09 

^^H 

^■iO 

1,13 

1,16 

1,18 

1.20 

1.22 

1.25 

1,27 

1,29 

1.32 

^^H 

^Heo 

1,36 

1,38 

1,41 

1,43 

1,45 

1.47 

1.50 

1.52 

1,54 

^^1 

^■to 

1,5» 

1.61 

1,63 

1,66 

1.68 

1.70 

1.72 

1J5 

1.77 

^^M 

^■eo 

1,81 

1,84 

1,86 

1,§8 

l,tl 

1.93 

1,96 

1.97 

2,00 

^H 

■         90 

2,04 

2,06 

2,09 

2,11 

2,13 

2.16 

3.18 

2.20 

2,22 

2,25^^^^M 

■       ItlO 

2;i7 

■ 

48  Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  2.  Mftrz  1907. 

—  8<>  (2,465  mm) 


0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

B 

.9 

0 

0 

0.03 

0,05 

0,07 

0,10 

0,12 

0.15 

0,17 

0,20 

0,22 

10 

0,25 

0,27 

0,30 

0,32 

0.34 

0,37 

0.39 

0,42 

0,44 

0,47 

20 

0.49 

0,52 

0,54 

0.57 

0.59 

0.61 

0.64 

0,66 

0,69 

0,71 

30 

0,74 

0,76 

0,79 

0.81 

0.84 

0.86 

0,88 

0,91 

0,93 

0,96 

40 

0,98 

1,01 

1,03 

1.06 

1,08 

1,11 

1.13 

1,15 

1,18 

1^ 

50 

1,23 

1,25 

1.28 

1,30 

1,33 

1,35 

1,88 

1,40 

1.42 

1,45 

60 

1,47 

1,50 

1.52 

1,55 

1,57 

1,60 

1,62 

1,65 

1,67 

1.69 

70 

1.72 

1,74 

1,77 

1,79 

1,82 

1.84 

1,87 

1,89 

1,92 

1,94 

80 

1,96 

1,99 

2.01 

2,04 

2,06 

2,09 

2,11 

2,14 

2,16 

2,19 

90 

2,21 

2,23 

2,26 

2,28 

2,31 

2,33 

2.36 

2,38 

2,41 

2,48 

100 

2,46 

—  70  (2,656 

1  mm) 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

0 

0 

0,03 

0.05 

0,08 

0.11 

0,13 

0,16 

0,19 

0,21 

0,24 

10 

0,27 

0,29 

0.32 

0,35 

0,37 

0,40 

0,43 

0,45 

0,48 

0,61 

20 

0,53 

0,56 

0,59 

0,61 

0,64 

0.67 

0,69 

0,72 

0,74 

0,77 

30 

0,80 

0,82 

0,85 

0.88 

0,90 

0,93 

0,96 

0,98 

1,01 

1,04 

40 

1,06 

1.09 

1,12 

1,14 

1,17 

1,20 

1,22 

1,25 

1,28 

1,80 

50 

1,33 

1,36 

1,38 

1,41 

1,44 

1,46 

1,49 

1,52 

1,54 

1,67 

60 

1.60 

1,62 

1,65 

1.68 

1,70 

1,73 

1,75 

1,78 

1,81 

1,83 

70 

1,86 

1.89 

1,91 

1.94 

1,97 

1,99 

2,02 

2,05 

2,07 

2,10 

80 

2.13 

2,15 

2.18 

2,21 

2,23 

2,26 

2,29 

2.31 

2,34 

2,87 

90 

2.39 

2,42 

2.45 

2.47 

2,50 

2.53 

2,55 

2,58 

2,61 

2,63 

—  6°  (2,876  mm) 

Ol  2  345  G  789 

O  0  O.OiJ  0,06  0.09  0,12  0,14  0.17  0.20  0,23  0,26 

10  0,29  0.32  0,35  0,87  0.40  0.43  0,46  0,49  0,62  0,66 

20  0.58  0.60  0.68  0,66  0,69  0,72  0.75  0,78  0,81  0,88 

30  0.86  0.S9  0,92  0,95  0.98  1,01  1.04  1.06  1,09  1,12 

40  1.15  1.18  1,21  1.24  1.27  1.29  1,32  1,85  1,88  1,41 

60  1,44  1,47  1,50  1.52  1,65  1,58  1.61  1.64  1,67  1,70 

60  1.73  1.75  1.7b  1,81  1.S4  1.87  1.90  1,93  1.96  1,98 

70  2.01  2,04  2.07  2.10  2.13  2.16  2.19  2.22  2.24  2,27 

30  2.30  2,33  2.36  2.39  2.42  2,45  2.47  2.54.)  2,63  2,66 

90  2.59  2.62  2.65  2.68  2.70  2,73  2.76  2,79  2,82  2,86 

100  2,8c> 


1 

1        M,  Tb.  EdelimitiD ;  Nüue«  Abjioi'ptioua-UygroiDoUii'* 

49          ^H 

p 

P 

—  öo  13,1  iä 

TIlUl) 

^1 

i 

ft 

r 

*J 

:i 

4 

B 

*J 

7 

8 

^H 

a 

V 

nm 

ü,m 

Q,m 

0J3 

0,IU 

o,iy 

0,22 

0.25 

^H 

19 

tt.3I 

1X34 

o,a7 

nM 

0,44 

0,47 

t),&0 

0,63 

0,5t> 

^^M 

äi 

0.li;t 

0,ß5 

o,öy 

UJ2 

0,7Ö 

0,78 

0,81 

0,84 

037 

^^B 

Ja 

o,iti 

il,U7 

im 

i,t>ä 

1,06 

l,u9 

1.12 

1,15 

I.IH 

^H 

10 

l.Jü 

i;id 

131 

1.^4 

1.37 

1,4U 

1,43 

l,4li 

1,49 

^H 

50 

1.6« 

l,ÖÖ 

IM 

1.65 

hm 

1.71 

1,74 

1J7 

1,81 

^H 

^m 

1^7 

hm 

1.H3 

1,^6 

1,^9 

2,02 

2,03 

3,08 

2,12 

^H 

^H 

S.I8 

2M 

2M 

3,37 

2,30 

2,33 

2,37 

2,40 

2,43 

^^1 

^^ft 

1.4» 

2,53 

2,m 

2,53 

2,fil 

IM 

2,68 

2.71 

2.74 

^^M 

^K 

ijM 

2^ 

2,m 

3,90 

2,m 

2,9*1 

2,99 

3,02 

3,05 

^^M 

^B 

«.n 

^H 

H 

-  4«  13,368 

mm) 

^H 

^M 

0 

/ 

2 

^ 

4 

Ö 

e 

7 

H 

^^1 

^K 

0 

um 

Ü,ü7 

0,10 

0.14 

0,17 

o;2y 

0,23 

0,27 

^H 

^H 

o^s 

0.S7 

0.4i) 

t>,4l 

U,47 

0,51 

0,54 

0.57 

o,tn 

^H 

^H 

ttAI 

OJI 

0J4 

i},17 

0,81 

o,e4 

0,86 

0,91 

0,94 

0,96         ^^1 

^H 

Uli 

1,04 

1,08 

1,11 

1J& 

1,1« 

121 

1,25 

1,28 

^H 

^^K 

t^ 

IM 

1,43 

1,45 

1.4Ö 

l,5i 

\M 

1,5a 

V.62 

^H 

^B 

IM 

1.7  i 

1,75 

l,7i 

l.^i 

1*65 

139 

1,92 

1,95 

^H 

^B 

a^t-i 

2,i»ij 

zm 

2,U 

2,  IC» 

2J1* 

2,22 

2,20 

2,29 

^H 

^^K 

«,»6 

*i,H!J 

2,*3 

2,40 

a,4<) 

2,r»3 

2,515 

3,59 

3.63 

^H 

PB 

«^ 

:t.7S 

*i,7rt 

2,H^ 

333 

2,ö6 

2,9U 

2,93 

2,90 

3,00             ^^M 

1  ^ 

ww 

»,Ü7 

3J4I 

»,13 

3,17 

3,20 

3,23 

3,27 

3,30 

^H 

1  iw 

S.S7 

^^1 

k 

-  a<^  (3.644  mm) 

^H 

^B 

tf 

1 

S 

a 

4 

d 

6 

7 

ß 

^^1 

^B 

0 

<l,Oi 

0^7 

o,u 

0,1  & 

t>;lö 

0,22 

0,26 

0.20 

^H 

^^v 

tM 

Uw40 

11*44 

0.47 

0,61 

O.Ö^ 

0^50 

0,62 

üxm 

^H 

^H 

vn 

W7 

0«^ 

t>i*4 

0.1*7 

i>M 

0,95 

0,93 

1,02 

^B 

^^B 

u» 

1,15 

1,17 

l/iü 

1,34 

i,2a 

1.31 

1,35 

1,38 

^H 

Hl 

XM 

1.0» 

IM 

1.57 

],G0 

l,ft4 

hm 

1,7) 

1J5 

^H 

m 

IM 

%M 

l.m 

1,93 

1,Ü7 

2.iR> 

3,04 

2,08 

3,11 

^H 

m 

«.I« 

UM 

%U 

im 

a,33 

2.37 

2.4U 

2,44 

2.43 

^H 

10 

«M 

%m 

%m 

2x^ 

2,70 

2J3 

2J7 

231 

234 

3^          ^H 

^p 

S.«l 

3.!>& 

%n 

dM 

3,06 

3,10 

3.13 

3,li 

3,31 

334          ^H 

^^K 

MI 

jm 

ft^ 

3,3i* 

3,42 

3,46 

3.50 

3,53 

8,57 

^H 

^B 

M« 

^^H 

t 

r.  Mtaa 

m^4.M 

»th  -i^iirm  Kl 

4 

■ 

50  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  M&re  1907. 


-  20  (3,941 

mm) 

ü 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

l) 

0 

0 

0,04 

0,08 

0,12 

0,16 

0,20 

0,24 

0,28 

0.82 

0,86 

10 

0,39 

0,43 

0,47 

0,51 

0,55 

0,59 

0,63 

0,67 

0,71 

0,76 

20 

0,79 

0,83 

0,87 

0,91 

0,95 

0,99 

1,03 

1,06 

1,10 

1.14 

30 

1,18 

1,22 

1,26 

1,30 

1.84 

1,38 

1,42 

1,46 

1.50 

1.54 

40 

1,58 

1,62 

1.66 

1,70 

1,73 

1,77 

1,81 

1,85 

1.69 

1,93 

50 

1,97 

2,01 

2,05 

2,09 

2,13 

2,17 

2,21 

2,25 

2.29 

2,88 

60 

2,36 

2,40 

2.44 

2,43 

2,52 

2,56 

2,60 

2,64 

2.68 

2,72 

70 

2,76 

2,80 

2,84 

2,88 

2,92 

2,9(i 

3,00 

3,03 

8.07 

8,11 

80 

3,15 

3,19 

3,23 

3,27 

3,31 

3,35 

3,39 

3,48 

3.47 

8,51 

90 

3,55 

3,59 

3,63 

3,67 

3,70 

3,74 

3,78 

3,82 

8,86 

3,90 

100 

3,94 

—  1»  (4,263 

;  mm) 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

0 

0 

0,04 

0.09 

0,13 

0,17 

0,21 

0,26 

0,30 

0.84 

0,88 

10 

0,43 

0,47 

0,51 

0,55 

0,60 

0,64 

0,68 

0,73 

0,77 

0,81 

20 

0,85 

0,90 

0,94 

0,98 

1,02 

1,07 

1,11 

1,15 

1,19 

1,24 

30 

1,28 

1,32 

1,36 

1,41 

1,45 

1,49 

1,53 

1,58 

1,62 

1,66 

40 

1.71 

1,75 

1,79 

1,83 

1,88 

1,92 

1,96 

2,00 

2.05 

2,09 

50 

2,13 

2,17 

2,22 

2,26 

2,30 

2,34 

2,89 

2,43 

2,47 

2,62 

60 

2,56 

2,60 

2,64 

2,69 

2,73 

2,77 

2,81 

2,86 

2,90 

2,94 

70 

2.98 

3,03 

3,07 

3,11 

3,15 

3,20 

3,24 

3,28 

8,88 

3,37 

80 

3,41 

3,45 

3,50 

3,54 

3,58 

3,62 

3,67 

3,71 

8,76 

3,79 

90 

3,84 

3,88 

3,92 

3,96 

4,00 

4,05 

4,09 

4,14 

4,18 

4,22 

100 

4,26 

O'»  (4,600  1 

Bim) 

0 

1 

0 

S 

4 

5 

6* 

7 

8 

9 

0 

0 

0.05 

0,09 

0,14 

0,18 

0,23 

0.28 

0,82 

0,87 

0,41 

10 

0,46 

0,51 

0,55 

0.60 

0,64 

0.69 

0,74 

0,78 

0,83 

0,87 

20 

0,92 

0.97 

1,01 

1,06 

1,10 

1,15 

1,20 

1.24 

1,29 

1,83 

30 

1,38 

1,43 

1,47 

1,52 

1,56 

1,61 

1,66 

1.70 

1.75 

1.79 

40 

1,84 

1,89 

1,93 

1,98 

2,02 

2,07 

2,12 

2,16 

2,21 

2,25 

50 

2,30 

2,35 

2,39 

2,44 

2,48 

2,53 

2,58 

2,62 

2,67 

2,71 

00 

2,76 

2,81 

2.85 

2,90 

2,94 

2,99 

3,04 

3,08 

3,18 

8,17 

70 

3,22 

3,27 

3.31 

3,36 

3,40 

3,45 

3,50 

8,54 

3,59 

3,63 

80 

3.68 

3,73 

3,77 

3,82 

3,86 

8,91 

8,96 

4,00 

4.05 

4,09 

90 

4,14 

4,19 

4,23 

4,28 

4,32 

4,87 

4.42 

4,46 

4.51 

4,55 

100 

4,60 

p 

■ 

1    " 

Tb.  Kilfflnmwnt  Neue«  Atn 

1 

BSjgroinete 

51       ^H 

^p 

1 

+  l»  t4/J40 

eim) 

^H 

V 

(> 

1 

5 

JT 

4 

5 

ß 

7 

M 

^^^1 

n 

» 

0,05 

0,10 

0,15 

0,20 

ü;iö 

0,30 

OM 

0,40 

^^H 

in 

0.4» 

0,51 

0,5S* 

0,Ö1 

O.ÖO 

0.74 

0,79 

0,84 

0.89 

^^H 

m 

0l.tt9 

1,01 

\m 

nu 

1.19 

1,24 

1,28 

1,33 

1,38 

^^M 

30 

1,48 

1.53 

l,5ö 

L63 

im 

1.73 

1,71* 

1,83 

1,88 

^^H 

m 

um 

2^3 

2,08 

2.13 

2,17 

2,22 

2,27 

2,32 

2,37 

^^M 

DO 

3.47 

%m 

3,0? 

2,62 

2,07 

2,72 

2,77 

2,82 

2.87 

^^M 

«0 

i.96 

3.01 

3,06 

3.11 

3Jß 

3,21 

3,26 

3,31 

3,36 

^^M 

;o 

1.40 

a.5i 

xm 

Mi 

3,66 

3,71 

3,76 

3,80 

3,85 

^^H 

au 

8,«» 

im 

AM 

440 

4,15 

4,20 

4,25 

4,30 

4,36 

^^H 

iu 

4.45 

4.50 

iM 

4/>Ö 

AM 

4,Ü9 

1,74 

4,79 

4,84 

^^H 

im 

«.y4 

^^H 

+  3«  (6,302 

mm) 

^H 

M 

i 

z 

B 

4 

5 

0 

T 

8 

^^H 

0 

Q 

ai>& 

0,11 

0.16 

Q,n 

0.27 

0,32 

0.37 

0,42 

^^H 

10 

U.63 

0,&8 

0,64 

0.6£t 

0.74 

0,80 

Ü.85 

o.m» 

0,95 

^^H 

» 

1,0« 

nn 

lj7 

1,22 

1,27 

1,33 

1,38 

1,43 

L48 

^^M 

m 

l,fi» 

144 

IJO 

ija 

1,80 

1,B6 

1,91 

1,96 

2,02 

^^M 

40 

a.ia 

%M 

a,2$ 

2,29 

2,33 

2,39 

2,44 

2,4d 

2,56 

^^H 

50 

aju 

2,70 

2,76 

2Jl 

2^6 

2,92 

2.97 

3,02 

3,09 

^^H 

»» 

8,18 

a»2S 

a,2*J 

3.34 

3.30 

a,45 

3,50 

3,55 

SJl 

^^1 

lO 

MI 

»JÖ 

Wi 

a.ö7 

3.92 

3,98 

4,03 

4,08 

4,14 

^^H 

ati 

4J(4 

4.S0 

4,3& 

4,40 

4,45 

4,61 

4,36 

4,01 

4,07 

^^M 

M 

i,n 

ißs 

4,88 

4.Ö3 

4,98 

6,04 

5.09 

5,14 

6,20 

^H 

IMI 

MO 

^^H 

■ 

H-  8*  15,681 

mio) 

^H 

■ 

0 

i 

-? 

S 

4 

Ä 

r* 

7 

8 

^^H 

r'' 

0 

0,1)6 

0.12 

0,17 

0,23 

0,28 

0,84 

0,40 

0.46 

^^1 

■  " 

U^7 

0.^ 

0^*6 

0J4 

0,^ 

0.85 

u.iu 

0,97 

1.02 

^^H 

■  » 

1.14 

I.iii 

U5 

1.31 

1.87 

1.4U 

1,48 

1,54 

1.59 

^H 

!_*• 

1.71 

ijü 

1,62 

1.ÖÖ 

l.i»3 

l.ÜU 

2,05 

2,10 

2,16 

^^H 

km 

3,28 

2,3« 

2J1I 

2,46 

2,50 

2,56 

2.62 

2,67 

2,73 

^^H 

■lu 

3,tM 

2,Ht> 

i,m 

3.Ü0 

3.06 

3,12 

3.17 

3.23 

3,29 

^^H 

«u 

a.41 

8,47 

%M 

a,5a 

3,64 

3,7ü 

3,75 

3,81 

3,87 

^^1 

70 

aje 

4,04 

im 

4,lö 

4,21 

4,27 

4,32 

4,38 

4.44 

^H 

190 

4^ 

4,ÖX 

AM 

4.72 

4M 

4,S3 

4,8^ 

4.115 

6,G0 

54)6           ^^M 

« 

W» 

A4ä 

b^ 

ß.29 

5^ 

5,40 

6.46 

6,62 

5,57 

^^M 

MD 

ft.M 

4» 

■ 

52  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  Mftrz  1907. 


+  40  (6,097  mm) 
123456789 


0 

0 

0,06 

0,12 

0,18 

0,24 

0,31 

0,37 

0,43 

0,49 

0.66 

10 

0,61 

0,67 

0,73 

0,79 

0,86 

0.92 

0,98 

1,04 

1,10 

1,16 

20 

1,22 

1,28 

1,34 

140 

1,46 

1,62 

1,59 

1,66 

1,71 

1,77 

30 

1,83 

1,89 

1,95 

2,01 

2,07 

2,18 

2,20 

2,26 

2,82 

2,38 

40 

2,44 

2,50 

2,56 

2,62 

2,68 

2,74 

2.81 

2,87 

2,98 

2,99 

50 

3,05 

3,11 

3.17 

3,23 

3,29 

3,35 

3,41 

3,48 

3,54 

3,69 

GO 

3.66 

3,72 

3,78 

3,84 

3,90 

3,96 

4,02 

4,09 

4,15 

4,21 

70 

4,27 

4,33 

4,39 

4,45 

4,51 

4,57 

4,63 

4,69 

4,76 

4,82 

80 

4,88 

4,94 

5,00 

5,06 

5,12 

5,18 

5.24 

6,30 

5,87 

6,48 

90 

5,49 

5,55 

5,61 

5,67 

5,73 

5,79 

5,85 

5,91 

6,98 

6,04 

1(K) 

6,10 

+  60  (6,634 

mm) 

0 

1 

2 

H 

4 

0 

(> 

7 

8 

9 

0 

0 

0,07 

0,13 

0,20 

0,26 

0,33 

0,39 

0,46 

0,62 

0,69 

10 

0.65 

0,72 

0,78 

0,85 

0.92 

0,98 

1,05 

1,11 

1,18 

1,24 

20 

1,31 

1,37 

1,44 

1,50 

1.57 

1,63 

1,70 

1,76 

1,83 

1,89 

30 

1,96 

2,03 

2.09 

2,16 

2.22 

2,29 

2,35 

2,41 

2,48 

2,54 

40 

2,61 

2,67 

2,74 

2,81 

2,88 

2,94 

3,01 

3,07 

8,14 

3,20 

50 

3,27 

3.33 

3,40 

3,46 

3,53 

3,59 

3,66 

3,72 

8,79 

3,86 

ÜO 

3,92 

3,99 

4,05 

4,12 

4,18 

4,25 

4,31 

4,38 

4,44 

4,51 

70 

4,57 

4,64 

4,70 

4,77 

4,84 

4,90 

4,97 

6,08 

5,10 

6,16 

60 

5,23 

5,29 

5.36 

5,42 

5,49 

5,55 

5,62 

5,68 

6,76 

6,81 

90 

5.88 

5,95 

6,01 

6,08 

6,14 

6,21 

6,27 

6,84 

6,40 

6,47 

KM) 

0,53 

+  6«  (6.998 

l  mm) 

ü 

l 

0 

3 

4 

r^ 

r> 

7 

8 

9 

0 

0 

0,07 

0.14 

0.21 

0,2s 

0,85 

0,42 

0,49 

0,66 

0,63 

10 

0,70 

0,77 

0,84 

0,91 

0,98 

1,05 

1,12 

1,19 

1,26 

1,83 

20 

1,40 

1,47 

1.54 

1,01 

1,68 

1,75 

1,82 

1,89 

1,96 

2,08 

30 

2,10 

2,17 

2,24 

2,31 

2,88 

2,45 

2,52 

2,59 

2,66 

2,78 

40 

2,80 

2,S7 

2.94 

3,01 

3,08 

8.15 

3,22 

3,29 

8,36 

8,43 

50 

3.50 

3,57 

3,64 

3,71 

3,78 

8,85 

8,92 

3,99 

4,06 

4,18 

GO 

4,20 

4.27 

4.81 

4,41 

4.48 

4,55 

4,62 

4,69 

4,76 

4.83 

70 

4,00 

4,97 

5,01 

5.11 

5,18 

5.25 

5,32 

5,89 

6,46 

6,53 

80 

5,60 

5,67 

5,74 

5,81 

5,S8 

5,95 

6,02 

6,09 

6,16 

6,28 

90 

6,30 

6.87 

6.44 

6.51 

0,58 

6,65 

6,72 

6,79 

6,8C 

6,93 

100 

7,00 

M*  Th.  Kd«)jttit»iir  Neues  Absorptions-Hyifrmttete»*. 

53      ^^H 

+  7«  (7,49S 

l  tnm) 

^1 

iß 

/ 

:2 

3 

4 

5 

6" 

7 

& 

^^H 

Cl 

0 

C»,08 

0,15 

0,23 

0,30 

0.3S 

0,45 

0,52 

0,60 

^^1 

lu 

MJ& 

U,82 

0,90 

0,97 

1,05 

1.12 

1,20 

1.27 

1,35 

^^H 

2(> 

IM 

1,57 

IM 

1,72 

1,80 

1.87 

1.95 

2,02 

2,10 

^H 

30 

2,2fi 

232 

2.40 

2,47 

2,55 

2.62 

2,70 

2,77 

2,85 

^^B 

«0 

;*X>U 

3,07 

3,16 

3,22 

3,30 

3,37 

3,45 

3,52 

3,60 

^^H 

60 

S.t6 

332 

3,IK» 

3.97 

4,05 

442 

4,20 

4,27 

4,35 

^H 

60 

4,5Ü 

4,57 

4,05 

4J2 

4,80 

4,87 

4,94 

5,03 

5,09 

^^M 

TO 

W4 

5,32 

5,39 

5,47 

5.54 

5,62 

5,69 

5,77 

5,84 

^^H 

eo 

^»0 

Ö,ü7 

6,14 

6,22 

6,29 

6.37 

6,44 

6,52 

6,59 

^^H 

■p 

6J4 
7,60 

$ß2 

e^s* 

6,97 

7,04 

7,12 

7.19 

7,27 

7,34 

^^M 

^B 

+  8»  (8.017  mm) 

^H 

^p 

o 

I 

2 

5 

4 

5 

6 

7 

8 

^^1 

^^     0 

0 

0,08 

ÜM 

0,24 

0,32 

0,40 

0,48 

0,56 

0,64 

^^M 

1         10 

0»Ö0 

0,b8 

i>M 

1,04 

1,12 

1,20 

1,28 

1,36 

1,44 

^^M 

^K^> 

1,€0 

l.tiÖ 

1,7G 

1,84 

1,92 

2,00 

2,08 

2,16 

2,24 

^^M 

^■»0 

%A<^ 

AAB 

2,56 

2M 

2,72 

2,80 

2,89 

2,97 

3,05 

^^M 

[        40 

BM 

3;i9 

8iH7 

3.45 

3.53 

3,61 

3,69 

3,77 

3,85 

^H 

1        50 

4,01 

4.09 

4,17 

4,25 

4,33 

4,41 

4,49 

4,57 

4,65 

^^H 

1        ^ 

4J9I 

4,89 

4/17 

5,05 

5,13 

5,21 

5,2Ö 

5,37 

5,45 

^^M 

1         70 

5.ei 

&,ÜS> 

5,77 

5,85 

5,93 

6,01 

6,09 

6.17 

6,25 

^^H 

^Kül 

GM 

*>.40 

6,57 

6,65 

6,73 

6,81 

6,89 

6,97 

7.05 

^^H 

^Bia 

7M 

7J0 

7.38 

7,46 

7,54 

7,62 

7.70 

7,78 

7.86 

^^H 

KW 

B,m 

^H 

+  9"  (8,574  mm) 

^H 

0 

1 

o 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

^^1 

0 

0 

0,00 

0J7 

0.26 

0,34 

0,43 

0,51 

0,60 

0,69 

^^M 

10 

n;86 

0.^4 

1.03 

1,12 

1,20 

1,29 

1,37 

1,46 

1,54 

^^H 

311 

1,72 

1.80 

1,89 

1,97 

2,06 

2,14 

2,2» 

2,82 

2,40 

^^1 

30 

2,67 

2,60 

2J4 

3,83 

2.92 

3.00 

8,09 

3,17 

3,25 

^^1 

40 

M3 

3,51 

n.m 

3.69 

3J7 

3,86 

3,94 

4,03 

4,12 

^^M 

M 

4,29 

437 

4.46 

4,&4 

4,63 

4,72 

4,80 

4,89 

4,97 

^^M 

m 

W4 

6.23 

5,32 

5,40 

5,49 

5,57 

5,66 

5,74 

5,83 

^^M 

70 

r^oo 

6,09 

fi.17 

6,26 

6,36 

6,43 

6,51 

6.60 

6,69 

6,77           ^M 

d(» 

ÖJBS 

$,95 

7.m 

7,12 

7,20 

7,29 

7.37 

7,46 

7,55 

^M 

so 

7,72 

7,e<j 

7jm 

7,97 

6,06 

6,15 

8,23 

8,32 

d,40 

■ 

a<» 

0,67 

* 

m^ 

54  Sitzang  der  math.-phjs.  Klasse  vom  2.  M&rz  1907. 

+ 10«  (9,165  mm) 


0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

0 

0 

0,09 

0,18 

0.28 

0,37 

0,46 

0,66 

0,64 

0.73 

0.82 

10 

0,92 

1,01 

1,10 

1,19 

1,28 

1,88 

1.47 

1,66 

1.65 

1,74 

•iO 

1,83 

1,92 

2.02 

2,11 

2,20 

2.29 

2,88 

2,47 

2.66 

2,65 

80 

2,75 

2,84 

2,93 

3,02 

8,12 

8,21 

3,80 

8.89 

8,48 

3,67 

40 

3,67 

3,76 

3,85 

3,94 

4,03 

4,12 

4,22 

4,81 

4,40 

4,49 

50 

4,53 

4,67 

4,76 

4,86 

4,96 

5,04 

6.18 

6.22 

5,8i 

5,41 

60 

6.50 

5.59 

5,68 

6.77 

5,87 

6,96 

6,06 

6,14 

6.28 

6,82 

70 

6,42 

6,51 

6,60 

6,69 

6,78 

6.87 

6,97 

7,06 

7,16 

7414 

6i) 

7,33 

7,42 

7,52 

7,61 

7,70 

7,79 

7,88 

7,97 

8,07 

8.16 

90 
100 

8,25 
9,17 

8,34 

8,43 

8,52 

8,62 

8,71 

8,8Q 

8,89 

8,98 

9.07 

+  11«  (9,792  mm) 

0 

1 

0 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

0 

0 

0,10 

0,20 

0.29 

0,39 

0,49 

0,59 

0,69 

0,78 

0,88 

U) 

0,98 

1,08 

1,18 

1.27 

1,87 

1.47 

1.57 

1,66 

1.76 

1,86 

20 

1.96 

2.06 

2,15 

2,25 

2,35 

2,45 

2,55 

2,64 

2,74 

2,84 

30 

2,94 

3.0  i 

3,13 

8,23 

3,33 

3.48 

8,58 

8,62 

8,72 

8,82 

40 

3.92 

4,02 

4.11 

4,21 

4,31 

4,41 

4,50 

4,60 

4.70 

4.80 

50 

4,90 

4,99 

5.09 

5.19 

5,29 

5,89 

5,48 

6,58 

6,68 

5,78 

60 

5.S8 

5.97 

6.07 

6.17 

6.27 

6.37 

6,46 

6,66 

6,66 

6,76 

70 

6,85 

6,95 

7,05 

7,15 

7.25 

7.34 

7,44 

7,54 

7,64 

7.74 

80 

7.83 

7,93 

8.03 

8,13 

8,23 

8.32 

8,42 

8,52 

8,62 

8,72 

\H) 

8,81 

8,91 

9.01 

9,11 

9.20 

9.30 

9.40 

9,60 

9,60 

9.69 

+  12«  (10,457  mm) 


0 

1 

o 

3 

4 

.5 

6 

7 

8 

9 

0 

0 

0,11 

0.21 

0.31 

0.42 

0.52 

0,68 

0.73 

0.84 

0,94 

10 

1,05 

1,15 

1,26 

1.36 

1.46 

1.57 

1.67 

1.78 

1.88 

1.99 

20 

2.0«> 

2.20 

2.30 

2,41 

2.51 

2.61 

2.72 

2.82 

2.93 

8,08 

8<» 

8.14 

3.24 

3.S5 

3.45 

8.55 

3.1W 

3.76 

3.87 

8.97 

4,08 

40 

4.18 

4.-n> 

4.39 

4.50 

4.i;o 

4.71 

4.81 

4.92 

5.02 

5,12 

50 

5.23 

5.33 

5.44 

5.54 

5.65 

5.75 

5.86 

5.% 

6.07 

6,17 

60 

i;.2T 

6.:w 

ii.48 

6.r>9 

6.69 

6.80 

6.W 

7,01 

7.11 

7,22 

70 

7.S2 

7.42 

7.ri3 

7.63 

7.74 

7.84 

7.95 

8.«V5 

8.16 

8,26 

SO 

8.:w 

8.47 

8.rK»^ 

8.68 

8.78 

8.89 

8.W 

9.10 

9,20 

9,81 

•»«1 

9.41 

9.52 

9.62 

9.73 

9.88 

9.9:» 

10.0 

10.  l 

10.3 

10,4 

UK» 

lO.ö 

■ 

m 

Tb,  Edelmann:  Neuea  Äbsorpiioii8-Hygromet«r. 

55     ^H 

^^v 

+  13«  (11,162  iDiii) 

^H 

^v 

(7 

1 

5 

3 

4 

5 

6 

7 

S 

^^H 

n 

U 

a.u 

0,22 

0.84 

0,45 

0,56 

0,67 

0,78 

0,89 

^1 

to 

1J2 

1,23 

1.34 

K45 

1,56 

1,67 

1,78 

1.1^9 

2,00 

■ 

2«l 

2.23 

2,31 

2.45 

2,57 

2.68 

2,79 

2.90 

3,01 

3,13 

3,24                 ■ 

SD 

S.3S 

S,4S 

3,57 

3.e8 

3.79 

3,90 

4,02 

4.13 

4.24 

4.35                 ■ 

4a 

i.4ö 

4.68 

4,69 

4.80 

4,91 

5,02 

5,13 

5,25 

5.36 

H 

aa 

fi.$8 

0,09 

5,80 

5,92 

6,03 

6,14 

6.25 

6.36 

6.47 

6,58                ■ 

^^flO 

ejo 

6.81 

6.92 

7,03 

7,14 

7/26 

7.37 

7,48 

7.59 

H 

^»TU 

131 

7.113 

8,01 

8.16 

6.26 

8,37 

8,43 

8,69 

8,71 

8,62               ■ 

1      m 

8,9S 

9,0  i 

9,15 

U.-26 

9,38 

9.49 

9.60 

9,71 

9,82 

9.83                ■ 

1      tia 

10,1 

10.2 

10,S 

10.4 

10,5 

10.6 

10.7 

10.8 

lü,9 

^^M 

^^liÄ> 

U,2 

^^H 

^fe 

-hl4**  (11.908  mm) 

^H 

^V 

0 

1 

2 

S 

4 

J 

6 

7 

8 

^H 

^i        ^ 

0 

aja 

0.24 

0.86 

0.18 

0,60 

0,72 

0.83 

0,95 

H 

1          10 

lAB 

iji 

1,43 

1.55 

1.67 

1,79 

1.91 

2,02 

2,14 

2.26                 H 

1       -ia 

%m 

2,bU 

2M 

2J4 

2.86 

2,9B 

3,10 

3,32 

3.33 

■ 

1         HO 

3.57 

ZM 

3,81 

3,93 

4,06 

4,17 

4,29 

4,41 

4.52 

H 

1         40 

4JG 

4,8S 

6,00 

5.12 

5,24 

5.36 

5,48 

5,60 

5.72 

5,83                ■ 

^»M 

6.1*5 

0,07 

6,19 

6.31 

6.43 

6.55 

6.67 

6.79 

6.91 

H 

^^-m 

T.I5 

7,26 

i,m 

7.50 

7,62 

7J4 

7,86 

7,98 

8.10 

^^1 

■        7n 

8,34 

ti.16 

8,57 

8,e*j 

8,^1 

8,93 

9,06 

9,17 

9,29 

^^1 

^^m 

f^ 

U,Ü5 

9.77 

9,88 

10,0 

10,1 

10,2 

10,4 

10,5 

^^M 

^mm 

lOJ 

lü,S 

11.0 

11.1 

11,2 

11.3 

11,4 

11.6 

lU 

^H 

W^nio 

U,9 

^^H 

^K 

+  16*  (12.699  mm  ^ 

^H 

^^ 

d 

J 

*> 

3 

4 

5 

G 

7 

8 

^^H 

■ 

U 

0,1$ 

0.25 

o,sa 

0,51 

0.64 

0,76 

0,69 

1.02 

^H 

I      '^ 

Ui 

1.40 

1.52 

1.65 

1,78 

1.91 

2,03 

2.10 

2.29 

^^M 

1      ^ 

X54 

2,67 

2J9 

2,92 

3.05 

3.18 

3,30 

3,43 

3,56 

3.68         ^^1 

■        90 

Ml 

8,iH 

4,06 

4.19 

4.32 

4,45 

4.57 

4J0 

4,83 

4.95               V 

1        ^ 

5.U8 

5,21 

5.3S 

5,46 

5,59 

5,72 

5,84 

5,97 

6,10 

■ 

^B  ^ 

6.95 

6.48 

6.60 

6.73 

6.86 

6.99 

7,11 

7,24 

7,37 

H 

^PiO 

7.62 

7,75 

7,07 

8,00 

8,13 

8,26 

8.38 

8.51 

8.64 

H 

^^  TO 

e.8ii 

üxn 

IM  4 

9.27 

9.40 

9,63 

9.65 

9.78 

9,91 

^1 

I         «Ml 

10,2 

1*1.3 

10,4 

10,5 

10,7 

10,8 

10,9 

IIJ 

11.2 

^ 

■         »0 

na 

12J 

n.ij 

11.7 

11,8 

U.9 

12,1 

12,2 

12,8 

12.6 

12^                ^M 

56  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  M&rz  1907. 

+ 160  (13,636  mm) 

0123456789 

0  0        0,14     0.27      0,41      0,54     0,08     0,81      0,95      1,08  1,22 

10         1,35      1,49      1,62      1,7G      1,90     2,03      2,17      2,30     2,44  2,57 

20        2,71      2,84      2,98      3,11      3,25      3,38      3,52      3,66     3,79  3,93 

30        4,06     4,20      4,33      4.46     4,G0     4,74      4,87      6,01      6,14  5,28 

40         5.41      5,55      5,69      5,82      5,96     6,09      6,23      6.36      6,50  6,63 

50        6.77      6,90      7,04      7.17      7,31      7,46      7,58      7,71      7,86  7,99 

60        8,12      8,26      8,39     8,53      8,66      8,80     8,93      8,07     8,21  8,34 


70 

9.48 

9,61 

9,75 

9.88  10,0   10,2 

10,3 

10,4 

10,6 

10,7 

80 

10.8 

11,0 

11,1 

11,2   11,4   11.5 

11,6 

11,8 

11,9 

12,1 

90 

12.2 

12,3 

12,5 

12,6   12,7   12,9 

13,0 

13,1 

13,3 

13,4 

100 

13,5 

-h  17»  (14,421  mm) 

0 

1 

2 

3          4          5 

6* 

7 

8 

9 

0 

0 

0,14 

0.29 

0,43  0,58   0,72 

0,87 

1,01 

1,16 

1,30 

10 

1.44 

1,59 

1,73 

1,87   2,02   2,16 

2,31 

2,45 

2,59 

2,74 

20 

2,88 

3,03 

3,17 

3,32   3,46   3,60 

3,75 

3,89 

4,04 

4,18 

30 

4,33 

4,47 

4,61 

4,76   4,90   5,05 

6,19 

6,84 

5,48 

5,62 

40        6,77      5,91      6,06     6,20      6,34      6,49      6,63      6,78      6,92      7,00 
60         7,21      7.36     *7,.50      7,64      7.79      7,93     8,08     8,22      8,86      8,51 

60        8,65      8,80     8.94      9.09      9,23      9,37      9,52      9,66     9,81      9,95 


70 

10,1 

10,2 

10,4 

10,5 

10,7 

10,8 

11,0 

11,1 

11,3 

11,4 

80 

11,5 

11,7 

11,8 

12,0 

12,1 

12,3 

12.4 

12,6 

12.7 

12,8 

90 

13,0 

13,1 

13,3 

13,4 

13,6 

13,7 

13,8 

14,0 

14,1 

14,3 

100 

14,4 

+ 18  (15,357  mm) 

0 

/ 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

0 

0 

0,15 

0,31 

0.4G 

0,G1 

0,77 

0,92 

1,07 

1,23 

1,88 

10 

1,5  i 

1,09 

1,84 

2,00 

2,15 

2,30 

2,4G 

2,01 

2,76 

2,92 

20 

3,07 

3,23 

3,88 

3,53 

3,69 

3,84 

3,99 

4,15 

4,30 

4,46 

30 

4,G1 

4,70 

4.91 

5,07 

5,22 

5,38 

5,53 

5,G8 

5,84 

5,99 

40 

(>,14 

G,30 

G,45 

G.60 

6,76 

6,91 

7.0G 

7,22 

7,37 

7,58 

50 

7,08 

7,83 

7,99 

8,14 

8,29 

8,45 

8,60 

8,75 

8,91 

9,06 

60 

9,21 

9,37 

9,52 

9,G8 

9,83 

9,98 

10,1 

10,3 

10,4 

10,6 

70 

10,7 

10,9 

11.1 

11,2 

11,4 

11,5 

11.7 

11.8 

12,0 

12,1 

80 

12,3 

12,4 

12,6 

12,7 

12,9 

13,1 

13,2 

13,4 

13,5 

13,7 

90 

13,8 

14,0 

14.1 

14,3 

14,4 

14,6 

14,7 

14,9 

15,1 

16,2 

100 

15,4 

M 

,  Tlv,  EiiGloiauii :  Neueü  Ab8oq>fcionB-H7groiüotec. 

57      ^H 

-fU*^ 

(16,346  mm) 

^H 

0 

1 

-> 

3 

4 

ö 

ß 

7 

ö 

^^1 

II 

ü 

QM 

0,33 

0.49 

0.65 

0.82 

0.98 

1.14 

1.31 

^^B 

ia 

1«64 

um 

1.96 

2.13 

2,29 

2.16 

2.62 

2,78 

2.94 

H 

30 

5.27 

5.43 

5,60 

S.7Ü 

3,92 

4.09 

4,25 

4,41 

4,58 

■ 

Sü 

4M 

6.tl7 

5.23 

5,30 

5,56 

5.72 

6.88 

0.04 

6,21 

G.38               ■ 

40 

^M 

6,70 

6.87 

7,03 

7.19 

7,36 

7.52 

7,68 

8,85 

H 

ÖD 

847 

6,34 

8,50 

d,&G 

8.8S 

8.99 

9,15 

9,32 

9,48 

■ 

60 

Ml 

S*,9T 

IM 

10.3 

10.5 

10.6 

10.6 

1!,0 

U.l 

^^1 

IQ 

lUi 

U,6 

U.8 

U.9 

VIA 

12,3 

12.4 

12.6 

12.8 

^H 

m 

13,1 

13,2 

13,4 

13.6 

13.7 

13,9 

14,1 

14.2 

14.4 

^^H 

90 

H7 

U,9 

15.0 

15.2 

IM 

15,5 

15.7 

15,9 

16,0 

^^1 

lüO 

10,4 

^^H 

■ 

+  20«  (17,391  Dim) 

^H 

■ 

0 

/ 

Ji 

^ 

4 

5 

ß 

7 

S 

^^B 

r  « 

t> 

017 

aj5 

0.52 

0,70 

0,87 

1,01 

1.22 

1,39 

H 

L '" 

1,74 

1.91 

2,00 

2.20 

2.44 

2,61 

2.78 

2,96 

■1,13 

H 

kao 

3,lö 

3,^5 

3.83 

4,00 

4,17 

4.35 

4,52 

2,70 

4,87 

H 

Vw 

5,23 

5,S9 

ö,&7 

5.74 

Ml 

6.09 

6,26 

6,44 

6.61 

6,78               ■ 

1         40 

ö^e 

7,13 

7.3ii 

7.48 

7.65 

7,83 

8,00 

8,17 

8.35 

■ 

1  *« 

8J0 

8.87 

9,04 

9.22 

9,39 

9,57 

9,74 

2MI 

10,1 

^^H 

L<» 

10.4 

10.6 

10,8 

UJ,9 

ii.i 

11.3 

11,5 

11,7 

11,8 

^^1 

■  ?0 

ia.2 

Ii.4 

12.5 

12,7 

12,9 

13,0 

13.2 

13.4 

13,6 

^^M 

Beo 

18.«> 

14.1 

14,3 

14.4 

14,6 

14,8 

15,0 

15.1 

15,3 

^^H 

Hdo 

15  J 

16.8 

16.0 

lti.2 

16,3 

16.5 

16.7 

16,9 

17,0 

^H 

■      luu 

17,4 

^^H 

k 

+  21«  (18.496  mm) 

^H 

0 

i 

o 

3 

4 

5 

ä 

7 

8 

^^H 

U 

0 

fMö 

0.37 

0.66 

0.74 

0,93 

Uli 

1.3U 

1.48 

H 

to 

K«^5 

2.1)3 

2,22 

2.41 

2,59 

2.77 

2.9B 

3,13 

3.33 

■ 

AI 

8.T0 

3,83 

4,07 

4.26 

4,44 

4,62 

4,81 

4.99 

5,ie 

5.36               ■ 

$11 

5.Ö6 

6JH 

&,92 

6,10 

6,29 

6.47 

6,»J6 

6,84 

7.03 

H 

4o 

7,40 

7.r»8 

7.77 

7,1*5 

8.14 

P.S2 

8,50 

8,69 

8.68 

^1 

Sü 

U,26 

0,43 

Ml 

».80 

9,1*9 

10.2 

10.4 

10.5 

10.7 

^^B 

m 

UJ 

113 

11,6 

U.7 

ll.rt 

12.0 

12,2 

12.4 

12,6 

^^1 

70 

18,0 

19J 

13,8 

13,6 

13.7 

13.9 

14.1 

14,2 

14,4 

^1 

üi» 

14,8 

J5.0 

\t;2 

15,4 

15,6 

15.7 

15,9 

16,1 

16,3 

^1 

HO 

W,T 

16,8 

17,0 

17.2 

17.4 

17.6 

17,6 

17,9 

18.1 

^M 

1110 

10,5 

i. 

j 

^ 

58  Sitzung  der  niath.-phys.  Klasse  vom  2.  Mftrz  1907. 

+  220  (19,659  mm) 


0 

1 

2 

S 

4 

6 

6 

7 

8 

9 

0 

0 

0,20 

0,40 

0,59 

0,79 

0,98 

1,18 

1,88 

1,57 

1,77 

10 

1,97 

2,1G 

2,30 

2,56 

2,75 

2,95 

3,15 

3,34 

3,64 

3,74 

20 

3,93 

4,13 

4,33 

4,52 

4,72 

4,92 

5,11 

5,31 

5,61 

6,70 

30 

5,90 

G,09 

0,29 

G,49 

6,08 

6,88 

7,07 

7,27 

7,47 

7,67 

40         7,80      8,00      8.26     8,45      8,65     8,85  9,04     9,24  9.44  9,63 

50         9,83    10,0      10,2      10,4      10,6      10,8  10,0  11,2  11,4  11,6 

CO       11.8      12,0      12,2      12,4      12,6      12,8  13,0  13,2  13,4  13,6 

70       13,8      14,0      14,2      U,4      14,6      14,7  14,9  15,1  15,3  15,5 

80       15,7      15,9      10,1      16,3      10,5      16,7  16,9  17,1  17,3  17,5 

90       17,7      17,9      18,1      18,3      18,5      18J  18,9  19,1  19,8  19,5 
100     19,7 

+  230  (20,888  mm) 

0123456789 

0,21      0,42      0,63      0,84      1,04  1,25      1,46      1,67  1.88 

2.0!)      2,30      2,51      2,72      2,92      3,13  3,34      8,65      8,76  8,97 


0  0 

10 
20 
80 
10 
50       10,i      lOJ      10,9      11,1      11,3      11,5      11,7      11,9      12,1      12,8 


2.0!)  2,30  2,51  2,72  2,92      3,13      3,34      8,65      8,76     8,97 

4,18  4,39  4,60  4,80  5,01      5,22      5,43      6,64     6,85      6,06 

6.27  6.48  6,68  6,89  7,10      7,31      7,52      7,73      7,94     8,15 

8,30  8,50  8,77  8,98  9.19  9,40     9,61      9,82  10,0  10,2 

0.4  10.7  10.9  11.1  11.3  11.5  11.7  11.9  12.1  12.8 


60       12,5      12,7      13,0      13,2      13,4      13,0      13,8      14,0      14,2      14,4 


70 

14,6 

14,8 

15,0 

15,2   15,5   15,7 

15,9 

16,1 

16.8 

16,5 

80 

16,7 

10,9 

17,1 

17.3   17,6   17,8 

18,0 

18,2 

18,4 

18,6 

90 

18,8 

19,0 

19,2 

19,4   19,6   19,8 

20,1 

20,3 

20,5 

20,7 

100 

20,9 

+  24«  (22,184  Dim) 

0 

1 

2 

3          4          5 

6 

7 

8 

.9 

0 

0 

0,22 

0.44 

0,67   0,89   1,11 

1,33 

1,55 

1,78 

2,00 

10 

2  22 

2,41 

2,66 

2,88   3,11   3,33 

3,55 

3,77 

3,99 

4,22 

20 

4/U 

4,66 

4,88 

5.10   5.32   5,55 

5,77 

6,99 

6,21 

6,43 

30         0.06      6,88  7,10  7,32      7,54      7,76      7,99  8,21      8,48      8,65 

40         8,87      9,10  9,32  9,54      9,76      9,98  10,2  10,4  10,7  10,9 

50  11,1  11,3  11,5  11,8  12,0  12.2  12,4  12,6  12,9  13,1 

60  13.3  13,5  13,8  14,0  14,2  14,4  14,6  14,9  15,1  15,3 

70  15.5  15.8  10,0  16,2  10,4  lb,6  16,9  17,1  17,3  17,6 

80  17,S  18,0  18,2  18,4  18,0  18,9  19,1  19,3  19,5  19,8 

90  20,0  20,2  20,4  20,6  20,9  21,1  21,3  21,5  21,7  22,0 

100  22,2 


M.  Th.  Edelmann:  Neues  Absorptions-Hygrometer.  59 

+  260  (23,550  mm) 


0 

1 

2 

S 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

0 

0 

0,24 

0,47 

0,71 

0,94 

1.18 

1.41 

1,05 

1,88 

2,12 

10 

2,36 

2.59 

2,83 

3,00 

3,30 

3,54 

3.77 

4,01 

4,24 

4,4S 

20 

4,71 

4.95 

5,18 

5,42 

5,05 

5,89 

0.13 

0,30 

0,00 

0,83 

30 

7,07 

7,30 

7.54 

7,77 

8,01 

8,25 

8,48 

8,72 

8,95 

8,19 

40 

9,42 

9,00 

9,89 

10,2 

10,4 

10,0 

10,8 

11,1 

11,3 

11,5 

50 

11,8 

12,0 

12.2 

12,5 

12,7 

13,0 

13,2 

13.4 

13,7 

13,9 

CO 

14,1 

14,4 

14,0 

14,8 

15,1 

15,3 

15,0 

15,8 

10,0 

10,3 

70 

10,5 

10,7 

17,0 

17,2 

17,4 

17,7 

17,9 

18,1 

18,4 

18,0 

SO 

18,8 

19,1 

19,3 

19.0 

19,8 

20,0 

20,3 

20,5 

20,7 

21,0 

90 

21,2 

21,4 

21,7 

21,9 

22,1 

22,4 

22,0 

22,9 

23,1 

23,3 

100 

23,0 

+  200  (24,988  mm) 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

0 

0 

0 

0,25 

0.50 

0,75 

1,00 

1,25 

1,50 

1,75 

2.(K) 

2,25 

10 

2,5 

2,75 

3,00 

3,25 

3,50 

3,75 

4.00 

4,25 

4,50 

4,75 

20 

5,0 

5,25 

5,50 

5,75 

0,00 

0.25 

0,50 

0.75 

7,00 

7,25 

30 

7.5 

7,75 

8,00 

8,25 

8,50 

8,75 

9,00 

9,25 

9,50 

9,75 

10 

10,0 

10,3 

10,5 

10,8 

11,0 

11,3 

11.5 

11,8 

12,0 

12,3 

50 

12,5 

12,8 

13,0 

13,3 

13,5 

13,8 

14.0 

14,3 

14,5 

14,8 

W> 

16,0 

15,3 

15,5 

15,8 

10,0 

10,3 

10,5 

10,8 

17,0 

17,3 

70 

17,5 

17,8 

18,0 

18,3 

18,5 

18,8 

19,0 

19,3 

19,5 

19,8 

>*0 

20,0 

20,3 

20,5 

20,8 

21,0 

21,3 

21,5 

21,8 

22.0 

22,3 

90 

22,5 

22,8 

23,0 

23.3 

23,5 

23,8 

24,0 

24,3 

24,5 

24,8 

100 

25,0 

+  27«  (25,505  mm) 

0 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

8 

9 

0 

0 

0,20 

0,51 

0,77 

1,02 

1,28 

1,53 

1.79 

2,04 

2,30 

10 

2,55 

2,81 

3,00 

3,32 

3.57 

3,83 

4.08 

4,34 

4,00 

4,85 

20  - 

6,10 

5,30 

5,01 

5,87 

0.12 

0,38 

0,03 

0,89 

7,14 

7,10 

30 

7,65 

7,91 

8,10 

8,42 

8.07 

8,93 

9,18 

9.44 

9,09 

9,91 

44) 

10,2 

10,5 

10,7 

11.0 

11,2 

11,5 

11,7 

12.0 

12,2 

12,5 

50 

12,8 

13,0 

13,2 

13.5 

13,8 

14,0 

14,3 

14,5 

14,8 

15,1 

HO 

15.3 

15,0 

15,8 

10,1 

10.3 

lÜ.O 

10,8 

17.1 

17,3 

17,(i 

70 

17,9 

18,1 

18,3 

18,0 

18,9 

19,1 

19,1 

19.0 

19,9 

2i).2 

80 

20.4 

20,7 

20,9 

21.2 

21,4 

21.7 

21,9 

22,2 

22.5 

22,7 

•K) 

23,0 

23,2 

23,5 

23,7 

21,0 

24.2 

24,5 

21.7 

25,0 

25,3 

100 

25.5 

60  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  März  1907. 

+  28»  (28,101  mm) 


0 

1 

2 

5 

4 

5 

e 

7 

8 

9 

0 

0 

0,28 

0,5G 

0,84 

1,12 

1,41 

1,69 

1,97 

2,25 

2,53 

10 

2,81 

8,09 

3,37 

3,65 

3,93 

4,22 

4,50 

4.78 

5,06 

5,34 

20 

5,G2 

5,90 

0,18 

G,46 

6,74 

7,08 

7,31 

7,59 

7,87 

8,15 

80 

8,43 

8,71 

8,99 

9,27 

9,55 

9,84 

10,1 

10,4 

10,7 

11,0 

40 

11,2 

11,5 

11,8 

12.1 

12,4 

12,7 

12,9 

13,2 

13,5 

13,8 

50 

li,l 

M,3 

14,G 

14,9 

15,2 

15,5 

15,7 

16,0 

16,3 

16,6 

GO 

10,9 

17,1 

17,4 

17,7 

18,0 

18,3 

18,6 

18,8 

19.1 

19,4 

70 

19,7 

20,0 

20,2 

20,5 

20,8 

21.1 

21,4 

21,6 

21,9 

22,2 

80 

22,5 

22,8 

23,0 

23,8 

23,0 

23,9 

24,2 

24,5 

24,7 

25.0 

DO 

25,3 

25,6 

25,9 

2G,1 

26,4 

20,7 

27,0 

27,3 

27,5 

27.8 

100 

28,1 

. 

-h  29«  (29,78 

12  mm) 

0 

1 

2 

S 

4 

5 

G 

7 

8 

9 

0 

0 

0,30 

0,G0 

0,89 

1,19 

1,49 

1,69 

2,09 

2.38 

2,08 

10 

2,98 

3,28 

3,57 

3,87 

4,17 

4,47 

4,77 

5,06 

5,36 

5,66 

20 

5,9(> 

G.25 

G.55 

G.85 

7,15 

7,45 

7,74 

8,04 

9,84 

9,64 

30 

8,91 

9,23 

9,53 

9,83 

11,1 

11.4 

11,7 

12,0 

12,3 

12.6 

10 

11,9 

12,2 

12.5 

12.8 

13,1 

13.4 

13,7 

14,0 

14,3 

14.6 

50 

11.1) 

15,2 

15,5 

15,8 

16,1 

16,4 

16,7 

17,0 

17,8 

17.6 

()0 

17,t» 

18,2 

18,5 

18,8 

19,1 

19,4 

19,7 

20,0 

20,3 

20,6 

70 

20.9 

21.2 

21,1 

21.7 

22.0 

22,3 

22,6 

22,9 

28,2 

28,5 

SO 

23,H 

21.1 

21,1 

21,7 

25.0 

25,3 

25,6 

25,9 

26,2 

26,5 

DO 

20,8 

27.1 

27.1 

27.7 

28,0 

28,3 

28,6 

28,9 

29,2 

29,5 

100 

29,8 

+  30^ 

'  131,548  mm) 

0 

1 

>) 

S 

4 

5 

0' 

7 

8 

9 

0 

0 

0.32 

o,(;3 

0.07 

1.20 

1.58 

1,89 

2,21 

2,52 

2,84 

10 

3.10 

3.1vS 

3,79 

1.11 

1,12 

1,71 

5,05 

5,37 

5,68 

6,00 

20 

r,.3i 

r..03 

0,0 1 

7.2r, 

7.57 

7.S9 

S,20 

8,52 

8,83 

9,15 

30 

9.10 

'.».7S 

10.1 

10.1 

10,7 

11,0 

11.1 

11,7 

12,0 

12,3 

40 

12.0 

IJ.'.» 

13.3 

13.0 

13.0 

11,2 

11.5 

14.8 

15,1 

15,5 

50 

ir>,s 

n;.i 

10.1 

n;.7 

17.0 

17.1 

17.7 

IJ^.O 

18,3 

18.6 

!>0 

ij^.^i 

!'.».:> 

1'.».0 

10.0 

20.2 

2n,:, 

20.S 

21.1 

21,5 

21,8 

70 

•J-M 

22.4 

22.7 

2:>,(» 

23.3 

23,7 

21.(» 

24,3 

24,6 

24.9 

8o 

•»-,  j 

2,'>.0 

•j:»,'.» 

20.2 

20..". 

2t;. s 

27.1 

27.5 

27.8 

28,1 

'.M> 

l^A 

2^.7 

2'.».t) 

20.3 

29.«*. 

3<».t» 

30.3 

30,6 

30,9 

81.2 

lon 

01.0 

61 


Über  ein  Saitenelektrometer, 

\mi  iir   r.  W.  Uli. 

tilji  TaM  L) 

Die  i*lelctro8bitiÄclirri  M»*8sufigt*ii  habtni  in  neuerer  Zt'it 
erbdhte  Bedeutung  gewonnen;  tinfiml  durch  die  Eiit- 
lg  der  radioaktiven  Substanzen  und  die  hiedurch  ver- 
lil^n  Mr«s*urigiin,  sorlimn  dur**Ii  dt^n  AursclnviiTig",  diui  in 
lclzt4»u  Jahren  die  luftelekt fische  Forschung  geuomineu 
Zo  dimefi  Me&aungen  verwendet  man  hauiitsikhlich  ih%ü 
Qita4rartUdekirom<;ter  und  das  RlAttolektroskojj.  Neben  den 
bt^TAnDt^^u  Vorscügen  dieser  In^tninicnte  machen  feich  nun  eine 
fiüih«  von  Nachteilen  henierkbar,  die  gerade  hei  radioaktiven 
iiod  lurirti'ktriKchwn  Messungen  recht  etürcn  kennen.  So  heim 
IJunbmuldektrotneter  namentlich  die  grolle  Kapazität,  die  Trng- 
h#*jt  des  hewi»ghehett  Sytstemcs  und  d«r  Mau  gel  dt*r  Trausport* 
jkcii;  hetin  Klcktro^kope  die  geringe  Unipfindlichkeit,  der 
•*i|5l**ir>^^3tt*  Melihereich,  die  verbal tnismäOig  groüe  Kapazität, 
le  si^t*  '  r-  *  -■  -Kflikeit  zur  Me&Äung  kleiner  iSjjannungen 
«yr  >  lerung. 

Diese    Mängel  gaben    Veranhtöfitmg  zu    zahlreichen    Ver^ 

mgen,  di*^  im  lumU^  der  letzt<^n  Jahre  dietje  Inslrnnjcute 

irt-n       I Iahen  sich  auch   manche  dieser  Neukonstruktionen 

flleti   Messungen    nU   vorteilhaft   erwiesen^   so  wurde 

«jüTi  ttder   Erfolg   doch   nicht   erzielt,   denn    meist 

'      ^'  Behehöiii^  des  einen  Xacbteile»*  die  anderen 

nicht  r  hirviir.    Die  Schuld  hieran  li<>gt  ineiiies 


^ 


62  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  März  1907. 

Erachtens  nicht  an  den  Konstrukteuren,  sondern  offenbar  am 
Prinzip  der  erwähnten  Meßinstrumente,  welches  eben  den 
vielerlei  Ansprüchen,  die  die  neueren  elektrostatischen  Mes- 
sungen daran  stellen,  nicht  gewachsen  ist.  Man  ist  daher  ge- 
zwungen, sich  nach  einer  neuen  Anordnung  umzusehen. 

Nun  hat  sich  bei  Galvanometern^)  das  Prinzip  der  lo.se 
gespannten  Saite  wohl  bewährt,  und  unter  den  Vorzügen  des- 
selben sind  gerade  solche,  die  auch  bei  feinen  elektrostatischen 
Messungen  gefordert  werden.  Es  liegt  daher  nahe,  das  Saiten- 
prinzip zur  Konstruktion  eines  Elektrometers  (.Saitenelektro- 
meter") zu  verwenden. 

Ich  habe  schon  vor  zwei  Jahren*)  ein  Modell  eines  solchen 
Elektrometers  hergestellt  und  mich  davon  überzeugt,  daß  das 
neue  Instrument  in  der  Tat  vielerlei  Vorzüge  vor  den  ge- 
bräuchlichen elektrostatischen  Meisinstrumenten  voraus  hat. 
Seither  habe  ich  eine  Reihe  von  Verbesserungen  daran  ange- 
bracht und  es  nun  in  nachstehend  beschriebener  Form  aus- 
führen lassen.     (Fig.  la  und  Ib  Taf.  I.) 

Innerhalb  eines  parallelepipetischen  Gehäuses  G  (Fig.  la) 
aus  Leichtgula  (Magnalium)  stehen  sich  zwei  zu  einander  par- 
allele Messiugplatten  1\  F^  gegenüber.  Diese  beiden  Platten 
sind  bei  //,  S,  bzw.  11^  S,  geführt  und  lassen  sich  durch  die 
Mikrometerschrauben  ilZ,  und  M^  mit  Trommelteilung  um 
meßbare  Beträge  einander  nähern,  oder  voneinander  entfernen. 

»)  Ader,   Compt.  rend.  124,  14-10,    1897;  La  Nature  2,  116,   1897; 

T;Kr.liiinH(e  (Uectriiiue  2i>5.  1897;  Elektrotechn.  Zeitschr.  561,  1897. 

W.  Kinthovcn,   Ann.  d.  Phys.  (4)  12,  1059,  1903;  14,  182,  1904. 

M.  Kdehniinn  jun.,  Physikal.  Zeitschr.  7,  115,  1906. 

2)  Später  erfuhr  ich,  daü  auf  ein  P^lektrometer,  welches  auf  dera- 
selhon  IVinzip»'  beruht,  von  der  Firma  M.  Th.  Kdelmann  &  Sohn  hier- 
seli>st  ein  Musterschutz  genommen  ist. 

Während  der  Druckh'^^ung  dieser  Arbeit  erhielt  ich  Kenntnis  davon, 
daß  auch  Herr  Professor  Dr.  Max  Crem  er  hier  auf  die  Idee  eines  Saiten- 
elektrometers  j(«*kommen  ist  und  ein  derartiffcvs,  gemeinsam  mit  Herrn 
Dr.  Max  Kdel  mann  jun.  konstruiertes  Instrument  mit  Erfolg  zu  elektro- 
physiolofriflchen  Messungen  verwendet  hat.  (Siehe  darüber:  Mflnchener 
medizinische  Worhenschrift  Nr.  11,   1907.) 


U,  W,  Lut^s:    Über  ein  l^aitenekktrönieter. 


63 


iiuivh  gerial'te  Ha rtgummia topfen  H^h^S^  und  H^ßi^S^,  in 
wc'Icbeii  die  FUliruDgs&tifte  gelagert  sind»  wi^rdeii  die  beiden 
Platten  Pj  Pj  vom  Oehause  isoliert.  Die  unteren  Filhrungs- 
itie  S,  Sg  gehen  isoliert  durch  das  Oehäuse  G  hindurch  und 
E^noeii  mit  den  beiden  Polen  E^  E^  einer  Batterie,  deren  Mitte 
rdet  wird,  verbunden  werden,  so  daü  die  efne  Platte  auf  ein  +, 
ha  lindere  iiiif  ein  ebenso  hohes  —  Potential  aufgeladen  wird. 
Die  zum  Instrnrnento  gehörige  Batterie  B  (Fig.  1  b)  ist  eine 
kleine  Akknmulutönnibatterie  von  50  Zellen,  die  in  ein  Uok- 
kiistoheti  von  20  cm  Breite,  11  cm  Höhe,  16  em  Tiefe  einge- 
baut ist,  welches  gleichzeitig  dem  i^^lektronieter  als  Fui^  dient. 
Dureli  geeignete  Sebaltung  der  Batterie  (Steckkontakte  E^E^) 
lassen  sich  die  beiden  Feldplatten  I\  P^  (Fig.  lii)  auf  die 
IVteutiale  ±  50  Volt  ±  30,  ±  10  und  ±  4  Volt  bringen. 

Genau  in  der  Mitte  Kwischen  den  beiden  Platten  F^  I\ 
ist  die  Sjiite  TT,  ein  VVoUastondraht  von  jVött  ^^  Durcli- 
nia^ser  und  10  cm  Länge  ausgespannt,  mit  beiden  Enden  an 
kurze  Mutalktiftchen  angelötet,  welche  ihrerseits  von  je  einem 
gerieften  Hartgummij^lator  «/,  und  J^  gehalten  werden. 
Wührend  der  untere  Isolator  J^  fest  gelagert  ist,  läßt  sich 
der  obere  /j  mit  Hilfe  der  Mikrometerschraube  3/^  (1  Trommel- 
^^^'  "=  rw  ^^)  ^"*  nieÜbure  Betröge  verschieben  und  so  die 
Spannung  der  Saite  beliebig  ändern.  In  die  obere  Lagerung 
der  Saite  läßt  sich  die  Ladesonde  L  einstecken,  die  dann  mit 
der  Saite  in  leitender  Verbindung  steht  Bei  Außergebrauch- 
-**"Tng  des  Instrumentes  wj rd  die  Sonde  entfernt  und  der 
hiuSdeckel  D  (Fig.  1  b)  aufgesteckt  Mit  Hilfe  eines 
kleinen  Ablesemikri^skopes  0  mit  Okularmaüstah  von  großem 
öf«ii '  '  ''  '  '.  ^Fig.  1  b)  (Durchmesser  des  Gesichtsfeldes  3  mm 
Verjj'  lg  einfach)*)  werden  die  Durchbiegungen  der  Saite 

io  Teilen  des  Okulamiaßstabes  gemessen. 

Die   Wer   in   den    Figuren  la   und  b    deutlich    sichtbaren 
lii^jineü  Glasgelaße  dienen  zur  Aufnahme  von  Natrium,  zwecks 


*)  AögeiWtiKt  von  der  Firma  C*  A*  Steinheil  Söhne,  Mrincheu. 


64  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  März  1907. 

Austrocknung  des  Elektrometers  im  Innern.  Die  Klemm- 
schraube K  dient  zur  Erdung  des  Elektrometergehäuses. 

Durch  die  Ladung  der  beiden  Platten  P,  P^  auf  entgegen- 
gesetzt gleiches  Potential,  entsteht  zwischen  ihnen  ein  hin- 
reichend homogenes  elektrisches  Feld. 

Wird  nun  ein  zu  messendes  Potential  an  die  Saite  (Lade- 
sonde L)  angelegt,  so  schlägt  sie,  je  nach  dem  Vorzeichen 
dieses  Potentiales,  nach  der  +  oder  —  Platte  hin  aus.  Aus 
der  Größe  und  Richtung  dieses  Ausschlages  kann  das  Potential 
nach  Gröüe  und  Vorzeichen  bestimmt  werden,  wenn  das  Elektro- 
meter geeicht  ist.  Bei  nicht  allzu  groüen  Durchbiegungen  der 
Saite  (innerhalb  der  , Elastizitätsgrenze*)  sind  die  Ausschläge 
den  angelegten  Potentialen  proportional,  die  Eichkurve  ist  also 
eine  Gorade. 

Handhabung  des  Saitenelektrometers. 

Das  eben  beschriebene  Instrument  lätät  sich,  wie  das 
Quadrantelektrometer ,  in  verschiedenen  Schaltungsarten  ver- 
wenden: 

I.  Mit  Hilfsladung: 

a)  Die  beiden  Platten  werden  auf  entgegengesetzt  gleiches 
Potential  geladen,  das  unbekannte  Potential  an  die  Saite  an- 
gelegt:  ^Saiten  Schaltung*. 

b)  Die  Saite  wird  auf  ein  hohes  Hilfspotential  geladen, 
eine  Platte  geerdet,  an  die  andere  die  unbekannte  Spannung 
angelegt:   „Plattenschaltung'. 

II.  Ohne  Hilfsladung: 

a)  Die  Saite  wird  durch  einen  aulaen  um  das  Gehäuse 
herunilührenden  Metallbiigel  mit  einer  Platte  leitend  verbunden, 
die  andiie  Platte  treerdet.  Das  unbekannte  Potential  wird  an 
die  Saite  (und  die  eine  Plattet  angelegt.  Diese  Schaltung 
ist  im  Prinzipe  die  gleiche,  wie  sie  lu-ini  Hraunschen  Zeiger- 
elektroiiutiT  verwendet  ist:    , Dop pelsc halt ung*. 

b)  Beide  Platten  werden  geerdet,  eine  Platte  wird  mög- 
lichst  wt'it   herausgeschraubt.      Das  unbt»kannte  Potential  wird 


C.  Wp  Lut«;  Ül>er  du  Saitenelektroiaeter. 


6& 


Sttite  aogelegt.  Durch  InflueiiÄmrkmig  biegt  sich  die 
Smtt  nmch  der  iiäht^rsteht*nden  Platte  hindurch ;  „In  flinfüz- 
scbaltung*. 

la.  3aiteD9ctialtaiig, 

Dies  Eüipfiodlichkeit  des  Instrumentes,  d.  i,  dor  Auä^clilag 
(ür  ein  bestimmtes  kleines  Potential,  etwa  0,1  Volti  ist  hier 
abliäagig:  1.  von  der  Saitenspannung,  2.  vom  Platteuahstandt*, 
3.  von  der  Plattenladung.  Alle  diese  drei  Größen  können  boi 
Torstehend  beschriebenen  Instrument  verändert,  werden. 
Iir  Einfluü  auf  die  Empfindlichkeit  wurde  der  Reihe  nach 
genau  fcstgesiteUt. 

1.  Saitenspannung  geändert. 

Die  Grotte  der  Durchbiegung  der  Saite,  der  Ausschlag 
derselben,  ist  im  allgemeinen  abhängig  von  ihrer  Spannung. 
E  *  st  Itncht,  durch  entsprechende  Regulierung  der  Saiten- 
-^ii  .;  für  ein  gegebenes  Potential   einen  bestimmten  Aus- 

whlag  immer  wieder  herzustellen.  Bei  genügender  Spannung 
meilt  die  Saite  in  ihre  jeweilige  Gleichgew^ichtslage  ohne 
jliches  Hin-  und  Herschwingen ,  die  (Luft-)  Dämpfung  ist 
eme  rdUig  aperiodische. 

Bei  einer  bestimmten  Plattenladung  und  bestimmter  Platten- 
itfemung  läßt  sich  durch  Entspannen  der  Saite  ihr  Ausschlag 
Ir  ein  bekanntes  Potential  mehr  und  mehr  vergröiern.  Hiebei 
irerdrn  die  Bewegungen  der  Saite  nach  ihrer  Einstellungs-  bzw, 
KnUage  langsamer  und  langsamer  und  schließlich  geht  sie 
Qberliaupt  nicht  mehr  auf  0  zurück,  sondern  verharrt  bei 
slirkster  Durchbiegung  in  derNälie  einer  Platte.  Die  Näherung 
der  anderen  Platte,  oder  ein  Neigen  des  Instrumentes  bewirkt 
dann,  daß  die  Saite  von  der  einen  extremen  Lage  sogleich  in 
die  entgegengesetzte  überspringt ,  eine  Einstellung  auf  den 
Knllptmkt  ist  nicht  mehr  zu  erreichen.  In  dieser  ^instabilen 
Lage'  der  Sait-e  lüüt  sich  das  Instrument  zu  Messungen  nicht 
Bjehr  verwenden,  und  damit  ist  auch  der  Enfe[»!mnung  dt;r 
Saiittf  ako  auch  der  Empfindlichkt*it  für  jede  gegebene  Platlen- 


f)6  Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  2.  März  1907. 

ladung  und  Plattenentfemung  eine  strenge  Grenze  gesetzt 
Um  eine  möglichst  große  Empfindlichkeit  zu  erreichen,  wird 
man  zweckmäßig  nahe  an  die  instabile  Lage  herangehen,  die 
Entspannung  aber  nur  so  weit  treiben,  daß  die  Einstellungen 
der  Saite  noch  rasch  und  sicher  erfolgen.  Die  Saite  ist  ge- 
nügend gespannt,  wenn  sie  nach  ihrem  jeweiligen  Einstellungs- 
punkt hin  schnellt. 

2.  Plattenabstand  verändert. 
Die  Empfindlichkeit  des  Instrumentes  wächst  mit  Ver- 
minderung des  Plattenabstandes  anfänglich  linear,  nimmt  aber 
dann  rascher  zu,  je  näher  die  Saite  der  instabilen  Lage  kommt. 
Fig.  2  (hiezu  Tabelle  1)  zeigt  diesen  Zusammenhang  zwischen 
Plattenabstand  und  Ausschlag  der  Saite  in  Teilen  des  Okular- 
maßstabes  für  Potentiale  von  0,24  Volt  (Fig.  2  a)  und  0,38  Volt 
(Fig,  2  b),  einer  Plattenladung  von  ±  50  Volt  und  einer  kon- 
stanten Saitenspannung  (Teilstrich  25,9  der  Trommelteilung  Jfj). 
Bei  dieser  Saitenspannung  befindet  sich  die  Saite  bei  dem  Ab- 
stand   von  4,5  nun  gerade  an  der  Grenze  der  instabilen  Lage. 

Tabelle  1. 

Pluttonubstami  in  mm  ij^        6  0         8,0    I  10,0 

Anssi'hla^^      [  bei  0,38  Volt        2.1        0,65  '     0,5    |     0,3 
der  Saite  in    \  I 

OkulartWlon    [  bei  0,24  Volt        1,3       0,4     ;     0,3    I     0,15 

Kino  woiton*  Annäherung  der  Platten  aneinander  fOhrt 
die  instabile  Lag»*  der  Saite  herbei,  ist  aber  auch  noch  aus 
einem  and^-ren  Grunde  nieht  zu  empfehlen.  Es  ist  nämlich, 
ohne  besondere  Hilfsmittel,  nieht  möi:^lich,  bei  Auliergebrauch- 
setzen  des  Instrumentes  beide  Feldplatten  im  genau  gleichen 
Zeitmoment  zu  entladen.  Die  Folge  davon  ist,  daß  die  Saite 
im  AugtMibliok  der  Kutladung  mit  Heftigkeit  nach  der  spater 
zur  Ableitung  gelaiiirenden  Platte  hingerissen  wird,  \v;vs  unter 
Umständen  ein  Ankleben  des  dünnen  Orahtes  an  dieser  Platte 
und  ein  Abreißen  desselben  zur  Folge  haben  kann. 


C.  W.  Lutsit  üher  ein  Siutuuelektroiueteir- 


67 


£iiie  aJku  gioüa  Anuäherung  der  beiden  Platten  anein- 
atiil^r  ist  aber  auch,  wie  sogleicli  gezeigt  werden  soll,  gar 
Richl  notwendig,  weil  hiedurch  eine  Vergrößerung  der  Emp- 
tindliclikoit  doch  nicht  erzielt  wird*  Je  näher  sich  nümlich 
die  beiden  Feldplatteti  gegen  üh  er  stehen,  desto  starker  ist  auch 
die  Saite  ans&uspunnen,  um  sie  außerhalb  der  instabilen  Lage 
atu  erbalfctm.  Was  also  einerseits  durch  die  stärkere  Annäherung 
der  beiden  Platten  aneinander  an  Empfindlichkeit  gewonnen 
wird,  geht  anderersei^  durch  die  damit  notwendig  werdende 
sifiiffere  Anziehung  iler  Saite  wiedor  yerloren.  Dies  ist  deut- 
lich aus  Fig,  3a  und  b  (lueKu  Tabelle  2)  ersichtlich,  wo  die 
EiohlcurTen  für  Plattenentfi^rnungen  von  4,5  mm  (Fig,  3a)  und 
iO  min  (Fig.  3b)  dargestellt  sind,  wobei  die  Saite  Jedesmal  his 
imbe  IUI  die  instabile  Lage  hin  entspannt  wurde. 


Tabelle  2. 


('Mtfr-T^l   tn   Volt    0,01  0,U2j 0,03 

0,07 

0.14 

0,24^0,38  0,72 ^0.73 |VpOl>'l, U^ 

Sii :.,„.,..  :^la^ bei 
4^  mm    matten- 

Sftitcnaoflrhla^  bei 
jOrooi  Pbttenflb. 

0.09 
0,0Ö 

0.15 
(Kl 

0,25 
047 

0,60 

MO 
0,95 

IM 

1,70 

S,00  5.15 
2,55|4,a5 

4,95 

i>,70 

8,20 

Bei  einer  Plattenladung  von  ±  50  Volt  läßt  sich  also  ein 
Poteiiiiiii  von  U,Ol  Volt  nocth  gut  messen.  Die  Saitenaus- 
scblige  biefUr  sind,  wenn  auch  bei  der  geringen  Vergroiierung 
dfs  Mikroskopes  klein,  so  doch  deutlich  wahrnehmbar. 

Aus  den  in  Fig*  3  gezeichneten  Eichkurven  ergibt  sich 
noch  eine  weiter«  Eigünüchaft  der  Saite,  die  alle  späteren 
lfMfiint;rn  imnier  wieder  bestätigt  haben.  Kämlich  F'ropor- 
titmjilitüt  zwischen  an^^elegtem  Potentinl  und  Ausschlag  der 
äiitte  l^e^teht,  bei  geg^jbener  Plattenladung  und  Plattenent- 
feanmg  nur  innerhalb  eines  gewiiifien  Bereiches  (Qültigkeits- 
dcB  Hookschen  Oesets^i^s).  Im  yorliegt^nden  Fall  nur 
Üale  bis  ca.  0.4  Volt  iFig.  3a)  b^w.  0.9  Volt  (Fig.  3b). 

5* 


68  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  Milrz  1907. 

Bei  höheren  Potentialen  vermag  die  Saite  nicht  mehr  genügend 
weit  auszuschlagen. 

Ferner  zeigt  Fig.  3:  je  stärker  die  Saite  angespannt  ist, 
desto  kleiner  wird  auch  der  Bereich  der  Proportionalität  zwischen 
Ausschlag  und  Potential.  Auch  deshalb  empfiehlt  es  sich,  den 
Plattenabstand  groß  zu  wählen.  Aus  diesen  Gründen  habe 
ich  bei  allen  späteren  Messungen  den  Plattenabstand  konstant 
auf  10  mm  belassen,  wobei  eine  Beschädigung  der  Saite  durch 
Ansi)ringen  an  eine  Platte  ausgeschlossen  ist. 

3.  Phittenladung  geändert. 

Durch  Änderung  der  Plattenladung  ändert  sich  auch  die 
Empfindlichkeit  des  Instrumentes  (bei  konstanter  Saitenspannung 
und  Plattenentfernung)  und  zwar  ist  der  Zusammenhang  zwischen 
beiden  anfänglich  linear  (Fig.  4  und  Tabelle  3). 

Tabelle  8. 

Plaftenladun^'  in  Volt  10     '     20     j     30     1     40     j     50 


►Suitonans.srl]hig  für  0,24  Volt    ^    0,09      0,17        0,3        0,75 

I  I 


2,1 


Um  den  Gesanitnieübereich  des  Instrumentes  bei  Verwen- 
dung der  nnr  zur  Verfügung  stehenden  Hilfsladung  von 
100  Volt  festzustellen,  wurde  dasselbe  für  verschiedene  Platten- 
ladungen geeicht  und  zwar  für  ±  50  ±  30  ±  10  und  ±  4  Volt 
bei  10  mm  1  Matten  abstand  und  konstanter  Saitenspannung 
(TiMlstrich  28,9  der  Trommelteilung).  Die  Saitenspannung  wurde 
so  hoch  genommen,  daü  sich  die  Saite  auch  bei  der  höchsten 
Platt(»nlinlung  (-1:  50  Volt)  gut  außerhalb  der  instabilen  Lage 
befand.  Oelit  nuin  mit  der  Plattenladung  bei  10  mm  Abstand 
unter  J:  I  Volt  herab,  so  erhält  man  kein  hinreichend  homo- 
genes elektrisches  Feld  mehr  zwischen  beiden  Platten.  Die 
Ki<'liknrve  ist  dann  auch  in  ihrem  unteren  Teile  keine  Gerade 
melir.  Will  man  bei  dieser  Schaltung  den  Meßbereich  des 
Instrumentes  erweitern  (innerhalb  der  Proportionalitätsgrenze), 


1 

1 

C.  W.  Luk: 

■ 

Über 

ein  Saitenelektromuter. 

1 

6!>        "■ 

^ 

1 

*o      1    -# 

!                              'Xi 

^^H 

S 

«, 

3i 

1-^ 

1                      CO 

^^^^^^H 

^* 

» 

a 

IHN 

CS 

^H 

qD 

'                    lO 

^^M 

^ 

1         ,       S 

f- 

S- 

II      §ä 

35 

1          '        »a 

i." 

^^^M 

*,'> 

CO 

■^ 

«l 

1            '^l 

^^H 

■^ 

1            OD 

o 

1           ^^ 

■?! 

Cfl 

^^^^^^^H 

-t 

J                          '^" 

^ 

^^^^^H 

r 

1      S 

1 

s 

1      i     1 

f           ifl 

■Xf 

o 

' 

^ 

ÜC' 

1                    CQ 

^^^1 

r» 

^ 

t-4, 

■w 

'1            of 

^^^H 

•o 

1    5    5 

Ol 

^-* 

*— 

^^^1 

i9 

'     * 

^^^1 

^ 

H* 

^ 

^^^1 

15 

s 

3>          ; 

s 

2 

^ 

^M 

-r^ 

»C       1 

^. 

»- 

^^1 

QO 

00 

10 

? 

®         5> 

-^_ 

^ 

"^ 

^^^^^^H 

la 

^^^^^^H 

•^ 

«e      n 

o 

o 

-^* 

CO 

s 

o 

r- 

- 

1             *5 

1             iSt                 ^^H 

«» 

f^ 

»      S 

t- 

■ 

lo 

^ 

-^            ^ 

■7« 

QD 

C^l 

*? 

-*  1 

« 

^^ 

n4 

'^^ 

^^^1 

»  ^ 

^^   ' 

'* 

■^1 

eo ^^B 

j 

•«, 

1        «       o^ 

e4   1 

«* 

o 

1             .o 

'^r- 

^^H 

^ 

i     "    - 

-N    1 

•o" 

1            d" 

^ 

^ 

O 

' 

1 

fcO 

m 

^H 

1                       '^ 

1 

w 

^ 

^^ 

s-  §     - 

2  1 

s 

3 

i          ^. 

■ 

£ 

M 

3C 

-  «    1 

n 

qi 

« 

1        ^- 

S 

■ 

4 

cT 

-.-      a           £ 

« 

-^ 

g 

1                lO 

a 

■ 

1 

1                  ^                "ä 

■r-* 

o 

^. 

g 

« 

3-^ 

s   =• 

« 

«  i 

8 

L~^ 

s 

^1 

s 

M          ^ 

5- 

5 

rM 

5i 

^ 
^ 

89'           ■ 

^^^ 

<^ 

ö"          -^ 

1 

^^ 

PN 

^^^H 

^ 

/-. 

'7<l 

^1 

■ 

1 

S     5 

S 

i          3-  ' 

i      __    ._ 

OD 

*Q 

o 

t      s 

« 

^H 

IFHt 

«13 

o" 

w 

•-T 

l— 

^^H 

o    I 

C           ^• 

"^     1 

^^^1 

«1 

^           ^ 

s 

^ 

o 

s 

n    1 

^1 

1 

s    g 

TJ 

^ 

•* 

( 

3             ^1 

ÖD 

f                lO 

-^ 

^H 

•* 

-I      H 

ö 

f 

s- 

S- 

1^ 

■ 

1^-* 

^^^m 

> 

.s 

'3 

-u 

% 

:i| 

5     1 

^^M 

^^H 

-1   ^1 

>  1 

ä'S 

Eh^ 

sp:§ 

>     1 

^1 

■s 

t||l 

1 

2cm 

lir 

■  E 

2c- 

1 ' 

^^^H 

1 

k 

.^1    s 

Äl 

1+1^ 

£ 

l+i-^ 

^1 

l-^'-^      H 

70  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  Mätz  1907. 

SO  empfiehlt  sich  zur  Messung  höherer  Potentiale  als  75  Volt 
(Fig.  6  b)  die  Verwendung  einer  dickeren  Saite  und  zur  Messung 
kleinerer  Spannungen  als  0,01  Volt  (Fig.  5  a)  die  Vergrößerung 
der  Plattenladung. 

Fig.  5  a  und  b  zeigt  die  Eichkurven  für  eine  Plattenladung 
von  ±  50  Volt  und  ±  30  Volt  bei  10  mm  Plattenabstand  und 
beidesmal  derselben  Saitensi)annung  (Teilstrich  28,9  der  Trommel- 
teilung) (hiezu  Tabelle  4).  In  Fig.  6a  und  b  sind  die  Eich- 
kurven für  ±10  Volt  und  ±  4  Volt  Plattenladung  und  dem- 
selben Plattenabstand  von  10  mm  und  derselben  Saitenspan- 
nung (28,9)  gezeichnet  (hiezu  Tabelle  5). 

Wie  aus  den  Fig.  5  und  6  (und  den  Tabellen  4  und  5) 
ersichtlich  ist,  lassen  sich  unter  Verwendung  der  verschiedenen 
Plattenladungen  Spannungen  von  0,01  Volt  bis  ca.  75  Volt 
messen,  wobei  Propoi-tionalität  zwischen  Saiten ausschlag  und 
angelegtem  Potential  besteht.  Der  Proportionalitätsbereich  ist 
für  die  einzelnen  Plattenladungen  in  Tabelle  6  zusammen- 
gestellt. 

Tabelle  6. 

pi   ..     11  Bereich  der  Proportionalität 

1  laiieniauiing       .^wischen  Potential  und  Saitenausschlag 

±  5ü  Volt  Von  O.Ol  Volt  bia  ni.  0,8  Volt 

±30      ,  ,      0,02      ,        ,      ,     8.4     , 

±  10      .  .     ^K2        ,        ,       ,     20      , 

±      -i         r  *         <>,•">  1.  ^  ,       75  , 


Für  diesen  Meübereich  ist  die  Eichung  des  Instrumentes 
eine  liöchst  einfache.  Es  genügt,  einen  einzigen  Punkt  der 
Kichkurve  (gerade  Linie)  durch  Anlegen  eines  bekannten  Po- 
tentiah's  festzulegen.  Hiezu  verwendet  man  bei  großer  Emp- 
findliclikeit  ein  Xornialelenient  (offen),  bei  den  kleineren  Emp- 
lindliclikeiten  aber  eine  entsprechende  Anzahl  von  Zellen  der 
zum  Instrum(»nte  g(»hörigen  Akkumulatorenbatterie,  deren  Span- 
nung jederzeit  durch  das  Saiten elektrometer  selbst  (ohne  Hilfs- 


tl  W.  Lübs:  über  ein  Saiten elektrometfr. 


71 


lüng)  in  einer  dc^r  nachstelieud  beächriebenen  Schaltungeti 
gi;pri3ft  werden  kann. 

Will  man  in  der  Schaltung  I  Potentiale  messen,  die  auJäer- 
jj  -ir  1  ,.  pfoportionalitätsgrenze  liegen  (>  75  Volt),  so  ist  eine 
V.  M;^e   Durcheiclmng   des   Instrumentes   nötig    (Fig,  6  b). 

Hit^bei  hat  man  immer  noch  den  Vorteil,  die  unbekannten 
Spannungen  auch  ihrem  Vorzeichen  nach  bestimmen  zu  können 
uüd  durch  Koni  mutieren  der  Plattenladuug  (und  damit  des 
&itenaiisscblages)  eine  groüe  tienauigkeit  der  Messung  zu  er- 
teil* Auf  diese  Weise  lassen  sieh  bei  einer  Flattenladung 
^oo  ±  I  Volt  Potentiale  von  ca.  1  Volt  bis  250  Volt  gut  messen 
(Fig.  6  b). 

Hat  man  es  aber  stets  mit  höheren  Potentialen  zu  tun, 
z,  B,  bei  Messung  des  atmosphärischen  Potonttalgefälles,  oder 
jjrill  man  das  Instrument  als  Hochspannungselektrometer  be- 
itz^n,  HO  emptiehlt  sich  die  Verwendung  einer  dickeren  Saite, 
tielleicht  auch  eine  der  unter  2  a  und  b  angegebenen  Schale 
lüngim  ohne  Hilfskdung, 

Bei  niederen  Plattenladungen  (±  10  Volt  und  ±  4  Volt) 
liUtt  sieb  die  Plattenladung  kommutieren,  um  Ausschläge  der 
Satte  n«ich  beiden  Seiten  hin  zu  erhalten,  aus  denen  dann  der 
If  •  '  rt  gebildet  wird*  Bei  größeren  Platten  lad  un  gen  ändert 
ü  Kommiitieren  derselben  die  Nullstellung  der  Saite, 
wohl  wegen  der  Ungleichheit  der  Spann nngen  beider  Batterie» 
hllften*  Die  kleinen  hiedurch  entstehenden  Verschiebungen 
<Ier  NuUage  der  Saite  (eap  0,5  bis  1  Okularteil)  stören  bei  der 
Hc<«a$ijng  nieilerer  Potentiale. 

Eej  gelingt  leicht  (bei  jeder  Plattenladung),  die  Ausschläge 
ler  Sitit**  nach  beiden  Richtungen  gleich  groi^  zu  machen.  Zu 
diesem  Zweckt:^  braucht  man  nur  die  beiden  Feldplatten,  ohne 
dabin  ihren  gegenseitigen  Abstand  zu  verändern,  entsprechend 
so  ten»chieben. 

Vm  auch  liei  höherfn  Plattenludungen  Ausschlilge  nach 
)^id<*n  S<*jtt^n  bin  zn  erhalten,  kommutii^rt  man  das  angelegte 
Potrtiital,  oder,  wo  dies  nicht  möglich  ist,  verwendet  man  die 


72 


Sitzung'  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  März  1907. 


Ib.  Plattenschaltimg. 

Bei  dieser  Schaltung  wird,  je  nach  der  verlangten  Emp- 
findlichkeit, eine  entsprechende  Anzahl  von  Zellen  der  Akku- 
mulatorenbatterie hintereinander  geschaltet,  der  eine  Batteriepol 
geerdet  und  der  andere  mit  der  Saite  verbunden.  Eine  Feld- 
platte wird  geerdet,  die  andere  an  das  zu  messende  Potential 
angelegt.  Beim  Kommutieren  des  Hilfspotentiales  bleibt  jetzt 
die  Saite  ruhig  in  ihrer  NuUage  stehen.  Auch  bei  dieser 
Schaltung  besteht  Proportionalität  zwischen  angelegtem  Potential 
und  Ausschlag  der  Saite  innerhalb  eines  bestimmten  Bereiches 
(wie  bei  la). 

IIa.  Doppelschaltang. 

Bei  meinen  Messungen  betrug  in  dieser  Schaltung  (siehe 
S.  64  unter  IIa)  der  Abstand  der  mit  der  Saite  leitend  ver- 
bundenen Feldplatte  von  ihr  =  5  mm.  Die  Saitenspannung 
betrug  einmal  28,9  Trommelteile,  was  der  bereits  oben  be- 
nützten Saitenspannung  entspricht  (Fig.  7  a)  und  wurde  bei 
einer  zweiten  Eichung  so  groß  als  möglich  genommen  (Fig.  7  b). 
Durch  gröüere  Annäherung  der  Platte   an  die  Saite   läßt  sich 

Tabelle  7. 


< 

Saitenspannung  28 
1     Saiten-      Potential 

0 
Saiten- 

Potential 

Saiten  spai 

i     Saiteo- 

inung  25,0 

PoUntiÄl 

1  Potential 

Saiten- 

in  Volt 

aussclilag 

in  Vült 

ausscblag 

in  Volt 

1  unsschlag 

j   in  Volt 

aaasoblag 

4,0 

1         0,1 

141,1 

38,0 

10,2 

'  V 

'    161,0 

21.6 

0,0 

(),;} 

151,4 

3b,0 

20,4 

;      0,0 

170,8 

22,6 

10,0 

1         1.0 

101,4 

30,4 

30,4 

1,0 

180.8 

23,5 

•20.4 

1        4,3 

171.2 

40,1 

40,0 

,        3,1 

190,8 

24,4 

H0,4 

9.5 

50,8 

!        4,9 

200,8 

25,2 

40,8 

15,2 

Ol.O 

1        0,8 

210,6 

26,1 

50,8 

20,1 

71,2 

!        8,8 

220,4 

27,0 

Ül,2 

;      24,5 

81,2 

1      10,7 

230,4 

27,8 

71,2 

'      27,7 

01,2 

i      12,4 

240.4 

28,4 

81, t 

,      30,0 

101,4 

14,0 

250,2 

29,1 

1)1,0 

,       32,0 

111.4 

15,0 

,    262,0 

30,2 

101,0 

33,5 

121,4 

17.0 

272,0 

30,9 

111,0 

31,0 

131,2 

,      18,1 

281,6 

31,6 

121.b 

36,0 

141.0 

19,4 

292,0 

32,1 

131,0 

,      37,(» 

151,0 

'      20,5 

1 

301,6 

1 

82,8 

C.  W*  Tiut^  I  Über  ein  •Saiteuelektrometer,  *  ^ 

4io  Empfind  lieh  keit  des  Instrumentes  steigern.  Wie  die  Eich- 
irven  (Fig,  7s  und  b,  liiezu  Tabelle  7)  zeigen,  ist  das  In- 
strument auch  in  dieser  Scbaltung  dem  ßlättclienelektroskope 
Überlegen,  de^eu  Meßbüreich  von  50  bis  ca.  250  Volt  geht, 
während  man  es  beim  vorliegenden  Instrumente  durch  ent- 
sprechende Wahl  der  Saitenspannung  in  der  Hand  hat»  ent- 
reder  mederere  oder  höhere  Spannungen  in  weitem  Bereich 
^enau  zu  messen.  Bei  Verwendung  dickerer  Saiten  gibt  das 
Insiniraent  in  dieser  Schaltung  ein  sehr  einfaches  Uochspan- 
»ujigselektronieter* 

Diese  Scbaltung  weist  noch  einen  weiteren  Vorteil  auf, 
der  aainentlich  luftelektrischen  Messungen  zustatten  kommen 
wird.  Das  Instrument  Vüüi  sieh  nämlich  bei  den  mittleren 
und  hnheren  Ausschlägen  der  Saite  um  ganz  erbebliche  Be- 
trago  neigen,  ohne  dnli  dadurch  eine  zu  berücksichtigende 
Änderung  der  SaiteneinstoUung  auftritt.  So  wurde  z.  ß*  das 
Elektroniett*r  bei  stärkster  Saitenspannung  und  100  Volt  an- 
getegtem  Potential  bis  ra.  40**  geneigt»  ohne  daJ3  eine  Ände- 
rung des  Saitenausschlages  (ca,  14  Okularteile)  eintrat*  Nur 
bei  den  kleineren  Potentialen  und  schwach  gespannter  Saite 
Tenifsacht  ein©  Neigung  des  Instrumentes  eine  geringfügige 
Änderung  der  Saiteneinstellung  (einige  yV  Okularteile  l>ei  stär- 
kerer NeigUDg).  Daher  besitzt  das  Instrument  überall  dort, 
wo  man  nicht  auf  eine  stabile  Aufstellung  rechnen  kann,  eine 
grofia  Verwendbarkeit,  also  namentlich  für  Beobachtungen  im 
B«U<»ci  und  auf  Schüfen. 


IIb*  Influenzschaltong, 
er  Abstand  der  einen  Platte  von  der  Saite  betrug  5  mm, 
ytenspannung  war  wieder  28,9  Trommelteile  die  andere 
Platt*  wurde  soweit  als  möglich  von  der  Saite  zurückgeschraubt 
(ca,  7  mm)*  Die  Eichung  ergab  die  in  Fig*  7  c  (hiezu  Tabelle  8) 
geg&eiclinete  Kurve,  Hier  gilt  im  wesentlichen  dasselbe,  was 
schon  unter  IIa  S.  72  angeführt  wurde,  nur  ist  das  Instrument 
m    dieser    Schaltung    gegen    Neigungen    etwas    empfindlicher. 


74  Sitzung  der  math.-phy8.  Klasse  vom  2.  März  1907. 

Tabelle  8. 


Influenzschaltung 

Infli 

enzschaltuDg 

Potential  in 

Volt 

Saitenausschlag 
0,2 

Potential  in 
171,0 

Volt 

Saitenausschlag 

20,4 

24,0 

30,1 

0,6 

181.0 

25,2 

40,6 

1,2 

191,0 

26,4 

50,8 

2,1 

201,0 

27,5 

60,8 

3,1 

210,6 

28,4 

71,0 

4,4 

220.8 

29,2 

81,2 

6,0 

230,6 

30,1 

1)1,2 

8,0 

240,6 

31,0 

101,4 

10,1 

250,4 

31,5 

111,4 

12.2 

262,4 

32,2 

121,4 

14,6 

272,4 

32,9 

131,4 

16.9 

281,6 

33,2 

141,0 

18,9 

291,6 

33,8 

151,0 

20,8 

301,6 

84,2 

161,0 

22,4 

Kapazität  des  Saitenelektrometers  bei  den  verschiedenen 
Schaltungsarten. 

Die  Kapazität  wurde  nach  der  Harmschen  Methode*)  be- 
stimmt. Wie  vorauszusehen,  war  die  Kapazität  des  Elektro- 
meters bei  Saitenschaltung  sehr  klein.  Um  sie  mit  wünschens- 
werter Genauigkeit  (ca.  l^/o)  nach  dieser  Methode  zu  bestimmen, 
dürfte  der  Harmsche  Kondensator  für  diesen  Zweck  eine  kleinere 
Eigenkapazität  haben. 

In  Saitenschaltung  betrug  die  Kapazität  des  Elektro- 
meters bei  ±  4  Volt  Plattenladung  (kommutiert),  10  mm  Platten- 
abstand und  28,9  Trommelteilen  Saitenspannung  =  5  cm.  Sie 
ist  also  ca.  3  mal  so  klein,  als  die  eines  Elektroskopes  und 
ca.  10  mal  so  klein  als  die  eines  Quadrantelektrometers  in  ge- 
bräuchlicher Ausführung. 

In  Doppel  Schaltung,  bei  5  mm  Abstand  zwischen  Saite 
und  Platte  und  28,9  Trommelteilen  Saitenspannung  betrug  die 
Kapazität  17,7  cm. 


»)  F.  Harms,  l*hy«ikal.  Zeitschr.  6,  47,  1904. 


C,  W.  LüU;  Üher  ein  Saiteuelektroniettvr* 


^;> 


In  Influetizschaltung,  bei  5  mm  Abstand  der  l*ktU*  von 
der  Saite  und  derselben  Saitenspann ung  von  28^9  Trommeltt»ilen 
erwies  sich  die  Kapa^&itüt  stark  abhängig  von  der  Gro^e  dm 
iiciiaussühlageSf  also  von  der  jeweiligen  Entfernung  der  Saite 
iii  der  infiuenzierten  Platte.  Die  Messung  ergab  Werte  zwischen 
5  und  8  cm  (bei  dem  gegebenen  Gesicbtsfelde  des  Ablesemlkru- 
skopes), 

Überblicken  wir  die  Ergebnisse  der  vorstehend  angeftlhrten 
Messungen,  so  lassen  sich  folgende  Eigenschaften  des  Saiten- 
elektrometers  anführen,  dnrch  welche  es  in  mancher  Hinsicht 
Jen  anderen  elektrostatischen  Meßinstrumenten  Überlegen  ist. 
För  alle  Schaltnngsarten  gilt:  Auläerst  eiiifitche  Hand- 
Imbting,  leichte  Transportfahigkeiti  M'^egfall  jeglicher  Arre- 
Üt^rungf  einfache  und  genaue  Ablesung,  auüerordentliche  Be- 
weglichkeit und  geringe  Trägheit  der  Saite,  daher  momentane 
Einsteltung  und  aperiodische  Dämpfung,  ferner  veränderlicber 
lleßl=H^reich,  vorzügliche  Isolation  und  endlich  Verwendbarkeit 
zum  ProjüEieren  und  Selbstregistrieren.  Bei  Verwendung  einer 
Uilfsladung  gilt  noch  besonders:  Gruläe  Empfindlichkeit,  Pro- 
porltODalität  zwischen  angelegtem  Potential  und  Ausschlag  der 
Sttite  innerhalb  ziemlich  weiter  Grenzen,  Möglichkeit,  den  Saiten- 
auajischlag  zu  kommutieren  und  damit  erhöhte  Genauigkeit  der 
Messung,  Meßbarkeit  auch  des  Vorzeichens  eines  unbekannten 
Poi^ntiales,  kleine  Kapazität,  einfache  Eichung. 

Für  die  Schaltungen  ohne  Hilfsladung  gilt:  Weiter  Meß- 
ich (durch  Veränderung  der  Saitenspannung  und  Verwen- 
dting  verschieden  dicke?  Saiten),  Unabhängigkeit  der  Angaben 
des  Instrumentes  von  der  Neigung  desselben  (bei  mittleren  und 
buheren  Potentialen  und  speziell  der  Doppelschaltung), 

[nfolge  diiser  Eigenschaften  dürfte  das  Saitenelektrometer 
Ztt  Tielen  Messungen  in  der  Physik,  Geophysik,  Chemie  und 
Phjutologie  verwendbar  sein;  es  wird  dort  besondere  Vorteile 
Meten,  wo  e»  sich  um  die  Messung  oder  Itegistrierung  kleiner, 
Aucb  rasch  veränderlicher  Spannungen  und  ElektrizJtätsmengen 
kiindeli^  sich  aber  auch  als  Hochspann ungselektrometer  unter 
R*'rinizung  dickerer  Saiten  eignen. 


76  Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  2.  März  1900. 

Zum  Schlüsse  drängt  es  mich  Herrn,  Prof.  Dr.  H.  Ehert 
für  die  Freundlichkeit,  mit  welcher  er  mir  die  zu  diesen  Mes- 
sungen nötigen  Apparate  zur  Verfügung  stellte,  auch  an  dieser 
Stelle  meinen  besten  Dank  auszusprechen. 


77 


Über  Krümmnig  und  konforme  Transformation. 


Von  A.  Vesfl, 


§1. 

AUgemaine  Punkttransfonnatioii  der  Ebene. 

Es  seien  f(;r,y),  fp{it^i/)  xwei  reelle,  eindeutige  und,  soweit 
es  in  Beftracht  kommt,  diH^rentiierbare  Funktionen  der  beiden 
miübbiingigen  Variabein  a?,y*  Dann  wird  vermöge  der  Glei- 
chungen: 

X  =  fix.  y) 

Y  =  7^  (jr,  y) 

jedem  Punkte  p  eines  den  angegebenen  Voraussetzungen  ent- 
sprechenden Bereiches  der  Ebene  x,  ij  ein  Punkt  F  nnt  den 
Koardinaien  K^  Y  einer  zweiten  Ebene  zugeordnet  sein^)  und 
umgekelirfc,  wenn  die  Funktional  de  tenninante  von  f  <p  nicht  ver- 
schwindet. 

Die  Gleichung: 


A) 


1) 


j.,  _  n  +  Yy  y'  _    y  +  tgg 

^*  +  -^^'y  i^'       1  —  y'  tg  «  * 


in    der   die   Indices   x,  y    partielle   Differentiationen   nach    den 
betreffenden  Variabein,    Y\y*   aber    die   Differentialquotienten 

d  Y    du 

fx*   /   hedeuten,  drückt  aus,  dali  der  von  *r,  y  ausgehenden 


'i  Uie   reiht vvinkelip:en    Koordinatenachfleti    beider    IClieneu    m<^j,''eii 
mllel  »ueimunier  ;iiij^'(*rn>uitiieii  weaku. 


78  Sitzung  der  math.-phyfl.  Klasse  vom  2.  März  1907. 

Kichtung  y*  in  der  ersten  Ebene  die  Richtung  Y*  in  der 
zweiten  Ebene  zugeordnet  ist,  welche  mit  der  ersten  den 
Winkel  a  bildet.  Die  Gleichung  1)  wird  im  allgemeinen,  falls 
tg  a  einen  gegebenen  Wert  für  die  Stelle  x^  y  hat,  nur  für' 
zwei  Richtungen  bestehen.  Sie  findet  aber  daselbst  für  alle 
statt,  wenn: 

Yx  =  X«  tg  a, 

X,  -t-  X,  tg  a  =  -  r.  tg  a  +  r^, 

—   Yy  tg  «  =  Xy 

ist.    Durch  Addition  der  ersten  und  letzten  dieser  Gleichungen 
und   Vergleichung  mit  der  zweiten  folgt: 

Da  nur  reelle  Werte  in  Betracht  kommen,  so  ist: 

r,=  ^x, 

und 

3)  i;tga  +  Xy  =  0. 

Sind  also  die  Gleichungen  2)  für  den  Punkt  p  erfüllt,  so 
entspricht  der  Gleichung  3)  ein  Wert  von  tg  a  derart,  daß  die 
Tangentenrichtungen  korrespondierender  Kurven,  die 
von  [K  r  ausgehen,  beständig  diesen  Winkel  a  mit- 
einander bilden;  diese  Tangenten  bilden  also  zwei  kongruente 
Büschel,  und  man  könnte  auch  umgekehrt  aus  der  Betrachtung 
solcher  Büschel  die  Gleichungen  2),  3)  erhalten. 

Die  Gleichungen  2)  können,  anstatt  nur  für  einzelne  Stellen, 
auch  für  Kurven  oder  auch  für  ein  zweidimensionales  Gebiet 
erfüllt  sein.  Versteht  man  unter  X,  1'  die  reellen  und  imagi- 
nären Bestandteile  einer  analytischen  Funktion  f{z)  der  kom- 
plexen Variabein  z  und  setzt: 

so  sind  die  Gleichunjxen  2)  für  jeden  Punkt  eines  zusammen- 
hän «senden  Gebietes  der  Ebene  erfüllt.     Setxt  man  dann: 


A*  Vo»«:    Konforme  Tmnsformation  und  Krümmung, 


79 


B) 


X,=X  +  {Y.-X,ii^rf{x,y) 


C) 


wo  m,  i»>2,  so  iiat  man  an  stelle  von  A)  ein  Entsprechen 
der  beideu  Ebenen  x^yi  X^^  Yj,  bei  deai»  falU  tg  a  aus  der 
üleiehnng: 

4)  tg  «  =^  t/i 

entnommüii  wird,  die  Gleicliiingen  2)  fiir  jeden  Punkt  der  Kurve: 

bestehen.  Das  heißt,  die  öleichangen  B)  vermitteln  ein  Ent- 
spr«<:hen  der  beiden  Kbenen  derart,  dali  in  jedem  Punkte  der 
Kam*  1\  —  X^  T/>  ^=  0  entsprechende  Fortschreitungsrichtungen 
kongruente  Büschel  bilden, 

Noch  allgemeiner  kann  uian  endlich  setzen: 

X,  =  X  +  fix  y)  ih  ( r.  -  X  tr*r* 
Y,  =  Y+  ^^i^y)  ih(Y,  -  x^y^.yk 

wo  IM|,  «fc  >  2;  i  ^=^  1,2  . .  -  PI  man  hat  dann  ein  System 
Fon  fj  Klirren  der  angegebenen  Eigenschaft. 

Wühlt  man  insbesondere  für  die  yu  ebensii  viele  ver- 
schiedene Kon^tanten^  so  ist  die  Winkeldifferenz  zwischen  den 
FortacbreittJDgsrichtuugeu  längs  der  Kurven  Ck: 

and  ihrer  entsprechenden  jeweilig  konstant* 

Diese  Kurven  e*  und  ihre  entsprechenden  6\  haben  be- 
loerkens werte  Eigenschaften. 

Es  seien  p,p'  zwei  konsekutive  Funkte  von  t>,  P,  F*  die 
i*ntsprt^henden  Punkte  von  Gk;  ferner  q'  ein  zu  p'  benach- 
barter Punkt  auf  der  Tangente  pp\  so  daü  pp*  ff  in  gerader 
Linie  liegen.  Dann  mÜBsen  sich  auch  die  Puukte  i\  P\  Q*  in 
gifmdor  Linie  befinden.     Also: 

Jeder  Kurve»  die  im  Punkte  jj  die  Tangente  von  c* 
mr  Wendetaogente    hat,    entspricht   eine    Kurve,    die 


80  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  März  1907. 

im  Punkte  P  die  Tangente  von  Ck  zur  Wendetan- 
gente hat. 

Möge  andererseits  eine  Kurve  c  die  Kurve  c*  im  Punkte  p 
berühren,  d.  h.  p  und  p'  mit  ihr  gemein  haben,  und  sei  }'  ein 
benachbarter  Punkt  von  c.  Dann  entspricht  der  Kurve  c  eine 
Kurve  C  der  zweiten  Ebene,  welche  mit  Ck  die  Punkte  P,  P* 
gemein  hat,  während  die  Richtung  P  Q'  mit  PP'  denselben 
Winkel  bildet  wie  p'q*  mit  pp\     Oder: 

Jeder  Kurve,  welche  C/t  in  einem  Punkte^?  berührt, 
entspricht  eine  Kurve,  die  Ck  in  P  so  berührt,  daß 
c  und  C  in  den  Punkten  jp,  P  gleiche  Kontingenz- 
winkel  haben. ^) 


^)  Der  Ausdruck  ^Kurven  von  gleichem  Kontingenzwinkel  in  ent- 
sprechenden Punkten"  ist  nicht  so  zu  verstehen,  als  ob  damit  der  einen 
Kurve  in  Bezug  auf  die  andere  eine  charakteristische  Eigenschaft  an 
und  für  sich  zugeschrieben  werden  solle.  In  der  Tat  braucht  man  nur 
zwei  beliebige  Kurven,  eventuell  dadurch,  daß  man  die  eine  um  einen 
geeigneten  Winkel  in  ihrer  Ebene  dreht,  so  aufeinander  zu  beziehen, 
daß  sie  in  korrespondierenden  Punkten  parallele  Tangenten  haben.  Dies 
ist  ,im  allgemeinen"  immer  möglich,  falls  nicht  die  eine  Kurve  eine 
gerade  Linie  ist.    Genauer  erkennt  man  dies  durch  folgende  Betrachtung. 

Zur  Bestimmung  aller  Kurven  ^,»7,  die  mit  einer  gegebenen  sc,y  in 
Punkten  desselben  Paiameters  t  gleiche  Kontingenzwinkel  haben,  setze  man : 


oder: 

d^      dx  dx 

d.h.: 

V  =  Jr  W  {dy-\-cdx)  +  const 

^  -^^f  (x)  (dx  —  cdy)'\r  const, 

wo  c  eine  willkürliche  Konstante,  f  (r)  die  Ableitung  einer  willkürliehen 
Funktion  von  x  bedeutet.  Für  c  =  tga  kommt,  wenn  man  f(x)  durch 
omafix)  ersetzt  und  die  Integrationskonst^inten  fortlaßt: 

t)  sin  a  +  ^  cos  a  =  f(x) 

ij  cos  a  —  ^  um  a  =  \  f  (x)  d  y. 


A.  Vom:  Konforme  Transformation  und  Krümmung.  81 

lusbesoodere  entspricht  der  Kurve  Ck  die  6\  so,  daß  beide 
in  korrespondierenden  Punkten  gleiche  Kontingenzwinkel  haben. 
Jedem  geradlinigen  Bestandteil  von  c*  entspricht  wieder  ein 
geradliniger  Bestandteil  von  (7*. 

§2. 
Konforme  Transformation  der  Ebene. 

In  allgemeinerer  Weise  ergeben  sich  die  vorigen  Betrach- 
tungen durch  die  folgende  analytische  Untersuchung.  Sind 
wieder  X,  Y  reelle  eindeutige  Funktionen  von  a;,y,  deren 
Funktionaldeterminante  J  nicht  verschwindet,  so  ist: 

dS'  =  dX*  +  dY" 
^(Xl+Yl)dx^  +  2{X^X^+Y^Y^)dxdy  +  {Xl+Yi)dy\ 

während: 


Fahrt   man  in  der   | ,  17  Ebene   ein   um    den    Winkel  a   gedrehtes 
Koordinutennystem  |',  v'  ein,  so  ist: 

aIm: 

und  auf  diesen  Fall  dos  Parallelirtmus  laßt  sich  daher  die  Hetraohtiin«,' 
zurückfuhren.  Ist  nun  y  =  v  (.r)  und  »/'  ■  i**(^'),  so  handelt  es  sich  um 
•lif  litrstinimun^  von  f(jr)  aus  den  (Gleichungen   1).     Dies  gil>t: 

^r{x)<p'{x)d.r^F{/'{,r)) 
oder: 

Ut  nun  0  die  reziproke  Funktion    von  /'\   also  «/^(/»"(m))  —  n,  so 
wird: 

*(7'W)  =  /(A 

»•«mit  f'ix)  so  hestimmt  ist,  daß  >/  =  -^*'(>')  wird,  und  zugleich  wird: 

■>ler: 

y  =  9.  (.r)  4-  const. 

im.  SftciiBfsb.  d.  ■ath.-phy«.  Kl.  6 


82  Siisung  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  Mars  1907. 

ist.     Auf  dieselbe  Weise  folgt: 

dXdY  •  _      I   dxdy 
^^  \(PXd'Y\'^      [d^xd'yl'^     ' 

wo   U  eine  Differentialform  dritten  Grades: 

U^a{dxy'\-b{dxydy  -h  cdx(dyy  +  d(dyy 

und: 

a  =  Xx  Ygx  —  Yg  Xxx 

&    =    2   {Xx   Yxff  Yx  Xffx)    +     Xy    Yxx   Yff  Xxx 

C    =    2   {Xff  Yxy    Yy  Xyx)     +      ^X    Yyy    Yg  Xyy 

a   =    Ay  Xyy  ly  ^yy 

gesetzt  ist.     Führt   man  nun  in  2)  die  Krümmungshalbmesser 
der  entsprechenden  Kurven: 


1        dxd^y  —  dyd^x 

r  ~              ds^ 

1        dXtPY-dYd'X 

li  ~               dS' 

ein,  so  folgt: 

3) 

Bei  jeder  Abbildung  ist  also  die  durch  dx^  dividierte 
Ditt'erenz  der  beiden  die  Krümmungsradien  enthaltenden  Glieder 
nur  von  der  Richtung  y'  abhängig,  daher  für  alle  entspre- 
chenden Kurven  mit  derselben  Tangente  dieselbe.*)  Und  es 
gibt  stets  mindestens  eine  reelle  Tangentenrichtung,  für  die 
r  =  0  ist,  so  daü  sich  die  Gleichung  3)  auf: 

dS^  _      ds^ 
R  r 

M  Virl.  die  Anmerkuug  lu  S  4  |mi^.  ^2. 


A.  Voss:  Konforme  Traiuformation  und  Krümmung.  83 

reduziert.  Es  ist  von  Interesse,  die  Kurven  zu  bestimmen, 
fQr  die  bei  gegebener  Abbildung  U=0  wird.  Dabei 
werden  sich  sehr  mannigfaltige  Verhältnisse  ergeben;  ich  be- 
schränke mich  daher  auf  den  Fall,  wo  die  Gleichungen  2)  des 
§  1  oder: 

'  X,=  -T,. 

zunächst  für  die  Stelle  x,y,  erfüllt  sind.     Dann  wird: 

falls: 

^^'setzt  wird.     Der  Differentialausdruck   U  nimmt  die  Form: 

U^ds'iAdx  -h  JBdij) 

an,  wenn  die  beiden  Gleichungen: 

A,  Y,x  J^-A,»  —  2  (JLy  Yjfx  —  iy -Xxy)  —  (Ax lyg  —  Yx  Aj^y)  =  0 
A^  ipg — jTyAyy  —  2(Jixixp  ~~  l«Axjy)  —  (Ay  Ijp,  —  ly  A, x)  =  0 

besteben.  Führt  man  in  dieselben  die  Gleichungen  4)  ein,  so 
erhält  man: 

X,P+XxQ  =  0, 
Wo: 

Q  =  X,^  +  2  r,,  -  x„ 

j?tsetzt  ist.  Da  nun  /l  nicht  Null  ist,  müssen  also  P  und  (^ 
bride  Null  sein,  d.h.  es  müssen  die  beiden  (ileichungen: 

an  der  betreffenden  Stelle  erfüllt  sein.  Damit  aber  vorwandelt 
sich  die  Gleichung  3)  in: 


84  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  März  1907. 

dS_ds       Adx  +  Bdy 
o;  E         r  ^  T  ' 

wo: 

ist.  Unter  den  Voraussetzungen  4),  5)  gibt  es  also  für  eine 
solche  Stelle  nur  eine  einzige  reelle  durch: 

Adx  -}-  Bdy  ^  0 

bestimmte  Fortschrei tungsrichtung  derart,  daß  zwischen  den 
Kontingenzwinkeln  korrespondierender  Kurven,  deren 
Tangente  in  diese  Richtung  fallt: 

7  ds      ^j^       dS 

de  =  -,     dE  =  ^ 

die  Beziehung  stattfindet: 

dE=  de. 

Bei  der  konformen  Abbildung  sind  die  Gleichungen  4) 
und  mit  ihnen  die  5)  identisch  für  alle  Punkte  des  Gebietes 
erfüllt.     Zugleich  wird  aber  jetzt: 


wie   sich    unmittelbar   aus  6)   ergibt.     Die  Gleichung  6)   geht 
damit  über  in: 

dS       (Is        ,       ,    fXu\ 
oder: 

Diese  Gleichungen  bestätigen  den  Satz,  daß  die  Kontingenz- 
winkel  der  Kurven  c: 


A.  Voss:  Konforme  Transformation  und  Krümmung.  85 

und  ihrer  entsprechenden  C  für  entsprechende  Stellen  gleich 
sind,  allgemeiner,  daß  für  jede  diese  Kurven  berührende  Kurve 
und  ihre  entsprechende  im  Berührungspunkte: 

1  1 


R       rVT 
ist    Die  Kurven  c  gehen  ersichtlich  durch  alle  Punkte,   wo: 

ist,  falls  die  konforme  Transformation  durch: 

ausgedrückt  ist,  d.  h.  durch  diejenigen  Punkte  der  ersten  Ebene, 
denen  die  Windungspunkte  der  zweiten  bei  der  Abbildung 
entsprechen. 

Integriert  man  die  Gleichung  7*),  so  folgt: 

8)  £-£,=»£  ~  ^0  -  I  arctg  (x')''  "^^  • 

Bezeichnet  man  also  den  Winkel  zwischen  den  Tangenten 
im  Anfangs-  und  Endpunkte  eines  stetig  gekrümmten  Bogen- 
ytUcVes  pp*  mit  [pp'\  und  analog  mit  [PP'J  für  den  vermöge 
der  konformen  Abbildung  entsprechenden  Bogen  PF*,  so  ist: 

[PP]-b/»']  =  -|arctg(|''-)'''  . 

Dabei  ist  vorausgesetzt,  daß  das  Bogenstück  durch  keinen 
Punkt  geführt  ist,  für  den  f  (z)  =  0  ist.  Die  Worte  der  Arcus- 
Uingenten  sind  dabei  der  stetigen  Fortsetzung  dieser  Funktionen 
gemäü  zu  wählen. 

Betrachtet  man  nun  die  Funktion: 

log(/'^)  =  log(X,    -iX,) 

=  l  log  T  -  i  arctg  (^^'^ 


86  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  März  1907. 

so  sind  die  Kurven  T  =  const  =  (^  die  orthogonalen  Trajek- 
torien  der  Kurven: 

Xy  -  c  X,  =  0. 

Bringt  man  die  Differentialform: 

Adx  -\-  Bdy 
in  die  Oestalt: 

1  /aT  ,         dT  ,   \ 

2\dy  dy       )' 

so  folgt  aus  6): 


wo: 


ist,  und  dies  ist  die  Beziehung,  welche  zwischen  den  Krüm- 
mungshalbmessern der  Kurven  T  =  cl  und  ihren  entsprechen- 
den (allgemeiner  für  jede  diese  Kurven  berührende  Kurve  und 
ihre  entsprechende  im  Berührungspunkte)  stattfindet. 

Zu  einer  anderen  Eigenschaft  des  Orthogonalsystems  der 
Kurven  c  und  T  führt  die  folgende  Betrachtung. 

Es  sei  irgend  ein  Polygon  gegeben,  dessen  Seiten  sich 
nicht  untereinander  durchschneiden  und  von  stetig  gekrümmten 
Kurven  gebildet  sind,  welches  also  einen  einfach  zasammen- 
hängenden  Teil  der  Ebene  begrenzt.  Befindet  sich  im  Innern 
desselben  kein  Punkt,  wo  /''(^)  =  0  ist  (Stellen,  wo  f'{^)  =  oo, 
sind  schon  durch  die  früheren  Voraussetzungen  ausgeschlossen), 
so  wird  diesem  Polygon  vermöge  der  konformen  Abbildung 
ein  zweites  von  demselben  Charakter  entsprechen.  Zugleich 
ist  aber  das  über  die  Begrenzung  des  ersten  erstreckte  Integral: 

oder : 

Ji  d  log  T  -  iSii  arct«  (l'^^  =  0. 


k,  Voai:  Konfeinne  Trausforiiuition  iii»fl  lirfltniriiing. 


87 


th  nun  der  erste  Teil  *^deich  Null  ist,  so  liefert  der  «werte^ 
fiüUs  die  Ecken  des  erstell  Polygons  mit  /?p/J|  .  -  -$  fm^  die  deit 
zwdiüii  uitt  Pi^Pff  ,  ,  ,,  Pp,  bexeichiiet  wenlnn: 

'  I '  1 1 eu    W i n kel s;^ rößen    mit   ihren    Var7.<uclien    In^- 

n  !    1^;'  ^' '"J^'H,     Dieser  Satz  kann  übrigens  aucli  aus*  dem 

aUgemeiDffn  Oau&* Bonne tsctiea  Satze  über  die  Curvatura 
illl6)frm  gi*schl»>«sen  werden  (vgL  §  4),  wie  denn  hmh  Siit/.e, 
dur  cl>eii  genunntc  und  im  Cauchysche  Theorem  zur  gemein- 
fiftiueo  Qtielle  die  Green  sehe  Betrachtung  haben.  —  Eine  be- 
Aondc^r»  einfache  Form  erhält  derselbe  durch  Änwendiini;^  iiuf 
«ui  Viereck,  von  dem  zwei  gegenüberliegende  Seiten  p, />,, /^^/^^ 
darch  Kurven  r  gebih!et  werden,  es  folgt  dann  [/*,/y  -[Pi^tl 

0ie    Kurvensy Sterne  c  =^  con&t    bei    konformer    Tr»DÄ* 
fortoation  der  £bene. 

>4*tb  J  -   Uut   bei  der   konformen    Abbildung   der   Ebene 
Kiirvi*nfiv*it<»m  Xg  —  u  X*  ^=  U  M  die  Eigeascliaft  daü  zw'iscben 
tm  KrÜmmung?trailiiis  r  einer  Kurve  der  ersten  E))eiie,  welche 
Ktirre  des  Systems  berührt,  und  der  entsprechenden  Kurv© 
KrÜKtiJUttiig»radiuB  II  die  Beziehung: 

R    ~  r 

Jür  drn  Herüfarung^ipunkt  besteht   Die  linke  Seite  der  Qleichun<;: 

X^  — <?X^  0 

illgl  mlhsi  der  partiellen  Differentiiilgleiehnng  f,  =  0.  Man 
kftno  min  Qtngekehrt  njuch  denjenigen  konformen  Abbildungen 
b^ga,   li<»i    denen   das  System   dieser    Kurven   ein   ge- 


».%\r      v^miij.     haa^i   k* 


-liittsrhiti  ikU  KufYttn  c  h^Tttlvhtiti, 


88  Siisung  der  math.-phys.  Klafise  vom  2.  März  1907. 

Es  sei  also  i/'(^y)  =  const  ein  System  von  Kurven  dieser 
Art,  dann  müssen  die  Gleichungen : 

bestehen,  wo  (p  eine  Funktion  von  tp  allein  ist,  und  X  eine 
unbekannte  Funktion  von  x,  y  sein  wird.  Man  erhält  aus  1) 
vermöge  der  Integrabilitätsbedingung  für  X  und  der  Bedingung 
Jg  X  =  0  die  Gleichungen : 

Xx(p  -f-  ^9?*  V'*  +  ^y  =  0 , 

dm 

WO  <7>'  =  -,—  gesetzt  ist.     Setzt  man: 

i"  =  logV) 
so  ist: 

3) 

„ ,v»y  — y» 

und  die  Integrabilitätsbedingung  für  3)  wird  nun: 

4)         (^P"  -  ^+^I)  (vi  +  V'*)  +  9'  (V„  +  Vj  =  0. 
Da  9?  nur  von  y>  abhängig  ist,  muß  die  Gleichung: 

bestehen,  wobei  f'{y^)  die  Ableitung  einer  willkürlichen  Funktion/ 
von  ty  bedeutet.  Gleichung  5)  ist  zunächst  erfüllt,  wenn  A^yj  =  0 
ist.     Alsdann  ergibt  sich  aus  4): 

cp"  __  2(p(p' 


*)  Unter  log  wird  der  natürliche  Logarithmus  verstanden,  da  die 
Schreibart  /  leicht  zu  Mißverständnissen  führt. 


A.  Voss:  Konforme  Transformation  und  Krümmung.  o9 

oder: 

wo  Cj  und  c^  reelle  willkürliche  Konstanten  sind,  und 
weiter: 

i"  =  —  ^1  hwx  dy  —  ip^dx)  + log  cos  (c,  y^  +  c,) 

A  =  C"**"  COS  (c,  v  +  Cg)» 

wenn  u;  =  Cj  J  (v*  dy  —  y^  ^^)  gesetzt  ist.  Hieraus  ergibt  sich 
nach  1)  X  und  schließlich: 

als  die  verlangte  Abbildungsfunktion.  Da  nun  yf  der  reelle 
Teil  einer  willkürlichen  Funktion  der  komplexen  Variabein  z: 

ist,  so  erhält  man  u;  =  c,  9p,  oder: 

wo  die  Konstante  vor  dem  Integral  auch  weggelassen  werden 
kann,  weil  sie  nur  eine  Drehung  des  Koordinatensystems  be- 
deutet. 

Aber  auch   die  Gleichung  5)   läßt   sich  vollständig   lösen. 
Setzt  man: 

^  =  x+yi,     rj  =  x  —  yi, 

so  geht  5)  über  in: 

d^dtj         dt]  dV    ^ 
Ein  erstes  Integral  ist: 

WO  V  eine  willkürliche  Funktion  von  t;,  V  ihre  Ableitung  be- 
deutet.    Setzt  man  noch  /"(v)  =  log  i^(v'),  so  erhält  man: 


(i'O  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  März  1907. 

oder: 

^,  =  eiUix  +  iy)-{-Vix-iy)), 

WO  Ö  eine  willkürliche  Funktion    ihres   Argumentes    bedeutet; 

damit  ein  reeller  Wert  für  1  ^-  entsteht,   müssen   U  und    V 

komplex  konjugierte  Funktionen  der  Argumente  x-^-yi.x — yi 
bedeuten.     In  der  Tat  wird  dann  auch: 

so  daß  die  rechte  Seite  eine  Funktion  von  v'  allein  wird. 
Hieraus  ergibt  sich,  was  übrigens  zu  erwarten  war,  daß  für 
die  Kurven  t/'  =  const  jede  reelle  Funktion  des  reellen  Teils 
einer  Funktion  der  komplexen  Variabein  ^  gleich  einer  Kon- 
stanten zu  setzen  ist. 

Einige  einfache  Beispiele  mögen  dies  veranschaulichen. 

Sollen  die  Kurven  c  ein  System  von  Parallelen  bilden,  so 
ist  v  =  ax  -\-  ßy  zu  setzen.  Dies  ist  der  reelle  Teil  der 
Funktion: 

f{^=^{x-^yi){a-ßi), 
demnach  ist: 

die  gesuchte  Abbildungsfunktion. 

Das  System  gleichseitiger  Hyperbeln: 

V  =,r-  —  y^  +  2cxy  -{-  2ax  -\-  2ßy  =  const 

ist  das  einzige  System  von  eigentlichen  Kegelschnitten,  welches 
der  Gleichung  J^  \p  =  0  genügt;  dem  entspricht  die  Funktion: 

az)  =  z'{\-^ic)^2z{a-iß) 

und  hieraus  folgt: 


A.  Voss:  Konforme  Tmnsformation  und  Krümmung.  91 

Um  auch  ein  Beispiel  für  den  Fall  der  Gleichung  5)  an- 
zuführen, setze  man: 

fiz)  =  X+  Yi, 


und  wühle: 

Dann  wird: 

Ayf        1  -|-  y;^ 

oder: 

Bestimmt   man  jetzt   aus  3)   den   Wert   von  A,    so   erhält 
man  als  Abbildungsfunktion: 

Ist  insbesondere  /*(-?)  =  -  -8^",  so  wird  tlUr  z^o (cos qy  +  isinq): 

v'  =  — tg(»  -  i)r: 

die  Kurven  v»  =  const  bilden  hier  ein  Büschel  von  durch  den 
Nullpunkt  der  Koordinaten  gehenden  (ieraden,  denen  nach  §  1 
fin  solches  Büschel  in  der  zweiten  Ebene  entspricht. 
Setzt  man  dagegen: 

wobei  X  wieder  in  der  eben  angegebenen  Weise  zu  /'(^*)  «^^»hört. 
so  i.'it: 

J  »/•        V 
und  man  erhält: 

Setzt  man  z.  B.  fLs)  =      z*\  so  wenlon  di<»  Kurven  »r^  const 

konzentrische  Kreise,   denen  dann  in   der   zweiten    Ebene  log- 
arithmische Spiralen  entsprechen. 


92  Sitzung  der  math.-pbys.  Klasse  vom  2.  März  1907. 

§4. 
Konforme  Transformation  einer  Fläche  in  eine  andere. 

Sind  zwei  Flächen  irgendwie  durch  gleiche  Werte  der 
unabhängigen  Parameter  u,v  aufeinander  abgebildet,  und  die 
Quadrate  ihrer  Längenelemente: 

ds^=^edu^-\-2fdudv  +  gdi^ 
ds\  =  e^du^  -\-  2fidudv  -}- gidv^; 

setzt  man  femer: 

so  ist  bekanntlich: 

^  ds*  +  ds^'  ^ 

wo  P  eine  Differentialform  dritten  Grades  in  du,  dv,  die  geo- 
dätische Krümmung  irgend  einer  auf  der  ersten  Fläche  ge- 
zogenen Kurve.     Hieraus  folgt: 

rfs^_      dsJ_P_P, 

d.  h.  die  Differenz  linker  Hand  ist  nur  von  den  ersten  Differen- 
tialen abhängig.^)  Nimmt  man  nun  an,  daß  die  Flächen  kon- 
form aufeinander  abgebildet  sind,  und  ist  etwa: 

1)  P  hat  den  Wert: 

1     \edu  +  fdv      2adu^  +  4:a'dudv  +  2a"dv^\ 
2l[\fdu  +  gdv     2hdu^-{-^b'dudv  -\-2b"dv^\' 

wo: 

2a  =  eu,  4  a' =  2«»,  2a"  =  2fv—9u 

26  =  2/«  — c     4  6' =  2//«,  2b"  =  gv 

zu  setzen  ist. 

*)  Diese  Bemerkunj?,  die  für  alle  in  dieser  Arl)eit  enthaltenen  Be- 
trachtungen wesentlich  ist,  benutzt,  wie  ich  sehe,  auch  schon  Herr 
Mehmke,  allerdings  in  ganz  anderer  Richtung,  in  seiner  Note  Ȇber 
die  geodätische  Krümmung  der  auf  einer  Fläche  gezogenen  Kurven  und 


A*  Voss:  fConfortiie  Tmuifortnatioii  und  Krümmung. 


93 


ergibt  äich  aus  2): 

^''      yl       ^Xyids'ldv,    k,{dv^^du^)-i'2l^dudv 
Y^  1      (Awcit?  —  A,eltj) 

Ti  ds^  —  yds=-   {L  dv  —  A,du). 

Für  die  Kurvenschar  c^  welche  der  Differentialgleichung: 

X^dp  —  jitdu^=Q 

genögt,  und  die  iiir  entssprechende  c^  gelten  ganz  ähnliche 
liigenschaften  wie  in  gl.  Diese  Kurven  haben  iti  entspre- 
*cbenden  Punkten  gleiche  geodätische  Kontingenzwinkel,  und 
jede  Karre  der  ersten  Fläche,  welche  eine  c  berührt,  geht  in 
eine  die  Kurve  €^  der  zweiten  Fläche  dergestalt  berührende 
über,  data  für  den  Berührung^putikt  die  geodätischen  Kontin- 
geiiKwinkel  erhalten  bleiben,  u,  s.  w. 

Die  Kurven  c  lassen  sich  im  allgemeinen  nicht  durch 
Quadratur  bestimmen;')  dagegen  sind  ihre  orthogonalen  Tra- 

yihrrt  Audening  bei  beliebiger  Transformiition*  (ftueb  Ben! bnin getrau«* 
^orniÄtion).    Zeibcbrift  für  Mathemiitik  und  Phyitk,  Bd,  37.  p.  188,  1892. 

Tergl eiche  auch  die  amlöiwi  iti^en  Arbeiten  die«ei  Autors^ 

»Über  Kttrei  die  Krümiivung  von  Kurven  und  das  Gaußscbt;  KrÜDi- 
mitfigstaai  von  Flächen  betreffende  churakteriBtische  Eigen acbafteu  der 
lioeartjn  Pitnkttranäfornmtion''*  ebenda*  Bd.  S6«  p.  206,  lÖül; 

»üntersncbungeu  über  die  auf  die  Krümmung  von  Kurven  und 
Flftcbea  bezüglichen  Ei^enaebafteG  der  Berührungstränsfonnatiouen*, 
ebrndii»  Bd.  S8,  p.  7.  18!^3,  sowie  meine  Arbeit  »Zur  Tbeorie  der  Krilra- 
muDg  der  FliLehen'.    Math.  Ännälen,  Bd.  39,  p.  17^,  189  L 

')  Elnf&che  auf  Quadraturen  führende  F^le  aind  sc,  B.: 

1  =  CTT.      X=U+V,       1  =  ^^  n. 9.  w., 

17,  V  Funktionen  von  «,  r  tdleio  sind. 


94  Sitzung  der  math.-pbys.  Klasae  vom  2.  März  1907. 

jektorien  unmittelbar  gegeben  durch  l  «=  const,  und  in  ent- 
sprechenden Punkten  dieser  Trajektorien  auf  den  beiden  Flächen 
findet  für  sie  berührende  entsprechende  Kurven  zwischen  den 
geodätischen  Krümmungen  die  Beziehung: 


r.V~^-r-hy^l  +  ^^ 


2k 

statt. 

Der  Ausdruck: 

kudv  —  A,  du 
Ä 

wird  ein  vollständiges  Differential,  wenn: 

4)  J,  log  ;  ==  0 

ist,  wo  Jg  der  zweite  Differentialparameter: 

ist.     Tritt  an  Stelle  des  speziellen  Längen  dementes  2): 
ds^  =  edu^  +  2fdudv  -\  gdv^, 

so  ergiebt  sich  für  die  Differenz  der  geodätischen  Kontingenz- 
winkel : 

de  =  yds,         de^  =  y^ds^, 

*  2//[\^    du       '     dv   J  \     dv  ^u  /      ] 

und  hier  ist,  wie  übrigens  aus  4)  schon  zu  ersehen,  die  rechte 
Seite  ein  vollständiges  Differential,  wenn: 

6)  Jg  log  A  =  0 

ist,  wobei  jetzt  J,  den  zweiten  Beltramischen  Differential- 
parameter  in  Bezug  auf  das  allgemeine  Längenelement  be- 
deutet. Aus  der  bekannten  Formel  für  das  Krümmungs- 
mai3  k: 


A.  Viiirt:  Kanforme  'l'nmKfornialiun  und  Kraiuninntj;. 


% 


2  in-  =  j*^  (.(2  f„  -  ,,)  -  fe„)  -  ^-  (eg„  -  fe.) 

i^rliilt  laaiit  wenn  man  e,f,g^  durch  Je,  ^ft^ff  ersetzt^  die  Be- 
ziehung scwisehen  den  KrüminungsmaßeB  k  und  ^j: 

7)  Xkj--Jc  ^  —  l  A^ log  X,  I 

Der  Ausdruck  rf^j— rf£  ist  daher  nur  dann  ein  voll- 
atütidij^es  DifferenÜaK  wenn  zwischen  den  Krümmungsmaljen 
in  korrespoudiereuden  Punkten  die  Gleichung: 

besieht 

Genügt  also  der  Modul  l  der  Bedingung  6),  so  ist  für  je  zwei 
«n Sprechende  Kurirenstücke  mit  den  Bogenelemenfcen  d^,  ä$^i 

^ft  Vk,d8,^Vkds 

^f  §k,dQ}^=^  §kday, 

wo  dm,d(t>^  koiTe8|iotidierendeFIächenelemonte  sind;  d.h.  ent- 
sprechende Fliichenstücke  hahen  gleiche  Curvatura 
integra.  Diese  letj^teren  Sütze  bilden  eine  wesentliche  Er- 
weiterung der  en  top  rech  enden  für  die  Ebene,  welch  letztere 
ftits  den^lhen  fiir  A  =  Aj  =  0,  d.  h.  wo  heide  Flächen  develop- 
pab^l  sind,  hervorgeht^*  Nieinala  ]aä^s*?n  sich  dagegen  z,  B. 
zwei  Flikh^^n  konstanter  KrQmniung  derart  aufeinander  be- 
zif^hpt],  daü  de,  —  df  ein  totales  Differential  wird,  den  einzigen 

M  ^  und  ^1  nifliüen  dt^lier  iteN  ron  gleichi^n  Zeichen  aeiti. 

Bnogrt  ma.n  Fprinel  &)  fttr  eine  geatblossene  Kurvt»  der  ersten  Fläclie 
snr  A.it  Wendung,  die 'ein  ,  Kiemen tarflttchetiittüak*  WgTeaÄt  und  entapridit 
thr  wii»di-r  einö  »olcb*-  Kurve  dt?r  zweiten  Fl&cliet  m  ergibt  aich  duFcb 
Anw«eidiiLi|^  de»  Greenndien  Sutiie^  für  die  Summe  aüer  Kontiögt^ftz- 
winktfl: 


^ 


£*,V^;«|jVft)4,lairA: 


dlfiWT  Sali  »ber  g^ht  am  dem  Gauii-ßonaeticben  8at«e  bervor*  ^wie 

vmtk  di«  Fi^ruN^I  7)  licniitri.. 


^m 


96  Sitzung  der  maih.-phys.  Klasse  vom  2.  März  1907. 

Fall  ausgenommen,   wo  X  selbst  eine  Konstante  ist,  womit  die 
Beziehung  auf  die  Ähnlichkeit  resp.  Kongruenz   hinauskommt, 
um  ein  Beispiel   für  den   unter  8),  9)   betrachteten  Fall 
zu  geben,  setze  man: 

10)  <p{u  +  iv)=U+iV 

(p{u  —  iv)  =  U —  iVj 

wo  q^  die  komplex  konjugierte  Funktion  zu  q?  ist,  und  nehme 
an,  daß  diese  Formeln  sich  eindeutig  so  umkehren  lassen,  daß: 

wird.     Das  Quadrat  des  Längenelementes: 

geht  jetzt  durch  die  Transformation  10)  über  in: 

ds\  =  e  (m,  v)  {du'  +  dv')(p'  ^' 

und  die  beiden  Flächen  mit  den  Quadraten  der  Längenelemente: 

ds^=^e{du^  +  dv') 
dsl^tp'^'eidu^  +  dv') 

stehen   jetzt   in   konformer  Beziehung,   so   daß  X^=s(p'q?'   ist. 
Dabei  ergibt  sich: 

2^(log9'V)=3'-arctg(^;) 

(log  tp'qp')  =  -  ^  arctg  (^^"j, 


1  ^ 

2  dv 


also: 


de,  —  de  =  d  arctg  f  jj"  j, 
wie  nach  §  (2)  zu  erwarten  war. 


A.  Voss:  Konforme  Transformation  und  Krümmung.  97 

Zar  Au£6iiidung  der  Kurven  c  im  allgemeinen  Falle,  zu 
dem  wir  zurückkehren,  genügt  es  übrigens,  einen  integrierenden 
Fiktor  /i  des  Differentialausdruckes  auf  der  rechten  Seite  von  5) 
ZQ  bestimmen.     Dieser  muß  den  Gleichungen: 


11) 


/  aiog^       3iogA\        alogA, 
^V     aw       '    dv  J  dv 

/alogi     .aiogi\         r^aiogA, 


genügen.     Dies  gibt  die  Gleichung: 

12)  HA(logX,logpL)-{^A,logX  =  0, 

wo  d  der   Beltramische    Zwischenparameter    ist.      Aus   den 
Gleichungen  11)  folgt  aber  auch: 

yyalog^_      dv au 

au    ""  /i 

_  „aiogA  ^^   au  '_  dv_ 

d  V  fi 

oder,  wenn  man  -  =  //,  setzt: 

H  {A  log  /i„  log  A,)  +  J,  log  x^  =  0. 

Dies  ist  die  Bedingung  fiir  den  intt^^rierenden  Faktor  /i,, 
der  für  die  konforme  Beziehung  der  beiden  Flächen  mit  den 
Qa^ratt*n  des  Langenelementes: 

ds*  =  edu^  4"  'i'fdii  dv  +  (J  dv"^ 
dsi  =  i,  ds" 

zo  suchen    ist,   und  dieser  Faktor  ist  ohne   weiteres  bekannt, 
mftld  man  /4  aus  der  Gleichung  12)  gefunden  hat. 

.  d.  HAth-phyt.  Kl.  7 


98  SitzuDg  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  M&rz  1907. 

§5. 
Konforme  Raumtransformation  einer  Kurve. 

Es  seien: 

X,  ==  (pi  {x^  x^  iCg);       i  =  1,  2,  3 

drei  eindeutige  reelle  etc. .  .  .  Funktionen,  welche  in  einem  ge- 
wissen Gebiete  x  eine  eindeutige  Umkehrung  zulassen;  ihre 
daselbst  nicht  verschwindende  Funktionaldeterminante  sei  A, 
Jede  Kurve  des  Gebietes  x  wird  dann  in  eine  Kurve  des  Ge- 
bietes X  transformiert  werden.     Nun  ist: 

dXi  =  Jj(pi,kdx^ 
rf^  X,  ==  XI  q^i.ki  dXk  dxi, 
wo  die  DiflFerentiale  nach  irgend  einer  unabhängigen  Variabein 
genommen   sind.      Dabei    ist  (pi,k  =  ^—^i ...  so  daß  die  hinter 

dXk 

dem  Komma  stehenden  Indices  Differentiationen  nach  den  be- 
treffenden Variabein  bedeuten;  die  Summation  bezieht  sich  auf 
diese  letzteren  Indices.     Setzt  man  noch: 

Oi  =  ^(pi,kidXkdxi, 
führt  man  zugleich  für  die  Determinante: 

i  -^t  -ß«  ^« 

allgemein  die  abkürzende  Beziehung: 

{ABC) 
ein,  so  wird: 

1)  A{dxd'xa)={dXd^XÄ)  —  {dXoAl 

Dabei   sind    die  fi,  a,  a,  oder  a,  beliebige    Größen   (Funk- 
tionen der  x^  und: 


A.  Voss:  Konforme  Transformation  und  Krümmung.  99 

Setzt  man  noch: 

a,-  =  k  cos  a, 

-4,==  KzoHÄi 

d  =  \{dx^cPx^  —  dx^cPx^y  4-  {dx^dPx^  —  dx^  d^x^Y 

+  {dx^d^x^--  dx^d^x^y\\ 

und  bezeichnet  man  das  Bogenelement  einer  Kurve  im  o;  Gebiete 
mit  ds,  ihren  Krümmungshalbmesser  mit  r,  so  ist: 

ds^  =  rd; 

fahrt  man  femer  die  analogen  Bezeichnungen  mit  großen 
Buchstaben  für  das  Gebiet  der  X  ein ;  bezeichnet  man  endlich 
mit  1^  den  Winkel  zwischen  der  Binonnale  der  ersten  Kurve 
und  der  Richtung  cosa^  cos  a^,  cos  a,  und  gibt  dem  Winkel  ß 
die  analoge  Bedeutung  ftir  die  entsprechende  Kurve,  so  hat 
man  nach  1): 

2)  *  J  ''•"'  cosd  =  K-^  cos  e-U, 

r  R 

wo    V  der  DiiFerentialausdruck  dritten  Grades: 

U={dXGA) 

ist.  Für  je  zwei  korrespondierende  Kurven  ist  daher  die 
Differenz  der  beiden  r  und  R  enthaltenden  Glieder  nur 
abhängig  von  den  ersten  DiflFerentialen ,  d.  h.  der  Tan- 
^entenrichtung  der  gewählten  Kurve.  Die  elementaren 
Kumplexkegel  f7  =  0  sind  Kegel  dritten  Grades,  und  jede 
K«»mplexkurve  im  Sinne  von  Lie,  welche  zu  diesen  Kegeln 
irehort,  hat  die  Eigenschaft,  daü  für  sie  und  ihre  entsprechende 
die  Relation  besteht: 

Ä  J  —  cos  17  =  A    -,    cos  r>. 
r  R 

Besondere  Vereinfachungen  treten  auch  hier  ein,  wenn 
man  eine  konforme  Transformation  des  Raumes  be- 
triirhtet,  d.  h.: 


100  Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  2.  M&rz  1907. 

setzt.     In  diesem  Falle  erhält  man  die  Gleichung  2)  am  ein- 
fachsten durch  Differentiation  der  Identität: 

XiO  =  a?^;       o  =  Q^'j 
nämlich  aus: 

o dXi -\-  daXi  =  dX{ 
od'Xi+2dodXi+d'oXi^d'Xi, 

Es  ergibt  sich  so  leicht: 

3)  (-dx  d'xa)  =  a»  (dXd'XÄ)  +  2^^  (dxxa). 

o 

Setzt  man: 

a,  =  Je  cos  Qi 

4)  X'   -. 
Ai  =  a»  —  2  —  ^a^a;,  =  if  cos  -4,-, 


a 
so  wird: 

und  aus  3)  folgt  nunmehr: 

^.  ds        ^      dS       ^.2T 

5)  __cos*=-^cose  +  ^, 

wo  mit  T  die  Determinante: 


dx^  dx^dx^ 

-/   =  I      X^      ^f     ^s 


=  (dxxa) 


bezeichnet   ist.      Je   nach    Wahl    der    willkürlichen   Größen  a, 
erhält    man  so  verschiedene  Folgerungen    aus  der  allgemeinen 
Gleichung  5). 
Da  nach  4): 

cos  a,-  —  cos  Ai       Xi  .rn 

^     -         =      2jÄ:,cosa,, 
2  o 


A«  Vo«« :  Rotif&rnie  Trunesformation  utid  KrümniunK* 


101 


liegen  die  beiden  Riebtungen  casa,,  cos  ^1,  (*=^  1,  2, 3), 

l^n  wclcbe  ditj  Winkel  der  BinormakD  entsprecbend er  Kurven 

KU  neboieii  sind,  in  einer  Ebene  mit  dem  Radius  vector  g^ 

'and  leUterer  halbiert  den  Winkel  zwischen  cos  0|  und 

~  cos  A,- 

Wählt  man  nun  insbesondere  «^  ^  a?,,  so  wird  cos  öi  = 
[— 008A(t=  l,2,8X  und  es  folgt,  da  jetzt  T  — 0, 

cos  ^  ^  db^^-. 

Bezeichnet  man  daher  die  Richtung  der  BinonnaleQ  fl®t- 
[i^prpchender  Kurren  mit  h  resp,  B^  so  iat  fÖr  55wet  solche 
iJiiirven  immer t 

^*  cos(ö,B) 

^  cos  (p,  &)  =  — ^— ^• 


p<S0izt  man  dagegen: 

«1  =  "Pi  Vs  —  *P5  r^ 

S  =  «?^s  V^i  —  Ti  *i*i 
«3  =  ri  V'j  — "J^i'/'n 

wo  i^Tj,  v'i  irgendwelche  Funktionen  von  x  sind,  so  ist; 

mnu    leicht  durch    Multiplikation   von  T  mit   der  Deter- 
imitiaiite  {t  V  ß)  erhält»    Nimmt  man  nun  <j^i  ^  Xi  (i  ^  1,2,  3), 
ffird  wegen  S  aiz^^  0  jetat  cos  «^  =  cos  Ai,   Ist  endlich  y> 
[pine  homoj^ene  Funktion  von  der  Ordnung  Null,  deren  partielle 
I  Diffeientialquotienten  die  w  V  r  V'a  sind,  so  wird; 

tuglrich  gteht  die  Richtung  cos  ^,    senkrecht    auf  dem  lijuliu» 
jr  Q  und  iler  Normalen  der  Kegellläche  r/»  ^  conat.    Km 


102 


Sitzung  der  math.-phy8.  Klasse  vom  2.  März  1907. 


jeden  Kurve  entspricht  vermöge  der  konformen  Abbildung 
eine  zweite  derart,  daä  zwischen  den  Kosinus,  welche 
die  Binormalen  mit  der  zum  Radius  vector  senkrecht 
stehenden  Tangente^  derjenigen  Kegelfläche,  auf  der 
die  Kurve  liegt,  die  Beziehung: 

ds        .     .       dS        ..   jy. 
cos  (t,  0)  =  -^  cos  (^,  B) 

besteht;  dabei  ist  natürlich: 

gidS=ds, 

Ahnliche  Sätze  kann  man  auf  dieselbe  Weise  erhalten. 
Dabei  handelt  es  sich  um  die  Frage,  wann  T  bis  auf 
einen  Faktor  ein  vollständiges  Differential  wird. 

Setzt  man: 

T  =^^QidXi^={dxx  q-), 
wobei  die  qu  beliebige  Funktionen  von  a:,,  a;,,  x^  sind,   so  muü 
bekanntlich: 

^*^'  [dJ,  "  dxj  +  ^»  [j^c,  "  dxj  ~^  ^'  \dx,  ~  J^J 

identisch  verschwinden.  Eine  einfache  Umformung  liefert  dafür 
die  Gleichung: 


-^x^j^  j:xi^' 


dXi 
X, 


dXi 


dXi 


ZjOCi-    -   I 


I  _ 


"1 


H' 


n 


n 


=  0, 


welclie  identisch  bestehen  muß.  Diese  Bedingung  ist  ersichtlich 
orfüllt,  wenn  die  drei  Funktionen  (p  homogenen  Funktionen 
gU^icher  Ordnung  von  x^  x^  x^  proportional  sind. 

Allgemein  aber  gilt  folgender  Satz: 

Der  Ausdruck  T  kann  dann  und  nur  dann  auf  die 
Form  /!(/  K  gebracht  werden,  wenn: 


A.Voss:  Konforme  Transformation  und  Krümmung.  103 

ist,  wo  A^  B  willkürliche  Funktionen  der  x  sind,  und 
die  Qi  willkürliche  Funktionen  von  der  Ordnung  Null 
bedeuten.     Dies  läät  sich  auf  folgendem  Wege  zeigen. 

Jene  Identität  verlangt,  daß  die  3  Funktionen  cp  der  Be- 
dingung: 

ZdXi-;^  =  XXk  +  flffk, 

7)  dXi 

Ä;=l,2,3 

genügen,  wo  A,  /i  irgendwelche  Funktionen  der  x  sind.  Diese 
partielle  Differentialgleichung  oder  vielmehr  die  folgende: 

o  Xi  d  (fk 

wobei  ^  {x^,  x^,  x^,  q'k)  =  0  gesetzt  ist,  liefert  das  simultane 
System : 

dx^ :  dx^  :  dx^  :  dq^k  =  x^ix^ix^:  Xxk  +  ^(pu, 

von  dem  zwei  Integrale: 

^)  1'  =  «..    J  =  «, 

bekannt  sind.     Man  findet  für  A;  =  1 : 

dq',_Xx,+ßifp,  _  ff, 

dx^  x^  x^ 

wo  i,  /M  aus  A,  /i  dadurch  hervorgehen,  daß  man  vermöge  8) 
x^  und  x^  durch  die  Konstanten  t^^,  c^  und  o;,  ersetzt.  Integriert 
man  die  letzte  Gleichung  durch  eine  Quadratur,  so  folgt: 

Bff^  =CiA  -\-  Ca, 

mithin  ist  das  Integral  von  7)  für  A;  =  1 : 


^^■-%^^ ''•(}■:•)■ 


104 


Sitzung  der  math.-phjs.  Klaase  vom  2.  März  1907. 


wo  fi,  eine  willkürliche  Funktion  ihrer  Argumente,  und  die 
Konstanten  c^  und  c^  in  B  und  Ä  wieder  vermöge  8)  zu  ent- 
fernen sind.     Ebenso  wird: 


Xi 


so  data  allgemein: 
9) 


(Pi    =    Xi    Ay^      4-     By^     Üi 


gesetzt  werden  kann.  Der  Differentialausdruck  T  kann  daher 
nur  dann  durch  Multiplikation  mit  einem  integrierenden  Faktor 
die  Gestalt  eines  totalen  Differentials  annehmen,  wenn  er,  ab- 
gesehen von  einem  willkürlichen  Faktor,  in  die  Form: 


10) 


(dxxQ) 


gebracht  werden  kann.  Daß  dies  auch  hinreichend  ist,  geht 
aus  der  obigen  Betrachtung  hervor, ')  läßt  sich  aber  auch  direkt 
zeigen.     Setzt  man  nämlich: 

a;,  =  a;,  f 
so  entsteht  aus  10),  abgesehen  von  einem  Faktor: 


dti     0 
ri       1 


und  diese  Differentialform  läßt  sich,  da  sie  nur  von  zwei 
Variabein  abhängt,  immer  mittels  eines  integrierenden  Faktors 
als  vollständiges  Differential  ansehen. 


*)   Man   orkennt  unmittelbar,  daß  durch   9)  die   Integrabilitfttsbe- 
dingung  für  T  erfüllt  ist. 


A.  Vowt:  Konforme  Transformation  und  Krümmung.  105 

Aus  den  Gleichungen: 

welche  jetzt  bestehen  mflssen,  folgt  Übrigens  durch  Summation: 

SO  <la&  (las  Integral  von  T  ^3  0  die  Form  ü  =s>  coust  erhält, 
wo  ü  eine  homogene  Funktion  der  Ordnung  Null  ist,  welche 
eine  Kegelfläche  bedeutet.  Auch  der  spezielle  Ansatz  6)  ist 
hierin  enthalten.     Setzt  man  nämlich  in  9): 

w<iKei  »/'•  ^r  ^j»  ^s  homogene  Funktionen  der  Ordnung  Null 
sind,  so  ist  nach  9): 

und  zugleich  kann  man  wieder  drei  Funktionen  /*,,  f^,  /*,  will- 
kQrlich  so  annehmen,  daü: 

ist:  man  hat  nur  die  willkürliche  Funktion  A^  der  Gleichung: 

/■.         U         h    ! 

a  V'    a  v    5  v 
;  a  a^j    a  a^^    a  x^ . 
gemäü  zu  wählen. 


106  Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  2.  März  1907. 

Zieht  man  noch  dritte  Differentiale  bei  der  Trans- 
formation in  Betracht,  so  ergeben  sich  im  allgemeinen  keine 
einfachen  Beziehungen  mehr.  Bei  der  allgemeinen  linearen 
Transformation  ist  natürlich: 

(dxcPxd^x) 

eine  Invariante,    und   dies  gilt   für  jede   beliebige  Zahl  von 
Variabein.    Dies  läßt  sich  z.  B.  für  3  Variabein  auf  folgendem 
Wege  zeigen. 
Setzt  man: 

X.  =  ;2«'*Y*,    i  =  1.2,3; 


so  wird: 


d»X,  =  ^  («.*-^^'«4i)  ^^^  _  2  dX,  ^1- 

-2d^xAl  +  2dX,^ 

und  hieraus  folgt  unmittelbar,  indem  man  die  rechts  stehenden 
Differentiale  der  X,  auf  die  linke  Seite  setzt: 

{dXd^Xd^X)  =  {dxd^xd^x)^, 

wo    A   die   Determinante   der   Koeffizienten   der   vier  linearen 
Formen : 

L«.*^*  +  rf«,      5=  1,2,  3,  4 

ist.    Hieraus  folgt,  daß  bei  jeder  projektiven  Transforma- 
tion einer  Kurve  die  invariante  Beziehung: 


A.  Voss:  Konforme  Transformation  und  Krümmung.  107 

besteht,  wo  rfS,  ds  die  Bogenelemente,  R^r  die  Krümniungs- 
lialbmesser,  T,  r  die  Torsionsradien  bedeuten. 

§6. 
Konforme  Raumtransformation  einer  Fläche. 

Ich  füge  endlich  die  Formeln  für  die  Transformation 
einer  Fläche  vermöge  der  konformen  Kaumtransfor- 
mation:^) 

Q 

hinzu.     Sind    die  Xi  von    zwei    Parametern  m,  v   abhängig,   so 
erhält  man: 

dXi  dXi  1  2Xi  dg 

du  du  Q^  Q^    du 

dXi  dXi  1  2Xi  dQ 

dV  dV  P^  p'     dV 

1)  ^ 

w    -*Vj  O    CC*      f  ±  u  X\  \  o  9     ''^\  *^2  ti  *^8         1  *^S 

dudv"  dudv\Q^        p*/  awae;    p*        ""314  31;   p* 

__  2  ^^'^  —  -  ^-^  — *  —  "  ^^  -^ 
p*         p3u3t;         {>3t;3w 

nebst  ähnlichen  Ausdrücken  für  die  anderen  zweiten  partiollen 
Differentialquotienten.      Aus   diesen    Gleichungen   erhält  man: 

(X««  X„  X,)  =  J  (a:« , Xu  x^  —    g-  (x  Xu  x^) 

2)  {Xu ,  Xu  X.)  =  A  {Xn^  Xu x^) -^{x  Xu  X,) 

(Af«  Afi  A»)  =  n  (x^fi  Xu  Xf)  —     g  \XX„  a?,). 

*)  Einige  der  in  diesem  Paragraphen  enthaltenen  Betrachtungen 
sind  vermutlich  l&ngst  bekannt;  ohne  dieselben  würde  aber  diese  Arbeit 
keinen  Abschluß  erhalten  haben. 


108  Sitzung  der  math.-phjs.  Klatse  vom  2.  März  1907. 

Sindjpj,^3,i?j  die  Rieht ungskosiüus  der  Normalen  der  ersten 
Fläche  e,  f,  g,  E,  F,  G  die  Fundamentalgrößen  erster  und 
zweiter  Ordnung  derselben/)  Pj,P,,Pj,  Ciifv9v  ^v^v^i  ^^^ 
entsprechenden  Größen   für   die   transformierte  Fläche,   so  ist: 

Q^c^  =  e,     Q^U^f     Q^g,=g 

{x  Xn  x^)  =  ^PiXi  Veg—P. 

Zur  Abkürzung  mag: 

ö  =  2j  1^1  Xi 

gesetzt  werden.     Nun  erhält  man: 

(x  Xu  x,f  =  Q^(eg  -  P  -  t\ 
wo: 

3)  t  =  eQ\-f2Q„Q^^gQl; 

daher  wird: 


wo  A  der  erste  Differentialparameter  ist;  a  ist  jedoch  mit  dem 
Vorzeichen  von  ^PiXi  zu  nehmen.     Man  hat  nun  aus  2): 


4) 


Ich    bestimme    ferner   die    Richtungskosinus   der  Normale 
der   transformierten   Fläche.     Für  Größen    Q^^  ^,,  ^j,  die  nur 

^)  Dabei  ist: 
l>iVe^-./2=      a^__^-l».     J&=2'iW5-5-  etc 


E, 

= 

E 

2eo 

F, 

= 

2fa 
9* 

G, 

= 

G 

e* 

2go 

Ä.  Voss:  Konfonnt.'  Tmnefornmtion  nnd  Krümtnuiig. 


109 


am  einen  positiTen  Faktor  von  Jen  P,,  P,,  Pj  verschieden  sind, 
erhält  man  leicht  aius   1)  di<^  Gleichungen: 


^t?  g 

um\  durch  deren  Auflusuug; 

hieraus  folgt: 


Q\+Q\  +  Q\^ieff-~r), 


mithin : 


Hiermit  sind  die  Komnus  di-r  Normale  der  transformierten 
Flikhi:  in  di*r  Form: 


&a?f 


dXi 


durgeatellt,  welche  eine  unmittelbare  Beziehung  der  Lage  der- 
selben gegen  die  Normale  der  ursprünglichen  Flüche  liefert» 
Für  den  Winkel  (o  zwischen  den  beiden  Normalen  folgt  nach  5); 

cos  öJ  =  1  ~2A  (g)* 

die  Kurven  A{q)  ^  const  sind  daher  auf  der  gegebenen 
she  dadurch  ausgezeichnet,  daß  der  Winkel  ent- 
lebender  Normalen  konstant  bleibt» 


110  Sitzung  der  math.-phjs.  Elaase  vom  2.  Mftrz  1907. 

Auch  folgt  aus  5): 

oder: 

wie  man  übrigens  auch  unmittelbar  aus  4)  finden  kann,  wenn 
man  die  transformierte  Fläche  zur  ursprünglichen  macht;  diese 
Formel  zeigt,  daß  der  Kosinus  des  Winkels  der  Flächen- 
normalen mit  dem  Radius  vector  bei  der  Transfor- 
mation ungeändert  bleibt,  wie  übrigens  zu  erwarten  war. 

Es  ergibt  sich  ferner  aus  4): 


E,duH2F,dudv-^G,dv^  _       ^  {Edu^+2Fdudv+Gdv^) 


=  -ß 


ejrfw^+2/*,  dudv-\-(j^dv^  €du^  +  2fdudv^-gdv^ 


5/ 


Bezeichnet    man    nun    den  Krümmungshalbmesser    eines 

Normalschnittes  für  irgend  eine  auf  der  ursprünglichen  Fläche 

gemessene    Richtung    durch   r,  die    entsprechende    durch    JR, 
so  folgt: 

B  r 

Insbesondere   wird   aber   für   irgend   zwei  von  demselben 
Punkte  ausgehende  Richtungen: 


Man  kann  also  sagen:  Die  Differenz  der  Krümmungen 
zweier  zu  einem  Punkt  der  Fläche  gehörigen  Normal- 
schnitte bleibt  bis  auf  den  Faktor  — q^  durch  die 
Transformation  ungeändert. 

Ist  (7  =  0,  so  erhält  man : 

Jt~       r 


A.  Voss:  EoDfonne  Transformation  und  Krümmung.  111 

d.h.  die  Krümmungen  der  Normalschnitte  bleiben  bis 
auf  den  Vektor  — q^  ungeändert  in  allen  Punkten, 
in  denen  die  Fläche  von  ihrem  zum  Zentrum  der 
Inversion  gehörigen  Tangentenkegel  berührt  wird. 
Ist  dagegen  r  =  oo,  also  die  Richtung  auf  der  gegebenen 
Fläche  die  einer  Haupttangente,  so  wird: 

oder:    Bei  der  konformen   Transformation   gehören    zu 
den  beiden  Haupttangentenrichtungen  eines  Flächen- 
punktes Normalschnitte  mit  gleicher  Krümmung  —  2  a.') 
Auch  die  Formeln: 

RB^      rr^  ^    \r       r  J 

welche  sich  auf  die  mittlere  Krümmung  und  das  Krtlromungs- 
malj  beziehen,  mögen  erwähnt  werden,  deren  Verwendung  fQr 
Minimalflächen  ersichtlich  ist. 

Endlich  gilt  für  beliebige  Größen  a^a^a^  die  invariante 
Beziehung: 

EFG 


■  ETG'  j 
I    a,  a,  a,   , 


e  f  9 


Bedeuten    daher    a,,  a,,  a,    homogene    DifFerentialformen 
gleicher  Ordnung  in  dti,dv,  so  hat  man  den  Satz: 
Das  System  der  Kurven: 

EFG  I 

e  f  g   1  =  0 


*)  Man  vgl.  die  konforme  Transformation  der  Roj^elflilchen,   insbe- 
sondere die  der  Flächen  zweiten  G rüdes,  u.  s.  w. 


1 1 2  Hitzungf  der  math.'phjs.  Kliwse  vom  2.  März  1907. 

igt  invariant  bei  der  konformen  Transformation.  Ein 
ganz  Hpezieller  Fall  davon  ist  die  Invarianz  der  Krüm- 
mungslinien, und  zwischen  den  Iladien  T^  T^  der  geodä- 
tischen Torsion  einer  Kurve  und  ihrer  Transformierten  be- 
steht also  allgemein  die  Beziehung: 


li:i 


Sitaung  <3er  miith*-i»hy».  KIai»e  vom  4.  Mai  1Ö07, 


Herr  WaiiELM  Kontiad  Rto'TfJO  hält  eineti  Voftmg:  ,Über 
flie  Leitung  der  Elektrizität  in  Kalkspat  und  über 
den  Einfluß  der  X-Strah[en  darauf/ 

Der  Vortrag  wird  an  anderer  Stelle  vernffentlicht  werden. 

Liingore  Zt^it  7.iirücklit5j^eude  Beobachtungen  Über  den  Eiufiut\ 
ton  X-Stratilen  auf  dm  Verhalteu  verschiedener  sogenannter 
Isolatoren  zwinehea  anliegenden  platten  förmigen  Elektroden, 
denen  ein  Spann ungsuuteri^chied  erteilt  wurde,  veranlaüten  den 
V^ortragenden  unter  Mitwirkung  des  Herrn  Dr.  Joffä  zu  unter- 
tni'hen.    inwieweit    von    einem    elektrisehen    LeitungsvermÖgen 

fdie-s«T  Kör]jer  gesprochi^n  wenleii  kann.  —  Diese  im  Jahre  1904 
angefangene  Untersuchung  erstreckte  sich  znn liehst  auf  Kalk- 
ipat,  und  sie  ergab  n,  a.:  1.  Die  Gültigkeit  des  Ohnischen 
G«*s*^ti:ej*  für  die  Bewegung  der  Elektrizität  in  diesem  Kürpor: 
2*  di©  Existenz  einer  unter  Umständen  nach  Tausenden  von 
Volt  zählenden  Polarisationsspannung;  3.  als  Sitz  dieser  Pohtri- 
sation   nieht  das  ganze  Innere,  sondern  ledig] ieh  die  Stelle  des 

^Kristalls,  die  unmittelbar  unter  der  Kathode  liegt;  4.  die  ße- 
rechtigungT  von  einem  raeljbaren  Leitungsvermögen  einer  Kalk- 
spatplatte sprechen  zu  dürfen;  f».  einen  sehr  großen  Einfluü 
der  Temperatur  auf  dieses  Le i tu ngb vermögen:  dasselbe  steigt 
zwiitchen  0^  und  lüO**  nni  nahezu  ll^ja  des  jemaligeu  Betragr.s 
wenn  die  Temperatur  um  P  zunimmt* 

Nachdem  diese  und  andere  Ergebnisse  gewonnen  wnren, 
glaubte  der  Vortrugende  als  liesultat  früherer  Beybaclitnniren 

1907«  Siuunfftk  il   nmlh^-vlij*^  Kl. 


114  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  4.  Mai  1907. 

mitteilen  zu  dürfen,  daü  das  elektrische  Leitungsvermögen  des 
Kalkspats  durch  Bestrahlung  mit  X-Strahlen  beträchtlich  — 
z.  B.  auf  das  100  bis  200  fache  des  Anfangsvvertes  —  erhöht 
werden  kann.  Diese  Wirkung  der  X-Strahlen  äußert  sich 
aber  erst  im  Laufe  der  Zeit,  so  daß  bei  gewöhnlicher  Tem- 
peratur manche  Tage  nach  der  Bestrahlung  vergehen  müssen, 
bis  der  Kalkspat  das  Maximum  seines  Leitungsvermögens  ei> 
halten  hat.  Durch  Erwärmen  kann  dieser  Prozess  beschleunigt 
werden.  —  Ein  Kückgang  des  Leitungsvermögens  auf  den 
Wert  vor  der  Bestrahlung  kann  rasch  durch  intensives  Er- 
hitzen, langsamer  durch  mäßiges  Erwärmen  des  Kristalls  be- 
wirkt werden  und  findet  auch  höchst  wahrscheinlich  bei  ge- 
wöhnlicher Temperatur,  aber  erst  im  Verlauf  von  einer  sehr 
langen  Zeit  (wohl  von  vielen  Jahrhunderten),  statt. 


ntansicht  des  Sailcnelektrometers. 


Ü 


KS 


■D 


^  FM  CT  r'ri  inn 

'  i^^;_^,^J^."^|Lu.|1^ 

2       "z       ±z 

Z        t 

W               '         H 

*S'     -            l 

'2    t,            - 

v\^C     t                  t 

Vf-       — l^h-                     f- 

Iz  X       ;2 

tz  1          «  "d 

*i    i   J-               * 

«'  ^E          C 

r^^E     j  • 

2  f-j--/'-    - 

SX   2!        H     - 

2i?  -      t 

Zi/'^      z  t,:j 

^       taf      fT«»«i« 

I        R8-6. 

^^pT-T  ^  '  ;  f  ■]  T  1  f  I  [  l  f  i — 

_^     ^H 

^H 

^^K 

.-  -                   u-      ^W 

^^H. 

•   i           ^^  -      B 

^^^^^^ 

Ml                                   J~ 

■ 

^^^^^^1 

n 

-                      /+            1 

^^^^^^F 

i            y                  ■ 

^ 

IL      4:    J^AL                    ■ 

^^^B 

i  '^                 H 

^^^^ 

y^                4^            ■ 

U  .  , 

.  IT       -.                           ■ 

he.?» 

^              d      ■ 

l^            ^'-:  !  :  1  1  f  1  1  1  f  M  j  j  i  1  1 

fl 

1              ^ 

^1 

L 

^•*  .-i_.  .        ...              -  +            - 

^M 

^^1 

Z            it            ^^- 

^^m 

m                                                      ^' 

^^H 

■             1                                 *^ 

'       ^^1 

^^^^^^1 

H             1                       j-"^ 

^^B 

^^^^^^H 

M      «     M                       V                                             ' 

^^^^^^1 

M  -U-  ^^"        ,--'^ 

^H 

^^^^^^^^H 

^  i         ^^ 

^^^^^^1 

**         ^>^    ^---4"^  **  ^ 

-              ■ 

^^^^^^B 

*^  ;  J^T"             1     ]                                             \ 

^^^^H^ 

'ist*                TlilttfttVfl«« 

<i  a  «nti  nian«ta«lKl                                ^| 

^^^^■^ 

115 


Sitzimsrsbericlite 


der 


Königl.  Bayer,  Akademie  der  Wisseiiscliaften. 


Mathematisch-physikalisclie  Klasse. 

Sitzung  vom  B.  Jani  1907. 

W  ^  i,  Herr  Kabl  Goebel  trug  die  Resultate  einer  Reihe  ex- 
'flÄriöietitell-iiiorphologischer  Untersuchungen  Ton 

Diese  bezogen  sich  1.  auf  den  Generationswechsel  der 
Farne,  Das  ProthaUiuni  und  die  an  ihm  infolge  der  Be- 
fnichtung  entstehende  Fampflanze  werden  gewöhnlich  als 
jicharf  voneinander  unterschiedene  »Generationen*  betrachtet. 
Es  zeigte  sich  jedoch,  daß  an  isolierten  Blättern  junger  Farn- 
pflanxen  mit  FoUsiaudiger  Überspringung  der  Sporenbildung 
Prothnllien   entstehen    können   oder   Mittelbildungen   zwischen 

^solchen    und  Bluttero  oder  endlich   neue  Farnpflanxen,     Diese 
Sachen    zeigen,    daü    die    Prothatlien    wesentlich    nur    eine 

'rödimentäre  Ausbildung  des  Farnkrautes  seihst  darstellen, 

2.  Die  Bedingungen  der  Wurzelbildung,  Für  diese  sind 
nicht  nur,  wie  vielfach  angenommen  wurde,  nur  äußere,  sondern 
auch  innere  Bedingungen  maßgebend.  An  den  unverletzten 
oberirdischen  »Sbamniteilen  der  Gartenbohne  z,  B,  läM  sich  auch 
wenn  $tie  verdunkelt  und  feucht  gohaltcu  werden,  keine  Wurzel- 
bildutig  hervorrufen,  wohl  aber  daon,  wenn  die  Verbindung  mit 
dem  WuTÄelaystem  unterbroclien  ist,     Daü  dieses  die  Wurzel- 


116  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  8.  Juni  1907. 

bilduiig  am  Sproß  verhindert,  wenn  es  selbst  in  Wachstum  be- 
griflfen  ist,  wurde  auch  dadurch  gezeigt,  daü  die  Wurzelbildung 
am  Sproß  bei  unverletztem  Wurzelsystem  dann  erzielt  werden 
konnte,  wenn  das  letztere  auf  5®  abgekühlt  oder  durch  ver- 
minderte Wasserzufuhr  inaktiviert  wurde. 

3.  Die  Blattbildung  amphibischer  Pflanzen.  Manche  Pflanzen, 
die  sowohl  als  Wasserpflanzen  wie  als  Landpflanzen  leben  können, 
besitzen  zweierlei  verschiedene  Blattformen,  „Landblätter**  und 
„Wasserblätter**.  Der  Vortragende  zeigte,  daß  hier  nicht  eine 
direkte  Wirkung  der  Umgebung  auf  die  Pflanze  vorliegt, 
sondern  daß  die  relative  Menge  organischer  Substanzen  dar- 
über entscheidet,  welche  Blattform  entstehen  soll.  Es  konnte 
die  Landform  auch  im  Wasser  erzielt  werden,  speziell  dann 
wenn  durch  Zusatz  geringer  Mengen  von  Kupfersulfat  eine 
Beschleunigung   der   Stoö Wechseltätigkeit  hervorgerufen  wird. 

2.  Herr  Siehmund  Gcnther  legt  eine  Abhandlung:  »Ein 
Naturmodell  der  Dünenbildung**  vor. 

Gegen  die  durchgehende  Annahme,  kontinentale  Dünen 
müßten  stets  in  der  Form  von  „Barchanen*,  Sandhaufen  mit 
einer  die  Leeseite  einnehmenden  Höhlung,  auftreten,  sprechen 
gewisse  außerordentlich  regelmäßige  Gebilde  in  der  kaliforni- 
schen Wüste.  Diese  Ausnahme  von  der  Norm  hängt  mög- 
licherweise mit  der  Entstehung  des  merkwürdigen,  vom  Wasser 
des  Coloradoflusses  gespeisten  Salton  Lake  zusammen,  dessen 
Bildung  auf  da^  benachbarte  Landschaftsbild  einen  tiefgehenden 
Einlhiß  ausgeübt  hat. 

IJ.  Herr  Wilhelm  Konrad  Röntgen  überreicht  eine  Arbeit 
von  Herrn  Aunoi.d  S(»mmekfw,i>,  Professor  ftir  theoretische  Physik 
an  dor  Universität,  „l-ber  die  Bewegung  der  Elektronen*. 

D'w  Arbeit  befaßt  sich  nicht  mit  der  heutzutage  besonders 
dringlicluMi  Frage:  AN'ie  sind  die  physikalischen  Grundlagen 
drr  Klektronontheorie  zu  gestalten,  um  sie  mit  gewissen  prin- 
zipioUen  Erfahrungen  auf  elektrischem  und  optischttn  CtobMis 


Sitzang  der  math.-phys.  Klasse  vom  8.  Juni  1907.  117 

in  Einklang  zu  bringen?  Vielmehr  handelt  es  sich  hier  lediglich 
um  die  mathematischen  Folgerungen  derjenigen  Anschauung 
von  der  Natur  der  Elektronen,  die  sich  ursprünglich  als  die 
einfachste  dargeboten  hat:  eine  unveränderliche,  den  Baum 
gleichmäßig  erfüllende,  kugelförmig  begrenzte  Ladungsver- 
teilung. Es  waren  nämlich  zu  Anfang  des  Jahres  von  Herrn 
Lindemann  Einwände  gegen  die  mathematische  Zulässigkeit  der 
Theorie  erhoben  worden,  welche  insbesondere  das  interessanteste 
Ergebnis  der  Elektronen theorie,  die  Aussicht  auf  eine  elektro- 
magnetische Begründung  der  Mechanik,  in  Frage  zogen,  unter 
anderem  ergab  sich,  daß  die  gleichförmige  Bewegung  des 
Elektrons  nicht  ohne  äußeren  Kraftaufwand  bestehen  könne. 
Demgegenüber  glaubt  Verfasser  durch  Ausrechnung  eines 
Zahlenbeispiels  zeigen  zu  können,  daß  jener  äussere  Kraftauf- 
wand nach  den  Formeln  des  genannten  Autors  einen  so  enormen 
Betrag  haben  müßte,  wie  er  von  der  Erfahrung  sicher  nicht 
bestätigt  wird.  Verf.  sieht  den  Grund  für  diesen  Widerspruch 
teils  in  einer  physikalisch  ungerechtfertigten  Wahl  des  Anfangs- 
zustandes für  das  Potential  des  bewegten  Elektrons,  teils  in 
der  weiteren  mathematischen  Behandlung  dieses  Potentials.  Den 
Einwänden,  welche  von  derselben  Seite  gegen  frühere  Unter- 
suchungen des  Verf.  erhoben  worden  sind,  glaubt  Verf.  in 
vollem  Umfange  begegnen  zu  können. 


9» 


119 


r 


Experimentell  morphologische  Mitteilungen. 

Von  EäH  Qoeheh 

(BinjftLivfim  8.  Jttni.) 

L  Künstlich  hervargerufene  Aposporie  bei  Farnen. 

Als  vor  30  Jahren  (Vw  Mitteilungen  von  Pringsheim*)  und 
Biahl  erschienen,  welche  zeigten,  daß  aus  Moosspümgonien 
Prcitonema  durch  Auswachsen  von  nicht  zur  Sporen bildung 
Terwendeten  Zellen  herrorgehen  kann,  lag  die  Frage  nalie,  ob 
bei  Pteridophjten  nicht  ein  analoger  Vorgang  zu  erzielen  sei. 
Versuclie^  welche  ich  in  jener  Zeit  in  Würzburg  anstellte, 
blieben  aber  erfolglos,  und  ebenso  ist  m  wahrscheinlich  auch 
andereti  ergangen.  Später  lernte  man  auch  bei  Pteridophyten 
die  Tatsache  der  Aposporie  kennen,  die  bei  manchen  Farnen 
unter  Unterdrückung  der  Sporen  bildung  regelmäßig  auftritt, 
so  E.  B-  bei  Äthyrium  filix  femina  f*  clarissima.  En^cheint 
hier  die  Überspringt!  ng  der  Sporen  bildung  als  eine  durch 
^innere*  Ursachen  bedingte,  so  zeigen  andere  Fälle  wie  der 
▼or  Inonsem  Mr  ein  Exemplar  von  Asplenium  dimorphum  be- 
schriebene,*) daß  sie  bei  einer  sonst  normalen  Farnpflanze 
offiaobar  ^, induziert*    werden  kann.     Denn  hier  zeigte  sie  sich 

')  Prtngsheiin,  »Ober  die  Sprossuni^  der  MoosfrÖehte  und  4en 
Gtmemtiotitfwecbit'l  der  Thallophften*.  Jahrbacher  für  wisse  nach  aftlicke 
BotÄnik  XI,  l  (1878)  iGes.  Abhandl  11,  p.  265),  —  K.  Stahl»  .Über  kiinaUkh 
h<3^vor*,'*?rüfeiie  Prot<>nem«bildüng  an  dem  Sporogoöium  der  Tiaubnvoose*. 
Ö6L  ZMnng  1876.  p.  619. 

t)  Go^bt^K   Apoiporie   bei  Äaplemura  dimorphum.    Fbra,    lid.  95 
,*BiL  i,  Jmhtg.  1905),  p.  239. 


120  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  8.  Juni  1907. 

an  einer  während  mehrerer  Jahre  beobachteten  Pflanze  nur 
einmal  an  einem  Blatte  —  hier  aber  sehr  reichlich  — ,  später 
nicht  mehr;  auch  an  einer  aus  einer  Adventivknospe  gezogenen 
Tochterpflanze  des  vorerwähnten  Exemplares  trat  bis  jetzt  keine 
Aposporie  ein;  sie  bildete  nach  den  sterilen  Blättern  normale 
Sporophylle.  Die  Erscheinung  künstlich  hervorzurufen  gelang 
aber  auch  bei  dieser  Pflanze  nicht.  So  gelangte  man  zu  der  An- 
sicht, welche  Bower^)  folgendermaßen  ausgesprochen  hat:  *Both 
apogamy  and  apospory  are  decidedly  rare  phenomena:  that 
they  appear  for  the  most  part  in  plants  of  variable  species 
and  under  conditions  of  cultivation  which  are  not  those  normal 
to  the  plants.  Moreover,  attempts  to  induce  apospory  though 
successful  in  certain  Mosses,  have  been  entirely  without  results 
in  fems.' 

Ein  solches  negatives  Resultat  konnte  indes  von  einer 
weiteren  Verfolgung  der  Frage  nicht  abhalten.  Es  wäre  z.  B. 
möglich,  daß  die  Sporenbildung  übersprungen  werden  könnte, 
zwar  nicht  an  allen  Blättern,  aber  an  solchen,  die  in  ihrer 
Beschaffenheit  von  der  , normalen*  abweichen. 

Aus  zwei  Gründen  schienen  mir  die  ersten  Blätter  der 
Keimpflanzen  des  Sporophyten  zu  solchen  Versuchen  beson- 
ders geeignet.  Einmal  hatte  sich  früher  gezeigt,  daß  solche 
Primärblätter  bei  einer  andern  zu  den  Pteridophyten  gehörigen 
Pflanze,  bei  Lycopodium  inundatum  durch  ihre  Regenerations- 
fähigkeit von  den  Blättern  der  älteren  Pflanze  abweichen,^) 
also  eine  andere  «innere*  Beschaffenheit  besitzen,  als  diese. 
Ein  zweiter  Grund  war  die  Beobachtung,  daß  an  einer  apogam 
entstandenen  Keimpflanze  von  Trichomanes  Kraussii  das  erste 
Blatt  zu  einem  Prothallium  auswuchs.*)  Dies  legte  die 
Annahme  nahe,  daü  vielleicht  Keimpflanzen  speziell  bei 
apogamen  Farnen  plastischer  seien  als  ältere.  Ich  veranlagte 
deshalb     Fräulein    H.    Vesselovska     zunächst     zu    Versuchen 


1)  Bower,  Annais  of  botany,  Vol.  IV  (1890),  p.  368. 

2)  Goebel,  ,Über  Prothallien  und  Keimpflanzen  von  Lycopodium 
inundatum*.     Bot.  Zeitung  1887,  Nr.  12, 

^)  Vgl.  die  oben  erwähnte  Abhandlung  über  Aspleniom  dimor|^um. 


K.  Goebd;  Estperiinentell-öiorphologiacbo  Mitteilimifen.         1**^1 


iiiifc  IViniärblUtt^rn  von  apogam  entstandeuen  Notochlaena^ 
Keimpflanzen,  und  als  diese  ein  positives  Rcttjultat  ergeben  butten, 
mieb  ^u  solchen  mit  den  Priniärbiättern  eines  normalen  Farns, 
ili*ss<en  Keimpflanzen  gerade  zur  Uaud  waren,  der  Gymno- 
gratnme  farinifera.  Das  dabei  erhaltene  Ilesultat,  betreÜs  dessen 
ieli  »uf  die  vorliinüge  Mitteilung  *)  und  die  spätere  ausführli*:he 
Ai'beit  von  H.  V^esselovska  verweise,  war  so  inter^sant,  tlaß 
€S  geboten  schien,  die  Frage  weiter  zu  verfolgen. 

Es  sei   deshalb  im  folgenden   über  die  bis  jefcxt   von  mir 
sge führten  Versuebe  berichtet.    Es  wurden  dabei  verwendet 
lie  Primärblütter  von 

Aneimia  Dregeana 

Abopbila  van  Geertii 

Ce  rato  p  ter ia  t h  al  i  c  t r a  i  d  f  h 

Gynmogrammo  chryaophylla. 

Polypodium  aureum 

Pteris  longifolia 

Auüerdem  standen  mir  nur  noch  Keimpflanzen  von  Marsilia 
Drtiinmöiidii  und  zwei  Adiantum-Arten  zur  Verfiiguug,  diese  er- 
gehen ein  negatives  Resultat,  alle  anderen  untei-^nchten  Farne 
t*tn  positives.  Es  ist  möglich,  daß  die  Adiantumblätter  an  sich 
aitcb  regenprationsföhig  sind,  und  nur  absterben,  ehe  die  Wuchs- 
toagvorgänge,  die  hei  anderen  beübachtet  w^nrden,  eingeleitet 
werden. 

DüS  Verfahren  bestand  darin ^  daß  die  Primärblätter  von 
der  Prtanze  getrennt  und  teils  auf  Torf  teils  riuf  sterilisierten 
Li'hm  Ausgelegt,  wurden.  Dabei  ging  eine  grüßere  Anzahl  der 
Blätter  zugrunde,  andere  aber  zeigten  das  merkwürdige,  im 
folgenden  nriher  stu  schildernde  Verhalten* 

B»  traten  nämlich  Begenerationsersdi einungen  verscliie- 
dener  Art  auf.  Entweder  bildeten  sieb  an  den  Blattern  neue 
Pflanxen,  oder  es  entstanden  an  ihnen  Prothallien,  mehrfach 
auch  Gitbilde,  die  nach  ihrem  Baue  sich  als  Mittel bildungen 
2;iiriDcben  Prothallien  und  Blättern  erwiesen.    Während  sie  im 


»)  ttericbte  ilrr  Di'iiUcheii  Botan.  ftf^selUchnt't  lSKl7,  ßd,  XX\\  p.  BS, 


122 


SitEung  der  iiiath.phjji.  Klawe  vom  B~  Juni  1907. 


©rsteren  Falle  also  ein  weiteres  Beispiel  bieten  Itlr  den  Säte, 
daß  Keimptlanzeü  vielfach  ein  gHiikr^s  Kegenerationjivernaögeo 
aufweisen  als  ältere  Pflanzen,^)  stellt  der  «weite  eine  künstlich 
hervorgerufene  Aposporie  dar.  Die  beiden  Fälle  können  an 
den  verschiedenen  Blättern  eines  und  tlasselben  Farns  auftreten 
und  sind,  wie  erwähnt,  <hirch  Übergangsglieder  initeinuntler 
verbunden»  Iro  folgenden  mien  die  beobachteten  Tatsachen 
kurz  geschildert 

L  Polypodium  aureum. 

Diese  Pflanze  stelle  ich  voraus,  weil  ich  an  ihren  PrimUr- 

blättern  bis  jetzt  nur  das  Auftreten  van  Ad ventivspr os.se u  nicht 

aber   auch   das  von  l*roth;xlUen    beobachtet   habe»     P,  aureum 

gehört  %u  den  Farnen,   an  deren  Blättern  normal  nie  Spröde 


Hl 


MfMiiH,  I,  Ein*r  derZelUiAi'T^trdnr  BT.NttnnterMil»  Im  /ac€?nr!t)rJi-ii  ZiJ?vt;itäd  ^raik  ver^r, 
IL  BlAtt  Unit  Adventiv tipro^N  Ibvon  )«  »lu  '  .miir- 

MnU   mit  ilt«r«ti  Advrutiv  ,^11   wtin&cT  dte 

SUi3imknoii|ie  A' acboi:  :   .-t,    II.  und  1  , 

auftreten,  während  itolehe  bekanntlich  bei  einer  großen  Anzahl 
anderer  Farne  sich  vorfinden»^)  An  abgeschnittenen  Prinmr- 
blättern  treten  nach  einiger  Zeit  auf  der  Blattunterseite  eine 
oft  sehr  bu trachtliche  Zahl  von  Zellhuckcrn  aul'^  vielfach  grup- 
penweise (Fig,  1,  II),   aber  ohne  irgendwelche  bestimmte  Au- 

*)  Goebel,  .über  Regeneration  Im  Pdftkiiseiif^ich'.  Bioloj^.  Zentmt* 
hhitt,  ]CXIL  Bä,  (19Ö3K  i>.  486, 

'}  Verjä-l  W,  Küpper»  ,Pber  Kno^ptmlnhlviHg  an  KftnililiUteni*. 
Flora.  Bti.n  ll90r*).  p,  837. 


K*  Qoehel-  Kjcpei"imentell*morphoIojpscbe  Mi itei langen.         123 

fif%iiiQg.  Diö  Hocker  fanden  sich  teils  über  den  Leitbiindeln, 
teik  zwhchen  ihnen,  llire  Spitxe  wuchs  zu  einem  Blatte 
ftuSt  während  in  dem  unteren  Teil  des  Hiickers  ein  Sprolä- 
Yegetationspunkt  auftrat  und  an  der  Bfisis  eine  größere  Anzahl 
von  Rhizoiden  sich  bildete,  an  gekrümmten  Uöckern  .speziell 
auf  deren  konvexer  Seite» 

Die  Organbildung  an  diesen  Höckern  habe  ich  nicht  nüher 
tintemucht.  Man  findet  yielzeUige  Höcker,  an  denen  noch  keine 
Differenzierung  aufgetreten  ist*  Es  ist  mir  sehr  wahi-schein- 
licb,  dali  das  erste  Blatt  und  der  Stammscheitel  unabhängig 
voneinander  auftreten.  Wurzeln  bilden  sich  erst  sjnit,  ihre 
Stelle  wird  zimüchst  versehen  von  den  Rhizoiden,  welche  be- 
trüehtliche  Lringe  erreichen  und  teilweise  vensweigt  sind. 


2.    Atsophila  van  Geertii*^) 

Au  einem  Blatte   erschien   schon  8  Tage   nach   der  Aus- 
nahe  der  Basis  des  Blattstiels  ein  Zellhöcker  (p  Vig.  2,  I), 
welcher  später  einem   Adventivsprüß  den   Ursprung  gab. 

Die  anderen  Blätter  zeigten  fast  sämtlich  Aussprossungen 
lUnde  (Fig.  2,  H  Ul  IV,  Fig.  3).  Die  Zellen  waren  hier 
Jicht  mit  Starke  gefüllt  und  gingen  in  den  meristematischen 
Zustand  über.  Meist  entstanden  dabei  niehrsehichtige  Zell- 
kdrper,  welche  in  dem  Aussehen  ihrer  Zellen  mit  Prothallien 
übereinstimmten,  aber  an  einzelneu  Stellen  Spaltöifnungen  trugen. 
}im&  Sprossungen  flachten  sich  dann  später  ab  und  wuchsen 
Hetwa  wie  ein  Thallus  einer  schmalen  Aneura  weiter;  wie  ein 
solcher  Aneurathathis  hat  auch  die  eben  l>eschriebeue  pro- 
thalloide  Bildung  Rhizoiden.  Welch  beträchtliche  Entwick- 
lung &ie  erreichen  kann»  geht  aus  Fig»  7  hervor.  Trotz  des 
Ttnfaug^,  welchen  die  prothalloiden  Bildungen  hier  erreicht 
iben,  waren  Sexualorgane  an  ihnen  nicht  aufgetreten. 

Iß  anderen  Fällen  hetan,  wie  Fig,  2,  IV  zeigt,  aus  dem  Blatte 

*)  ßeniTjUt  wurden  im  hiesigeti  Bötanisehen  Garten  erzogeue  Eeiiu- 
en.    För  die  Fticlitigkeit  der   Be;&eiehnujig  Termag  ich  nicht  ein* 


124  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  8.  Juni  1907. 


Fig.  2.  AlsophiU  ran  Oeertii  I.  PrimärbUtt  (schwach  yergr.)  «OBgelegt  am  18.  Februar; 
geceicbnet  am  26.  Februar.  Es  bat  an  seiner  Basis  die  Anlage  eines  AdyenÜTsprosses 
entwickelt,  welche  spttter  zahlreiche  Blfttter  entwickelte.  II.  Sprossnng  am  Rand  eines 
Primärblattes  einen  Monat  nach  der  Aussaat.  Die  Zellen,  welche  ausgewachsen  sind,  dicht 
mit  Starke  erfüllt.  III.  Rlatt  (sehwfteber  yergr.),  an  dessen  Ende  sirh  grössere  protbal- 
loide  Auswüchse  ohne  Intercellnlarräume,  aber  mit  zwei  Spaltöffnungen  (Spa)  entwickelt 
haben.  IV.  Dasselbe  Blatt  III,  welches  am  18.  März  gezeichnet  worden  war  am  18.  April. 
Ausser  den  zwei  inzwischen  weiter  gewachsenen  prothalloiden  Sprossnngen  haben  sieli 
Prothallien   auch  in  der  Bucht  zwischen  den  beiden  Lappen  des  Primirblattes  gebildet. 


Fig.  8.    Alsopbila  yan  Oeertfl  T.  Primirblatt  dessen  einer  Lappen  nach  dem  Abschneiden 
noch  bedeutend  sich  rergrOssert  hat,  mit  noch  wenigzelligen  prothalloiden  Auswüchsen 
IL  Primftrblatt  mit  grösseren  Aoswüehsen,  an  disaen  «inxelne  Spaltöffnungen. 
III.  Ein  Stück  des  AoswuehsM  atlrkcr  yargr. 


H.  (roebel:  Expcriinentell'inorphologi^die  MHteilmigeii^         1^5 


AamwÜthma  (diue  Nbrifflert,  tim  cte  Tom  nf«prQug)J(?hflit  BUtt«  tbEnhelxiti}. 


r€sp.  aus  den  an  diesem  entstandenen  Zellen  Zellreilien  hervor, 
ganx  wie  bei  der  Keitnung^  rler  Farnsporen,  welche  sich  am 
Ende  xu  einer  Zellfliiche  erweitern. 

3,  Gyraöogramme  chryso- 
phylU, 

Mit  dem  soeben  beschriebenen 
Verhalten  stimmt  im  wesentlichen 
Qberein  das  der  Primärbllitter  von 
O*  chrysophylla^  wie  nun  den  Ab» 
bildungeti  Fig*  5 — 7  hervorgeben 
wird.  Auch  hier  entstanden  teils 
typische  ProthalUen,  teils  Mittel- 
bild tingen  zwisclien  solchen  und 
Bliittern,  d.h.  mehrschichtige  am  Fig,  6,  Qymnugrtmmi>  curymphyu». 
tiaiide  wachsende  bobüde,  welche  den  EptwAmgmb,  sbIiwiÄ  VÄrpr. 
im  j^taiide  sind,  Spaltöffnungen,  ja      '  loiS«  fi^raMung^Ati^kJr^Tf^r/ 


126  Sitzung  der  math.-ph78.  Klasse  yom  8.  Juni  1907. 


Fig.  6.    Oymnogr.  chryHophyllA.    Primärblätter  mit  SprosBungon.    (Sp  SpaltSffnnngen.) 


^i^ 


Fig.  7.    Gymnogr.  chrysopbylla.     L  Primärblatt  mit  Sprossungen.    IL  Oborer  Teil  der 

Sproseang  rechts,  stärker  vergr.  (etwas  schief  seitlich  gesehen).  III.  Protballoide  Rprossnng 

mit  Hsarpspille  (das  Gewebe  ist  im  mittleren  Teile  mehrschichtig). 


K.  Uoebeh  Expei*imenteH-i«orji>4olt)gbche  Mitteilungen.         127 

ygiir  Leitbilndel  zu  entwickehi,  So  ist  z,  B,  in  Fig.  6  ge- 
sichuiit  ein  Blatt,  aus  dessen  Fläche  zwei  prothalloide  BiU 
dangen  herrorsprossen,  %"on  denen  eine  zwei  Spaltöflhungen 
entwickelt  hat  (Sp.  Fig.  6). 

In  Flg.  7  t  III  ist  eine  andere  derartige  Blnttsprossung 
gtseichuet,  welche  in  ihrem  mittleren  Teile  mehrschichtig  war 
tind  am  Rande  zwei  Papillen  trug»  wie  sie  nicht  an  Prothallien^ 
wohl  aber  an  jungen  Blättern  vorkommen*  Endlich  zeigt 
Pig,  7,  I  ein  Primlirblatt  mit  vier  8prossung«n,  von  denen  eine 
(rechts  oben)  ein  Leitbündel  in  ihrem  mittleren  Teile  entwickelt 
hat,  das  aber  nicht  gan^  bis  zur  Basis  hinuntergehi  Fig,  7,  II 
zeigt  die  Oberansicht  des  oberen  Teiles;  man  .sieht,  daü  ver- 
haltnismäüig  zahlreiche  Spaltöffnungen  vorbanden  sind,  welche 
ziemlich  weit  Über  die  Oberfläche  hervorragen. 

Hier  Hegt  also  ein  Gebilde  vor,  das  wir  als  ein  nidimen- 
tiires  Blatt  betrachten  können.  Daß  es  aus  einem  anderen 
Blatte  hervorgesproßt  ist,  ist  nichts  so  Sonderbares,  wie  es 
3tuiiachst  erscheinen  könnte.  Denn  ganz  dasselbe  kommt  — 
abgesehen  von  dem  unten  für  Ceratopteris  anzuführenden  — 
normal  bei  TJtricularia- Arten  und  bei  Farnen  vor,  welche  an 
ihren  Blattspitzen  Knospen  entwickeln.  Andererseits  kommen 
aoch  hier  ganz  typische  blattbürtige  Prothallien  vor* 

Fteria  langifolia. 
Hier  traten  nur  Prothallien  an  den  Primärblättern  auf 
^iind  iewar  sowohl  auf  der  BlattBäche  (Ober-  und  Unterseite) 
ils  am  Blattstiel  (Fig,  8),  Die  Prothallien  brachten  es  auch 
zur  Bild  ring  von  Antheridieu  und  Arcbegonien.  Leider  gingen 
ie  auf  ein  anderes  Su beitrat  übertragenen  Prothallien  zugrunde, 
m  PHanzen  entstanden  an  ihnen  also  nicht.  Die  Arehe- 
gonien  schienen  nicht  ganjs  normal  zu  sein,  wenigstens  waren 
die  1  [aisteile  abnorm  stark  grün,  doch  wurden  sie  nicht  näher 
^untersucht,  um  nicht  die  archegonientragenden  Prothallien 
prKlöreti  zu  müsseo.  Das  eine  Prothallium  hatte  zwei  ge- 
gliederte , Haare*  am  Kande  entwickelt,  wie  de  sonst  den 
Frothallieti  nicht  zukommen  und  die  Zellen  unter  diesen  Haaren 


128 


Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  8.  Juni  1907. 


Fig.  8.  Pterfs  longtfolia.    LinkB  Stück  der  Blattflftche  eines  PrimftrbUttfei  mit  joDgen 

Prothallien,  stArk  vergr.;  rechts  Primirblstt,  sn  dessen  Stiel  Prothsllien  aasgewacbsen 

sind,  schwach  vergr. 


glichen  mehr  den  Epidermiszellen  eines  Blattes  als  den  übrigen 
Prothalliumzellen. 

Ceratopteris  thalictroides. 

Bei  diesem  Farn  wurde  zunächst  ver- 
sucht, ob  auch  die  Sproßachse  von  Keim- 
pflanzen imstande  sei,  Prothallien  her- 
vorzubringen. 

Es  wurden  deshalb  an  einer  Anzahl 
von  Stämmchen  der  Sproßvegetations- 
punkt und  die  Blätter  entfernt. 

An  dem  Stämmchen  einer  jungen 
Pflanze,  welches  am  23.  April  ausgelegt 
worden  war,  hatten  sich  am  5.  Mai  aus 
Oberflächenzellen  nahe  an  dem  noch 
d(S*  ^Unterer** T>i"der*s^^^^  deutlich  erkennbaren,,  Fuß**  (dem  Hau- 
8  Arg«:  ""/Äamen.  storium)  drei  Prothallien  entwickelt 
"Klt^fllS^Älwet^'bsS"  (Fig.  9),   ein   größeres,    schon   flächen- 


K.  (roeJfc€?l:  Exptirimentell-nmrpbologisebe  Mitteilungen,  129 


Fttf*  10>  C«nio{»Urii  LUjilieirol4«i,     L  ßUlt  roll  ^llkJ>r|M!fn.    Ü.  Ein  pqjch«!-  ZelltSi-ppr 
etirker  vm^rasaert.    IIL  Ein  iwliert«»  PHmlrblAtt  otlt  iriitioldeii. 

rormig^  und  zwei  kleinere  noch  wenigzellige.  Nimmt  inftn 
Hltere  Keimpflanzen,  so  entwickeln  sich  am  Stammchen  keine 
ProthrtlUen,  sundem  es  entsteht  nahe  der  ftpikiilen  Schnitt- 
fläche ein  AdventivsproiÄ,  der  an  Stelle  des  entfernten  Vege- 
ttttianspunktes  tritt.    Oratopteris  bildet  bekanotlich  nie  Seiten- 

rosse  aus  —  wenigstens  in  den  bis  jetzt  beobachteten  Fällen  —; 

le  soeben  angeführte  Beobachtung  mgt,  daß  die  Sproüachse 
durch  Adventi?-.Knospenbildung  ihre  weitere  Existenz  retten 
kann,  wenn  die  Knd knospe  verloren  geja^angen  ist. 

Die    Primär  blatte  r    von    Ceratopteris    zeigten    interessante 
R<*^neration!ierscheinungen, 

ZuoächBt  ist  zu  erwähnen»    dala    an    den    ahgeschnitteren 
Illiiltern  nicht  selten  Hhizoiden  auftreten  (Fig.  10.  lll).    Solche 


130 


Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  8.  Juni  1907. 


Fig.  11.    Blatt,  aui  desaon  Stiel  ein 
Prothallium  (P)  herrorgeeprosat  iat 


findet  man  allerdings  gelegentlich  auch  an  festsitzenden  Blät- 
tern, aber  wie  es  seheint  nur  dann,  wenn  die  Wurzeln  be- 
schädigt  oder   zu  Grunde  gegangen   sind.     Bemerkenswert  ist 

auch  die  starke  Stärkeanhäufung  in 
den  Primärblättern,  namentlich  in 
deren  unterem  Teile. 

Damit  mag  es  vielleicht  zusam- 
menhängen, daß  die  Neubildungen 
vorzugsweise  in  der  Basalregion 
der  Blätter  auftreten  (Fig.  10  1, 
Fig.  11),  indes  sind  sie  keinesw^egs 
auf  diesen  Teil  beschränkt,  sie 
finden  sich  auch  in  der  Mitte  der 
Blätter  und  selbst  nahe  deren 
Spitze. 

Die  Neubildungen  finden  sich 
teils  am  Rande  teils  auf  der  Fläche 
der  Primärblätter,  und  zwar  sind 
beide  Blattseiten  zu  ihrer  Hervor- 
bringung befähigt.  Sie  entstehen  gewöhnlich  in  Gestalt  von 
Zellkörpern,  deren  Zellen  mit  Prothalliumzellen  übereinstimmen 
und  Rhizoiden  hervorbringen.  Später  wachsen  diese  Zellkörper 
aus  entweder  zu  normalen  Prothallien,  oder  zu  Mittelbildungen 
zwischen  solchen  und  Blättern.  Solche  Mittelbildungen  finden 
sich  an  dem  in  Fig.  12  gezeichneten  Blatte  in  verschiedener  Aus- 
bildung. Das  mit  1  bezeichnete  Gebilde  gleicht  äuiäerlich  einem 
schmalen,  lang  gestielten  Blatte,  dessen  oberer,  der  Spreite 
entsprechender  Teil  einschichtig  ist,  während  der  schmälere 
Teil  mehr  zylindrisch  gestaltet  und  mehrschichtig  ist.  Der 
obere  Teil  zeigt  nun  dadurch  eine  gewisse  Annäherung  an  den 
Blattbau,  daß  seine  Zellen  gewellte  Wände,  haben  (Fig.  12 
rechts  oben),  ähnlich  wie  dies  bei  einer  Blattepidermis  der 
Fall  ist. 

Weiter  geht  schon  die  Annäherung  in  der  mit  2  bezeich- 
neten Sprolaung,  welche  ebenso  wie  3  schräg  von  der  Seite 
gesehen    erscheint   und    dadurch   die  Abflachung   des    oberen 


K.  Goebet:  Ei^ariuieiitell*mor|}l[iologi8che  Mittellauifüii.        131 


?  «  // 


f  i^  tfL    VtimlrbUit^  ^   wolcfafini    die  N«abildting(rn  mstiua  bod^iileud  boraiigitirmcliieii 
9ka4.    KrUlruBg  Im  Text,    ObeD  r«chU  dfts  Eado  von  I  «titk«ir  vergrr>$Aort 


I 


Teiles  nicht  deutlich  erkennen  läßt.    Hier  war  der  obere  Teil 

xwei^scliichtig  und  hesati,  obwohl  keine  InterzelJularräuoie  Vür- 

hnnden  waren,  efne  Spiiltöffnan^,  außerdem  gleich fnils  gewellte 

Zellen.    3  endlich  besal3  ao  einzelnen  Stellen  ein  intercellular- 

fttumreiche»  Mesenchyni,    wie    es   iu    den    Pritnarblätterii    auf- 

Iriit,    und    mehrere   Spaltoffiiungea.     Außerdem  hesnü    es    au 

mtieiii  Stiele   die  Andeutung  einer  der  Schuppen,    welche  am 

Stii^l    (und    bei    den    Folgeblättem    auch   an    der   Spreite)   der 

pterlshliitter  auftreten.    Es  lag  hier  also  eine  unzweifel- 

Hiitelbildung  zwischen  Blatt  und  Prüthallium  vor.   Wollte 

je   noch    daran    zweifeln,    no   sei    verwiesen    auf  Fif^.  13| 

elcLe   xeigt,    daß  au  diesen,    mit  Spaltilffnungen   reraehenen, 

£Hlduiigen  auch  Antheridiea  auitreten  ktinnen. 


132 


Sitzung  der  math.-phyg.  Klasse  vom  8.  Juni  1906. 


.R 


Die  in  Fig.  12  mit  1 — 3  bezeichneten  Gebilde  entsprangen 
nicht  etwa  aus  einer  Sproßachse,  sondern  waren  unabhängig 
voneinander.  Um  die  Übergangsnatur  noch  deutlicher  zu  de- 
monstrieren, wurde  versucht, 
ob  es  gelänge,  unzweifelhafte 
Blätter,  die  an  einem  Sproß- 
vegetationspunkt entstanden 
sind,  auf  eine  Stufe  der  Gewebe- 
gliederung heininterzudrücken, 
welche  der  bei  jenen  Übergangs- 
bildungen    beschriebenen     ent- 

%Jl'\\\  1     /\   y^\        spricht. 

^  Es  gelang,   Blätter  hervor- 

zurufen, bei  denen  die  Entwick- 
/>  k'-l' IVY  A  U    /  /  ^^"^  eines  Leitbündels  ganz  oder 

a3Ä  '       LA/  /    V/l  teilweise  unterblieben  war,  und 

-/  M  Ä       Ä  \  solche,  bei  denen  auch  die  Aus- 

bildung des  Mesophylls  ganz 
oder  teilweise  gehemmt  war. 
Indem  ich  betreffe  dieser  Ver- 
suche auf  eine  anderweitige  Mit- 
teilung verweise,  führe  ich  nur 
an,  daß  diese  reduzierten  Blätter  aus  Anlagen  von  Primär- 
blättem  hervorhingen,  und  daß  die  Veranlassung  zu  ihrer  Bil- 
dung in  einer  künstlich  herbeigeführten  starken  Ernährungs- 
störung lag.  Jedenfalls  stimmten  diese  Gebilde  in  ihrem  ana- 
tomischen Bau  mit  den  oben  beschriebenen  Mittelbildungen 
zwischen  Prothallien  und  Blättern  überein. 

An  den  Blättern  von  Aneimia  Dregeana  traten  prothalloide 
Sprossungen  nur  in  zwei  Fällen  auf.  Sie  fanden  sich  teils  auf 
der  Ober-  teils  auf  der  Unterseite  des  Blattes,  waren  aber  nach 
3  Monaten  noch  so  wenig  entwickelt,  daß  ihre  Beschreibung  hier 
unterbleiben  kann.  Endlich  kommen  zu  den  genannten  Arten 
noch  die  von  H.  Vesselovska  untersuchten  G.  farinifera  und 
Notochlaena  Marantae;  die  apogamen  Pellaea-  und  Notochlaena- 
Arten   sowie   Trichomanes  Kraussii   reihen  sich  gleichfalls  an. 


Fig.  18.  Ceratopteris  tbalictroides.  Mittel- 
bildungen zwischen  Blatt  und  Protballium, 
X  Antheridien,  8p  Spaltöffnung. 


K.  Goeliöl:  Ejtpiiriineiitell-moqihologische  Mitt«ilm)getj.         133 


E&  unterliegt,  da  die  uittersuchtun  Arten  ganz  zufällig 
herausgegrifirea  waren,  wohl  keinem  ZweifeL  daü  die  Fähigkeit 
der  Priiniirblätter,  dm  beschriebenen  merkwürdigen  Regeiierations' 
CTSchcitiuiigen  hervorzubringen,  eine  bei  Farnen  weitverbreitete 
ist  Sie  ist  aber  normal  beschränkt  anf  die  Primärbläiter, 
Biiiter  hessw.  Blattstiicke  älterer  Pflanzen  von  Trichomanes 
radicans,  Hjmenopbylluin  dilatatura ,  Asplenimn  dimorpluun 
und  Lygodinm  scanden^^  ivelche  ebenso  behandelt  wurden  wie 
dt«  l'riinürhlHtter,  hielten  sich  zwar  teilweise  monatelang  frisch, 
zeigten  aller  keine  liegenerations^rscheinungen ;  nur  bei  Tricho* 
miUH  radicans  traten  an  einzelnen  BlatfcstÜcken  Rliizaiden 
%i\  teils  aus  den  über  einem  Nt*r?en  liegenden  Zellen  teiLs  aus 
Randzetlenf  seltener  aus  der  Fläche  entspringend,  und  Kwiir 
natnentlich  da,  wo  in  der  Nühe  abgestorbene  Zellen  sich  be- 
fanden, deren  Zersetzungsprodukte  Yielleicht  als  Reiz  iür  die 
Rhizoidenbildung  dienten. 

indes  wird  es  möglich  sein,  auch  Blätter  älterer  Pilanzen 
^  '/AI  beeinflussen,  daß  sie  ohne  Sporenbildung  Priithal U(^n 
^^wrvor bringen  können.  Sehen  wir  dies  doch  als  Ausuah nie- 
erschein ung  bei  einer  Anzahl  von  Farnen  eintreten,  entweder 
konstant  oder  nur  sprungw^eise,  so  bei  dem  oben  erwähnten 
A?ip|t*nium  diraorphum. 

Wie  bei  den  Frothallien  dieser  Pflanze  ist  es  auch  an 
den  apospor  entstandenen  Prothallien,  die  an  den  Priniärblättern 
mtsianden,  bi^  jetzt  nicht  gelun^en^  Keimpflanzen  zu  erzielen. 
Indes  i?jt  dies  wohl  nur  den  Kulturbedingungen  zuzuschreiben. 
Werden  diese  günstig  gewählt*  so  ist  zu  erwarten,  daß  an 
den  Prothallien  oder  an  den  Mittelbildungen  zwi.schen  Pro- 
lliallien  und  Blättern  Keimpflanzen  entstehen  und  zwar  wahr- 
«elieinltcb  ai>ogani. 

Die  besehriebenen  Tatsachen  zeigen,  daß  die  Fähigkeit 
i:iir  Aposporie  offenbar  bei  den  Farnen  weit  verbreitet  ist. 
Wo  j«ii*  hei  filteren  Pflanzen  auftritt,  verhalten  sich  also  deren 
BlMItcr  »o  wie  iVu*  Pri muH diitter  in  den  hier  beschrielx^nen 
Vt?rsuchen.     Wenn   num   teilweise  Spitzenaposporie   und  Ävrns- 

t.fw^nrji-ii«  unterschieden  hat,  je  nachdem  die  apospor  entstan- 
10* 


\ 


134  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  8.  Juni  1907. 

denen  Prothallien  aus  den  Blattspitzen  oder  dem  Sorus,  speziell 
den  Sporangienanlagen  hervorgehen,  so  ist  das  schon  des- 
halb kein  prinzipieller  Unterschied,  weil  beides  bei  ein  und 
derselben  Pflanze  vorkommt.  So  z.  B.  bei  dem  von  Bower 
genau  untersuchten  Athyrium  filix  femina  f.  clarissima.  Bower 
hat  nur  Sorusaposporie  beobachtet.  Schneidet  man  aber  Blätter, 
die  noch  keine  Anzeichen  von  Sporangienbildung  zeigen  ab, 
so  wachsen  in  überraschend  kurzer  Zeit  die  Spitzen  zu  Pro- 
thallien aus.  Daß  gewöhnlich  nur  die  Sporangien  das  tun, 
dürfte  darin  begründet  sein,  dag  die  Aposporie  um  so  leichter 
eintritt,  je  mehr  das  Gewebe  noch  embryonalen  Charakter  hat. 
Bei  einem  älteren  Blatte  sind  aber  die  Sporangienanlagen  die 
Stellen,  welche  embryonale  BeschaflFenheit  besitzen,  und  der 
soeben  gemachten  Annahme  entsprechend  am  leichtesten  zu 
Prothallien  auswachsen. 

Drei  Folgerungen  scheinen  sich  mir  aus  den  beobachteten 
Tatsachen  vor  allem  zu  ergeben.  Die  eine  ist  die,  dag,  wie 
schon  früher  hervorgehoben  wurde,  die  Teile  der  Keimpflanze 
bezüglich  ihres  Regenerationsvermögens  anders  sich  verhalten,  als 
die  älterer  Pflanzen.  Wir  sahen,  dag  aus  beliebigen  Augenzellen 
des  „Dauergewebes**  dieser  Keimpflanzen  prothalloideSprossungen 
hervorgehen  können,  eine  Bestätigung  des  früher*)  aufgestellten 
Satzes,  „dag  auch  das  Dauergewebe  bei  Keimpflanzen  (das  sich 
ja  vom  embryonalen  Gewebe  ableitet)  ein  anderes  ist  als  später; 
das  in  ihm  vorhandene  „  Keimplasma **  ist  ja  von  der,  durch 
die  anderen  Organe  bei  älteren  Pflanzen  erfolgende  Beeinflussung 
noch  frei,  es  ist  die  „Inkrustation**  noch  eine  geringere,  die 
Rückkehr  zum  embryonalen  Gewebe  noch  eine  leichtere.** 

Es  zeigte  sich  femer,  dag  die  Blätter  der  Keimpflanzen 
nicht  stets  dieselben  Regenerate  ergeben.  Es  können  entstehen 
entweder  Adventivsprosse  oder  Prothallien  oder  Mittelbildungen 
zwischen  Blättern  und  Prothallien.  Über  die  Ursache  für  diese 
Verschiedenheit  lägt  sich  eine  sicher  begründete  Ansicht  nicht 
aussprechen.     Aber  es  ist  mir  höchst  wahrscheinlich,    dag  sie 

ij  über  Regeneration  im  Pflanzenreich  p.  487  (Biol.  Zentralbl.,  1902). 


K*  (Joebel;  ExperiuiBnteli'morphologiHcht  Mitteilungen.         135 


^gründet  ist  in  der  Verschiedenheit  der  Baustoffe,  welche 
diejsen  Primär  blättern  für  ihre  Neubildungen  zur  Verfügung 
sieheo.  Sahen  wir  doch,  daß  auch  an  Stelle  normaltT  Blätter 
sich  solche  erzielen  lassen,  welche  in  ihrem  Bau  mit  den  be- 
sprochenen Mittelbildungen  übereinstimmen.  Es  Terhält  sich 
die  Sache  offenbar  ähnlich,  wie  bei  den  früher  beschriebenen 
Kegenerationgerschetnungen  hei  Metz^eria  furcata.  Hier  kann 
am  Thal  1  US  als  Regenerat  entweder  ein  Zell  fad  eu  oder  sofort 
ein  flächenforraig  entwickelter  Thallus  auftreten,^) 

Endlich  zeigen  die  angeführten  Tatsachen,  daß  zwischen 
den  zwei  »Generationen"  der  Farne  kein  scharfer  Unterschied 
vorhanden  ist*  Man  hat  einen  solchen  neuerdings  in  der 
^liromoson>enzahi  finden  wf^llen  und  gewife  ist  die  Tatsache 
sr  wichtig,  dafi  das  Prothaüium  gewöhnlich  die  x  —  oder 
inplotde,  der  Sporophyt  die  2x  —  oder  diploide  Generation 
darstellt  Indessen  zeigen  die  neueren  Heobachtungen  von 
Strasbnrger  und  Farmer,  data  e.s  auch  Prothallien  mit  nicht 
reduzierter  Chromosomen  zahl  geben  kann,  daß  also  die  Fonn- 
verschiedenheiten  zwischen  beiden  Generationen  jedenfalls  mit 
der  Chroniosomenzahl  nicht  zusammen  hängen.  Wie  es  sich 
mit  der  Reduktionsfrage  betreffs  der  prothalloiden  Sprossungen 
»n  Fam-Primiirblättern  verhaltt  ist  bis  jetzt  nicht  untersucht 
worden*  Die  Analogie  mit  den  von  Farmer  und  Digby*)  neuer- 
dings untersuchten  aposporen  Prothallien  spricht  dafür,  daß 
eine  Reduktion  nicht  stattfindet  Wenn  Keimpflanzen  an  den 
Prothaliien  sich  bilden,  werden  sie  also  wahrscheinlich  apogam 
tmtstehen  —  es  soll  bei  neuen  Versuchsserien  darauf  besonders 
geachtet  werden» 

Zwischen  einem  Farnprothallium  und  einer  Farn  pflanze 
L  «iiid,  von  der  Zellkernverschiedenheit  abgesehen^  keine  größeren 
H  Diflerenzen  vorhanden,  als  zwischen  einem  Moosprotonema 
H  ttnd   einer  Moospflanzo,     Das  zeigen   schon    die   Mittelformen 

^^^H     ^)  VgL  Eflckichk^sbildtiiif^en  und  Sproasungen  bei  Metigeria.  Flora, 

^^K  Bd.  mmi  p.  ßa 

•)  Furmtn-  and  Digby,  studies  io  apoapory  and  apogamy  m  ferns, 
of  hntany,  vob  XXI,  April  1907. 


MM 


mam 


136  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  8.  Juni  1907. 

und  die  Tatsache,  daß  an  den  Primärblättern  entweder  Pflanzen 
oder  Prothallien  entstehen  können. 

Man  könnte  die  erwähnte  Erscheinung  natürlich  auch 
phylogenetisch  ausdeuten,  und  z.  B.  das  Farnprothallium  be- 
trachten als  ein  rudimentäres,  Sexualorgane  tragendes  Farn- 
blatt, zumal  ja  die  Entstehung  eines  Farnblattes  wie  neuere 
Untersuchungen  gelehrt  haben,  und  auch  oben  durch  ein 
weiteres  Beispiel  belegt  wurde,  nicht  notwendig  an  das  Vor- 
handensein eines  Sprossvegetationspunktes  gebunden  ist.  Der 
öametophyt  würde  dann  eine  Hemmungserscheinung  dar- 
stellen, aber  sonst  dem  Sporophyten  „wesensgleich*  sein. 
Mit  solchen  Spekulationen  gerät  man  aber  auf  einen  durchaus 
unsicheren  Boden.  Geratener  als  der  Versuch,  auf  ihm  ein 
neues  Hypothesengebäude  zu  errichten,  wird  der  sein,  das 
Problem  des  Generationswechsels  durch  weitere  experimentelle 
Untersuchungen  zu  fordern. 

Schließlich  sei  noch  auf  eine  andere  Frage  hingewiesen, 
für  welche  die  angeführten  Tatsachen  von  Interesse  sind.  Ich 
habe  früher  an  Utricularia  nachzuweisen  versucht,  daß  die 
Unterschiede  zwischen  den  Organkategorien  Sproß  und  Blatt 
nur  relative  sind,  und  daß  in  den  Knollen  der  Dioscoreen*) 
Gebilde  vorliegen,  die  teils  Sproß-,  teils  Wurzelcharakter  haben. 
An  den  Primärblättern  der  Farne  haben  wir  andererseits  Mittel- 
bildungen zwischen  Blättern  und  Prothallien  entstehen  sehen, 
zudem  zeigen  die  Erfahrungen  bei  einer  ganzen  Anzahl  von 
Farnen,  daß  ein  Blatt  direkt  aus  einem  andern  hervorsprossen 
kann. 

Allerdings  gibt  es  Botaniker,  welche  der  Ansicht  sind, 
daß  zwischen  den  Organ kategorien  Zwischen-  oder  Übergangs- 
formen unmöglich  seien.  Mir  scheint  aber,  daß  mau  zu  der 
letztgenannten  Ansicht  nur  gelangen  kann,  wenn  man  sich 
den  zu  ihr  nicht  passenden  Tatsachen  verschließt. 

h  Vgl.  Flora,  93.  Bd.,  p.  1G7  ff. 


IT.  fitiebel:   Ejc^ödmentell-morpliolügiiche  Mittüilangen.         137 


2,  Über  die  Bedingungen  der  Wurzefregeneration  bei  einigen 

Pflanzen. 

Neubildung  von  Wurzeln  tindet  bekantitlich  hei  vielen 
PfliiQzeu  stutt  aa  isolirten  Pflanzenteüen,  bei  manchen  auch 
an  dur  unverletzten  Pflanze^  wenn  die  für  die  Wurzelbildiing 
günstigen  äutäeren  Bedingungen  gegeben  sind.  Das  Haupt- 
iiitere^e  beanspruchea  die  Pflanzen,  bei  denen,  so  lange  die 
PBakum  unverletzt  ist,  auch  bei  günstigen  äußeren  Bedingungen 
eine   Wur/elbildung   an   der   Sjiroßachse   nicht  eintritt*      Dies 

z.  B*  der  Fall  bei  Vicia  Faba  und  Phaseolus.  Auch 
Bsn  man  eines  der  Sprajälnternodien  verfinstert  und  feucht 
liiÜt,  treten  an  ihm  gew5hnlich  keine  Wurzeln  auf;  wenn  dies 
m]siiiitiujsu'el*^e  der  Fall  ist,  hO  liat  das  nach  dem  weiter  unten 
Üliixu  rühren  den  offenbar  seinen  Grund  darin,  daß  das  eigentliche 
Wunselsystem  nicht  mehr  normal  ist.  Ist  das  letztere  aber  der 
FäII»  so  beruht  das  Unterbleiben  der  Wnrzell*ilduag  an  ober- 
irdischen Teilen  offenbar  auf  einer  vom  Wur5!;elsystem  aus- 
gehenden Einwirkung,  oiit  andern  Worten,  das  Ausbleiben 
der  Wurzelbildung  ist  korrelativ  bedingt.  Es  wird  also  Wurzel- 
bildung eintreten,  wenn  man  entweder  die  Verbindung  der 
SproJäüchse  mit  dem  Wurzelsysteui  unterbricht,  oder  dieses  in 
dneii  Zustand  versetzt,  in  welchem  es  seine  hemmende  Ein- 
rirkung  auf  die  Wurzelbildung  am  Sproli  nicht  mehr  ausüben 
nii.  Diiii  er^teres  ent^äprechend  von  mir  früher  bei  Brjo- 
phyllum  ausgeftihrten  Versuchen  geschehen  kann  durch  eine 
Durchscbnetdung  eines  oder  mehrerer  Leitbündel,  geht  schon 
mm  Versuchen  von  Mac  AUum  hervor  Aber  auch  der  zweite 
We^^  erwies  sich  als  gangbar. 

Es  wurde  der  Versuch  in  doppelter  Weise  ausgeführt: 

L  12  gleichstarke  Phascoluspflanzen  wurden  in  Töpfe  ge* 
prianzt  und  das  Epikotyl  mit  Sphiiguum  und  Kautschukpapier 
tttngeben.  H  dieser  in  einem  feuchten  Gewächshaus  stehenden 
Tapfe  wurden  begossen,  6  nicht.  Nach  6  */j  Wochen  hatten 
die  Ifbtteren  alle  in  das  Sjjbagnum  Wurzeln  getrieben,  Irei 
den  begossenen  wai*  dies  nur  an  einer  Pflanze  der  Fall.    Diese 


138  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  8.  Juni  1907. 

war  durch  ihre  Schwächlichkeit  den  andern  gegenüber  ausge- 
zeichnet, und  diese  hing  offenbar  damit  zusammen,  daß  das 
Wurzelsystem  dieser  Pflanze  nicht  normal  war. 

2.  An  Wasserkulturen  mit  kräftigem,  gesundem  Wurzel- 
systeme wurde  das  Epikotyl  in  eine  mit  Wasser  gefüllte  Glas- 
röhre gebracht  und  das  Glas,  welches  die  Nährlösung  samt 
dem  Wurzelsystem  enthielt,  dauernd  auf  etwa  5®  abgekühlt. 
Die  Pflanzen  wuchsen  unter  diesen  Bedingungen  natürlich  sehr 
langsam,  welkten  aber  nicht.  Sie  bildeten  alle  am  Epikotyl 
schließlich  Wurzeln  aus.  Das  Hauptwurzelsystem  war  durch 
die  mehrere  Wochen  andauernde  Abkühlung  nicht  etwa  ab- 
gestorben. Es  hatte  zwar  teilweise  gelitten,  wuchs  aber,  als 
die  Pflanzen  bei  15 — 20°  weiter  kultiviert  wurden,  kräftig 
weiter.  In  diesen  Versuchen  war  das  Wurzelsystem  also  in- 
aktiviert worden  und  konnte  deshalb  die  Wurzelbildung  an 
der  Sproßachse  nicht  verhindern. 

Über  die  Art  und  Weise,  wie  diese  korrelative  Hemmung 
ausgeübt  wird,  läßt  sich  etwas  Sicheres  derzeit  nicht  aussagen; 
betreffs  der  Auffassung,  welche  mir  die  wahrscheinlichste 
scheint,  möchte  ich  auf  früher  Gesagtes  verweisen. 


im 


Ein  Naturmodell  der  Düneiibildung. 

Von  S!*5gmoöcl  GnntJier* 

Die  Lehre  von  den  Kontinentaldtlnon,  die  scheinbar 
'in  dnem  gewissen  Gegensätze  zu  den  weit  länger  bekannten 
und  i^ingebender  studierten  Kilßtendünen  stehen,  ist  erst  in 
neuerer  Zeit  zum  Gegenstande  tiefer  eindringender  Betrachtung 
gemacht  worden,  F,  v.  Richthofen^)  und  N.  Ä.  Sokolow^) 
hnben  das  Beohachtungsmaterial,  welches  überwiegend  zentral- 
asiatisclien*  zum  geringeren  Teile  auch  afrikanischen  Ge- 
bieten  entstammt,  kritisch  gesichtet  und  daraus  Theorien  ab- 
geleitet, welche  im  wesentlichen  auch  von  der  gesamten  Wissen- 
schaft angenommen  wurden,  und  zwar  mit  gutem  Grunde. 
Fassen  wir,  minder  belangreiche  Momente  außer  acht  lassend, 
die  besonders  herrortretenden  Gesichtspunkte  zusammen»  so 
kann  das»  wohl  in  einer  These  geschehen,  welcher  der  folgende 
Wörtlaut  tu  geben  wäre:  Dem  für  die  Meeresküsten 
charakteristischen  Dünentypus,  dieses  Wort  im  en* 
geren  Sinne  genommen,  steht  im  abflulilosen  Step- 
pen- und  Wüstenland c  der  sogenannte  Barchantypus 
gegenüber*  Spricht  doch  Penck,'}  auf  eine  große  Anzahl 
beglaubigter  Mitteilungen  sieh  stützend,    direkt  den  Satz  aus; 

*)  T*  Riohtbofea^  Fökrer  für  FortohungireiBetide*    Hannover  1901, 

^  Sokaidw^ArKriini,   Die   Danen;     Dildung,   Entwicklung    und 
!d tierer  Bau.    flcrlin  1894, 

*|  Penck,  Moi-plu>logie  der  Erdoberfläche.  2.  TeiL  Stuttgart  1894, 


140  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  8.  Juni  1907. 

,Die  Grundform  der  Kontinentaldünen  sind  die  Barchane,  in 
der  Sahara  Siuf  (Sing.  Sif),  in  Südamerika  M^danos  ge- 
nannt** (s.  u.). 

Die  Verschiedenheit  beider  Typen  läßt  sich  ohne  viele 
Worte  durch  eine  scheraatische  Profilzeichnung  kennzeichnen. 
In  Fig.  1  ist  ein  Längsdurchschnitt  durch  eine  normale  Strand- 
düne, in  Fig.  2  ein  ebensolcher  durch  einen  Barchan  dar- 
gestellt. Man  sieht,  daß  für  die  Luvseite  keinerlei  Abweichung 
obwaltet  und  daß  in  beiden  Fällen  auch  der  Steilabfall  im 
Windschatten  gleichmäßig  vorhanden  ist.  Die  Barchane  weisen 
hier  aber  eine  Nische  auf,  welche  den  gewöhnlichen  Dünen 
fehlt.  In  Arabien  gestalten  sich,  wie  schon  frühere  Reise- 
schriftsteller berichteten,  und  wie  Euting^)  ganz  besonders 
hervorgehoben  hat,  diese  Ausschnitte  ungemein  großartig. 


Fig.  1. 


Fig.  2. 

Man  kann  nun  die  Frage  aufwerfen,  ob  die  Barchane 
nicht  nur  in  der  Regel,  sondern  ausschließlich  die  den 
kontinentalen  Steppen  eigentümliche  Form  der  Sandanwehung 
repräsentieren.  Gewöhnlich  scheint  das  letztere  (s.  o.)  voraus- 
gesetzt zu  werden,  aber  einer  der  gründlichsten  Kenner  Inner- 
asiens,   Muschketow,*)    drückt  sich   doch    nach    dieser  Seite 

M  Kuting,  Über  eine  Reise  in  Innerarabien.  Verhandl.  d.  Gesellsch. 
f.  Enlk.  z.  Berlin,   188G,  S.  2GG  ff. 

^)  Muschketow-Merena,  Die  Kontinentalaanddünen  oder  Bar- 
chane.   Deutsche  Kundschau  f.  Geogr.  u.  Stat.,  12.  Jahrgang,  S.  148. 


8.  (jüiiUier:  Km  Nattirinotlell  clor  DürnjuTnliluTiK. 


141 


hin  etwa.»^  vorai^btiger  aus,  indeiix  er  d^n  niedrigen  Hufeisen- 
htlgel  nur  ak  ^die  verbreitetste  und  am  meisten  cliarakteri- 
stkche  Form  fUr  alle  Wüsten  bezeichnet  "<  In  dieser  Fassung 
darf  die  Angabe  gewiß  als  unbedingt  zutreffend  augeseben 
werden.  Wenngleicb  über  die  Art  der  Entstehung  einer  wie 
immer  beschaffeneu  Düuö  in  der  Hauptsache  Übereinstimmung 
herrscht,  so  scheint  die  Frage,  weshalb  die  Leeseite  so  auf- 
faUeude  Abweichungen  aufweisen  könne,  doch  noch  nicht  bin- 
liiii glich  geklärt  zu  sein.  Drei  Ursachen  müssen,  wie  fest^ 
steht«  Vorhandensein:  Eine  großenteils  konstante  Wind- 
richtung, ein  den  Sand  fixierendes  Hindernis  und 
dieser  Sand  selbst,  entstamme  er  nun  dem  Grunde  einer 
grtitjt^reM,  nicht  allzu  weit  entfernten  Wasseransammlung  oder 
dniT  benachbarten,  dem  Zerstörungsprozesse  unterworfenen 
Gec^einsoberfläche.  Weder  das  erste  noch  dtis  zweite  der  drei 
hiitr  aufgeführten  Elemente  vermag  die  Art  und  Größe  der 
Leeböschung  irgendwie  maßgebend  ssu  bestimmen;  es  mul^  folg- 
lich die  Bescbaffenheit  des  Sandes  von  ausschlaggebender  Be- 
deutung sein. 

Wenn  die  Sandkörner  völlig  trockene  Partikeln  von  an- 
genähert gleicher  Grölae  und  Gestalt  sind,  so  mula  sich  auf 
dtr  vom  Winde  abgekehrten  Seite,  wo  jene  fast  ausscblieölich 
mir  von  der  Schwerkraft  beeinflußt  sind,  die  Profilkurve  den 
ÜeÄetzen  anpassen,  die  für  eine  aus  losen  Teilchen  zusammen- 
fgetietfXe  Miusse  maßgebeDd  sind.  Es  treten  die  gleichen 
Verhältnisse  ein,  wie  sie  auch  für  Stratovulkane  be- 
KieheDt  und  jene  Kurve  erscheint  als  eiue  gegen 
antien  konkav  verlaufende  Linie.  Auf  ehi  rechtwinkliges 
Koordinatensystem  bezogen^  als  dessen  Ahszisseuachse  die  Pro- 
Aktion  der  Windrichtung  auf  die  Horizon talebene  gewählt 
winl,  erhält  die  Kurve  nach  Milne^  die  Gleichung  x^^a>c 
log  {bff\  unter  a  und  h  für  den  Einzelfall  konstante  Größen 
vt^^tntideo«     Man  hut  es  sonach  mit  einer  logarith  mischen 

*>  Milne,  On  the  Form  of  Volcanos.   fleolog.  Ma^iu-,  {%]  5/Bivnci, 
H.  317 IT;  Fnrthcr  Note«  oii  the  Ponn  of  Volcanos,    Kbendia>  t%\  *5.  Hund- 


142  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  8.  Juni  1907. 

Linie  zu  tun.  Wie  dann  die  trichterförmige  Aushöhlung 
des  Sandhügels  zustande  kommt,  ist  bekannt;  es  geht  eben  die 
Vergrößerung  des  sozusagen  im  Kohbau  fertigen  Barchans  an 
den  Rändern  rascher  als  in  der  Mitte  vor  sich.  Und  da  bei 
Wüstensand  die  oben  skizzierten  Bedingungen  meistenteils  er- 
füllt sind,  so  kann  es  nicht  fehlen,  daß  der  Barchantypus  ge- 
wöhnlich in  die  Erscheinung  tritt. 

Gesetzt  aber,  die  Flugsandmasse  habe  mehr  eine  derjenigen 
des  Meeressandes  ähnelnde  Zusammensetzung,  so  werden  uns 
in  der  Struktur  jeder  einzelnen  Binnenlanddüne  auch  im  großen 
und  ganzen  die  nämlichen  Bildungsgesetze  begegnen,  welche 
uns  von  den  Küstendünen  her  geläufig  sind.  Der  Abfall  in 
Lee  erscheint  unregelmäßiger,  bald  konkav,  bald  auch  konvex 
oder  ganz  geradlinig  verlaufend.  Zu  der  Schwere  und  den 
Reibungswiderständen  tritt  eben  jetzt  noch  eine  gewisse  Ad- 
häsion der  Körner  hinzu,  und  alsdann  hört  der  Barchan- 
charakter auf  maßgebend  zu  sein.  Daß  es  am  Meeresufer  sich 
so  verhält,  weiß  jedermann;  daß  jedoch  auch  im  Binnenlande 
sich  ein  völlig  analoger  Sachverhalt  ergeben  kann,  dürfte  minder 
bekannt  sein,  und  es  mögen  deshalb  zunächst  der  Erdstelle, 
welche  uns  dieses  Phänomen  in  seltener  Reinheit  vor  Augen 
führt,  einige  Worte  gewidmet  sein.  Dieselbe  gehört  der  für 
die  physikalische  Geographie  überhaupt  eine  Fülle  interessanter 
Probleme  darbietenden  Steppenregion  von  Südkalifornien 
an,  dem  sogenannten  Mohave  Desert  zwischen  Salton  im 
Osten  und  San  Bernardino  im  Westen.  Auf  der  Karte  ist 
der  in  Frage  kommende  Landstrich,  der  indessen  kein  wirk- 
liches Tal  darstellt,  als  Coahuilla  Valley  bezeichnet. 

Dem  diese  Strecke  mit  der  Southern  Pacific  Railway  Be- 
fahrenden drängt  sich  der  merkwürdige,  oft  sehr  abrupt  sich 
vollziehende  Wechsel  zwischen  vei-schiedenartigen  Landschafts- 
bildern als  eine  Signatur  der  bei  aller  Einförmigkeit  doch  nie- 
mals langweiligen  Gegend  auf.  Zu  den  merkwürdigsten  Ge- 
bieten gehört  nun  eine  weite,  fast  ebene  und  nur  sehr  spärlich 
von  aufgesetzten  Erhöhungen  durchschwärmte  Fläche,  welche 
in  Hunderten  und  Tausenden  von  Exemplaren  das  aufweist,  was 


8»  Günther:  Ein  Naturmodell  der  Düneßbildting, 


143 


in  unserer  Überschrift  als  Natuniiodell  der  Dünenbildung 

bezeichnet  wurde.  Wohin  sich  im  Verlaufe  mehrerer  Fahrstunden 
das  Auge  des  im  Bahnzuge  sich  befindenden  Beobachters  richtet, 
weit  mehr  jedoch  auf  der  südlichen  als  auf  der  nördlichen  Seite 
der  Bahnhnie,  liegen  diese  meist  kleinen  Dünen  regellos  ver- 
streut, in  ihren  geumetrischen  Verhältnissen  eine  ganz  unver- 
kennbare Ähnlichkeit  zur  Behau  tragend.  Man  möchte  vielleicht 
einwenden,  ein  auf  eiUger  Bahnfahrt  gewonnener  Totaleindruck 
berechtige  noch  nicht  daxu»  die  raorphographischen  Beziehungen 
mit  einiger  Sicherheit  festzulegen.  Allein  abgesehen  davon» 
AnÜ  In  der  südwestlichen  Union    die  Fortbewegung  der  Zilyfü 


Fig.  3. 

mchlis  weniger  denn  rapid  ist,  und  da§  die  gute  amerikanische 
Siliet  Aussichts wagen  beizugebeui  den  Horizont  des  Reisenden 
ansehnlich  erweitert,  'gewührt  die  Ausdehnung  des  Dünenbe- 
zirke&die  bequeme  Mögüchkeit,  die  gemachten  Wahniehmungen 
tminer  wieder  zu  revidieren.  So  kann  leicht  die  Gewähr  dafür 
übernommen  werden,  daiä  die  Aussagen  über  das  Gesehene 
die  voiUte  Zuverlässigkeit  besitzen.  In  Fig.  3  wird  ein  Stück 
des  GclEndes  wiedergegeben*  so  wie  es  aus  der  Vogelperspektive 
erblickt  würde. 

Durehweg  ist  die  Luvseite  jedes  Dünenindividuums  genau 
voUstäudig  wie  die  Leeseite  ausgebildet,  indem  nur  der 


144  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  8.  Juni  1907. 

Neigungswinkel  auf  der  letzteren  beträchtlich  größer  ist.  Die 
elliptische  Basis  zeigt  sich  allenthalben  konvex  nach  außen, 
und  Einschnitte  fehlen  gänzlich.  Da  die  Profillinien  von  Geraden 
nur  wenig  abweichen,  so  ruft  jede  einzelne  Düne  ganz  und  gar 
den  Eindruck  eines  schiefen  elliptischen  Kegels  hervor.  Der 
Umstand,  daß  dessen  Mantelfläche  nicht  glatt,  sondeni  gerippt 
erscheint,  muß  noch  zum  Gegenstande  einer  besonderen  Er- 
örterung gemacht  werden. 

Was  nun  den  Prozeß  der  Dünenbildung  selbst  anlangt,  so 
hängt  dieselbe  selbstverständlich  in  erster  Linie  von  dem  Wehen 
eines  konstanten  Windes  ab!  Die  großen  Achsen  der  erwähnten 
Ovalkurven  weisen  eine  Richtung  von  OSO  gegen  WNW  auf, 
womit  also,  falls  die  gewöhnliche  Vorstellung  von  der  Entstehung 
isolierter  Sandansammlungen  der  Wahrheit  entspricht,  die  Wind- 
richtung für  mindestens  einen  großen  Teil  des  Jahres  gekenn- 
zeichnet wird.  Und  daß  es  sich  in  der  Tat  so  verhält,  darüber 
vergewissert  uns  einer  der  wenigen  gewiegten  Kenner  dieser 
Landesteile,  0.  Loew,^)  der  die  an  Häufigkeit  weitaus  vor- 
wiegenden Südostwinde  als  Ausläufer  eines  echten  Monsuns 
anspricht.  Es  ist  jedoch  anzunehmen,  daß  diese  Luftströmung 
die  mitgeführte  Feuchtigkeit  da,  wo  sie  das  Coahuilla-Tal  er- 
reicht, bereits  großenteils  in  heftigen  Regengüssen  abgegeben 

*)  Loew,  Leutnant  Wheelers  Expedition  durch  das  südliche  Kali- 
fornien im  Jahre  1875.  Petermanns  Geogr.  Mitteil.,  1876,  S.  410.  »Es 
gibt  jedenfalls  nur  y^enige  Gegenden  auf  der  Erde,  wo  zwei  gänzlich 
verschiedene  Klimate  durch  eine  einzige  Bergkette  getrennt  werden,  wie 
in  Kalifornien,  wo  das  gleichförmige  Seeklim'a  des  Küstenstriches  im 
markierten  Kontrast  zu  dem  Kontinental-  und  Wüstenklima  der  Östlich 
von  den  riesigen,  Mittel-  und  Südkalifornien  durchziehenden  Ketten 
liegenden  Ländereien  steht.  ...  In  bezug  auf  die  Mohave-Wüste  ist  vor 
allem  zu  konstatieren,  daß  wir  ein  bedeutendes  Vorherrschen  der  Süd- 
ostwinde bemerkten;   die   Regelmfißigkeit,   mit  der  dieser   Wind   blies, 

war  uns  schon   nach   kurzem   Verweilen   in  jener  Wüste  aufgefallen 

Als  ich  später  naoh  Fort  Mohave  kam,  wurde  diese  Beobachtung  auch 
vom  dortigen  Militilmpotheker  bestätigt,  der  dort  seit  drei  Jahren 
meteorologische  Beobachtungen  angestellt  hatte." 


B.  GüntheL-:  Ein  NtttamioileU  der  Dünenhiidung. 


145 


t,'j  (it'iiii  liiti  Diiüengegend  mnü  als  tio  lichtigöö  Trunken - 
«gebiet  gelten.  Döt  Siidostwmd  ist  es  also,  dem  die  Ver- 
frachtung der  sii:li  immer  mehr  verkleinerndeii  Gesteinstrümmer 
and  deroa  ÄufscliÜttuiig  zu  kleinen  Hiigeln  zuzuseb reiben  ist 
Wäre  die  Ebene  absolut  fluch,  so  würde  sie,  wie  das  in 
Hocdmsien  geächeheu  ist,  mit  gleiclimäiigiiri  ^taubschicktL'n 
Iberdeckt  werden,  und  es  würde  sich  eine  äoHsche  For- 
lafcion  von  gau^  anderem  Wesen  herausbilden,  als  dies  tat- 
lücklich  der  FaU.  gewesen  isL  Die  Ebene  ist  aber  besets^t  mit 
einer  unKühligen  Menge  kleiner  und  kleinster  Hindernisse  der 
Luftbeweguiig,  mit  gewissen  Pflanzen,  und  jede  von  diesen  hat 
nh  ein  Ansati^punkt  der  Diinenbildüng  gedient.  Die  früher 
beliebte  DifÜDjtion  der  WUste  als  eines  gänzlich  Tegetationslo^QO 
Teilen  der  Land  ober  däche  wird  in  der  Gegenwart  nicht  mehr 
als  richtig  anerkannt;  dt*i'  Gegensatz  zwischen  ihr  und  der 
äteppe  ist  kein  absoluterj  qualitativer,  sonJern  lediglich  darin 
ist  der  Unterschied  zu  suchen,  dali  die  Gewächse  in  der  Wüste 
^noch  ärmlicher  und  spärlicher  nach  Arten-  und  IndiviJuenzahl 
iftreten,  alss  bei  der  anderen,  minder  nionotonen  Bodenforui. 


*)  Dafi  dem  eo  eei,  bewei*«ti  wiederum  die  Mitteilungen  Lüpwä  in 
Terbiadimg  mit  Jer  Äutopiie.  Östlich  von  Jt-r  Düneaii^gian  xiabt  iich 
jS&mticU  ein  Landstrieh  hin,  dessen  Natur  von  derjenigen  jener  ersteri^n 
lo  der  entschied ensten  Weise  abweklit  Die  ünfieröt  lUftn^  cünomuiigijn 
Iteeiinsice.  welche  «ich  allerorts  finden  und  kein  unbetrEchtliches  Vr*r- 
i  -  abgybtiij,  Hiiid  nac);  Loew  durch  die  gewaltigen  Wolken- 

1 iiircht  woiden,  dit?  durch  die  Südostwinde  bedingt  *ii  aeiit 

|ittegijn.     Weiter  oben  im  Gi^birge  dienen   dieae  »Drj  Waahe^*    umge* 

^">  1-t  der  Verkehräörleichterung ,    weil   miui   in   denselben   immer    noch 

Itff  lüfi  auf  den   Bteilen  Fclsbrmgen   vofwürts   kommen  kann.    Ohne 

'  von  Zwi>!ebenformen  geht  tliewe  Brütsionsliitidachaft  itn  Westen 

\p  it?lt  in  die  htÜje»iUnd»chiift  aber,  die  natürlich  auch  dvin^ih  die 

i(vniu>nUilUllt  ihres  liodens  der  Zeiijtörtmg  diucb  die  meteorischen  Oe- 

ti«l  weni{fer  AugnttJspunktö  bot,  die  aber  aweifcllö'*  Äuch  au  und 

»ich  iin^kieh   trockener  bJ^s  die   datlith  angrenzen diMi  Gebiete   sein 

Auch    die    im    Winter    hnuögen*    mit   viel    gmng(*rer   lutenaitilt 

udon  Nord wext winde  babeu  bein>  Oheräehreiten  der  KüstenkordiUere 

»Uf<  dem  Stillen  Oieean   mit^'ebmehten   Waa»6Fdam[)f  mnn  i^^r^fiten 

Ttile  nuiigetfehitHlen. 


146  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  8.  Juni  1907. 

, Arizona  und  Neu-Mexiko  besitzen/  so  äußert  sich  Drude,^) 
„mehr  Steppenphysiognomie,  welche  im  südöstlichen  Kalifornien 
zur  Mohave-  und  Gilawüste  von  trauriger  Einöde  ausgeprägt 
ist. "  Die  Charakterpflanze  dieser  bei  aller  Starrheit  doch  durch- 
aus nicht  eigentlich  unschönen  Landschaft,  die  sich  auch  durch 
häufige  Sandtromben  und  durch  das  nicht  seltene  Auftreten 
der  Fata  Morgana  (Mirage)  als  richtige  Wüste  zu  erkennen 
gibt,  ist  die  graugrüne  Artemisia  tridentata,  welcher  von  den 
Amerikanern  der  recht  treffende  Name  Sage  Brush*)  beigelegt 
worden  ist.  Mit  ihren  rauhen,  verfilzten  Asten  dem  Winde  in 
den  Weg  gestellt,  hat  diese  niedrige  Staude,  die  niemals  Gruppen 
bildet,  sondern  immer  nur  ganz  vereinzelt  wächst,  alle  Eigen- 
schaften eines  Sandfanges.  Sie  wirkt  ganz  ebenso,  wie  dies 
anderwärts,  wenn  Sand-  oder  Schneedünen  (Sastrugi)  gebildet 
werden,  kleine  Bodenwarzen,  Felsblöcke,  Zäune  tun,  und  ragt 
sehr  häufig  aus  dem  sie  überdeckenden  Sandhügel  hervor,  dessen 
höchste  Stelle  markierend. 

Über  zwei  der  Voraussetzungen,  von  denen  das  Zustande- 
kommen der  Dünen  abhängt,  sind  wir  jetzt  zur  Klarheit  gelangt. 
Auch  das  Vorhandensein  des  Sandes,  der  den  Baustoff  liefert, 
braucht  nicht  erst  bewiesen  zu  werden,  und  nur  dessen  Be- 
schaffenheit nötigt  uns  eine  besondere  Erörterung  auf,  indem 
eben  ermittelt  werden  soll,  aus  welchem  Grunde  die  an  sich 
zu  erwartende  Barchangestalt  vermißt  wird.  Da  ist  nun  an- 
scheinend nicht  belanglos  die  Frage,  ob  die  Mohavedünen 
von  jeher  dort,  wo  man  sie  jetzt  vorfindet,  existiert 
haben,  oder  ob  nicht  vielleicht  in  ihnen  eine  mehr  oder 
weniger  ephemere  Bildung  zu   erblicken  ist.    Auffallen 

*)  Drude,  Handbuch  der  Pflanzengeographie.  Stuttgart  1890,  S.  445. 

')  Ebenda,  S.  433.  Auch  Loew  fa  a.  0.,  S.  415)  macht  eine  Anzahl 
von  Ptlanzentjpen  namhaft,  welche  auf  trockenen  Sandhügeln  erwachsen 
und  sicherlich,  wenn  erst  einmal  die  Düne  hergestellt  ist,  dazu  beitragen, 
dieselbe  zu  .verankern*  und  am  Fortschreiten  zu  hindern.  Jene  Larrea- 
und  Cereusarten,  welche  man  auf  D rüdes  Schilderung  hin  auch  in  der 
Mohavewüste  vermuten  möchte,  «ind,  wie  es  den  Anschein  hat,  nicht 
so  weit   nach  Westen  vorgedrungen. 


S,  Oüntber^  Ein  NatunnoileU  der  Dünenbildting. 


147 


otuli  es,  düi  Loew  derselben  keine  Erwälmung  tut,  obwohl  er 
ohne  allen  Zweifel  an  Ort  uud  Stelle  gewesen  ist  uod  an  keiner 
Naturmerkwürdigkeit  achtlos  vorübergeht»  Wir  befinden  uns 
Dua  aber  an  einein  PIsty.e,  der  in  der  neuesten  Zeit  eines  der 
großartigsten  Naturscliauspiele  sich  vollziehen  sab,  ein  Schau^ 
spiel  zugleich,  welches  den  einschnei densten  Einfluß  auf  die 
ganze  Umgebung  der  Umgebung  ausgeübt  bat.  Wir  meinen 
die  Entstehung  des  Salton  Lake,  eines  länglich eo  Wasser- 
beckens, dessen  Hauptach&e  wesentlich  mit  der  für  die  Er- 
ung  der  Dünen  bestimmend  gewesenen  Windrichtung  über- 
stimmt. Man  weiß  längst,  daß  Sand,  der  vom  Ufer  eines 
Meeresteil^  oder  eines  gröt^ieren  Binnensees  stammt,  nicht  ohne 
weiteres  mit  dem  Wüstensande  auf  die  gleiche  Stufe  ?m  stellen 
ist,  und  so  wäre  es  mithin  sehr  wobl  denkbar,  daß  die  sub- 
a^rischen  Bildungen  des  Coahuilla-Tales  andere  als  vorher 
geworden  sind,  seitdem  jener  vielbesprochene  See  sich  bemerk- 
lich zu  machen  begann. 

Eine  kurze  Geschichte  desselben  kann  hier  nicht  umgangen 
wtrden,  indem  wegen  tieferen  Eingehens  auf  die  Genese  des 
ziemlich  einzig  in  seiner  Art  dastehenden  Ereignisses  das  Stu- 
dimn  einer  Abhandlung  des  Chemikers  H.  Erdmann*)  em- 
pfohlen werden  darf.  Die  Geologie  von  Nord-Mexiko  hatte 
lüngst  darüber  vergewissert,  daß  in  vorgeschichtlicher  Zeit  der 
Kalifornische  Golf  viel  weiter  nach  Norden  reichte  und  durch 
die  vom  Rio  Colorado  herbeigeführten  Detritusmassen  auf 
eine  weite  Strecke  hin  zugeschüttet  ward.  Man  glaubte  dem 
Wftssdrreicben  Strome  einen  kleinen  Teil  seinem  Überflusses  leicht 
entstehen  zu  können,  um  so  eine  bessere  Bewässerung  des  bis 
in  100  m  unter  den  Meeresspiegel  sich  hinabsenkenden  De- 
preesionsgebietes  von  Mekka  und  Salton  zu  erzielen,  und 
dieser  Zweck  wurde  denn  auch  fiirs  erste  vollständig  erreicht. 
Dali  sich  schon  in  den  achtziger  Jahren  des  vergangenen  Jabr- 


'>  Erduiann,  Die  KfttuafcropUe  von  Manafeld  und  das  Problem  den 
Cukmdoßti^st!^.  Ein  Beitrug  ^tir  Ut^vchiehte  der  ßalxseen  und  Si].l3£ate|ipeii. 
IHeraHUiiui  Umgt.  Mitieil.,  19Ü7,  ^.  42  ff. 


^ 


^^ 


14:8  Sitzung  der  math.-phys.  Klasae  vom  8.  Juni  1907. 

Hunderts  ein  See  gebildet  hatte,  der  als  Dry  Lake  jedoch 
keine  allzu  großen  Dimensionen  annehmen  zu  wollen  schien, 
interessierte  wohl  den  Naturfoi-scher,  nur  wenig  aber  die  Be- 
wohnerschaft der  jungen  Oase.  Floß  doch  der  Colorado  nach 
wie  vor  in  der  Nähe  von  FortYuma  in  das  Kalifornische 
Purpurmeer.  Plötzlich  aber  zeigte  sich,  daß  der  Fluß  sich 
immer  tiefer  in  seine  rechte  Uferseite  einschnitt  und  den  Ent- 
wässerungskanal der  Ingenieure  mehr  und  mehr  ausfüllte,  bis 
endlich  zu  Anfang  1906  die  alte  Wasserader  ganz  versiegte 
und  gigantische  Wassermengen  den  Weg  nach  dem  Salton 
Lake  einschlugen,  der  nunmehr  sich  stetig  vergrößerte  und 
das  angrenzende  Terrain  überflutete.  Mehrmals  schon  mußte  die 
Direktion  der  am  Ufer  hinführenden  Süd-Pazifikbahn  die  Geleise 
landeinwärts  verlegen,  und  noch  ist  kein  Ende  der  Gefahr  abzu- 
sehen, welche  der  bereits  mehr  denn  1200  qkm  bedeckende  —  den 
Stamberger  See  an  Areal  demnach  ungefiihr  zwanzigraal  über- 
treffende —  See  durch  seine  unaufhaltsame  Vergrößerung  über 
diesen  Teil  von  Kalifornien  heraufbeschworen  hat. 

Da,  wo  See-  und  Kontinentaldünen  sich  räumlich  mit- 
einander vermengen,  wie  dies  Muschketows  Angaben*)  zu- 
folge in  Turkestan  keine  Seltenheit  ist,  kann  eine  verwirrende 
Formenfülle  die  Folge  sein.  Im  Coahuilla-Tale  liegen  die  Dinge 
anders,  denn  wir  halten  dafür,  daß  die  dortigen  Dünen  gar 
keine  richtigen  Binnenlandgebilde,  sondern  vielmehr  in  die  Kate- 
gorie der  Stranddünen  zu  versetzen  sind,  mag  auch  die  Ost- 
grenze des  Dünendistriktes  von  dem  Nordwestende  des  neuen 
Sees  noch  eine  gewisse  Entfernung  haben.  Der  Sand  entbehrt, 
wenn  diese  unsere  Annahme  zutrifft,  jener  Trockenheit,  welche 
den  wahren  Wüstensand  charakterisiert,  und  dann  ist  wohl 
begreiflich,  daß  er  sich  auf  der  vom  Winde  abgekehrten  Seite 
des  Hügelchens  nicht  in  einer  fast  asymptotisch  gegen  die 
Horizontale  verlaufenden  Kurve,  sondern  so  ablagert,  wie  man 
dies  von  den  Meeresdünen  her  gewohnt  ist.     Nunmehr  ist  denn 


^)  Muschketow-Merena,  S.  148.    Vgl.  auch  Sohn cke.  Gemein- 
verständliche Vortrage  aus  dem  Gebiete  der  Physik.  Jena  1892,  S  220  ü'. 


ä.  Günther :  Ein  Naturmodell  der  DQnenl>Udung. 


149 


I 


wohl  die  Frage  als  geklärt  zu  erachten,  warum  die  Dün©ii  im 
Moba?e  Desert  nicht  als  leewärts  geöffnete  Barchane,  sondern 
ala  typische  Ulerbildungeu  mitten  in  piner  vom  Meere  yaenilii^h 
weit  abstehenden  Wil^te  auftreten.  Gleichwolil  wird  man  nicht 
soweit  gehen  dürfen,  zu  behaupten,  daü  die  übliche  IJeiiti- 
äscierung  von  Barehan  und  Kontinentatdüne  wieder  in  ihre 
vollen  Hechte  eingesetzt  sei*  Denn  unsere  Caahuilla-llügel 
sind  doch  auf  alle  Fäile  acht  kontinentale  Bildungen,  deren 
Bi^utnaterial  nur  allerdings  iveinan  wenigstens  ^uin  Teile  wL^se- 
rigen  Ursprung  nicht  seu  verleugnen  vermag.  Es  verbleibt 
daliei,  daü  es  auch  in  der  ATibte  regelrechte  Dünen  vom 
marinen  Typus  geben  kann. 

Mau  möchte  geradezu  wünschen,  einige  solche  Exemplare 
in  beciuemer  Nähe  zu  haben,  um  an  ihnen  bei  Gelegenheit 
von  Exkursionen  die  Gesetze  der  Dünenbildung  erläutern  zu 
können*  Man  wei&,  daß  es  im  allgemeinen  nicht  leicht  ist, 
Ginzcldünen  von  normaler  Struktur  aufzufinden,  weil  eben  der 
•Vorgang  der  Sand  verweh  ung  niemals  rastet   und  infolgedes.sen 

|tte  soztisagen  gerade  fertig  gewordene  Düne   nicht  lange    in 
ihrer  Eigenschaft  sich  erhält    Anlagerung  und  Über- 

ageruüg  neuer  SandraiLssen  verändert  rasch  die  ursprüngliche 
Üe*»talt;  das  Individuum  verschwindet  in  einem  Dünen gebirge 
von  oft  recht  ansehnlicher  Höhe,  und  auch  dieses  ist  weit 
dtivon  entfernt,  stabil  zu  bleiben,  weil  ihm  die  Tendenz  zur 
Wanderung  innewohnt^)  Gerade  die  Barchane  büßen,  wenn 
lUette  progressive  Tendenz  bei  dem  einen  mehr,  bei  dem  anderen 
weniger  ausgebildet  ist,  gar  rasch  die  sie  auazöiehnende  Gestalt 
€iJi,*)    Die  Dünenreihen  gruppieren  sich  so  unregelmälaig,  daü 


_*)  ObacboD  »elbBtver^tÄtidHch  an  MÜen  von  Wanderdünen  iifjmg^e- 
Kuftttfn  deren  Wesen  von  jeher  gekannt  und  ^eJtlrchtet  war,  ho 
wir  doch  in  der  Litemtur  erst  vorhältnismiLßiir  spät  auf  eine  ent- 
«a sprechende  Würdigiing  der  einafhlai^en  Probleme.  Viel  h^t  hwzu 
beige tmgeü  Lyell  (PrincipleB  of  fieoki^y»  Lßand,  London  1872,  S.  üUffJ 
*J  Welch  abenteuerlich  hi7,arTe  Ft^rmen  ein  l>innenländische.H  Dönen- 
Ifehi tgv  u ri  xi m  H  h  men  i  ma  tJi  n  1 1  e  i  h i,  da r f  1 1 1 er  o  ri  t -n  ti  eren  uns  <1 1  e  M  i?  *  1  a  n  0  » 
(ji.  o4  ile»  me:ii k  an  i  ichea  ^  taates  C  h  i  U  xi  a  h  u  a  (mi  t  d  ieae  m  Wo  r  te  he- 
ll* 


150  Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  8.  Juni  1907. 

in  ihrer  Anordnung  die  Richtung  des  Windes,  der  doch  ftir 
die  Ansammlung  des  Sandes  verantwortlich  zu  machen  ist, 
gar  nicht  mehr  zur  Geltung  kommt.  Da  hört  dann  ganz  von 
selbst  der  morphographische  Unterschied  zwischen  Ufer-  und 
Eontinentaldünen  zu  bestehen  auf.^) 

Wenn  nun  aber  in  allen  größeren  Wüsten  diese  Ver- 
schmelzung der  Einzeldünen  zu  einem  Aggregate  von  solchen 
die  Regel  bildet,  und  wenn  man  in  der  Sahara  ebenso  wie  im 
Tarymbecken  und  in  Chiwa  fast  nur  Dünenketten  von  sehr 
wechselndem  Vertikaldurchschnitte  zu  beobachten  Gelegenheit 
findet,  so  drängt  sich  ganz  von  selbst  die  Frage  auf,  wie  es 
denn  komme,  daß  im  Mohave  Desert  dieses  Zusammenwachsen 
so  ganz  unterblieben  und  jede  Düne  in  der  Gestalt  erhalten 
worden  ist,  welche  sie  von  allem  Anfange  an  angenommen 
hatte.  Es  wird  kaum  möglich  sein,  auf  diese  Frage  eine  an- 
dere Antwort  zu  erteilen,  als  die,  daß  dem  Dünenkerne, 
den  niedrigen  Sträuchern,  eine  besonders  stark  aus- 
geprägte Fähigkeit,  den  Flugsand  zurückzuhalten, 
zugesprochen  werden  müsse.  Bekanntlich  hat  sich  die 
Technik  der  Dünenverfestigung*),  welche  in  primitiver  Form 
seit  den  ältesten  Zeiten  schon  geübt  wurde,  in  unseren  Tagen 
ganz  außerordentlich  vervollkommnet,  und  man  hat  insbeson- 
dere namhaft  verbessei*te  Erkenntnisse  über  die  Natur  der- 
jenigen Gewächse  sich  erworben,  welche  auf  den  Böschungen 
des  Sandhügels  angepflanzt  werden  müssen,  um  durch  Ver- 
filzung ihrer  Wurzeln  Hemmnisse  für  das  Vordringen  der  leicht 
beweglichen  Körperchen   zu   bereiten.     In  unserem  Falle  sind 

zeichnen  die  Neuspanier  alle  Sandanhäufungen  sowohl  in  Mexiko,  wie 
auch  namentlich  in  Argentinien).  Von  den  ersteren  ist  leider  noch  sehr 
wenig  bekannt.  , Merkwürdig  sind  die  scharfen  Kanten,  Spitzen  und 
Grate,  welche  der  Wind  diesen  flüchtigen  Sandbergen  gegeben,  und  die 
steilen  Rinnen  und  Schluchten,  ähnlich  jenen,  die  man  häufig  bei  großen, 
vom  Sturme  zusammengeblasenen  Schneemassen  antriiFt*  (v.  Hesse- 
Wartegg,  Mexiko,  I^and  und  Leute.     Wien-Olmütz  1890,  S.  25). 

*)  Sokolöw-Arzruni,  a.  a.  0.,  S.  ITBAf.;  Rolland,  Sur les grandcs 
dunos  du  sable  du  Sahara.  Bull,  de  la  soc.  geol.  de  France,  1882,  S.  32  ff. 

2)  Vgl.  Gerhardt,  Handbuch  des  Dünenbaus.    Berlin  1898. 


8,  Grmtlier:  Ein  Natunnodell  der  Dünenbildmig, 


151 


i^  über  die  Ebene  verteilten  Büsche  ofteiibar  von  Hause  aus 
dazu  geeignet,  den  Sand  festzuhalten  und  am  Wandern  zu 
hiodero.  Vergessen  darf  aber  freilich  auch  nicht  werden,  daß, 
wofeni  unsere  Hypothese  das  Richtige  trifiPt,  die  Dünen  des 
Cdahuilla-Tales  sehr  jugendliche  Gebilde  sind,  und  daJa, 
wer  nach  einigen  Lustren  oder  Jahrzehnten  die  Gegend  aufa 
neao  in  Augenschein  nimrati  sehr  wohl  ganz  anders  gearteten 
Verhältnissen  dort  begegnen  kann*  Vorläufig  aber  verdienen 
•diBse  Flugsandhügel  die  oben  ilinen  beigelegte  Bezeichnung; 
sind  Demo  nstrationsm  od  eile  für  die  Grundgesetze  der 
Dünenhildung. 

Und  zwar  verdienen  sie  diese  Benennung  auch  noch  unter 
Bern  anderen  Gesichtspunkte*  Wir  sprachen  oben  davon,  daß 
ober  die  Oberfläche  sehr  vieler  dem  Auge  näher  befindlicher 
Dünen  gewisse  Linien  hinlaufen,  sogenannte  Ripple  Marks 
nach  englischer^  besser  Kräuselnngsmarken  nach  deutscher 
Nomenklatur.  Daß  diese  fast  dekorativ  wirkende  Zugabe  mit 
dem  ganzen  Pmzesse  der  Dünenentstehung  in  sehr  naher  Be- 
siehting  steht,  ist  bekannt.')  Durch  die  Untersuchungen  Yon 
Sokolöw  wurde  dargetan,^)  daü  die  Bildung  der  äo lisch en 
und  vom  bewegten  Wasser  bewirkten  Rippungen  einheit- 
lichen Gesetzen  unterliegt,  und  J.  Walther^)  durfte  demzu- 
folge mit  Fug  die  Windkräuselungen  für  Miniaturdünen 
erkliren.  Als  primäre  Ursache  dieser  Bänderung  des  Dünen- 
kegels haben  wir  den  Umstand  gelten  zu  lassen,  daö  die  ein- 


*)  Wir  ferweiteti  Dacli  dieser  Seite  hin  aaf  die  nacb  steh  enden  Ver- 
affentliehungen :  Cortiish,  On  Kumatology*  Geograph,  Jotirnül,  ISrt!^» 
8.  t»26ff. ;  Baacbin,  Die  Eatsteliuny'  wellenförmiger  Oberflät-hen formen, 
£ip  E&itmg  aur  Kjiiia.tolö>fte.  Zeitaehr.  d.  Geaelijttk  f,  Ertlk,  zu  Berlin, 
18^»  S.  41)8  ff.):  Uertololy.  Krtuaelunffsmarken  und  Dünen.  München 
mMi  ^ Manch,  ßeöpr.  Studien.  Stück  IX). 

^  SokoliVw-ArKruni,  a.  a.  0.,  S,  210  fF,  Aui-H  in  der  vorer- 
nten ächrift  von  Bertolol^  ist  diesem  U^^ünstande  volle  Beach- 
ig  sii|{i*wendet  worden  (ö.  99  ff»), 

*>  Walther*  Die  Denudatioa  in  der  Wiiatts  und  ihre  jfeologiiühü 
BeiitfQiittiif*  AbhandL  der  K.  8tich>4.  üe^pllHuh,  d.  WiBsea^ch.,  m^th^idijs. 
KlftM,  16.  Band. 


^^ 


1 52  Sitzung  der  math.-pbys.  Klasse  vom  8.  Juni  1907. 

zelnen  Sandkörner  nicht,  wie  man  bei  summarischer  Betrach- 
tung zu  glauben  geneigt  sein  könnte,  von  gleicher  Größe  sind, 
und  daß  auch  von  einer  gestaltlichen  Identität  keine  Rede  sein 
kann.  „Es  wäre*,  so  lesen  wir  bei  Sokolöw,^)  , irrig,  an- 
zunehmen, daß  die  Aufbereitung  durch  Wind  den  Sand  voll- 
kommen gleichmäßig  gestaltet.  Im  Gegenteile,  in  jeder  Hand- 
voll Sand  lassen  sich  gröbere  und  feinere  Kömer  wahr- 
nehmen. .  .  .*  Scharfkantige  und  abgeschliffene  Gesteinsplitter 
kommen  in  bunter  Wechsellagerung  vor.  Schon  ein  winziger 
Unterschied  in  den  Dimensionen  kann  ein  bereits  auf  der 
Dünenoberfläche  fest  gewordenes  Sandteilchen  zu  einem  Ansatz- 
keme  werden  lassen,  welches  die  Nachkömmlinge  zu  einer 
kleinen  Erhöhung  in  Luv  anstaut,  der  dann  natürlich  eine  an 
sich  ebenfalls  minimale,  mit  der  Zeit  jedoch  sich  vertiefende 
Einsenkung  zugehört.  Eine  genaue  Verfolgung  dieser  zumeist 
symmetrisch  auf  den  beiden  Seiten*)  der  Luvfläche  verteilten 
Kurvenzüge  läßt  erkennen,  daß  sie  bald  scharfkantig  bald 
abgerundet  sind;  in  dem  hier  vorliegenden  Falle  erscheinen 
sie  jedoch  durchweg  als  Linien  ohne  ausgezeichnete  Punkte, 
und  jene  Verästelung,  von  der  Walther  (s.  o.)  spricht,  ist 
hier  nicht  zu  beobachten.  Übrigens  sind  auch  die  Rippungen 
nicht  an  ihren  augenblicklichen  Platz  gebannt,  sondern  unter- 
liegen einer  von  der  Geschwindigkeit  und  Konstanz  des  Windes 
abhängigen  Verschiebung. 

Es  wäre  gewiß  äußerst  wünschenswert,  diese  so  merk- 
würdige Dünenregion  noch  näher  erforscht  zu  sehen,  ehe  sie 
vielleicht  in  dieser  ihrer  Eigenart  überhaupt  zu  bestehen  auf- 
gehört  hat.     Daß  schon  nach  wenigen  Jahren  das  Coahuilla- 

»)  Sokolöw-Arzruni,  S.  212. 

*)  Wiewohl  von  vornherein  kein  Zweifel  obwalten  kann,  daß  eine 
normal  gebaute  Düne  eine  stetig  zusammenhängende  Oberfläche  besitzen 
muß,  so  hebt  sich  doch,  aus  passender  Entfernung  und  unter  dem  rich- 
tigen Gesichtswinkel  gesehen,  die  längste  Seitenlinie  des  schiefen  Kegels 
wie  ein  scharfer  Grat,  wie  eine  Kante  heraus,  und  deshalb  besteht  auf 
dessen  linker  und  rechter  Seite  Symmetrie.  Eine  exakte  Bestimmung 
der  wahren  Oberflächengestalt  unter  gewissen,  die  Rechnung  verein- 
fachenden Voraussetzungen  würde  nicht  des  Interesses  entbehren. 


8.  Oünilien  Ein  NafcurmodeU  düi'  DiineDbildung. 


15:i 


Tal  uin  ganz  anderes  Gepräge  ssur  Schau  tragen  kann,  lialten 
wir  für  nicht  ausgeschlossen/)  und  xwar  um  so  mehr,  weil 
liiere  Schriften  von  diesem  Naturspiele,  das  doch  kehien  in 
die  Nähe  Kommenden  gleichgültig  lassen  kann,  keine  beson- 
dere Erwähnung  tun,*)  Für  jetzt  kam  es  nur  darauf  an,  daü 
auch  in  Gegenden  von  recht  namhafter  Meeresdistanz  echte 
Dünen,  die  nicht  dem  Barchan tjpus  einzureihen  sind,  auftreten 
können;  inwieweit  deren  Entstehung  ein  Folgephänomen  der 
Bildung  des  neuen  großen  Salzsees  sein  mag,  wofür  erwähn ter- 
massen  manche  Anzeichen  sprechen,  muß  einer  späteren  Durch- 
forschung des  noch  viele  wichtige  Aufschlüsse  verheißenden 
kalifornischen  Wüstengehietes  vorbehalten  bleiben.  Als  ein 
aDumst5ä1iches  Fazit  aber  leiten  wir  aus  unserer  Erörterung 
dits  fiilgende  her:  Die  Lehre  von  den  Rontinentaldünen 
kann  selbst  jetzt,  so  viele  wichtige  Beiträge  auch  von 
Mittel,  Lenz,  Duveyrier,  Rolland,  Schirmer,  Wulther, 
Sokolow  und  zahlreichen  Anfnahmegeologen  des  rus- 
sisch-asiatischen Dienstes  geliefert  worden  sind,  noch 
immQF  nicht  als  abgeschlossen  gelten. 


*)  Zum  Zerfttlle  der  kleinen  Sandkügel  wirkt  weseDthcb  ein  MomeQt 
ntii,  auf  desfien  Bedeutung  v.  Öary  (Sokolöw-Ansruiü,  S,  204)  auf- 
merkstttn  gemiicht  hat.  Der  Strauch  nätnHch,  desaen  Vorhände  mein  die 
Sftndstauimg  eingeleitet  hat,  stirbt  aUmithlieh  ah,  und  dann  nivelliert 
_*kr  Wind  fa»ch  die  ihres  Haltes  beraubte  Erhebung*  So  sind,  von  vcr* 
Ltedenen  Standpunkten  aus  betrachtet,  diese  Inlanddünen  nur  erd- 
cbiditliche  Momentanbildungen, 

*)  Zwei  Werke,  die  yieüeicht  Anhaltspunkte  gehen  winden,  waren 
fllr  de»  Verf,  leider  unaugängUeh  :  Geological  Reports  of  Mexican  Baun- 
daiy  Sunrej,  L  Teil;  Ueological  Report»  on  the  PsiciBc  Railroad,  ö.  Teil. 
JJnnial  dieser  Eweiigenannte  Beriebt  könnte  vielleii-ht  für  die  Beurteihing 
ixnd  Ver^leichung  des  vom  Caaliuilla-Tale  einst  und  jetzt  dargebotenen 
liiindjichaftsbildea  in  Fruge  kommen. 


155 


Über  die  Bewegung  der  Elektronen, 

Von  Ap  Sommerfeld» 

Obwohl  die  unter  gleichem  Titel  erschienene  Arbeit  von 
Herrn  landemann*)  sich  nicht  allein  gegen  meine  Unter- 
tnchungen  Über  Elektron  entheorie,  sondern  in  gleicher  Weise 
gegen  diejenigen  von  Heaviside,  Lorentz,  Wiechert,  W,  Wien, 
J,  J*  Thomson,  Abraham,  Kaufmann  etc.  wendet,  so  bin  ich 
wohl  in  erster  Linie  verpflichtet,  darauf  zu  antworten,  da 
Herr  Lindemann  sich  vomehinlich  der  von  mir  angegebenen*) 
uUgemeineB  Met  ho  den  zur  Berechnung  des  Feldes  und  der 
Kraft  eines  beliebig  bewegten  Elektrons  bedient  Die  Gründe, 
weshalb  H,  Lindemann  trotzdem  vielfach  zu  Ergebnissen  ge- 
langt, die  von  den  meinigen  und  denen  aUer  anderen  Forscher 
abweichen,  werde  ich  im  folgenden  besprechen. 

Da  Herr  Lindemann  in  §  16  seiner  Arbeit  selbst  eine  Zu- 
sammenstellung der  zwischen  uns  obwaltenden  Differenzen  gibt, 
werde  ich  an  diese  Zusammenstellung  anknüpfen  und  die  ein- 
'-fi<4nen  Funkte  der  Reihe  nach  durchgehen. 

I,  Die  Berechnung  des  skalaren  Potentlales. 

Der    Unterschied    zwischen    unserer    beiderseitigen    Auf- 
sung   beginnt,    wie  Herr  Lindemann   p,  322    bemerkt,    bei 
litier  (iL  (25).    In  (25)  handelt  es  sich  darum,  die  drei  Kon- 


*)  AhhÄncUüngen   der  Biifen  Akademie  IL  Kl.,    Bd.  XX III,   11.  Abi 

')  Nachrichten  der  Geaellscbift   der  WsatiJiiichaften  ku  Göttingea» 

rJ04»  Heft  2  und  5*     Die   weötiirniuh   vereinfachte  Methode,   die  ich   in 

rW  Prooeeding«  der  Äinäterdamer  Akademie^  November  1904,  entwickelt 

hjÜH%  bat  Herr  Lindetnann  nur  gestreift. 


156  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  8.  Juni  1907. 

stallten  Ä,  -B,  ^^  gewissen  Anfangsbedingungen  anzupassen. 
Herr  Lindemann  setzt  (p.  242) 

(1)  ^0  =  0,  Ä  =  B=0; 
ich  behaupte  (p.  104  der  Note  I) 

(2)  ^^=—00,      ^  =  i?=:0. 

Herr  Lindemann  begründet  (p.  242)  seine  Wahl  der  Kon- 
stanten wie  folgt:  »Das  Elektron  soll  vor  der  Zeit  ^  =  0  noch 
in  Ruhe  sein,  und  die  Bewegung  soll  im  Momente  ^  =  0  be- 
ginnen.    Wir  müssen   also   annehmen,    daß   die  Gleichungen^) 

(3)  ^'  =  0     und     ^^-  =  0 

für  ^  =  0  erfüllt  seien.*  Kurz  vorher  bemerkt  er,  daß  9?  und 
-—  für  ^  =  0  verschwinden,   sobald   die    entsprechenden  Aus- 

drücke  cp   und  — ^  für  ^  =  0  verschwinden.    Herr  Lindemann 
dt 

verlangt  also,  daß  im  Ruhezustande  nicht  nur  Bq^jdt  sondern 
auch  (p  verschwinde.  Andererseits  bemerkt  er  im  Eingange 
des  §  1:  „Im  ruhenden  Zustande  geht  das  skalare  Potential 
in  das  elektrostatische,  das  Vektorpotential  21  in  das  magne- 
tische Potential*)  über.*  Aber  das  elektrostatische  Potential 
einer  gleichmäßig  geladenen  Kugel  ist  keineswegs  Null,  sondern 
hat  an  allen  Stellen  des  Raumes  den  aus  der  Potentialtheorie 
bekannten  Wert.  Der  von  Herrn  Lindemann  zu  Grunde 
gelegte  Anfangszustand  99  =  0  entspricht  also  nicht 
den  physikalischen  Bedingungen  des  Problems. 

M  <p'  bedeutet  ein  üilfspotential,  aus  dem  sich  das  gesuchte  Potential 
durch  Integration  berechnet. 

2)  Der  zweite  Teil  dieses  Satzes  ist  mir  unverständlich;  das  Vektor- 
potential geht  doch  bei  einem  ruhenden  Elektron  in  Null  über,  während 
von  einem  magnetischen  Potential  hier  überhaupt  nicht  die  Rede  sein 
kann;  der  erste  Teil  des  Satzes  ist  natürlich  richtig. 


A.  So «jtji erleid:  Über  die  Bewegung  der  Elektronen.  1^7 

In  der  Tat  genügt   tlie  deKnitive  Formel  (34)  von  Herrn 
Ltndeiuaun. 

0 

tler  un|jlivsikalij*chen  Anfangsbedingunj^  fp  =^  0  für  t  ^^  0. 
Dagegen  lautet  die  entsprechende  Formel  bei  mir  (siehe  die 
üL  (18),  (19)  meiner  Nott^  1),  wenn  ich  mich  in  der  Definition 
der  Größe  S  des  leichteren  Vergleichs  wegen  an  Herrn  Liude- 
anschließe 


(5) 


nee     CS. 


S 


Ich  habe  siu  sseigen,  daß  diese  Formel  für  ^  —  0  die 
riehtigi*  Verteilung  de.s  elektrostatischen  Potentials  ergibt, 
wenn  man  mit  Herrn  Lindemann  annimmt,  daß  da^  Elektron 
bis  lur  Zeit  ^  ^  0  in  Ruhe  war, 

n  bedeutet  den  Radius  des  Elektrons,  t  die  rückwärts 
'gerechnete  Zeit,  li  den  Abstand  des  .Anfpnnktes*,  für  den  tp 
berechnet  werden  soll,  von  den  früheren  Lagen  des  Mittel- 
punktes des  Elektrons,  Da  aber  das  Elektron  für  ^  <  0  ruhen 
soll,  sind  die  früheren  Laj^^en  des  Mittelpunktes  mit  seiner  Lage 
3sur  Zeit  t  ^^  0,  d,  h.  mit  dem  Koordinatenanfangspunkte,  iden- 
tisch und  es  wird  R  gleich  dem  Abstände  r  des  Äufpunktes 
von  diesem  letzteren  Punkte,  also  unabliängig  von  n  S  be- 
deutet (siehe  meine  OL  (19)  oder  diejenige  von  Lindemann 
(40),  (41))  einen  der  folgenden  Ausdrücke: 

S|  ^  '^  (öt*  —  (^^  ^  ^)%  wenn   Dreieck  «,  ct-,  r  möglich, 
Sf^-^ctr^   wenn    Dreieck  a.ci^r   unmöglich,   wobei  ö>  er 

Ml 

und  a>rr 

S,  =  Op    wenn  Dreieck  «,  t'r,  r   unmöglich,    wobei  aber  a<cr 
oder  ü  <  n 


158  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  8.  Juni  1907. 

Wir  betrachten  zunächst  einen  äußeren  Punkt  r> a. 
Hier  gilt,  wenn  ct  >  r  -|-  a  oder  <  r  —  a  der  Wert  5= 5,  =  0, 
wenn  dagegen  r  —  a<CT<r-|-a  der  Wert  S  =  Si  also 
nach  (5): 

ir-a)lc 

oder  mit  der  Substitution  o  =  ct  —  r 

(6)  (p  =  _^%     f(a»-ö»)da  =  ,  '  -. 

—  a 

Für  einen  inneren  Punkt  r<a  haben  wir,  wenn  cr>a-\-r 
wieder  /S  =  Sj  =  0,  wenn  dagegen  cxKa  —  r^  gilt  jetzt  S=S^ 
und,  wenn  a  —  r<CT<a  +  r,  wie  vorher  S  =  S^.  Mithin 
liefert  (5)  jetzt: 

(a-{-r)lc  (a-r)/c 

Die  Ausrechnung  gibt: 

Die  Ausdrücke  (6)  und  (6')  sind  die  wohlbekannten  Werte 
des  Potentials  einer  gleichmäßig  mit  e  geladenen  Kugel  vom 
Radius  a  in  rationellen  Einheiten,  deren  sich  auch  Herr  Linde- 
mann bedient,  für  einen  äußeren  und  inneren  Punkt. 

Meine  Formel  (5)  gibt  also  den  elektrostatischen 
Anfangszustand  des  Potentiales  richtig  wieder,  den 
wir  vorschreiben  müssen,  wenn  wir  uns  das  Elektron 
bis  zur  Zeit  /  =  0  in  Ruhe  denken, 0  dagegen  entspricht 
die  Lindemannsche  Formel  (4)  dem  unphysikalischen 
Anfangszustande  9^  =  0. 

*)  Ich  })rauche  kaum  zu  erwähnen,  daß  meine  Formel  ganz  allgemein 
gilt,  nicht  nur  bei  dem  hier  durchgerechneten  Anfangszustande.  Letzteren 
habe  ich  hier  nur  im  Anschluß  an  Lindemann  als  Beispiel  gew&hlt. 


A*  SommerfeW;  Über  die  Bewegung  der  Elektronen.  159 


2*   Die  ergänzende  BetraeKtung  über  den  AnfangBzustand  in  §  15 
der  Lindemannschen  Arbeit. 

Im  Eingänge  des  §  15  deutet  Herr  Linderaann  selbst  das 
Bedenkliche  rler  Anfangsbedingung  qy  ^  0  mit  den  Worten  an; 
Wir  haben  angenommen,  da§  das  elektrische  Teilchen  „zur 
Zeit  ^^0  seine  Bewegung  beginnt  und  gleichzeitig  seine 
elektrische  Lndung  empfängt*.  Eine  solche  plötzliche 
Erschaffung  des  Elektrons,  wie  sie  yod  Herrn  Liudemanti  hier- 
nach vorgestellt  wird,  ist  aber  gewiß  aussinschlieüen,  da  nach 
kt-iner  elektrodynamischen  Theorie  im  Äther  gebettete  Ladungen 
jemals  entstehen  oder  verschwinden  können. 

Die  folgenden  ergünzenden  Betrachtungen,  durch  welche 
die  Wirkung  des  nrsprünglich  vorhandenen  Feldes  des  Elek- 
trons berücksichtigt  werden  sollen,  verfehlen  nun  aber  ihr 
Ziel,  wie  ich  der  Kürze  halber  sogleich  an  dem  Schlußergebnis 
zeigen  will 

Herr  Lindemann  modifiziert  hier  seine  ursprüngliche  For- 
Diel  (4)  in  folgender  Weise:  (s.  Gl.  (197)  und  (203)): 


(4-) 


mit  der  MaLigabe,  *)  daü  der  Zeitpunkt  t^  bei  nachfolgender 
stationärer  Bewegung  gleich  2«/(c — v)  gewählt  werden  solle. 
Nach  den  Bemerkungeti  unter  1,  2^  3  psg.  311  von  Herrn 
Lindernann  soll  (4')  für  ^  =  0  in  das  elektrostatische  Potential 
der  mhendcn  Ladung^)  übergehen*  Dem  ist  aber  nicht  so» 
wie  man  im  Anschluß  an  meine  vorstehende,  unter  1  mitge- 
teilte Rechnung  leicht  prüft. 

Ich  zeige  dieses  ä.  B.  für  das  Äußere  des  Elektrons  r>a. 


*)  Daß  die  Größe  t^  und  damit  die  Poteotial Verteilung  lur  Zeit 
"t  —  0  von  dem  Charakter   der  nachfolgenden    Bewegung   abhängen 
»on.  int  an  aifih  kaum  veratilTnIlicli. 

^)  Paß   «ich  Herr  Linde  mann    vor  i  —  0   das  Elektron   ilauernd   in 
Rtihe  denkt*  geht  au«  (lag.  ßl5p  7*,  KG  v.  Oi  hervor. 


160  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  8.  Juni  1907. 

Von  den  drei  Werten  S,,  S,,  S^  kommen  hier  nur  S^  und  S^ 
in  Betracht.  Man  hat  dabei  die  folgenden  drei  Fälle  zu  unter- 
scheiden : 


1.  ct^Kr  —  a  . . .  9;  =  0, 

See 


h 


2 


ö€C         C 


ir -a)lc 
(r  +  a)le 


{r-u)jc 

Nur  im  dritten  Falle,    d.  h.    nur  im  Innern  einer  Kugel 
vom  Radius 

c  +  V 
r  =  — ' — a 
c  -  V 

ergibt  sich  also  der  richtige  Wert  des  elektrostatischen  Poten- 
tials.   Im  ersten  Falle,  d.  h.  außerhalb  einer  Kugel  vom  Radius 


=(:4-:+=)« 


dagegen  wird  9p  =  0.  Ebensowenig  stimmt  das  Feld  im  zweiten 
Falle,  d.  h.  in  der  übrig  bleibenden  Kugelschale  von  der 
Dicke  2a  mit  dem  elektrostatischen  überein. 

Andererseits  sahen  wir  oben  unter  1,  daß  sich  die  richtige 
elektrostatische  Potentialverteilung  ergibt,  wenn  wir  in  der 
Formel  (4')  ^0  =  ^  wählen.  Dann  aber  wird  diese  Gleichung 
mit  meiner  61.  (5)  identisch. 

Die  in  Rede  stehenden  ergänzenden  Betrachtungen 
hätten  also  bei  richtiger  Durchführung  auf  meine  For- 
meln führen  müssen;  in  der  vorliegenden  Fassung  sind 
sie  in  sich  widersprechend. 

3.  Zahlenbeispiel. 

Es  handelt  sich  jetzt  um  die  Ausdrücke,  zu  denen  Herr 
Lindemann  für  die  auf  eine  bewegte  Ladung  wirkende  Kraft  (5 
gelangt.    Ich  beschränke  mich  dabei  auf  den  einfachsten  Fall 


A.  Sommerfeld:  Über  die  Bewegung  der  Elektronen.  löl 


rler  stationären  Bewegung  mit  Unterlichtgeschwindigkeit  f.\ 
Nach  pag.  *n2  unten  gilt  von  Beginn  der  Bewegung  ah  die 
GL  (169)  oder  die   daraus   folgende  NaherungsformeP)  (lG9a) 


(7) 


3.*    /      29^^        1  _       \ 


Aus  ihr  würde  folgen: 

L  Die  stationäre  Bewegung   ist   nicht  kräftefrei,   sondern 
&tö  geheimnt 

2.  Die  Hemmung  ist  um  so  grüßer,  je  kleiner  die  6e- 
sebwlndigkeit  ist,  weil  ß  im  Nenner  vorkommt. 

3.  Sie  ist  bereits  hei  Unterlichtgesehwindigkeit  tob  der- 
jenigen Größenordnung,  wie  ich  sie  bei  Überlieh tge^scliwindig- 
keit  gefunden  habe,  nämlich  von  der  Grüße  derjenigen  elektro- 
statischen Kraft,  die  ^cwei  unmittelbar  aneinander  anliegende 
Elektronen  aufeinander  ausüben   würden. 

4-  Die  Kraft  überschreitet  jede  augebbare  Gröie,  wenn 
man  der  Geschwindigkeit  einen  konstanten,  der  Null  hin- 
reichend benachbarten  Wert  gibt. 

Zur  numerischen  Verdeutlichung  wird  es  gut  sein,  die  für 
Elektronen  geltenden  Daten  f,  a  durch  esperinientell  realialer- 
liftre  Gröien  zu  ersetzen*  Nehmen  wir  z,  B,  a  =  1  cm  und 
diejtnige  Ladung  f,  welche  einer  Spannung  von  1  cm  Schhig- 
wt'ite  entspricht.  Diese  Spannung  beträgt  rund  100  elektro- 
statische Einheiten;  eben^so  groli  ist,  da  die  Kapazität  gleich  1, 
die  Ladung  in  gewöhnlichen  elektrostatischen  Einheiten;  unser  b 
(in  rationellen  Einheiten  gemessen)  w^ird  daher  gleich  I'^TTt-IOÜ. 
Jie  Gescb windigkeit  v  sei  etwa  3ü  m/sec*  (Schnellzugsge- 
phwindigkeit)*     Dann  haben  wir  ^^=  lO"'^  und  nach  (7) 

29 


g  =  _3.10+ 
=  5,6-10^^kg-Gewicht 


^-10'*  =  5,5*10'«D3men 
lo 


•)  leb  tchreihe  wie  ÜbÜL-h  ß  aüitt  de*  Lindeniannschan  m  =  -, 


162  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  8.  Juni  1907. 

Die  Arbeitsleistung  wäre 

g t;  =  168  .  10^2  ^gi?  ^  2,25  •  10^«  PS, 
sec 

also  so  groß,  daß  kein  Motor  der  Technik  sie  zu  liefern 
imstande  wäre.  Wünscht  man  die  Kugel  langsamer  zu  be- 
wegen, so  würde  die  erforderliche  Leistung  noch  größer; 
z.  B.  betrüge  sie  bei  3  cm/sec. 

2,25.  10^«  PS. 

Der  Grund  für  diese  befremdenden  Resultate*)  liegt  teils 
darin,  daß  nach  1  und  2  der  Anfangszustand  in  der  Linde- 
mann'schen  Theorie  nicht  richtig  zum  Ausdruck  kommt,  teils 
in  dem  was  folgt: 

4.  Die  Ausrechnung  von  9?  in  §  6  der  Lindemannschen  Arbeit. 

Wir  wollen  uns  vorübergehend  auf  den  Boden  der  (von 
uns  beanstandeten)  Formel  für  fp  (s.  o.  Gl.  (4))  stellen  und  die 
Ausrechnung  derselben  in  einem  speziellen  Falle  kontrollieren. 
Der  denkbar  einfachste  Spezialfall  ist  der,  wo  das  Elektron 
auch  nach  der  Zeit  ^  ==  0  dauernd  in  Ruhe  bleibt.  Übrigens 
aber  wollen  wir,  da  die  physikalische  Bedeutung  durch  den 
Schaffungsakt  im  Zeitpunkte  ^  =  0  ohnehin  illusorisch  wird, 
unser  Beispiel  rein  analytisch  definieren.  Es  handle  sich  also 
um  die  Auswertung  des  obigen  Integrales  (4)  für  den  Fall,  daß 
22  =  r  von  t  unabhängig  ist,    also  um  die  Berechnung  von 


^^")  ^^  =  2^a^ri 


Sdr. 


Diese  Auswertung  ist  äußerst  einfach  und  von  uns  für 
den  Fall  r>a^  auf  den  wir  uns  auch  jetzt  beschränken  können, 
schon  unter  2  bewirkt.     In  der  Tat  gaben  wir  dort  die  Aus- 

1)  Wie  mir  Herr  Lindemann  freundlichst  mitteilt,  hat  er  bei  einer 
Revision  seiner  Formeln  die  Irrtümlichkeit  des  Ausdruckes  (7)  für  gf  in- 
zwischen selbst  festgestellt.    (Zusatz  bei  der  Korrektur.) 


JL  Sotnmerfeld:  Ober  die  Bewegung  der  Elektronen. 


163 


reehnung  des  Integrales  (4')  für  i  =^  0  und  It  ^=  r;  diese  ist 
mit  der  Ausrechnung  von  (4")  identisch»  bis  auf  die  Bezeich- 
nung  tf^  statt  L  Wir  können  also  unsere  Formeln  1,  2,  3 
ton  pag*  160  direkt  übernehmen,  wenn  wir  darin  l^,  durch  t 
ersetzen.     Sie  lauten  dann; 

1,  ei<t  —  a  , . .  ff  —  0, 


i'-^)(^ 


Vergleichen  wir  damit  die  Linde  mann  sehen  Angaben  von 
pag,  253  und  254,  Die  dort  erkhirten  Zeitpunkte  t\  /*  .  ,  . 
werden  in  unserem  Spezialfälle  R  =  r: 


n  -  r 


r  —  a 


r-f  ö 


^lY  =  ^^^Zlt) 


l>a  t'  unter  der  Annahme  r>a  negativ  wird,    käme  der 

fftiU  1  (pag*  253    unten    und    pag,  254  oben)  in  Fortfall;    die 

In^gration   würde   mit  t  =  0   im   Falle  2   beginnen  und  die 

Lindemannscben  Formeln*)  ergeben; 

I 

t<f\  d.h.  c'^<r-fi,  .,7'  =  — ^^r(«»-f<?T^r)*)dr, 

0 

j*<t<  t*\  d.  h,  r  --  a<ct<r  -\-  a  .  .  . 

*'•<?'=  T^ — i~    (^*  —  {ci  —  rf)  dt. 


')  Pi&  Definitionßsgleiclimig  für  i^^  auf  pag.  254  liefert  {a  —  r}fc, 
Acit»  dem  ZusammenhÄHge  scheint  aber  hervorzugehen,  daß  hier  ein 
llmckfehler  vorliegt  und  diejenige  ßleichnng  gemeint  lit,  au«  der 
(f—  ä)/c  folgen  würde. 

•)  Bei  Lindemann  ist  versehentlich  8.t  statt  16^^  im  Nenner  ge- 
«Stieben,  was  ich  im  Text  korrigiert  habe, 

1^.  iltiöiiitb.  d.  Difltli.-fifaj«,  Kl.  12 


164  Sitzung  der  math.-phys.  Elaase  vom  8.  Juni  1907. 

Schon  diese  Formeln  stimmen,  wie  man  sieht,  keineswegs 
mit  den  vorangestellten  Werten  unter  1  und  2  überein.  Für 
das  Weitere  versagen  aber  die  fraglichen  Formeln  vollständig. 
Denn  es  erweist  sich  i^^  <  x"  und  es  fehlt  eine  Vorschrift, 
wie  die  Formeln  (53  a)  und  (53  b)  in  diesem  Falle  aufzu- 
fassen sind. 

Jedenfalls  scheint  mir  dieses  einfache  Beispiel 
zu  zeigen,  daß  die  Fallunterscheidungen  bei  Linde- 
mann pag.  254  unzulänglich  und  die  Formeln  (52),  (53), 
auf  denen  alles  Weitere  beruht,  irrig  sind. 

5.  Differentiation  nach  der  oberen  Grenze. 

Ich  werde  j6tzt  nur  noch  auf  diejenigen  Punkte  eingehen, 
die  Herr  Lindemann  in  §  16  zusammenstellt  und  in  denen  er 
meine  eigene  Darstellung  für  irrtümlich  hält.  Das  Zeichen  oo 
in  der  oberen  Grenze  von  (5)  ist  bei  mir  aus  oa  -^-t  entstanden, 
wobei  CO  ins  Unendliche  rücken  soll.  Herr  Lindemann  be- 
merkt pag.  322  unten,  ich  hätte  bei  der  Berechnung  der 
Kraft  5  versäumt,  in  der  oberen  Grenze  nach  t  zu  differen- 
zieren, weil  ich  dieselbe  als  konstant  (gleich  oo)  angenommen 
hätte.  Aber  der  Integrand  verschwindet  an  der  oberen  Grenze, 
wie  es  ja  auch  für  die  Konvergenz  des  Integrals  erforderlich 
ist,  und  nicht  nur  an  dieser  Grenze,  sondern  bereits  von  einem 
endlichen  Werte  der  Integrationsvariabein  ab.  Infolgedessen 
liefert  die  Differentiation  nach  t  in  der  oberen  Grenze  keinen 
Beitrag. 

Die  diesbezüglichen  Argumente  Lindemanns  sind  folgende: 
Die  unendliche  Grenze  a>  -|-  f  werde  im  Laufe  der  Entwicke- 
lung  bei  mir  durch  eine  endliche  Grenze  ersetzt  (nämlich  den 
soeben  genannten  Wert  der  Integrationsvariabein,  von  dem  ab 
der  Integrand  verschwindet);  diese  endliche  Grenze  sei  dann 
im  allgemeinen  eine  Funktion  von  ^,  was  bei  der  Differen- 
tiation berücksichtigt  werden  müsse.  Aber  eben  jene  Grenze 
ist  ja  dadurch  definiert,  dafi  der  Integrand  hier  zu  verschwinden 
beginnt.     Infolgedessen  wird  auch  bei   dieser  Auffassung  der 


A.  Sommerfeld  r  Über  die  Bewt^ynng  tUr  Elektronen.  165 

Beitragi    der   rus   der  Diifereiitiatioü    dtr   oberen  Grenze  ent- 
steht, gleich  Null. 

Der  Grund»  weshalb  beide  Auffassungen  zu  demselben  Er- 
gebnis führen  müssen,  ist  die  Stetigkeit  der  Größe  S,  als 
Funktion  der  Integrationsvariabein  t.  (Die  Differentialquo- 
tieuten  von  S  nach  t  setzen  sich  dagegen  natürlich  unstetig 
aneinander,)  Man  betrachte  die  oben  angegebenen  Werte 
3|t  S^,  S^,  in  denen  nur,  da  es  sich  jetzt  nicht  wie  oben  um 
iin  ruhendes  Elektron  handelt,  r  durch  R  zu  ersetzen  ist.  Die 
fragliche  obere  Grenze,  iilr  die  das  Dreieck  (a,  v  r»  R)  unmög- 
lich wird,  ist  üt  =^  R  -{-  a;  für  diesen  Wert  wird  S^  ^  0,  was 
sich  stetig  an  den  Wert  S^  —  0  anschließt;  dasselbe  gilt,  wenn 
i?>a,  ttlr  die  untere  Grenze  der  Dreiecksmöglichkeit  cr^  R  —  a, 
Ist  aber  R<a,  so  lautet  diese  letztere  Grenze  er  =  a  —  R; 
jetzt  wird 

S,  ^"^(a^-ia  -2Rf)  =  |  (4aÄ-  4  J?) 
=  ^R(a--R)  =  ~eTR 

nofi  geht  somit  stetig  in  den  oben  angegebenen  Wert  S^  üben^) 
Übrigens    hat    Herr  Lindemann    an    einer   anderen    Stelle 

winer  Arbeit  (pag,  269  unten)  diese  Stetigkeit  selbßt  betont. 
Das  stetige  Verhalten  der  Ausdrücke  S  ist  namentlich  auch 

für  den  folgenden  Einwand  zu  beachten. 


6*  Vertauschung  von  DtfTerentiation  und  Integration. 

Ich  will  mich  hier  an  die  Betrachtung  des  von  Herrn 
Liodetnann  vorgeschlagenen  Beispiels  anschließen.  Es  handelt 
scieh  dabei  um  die  Vergleichung  der  beiden  folgenden  Integrale 
(png.  324): 

')  DiLgegen   sind  die   von   Herni   Lindemanra   ang^egebenen   Oreii:^- 
w^ebe  dkae  Stetigkeit   v^rmiaaen  lassen,   Gl.  (40 a)   und  (41a) 
,  217  nicht  korrekt;  die  hier  untergelaufenen  Reobenfehler  bestebiin  bei 
^       <^tü  io  der  Ausrechnung   von  dJ-h<Jj  — ^J»   bei  (41  a)   in  der  Auarecb- 

L 


166  Sitzung  der  niath.-ph78.  Klasse  vom  8.  Juni  1907. 

a  OD 


und 


L  =  3  J  [ix  +  a  |)J __  dsj  dx. 


0  0 

Letzteres  hat  den  Wert 


r  =  (14-2a)^|. 
ersteres  ergibt  nach  Lindemann 

Das  Beispiel  ist  insofern  unglücklich  gewählt,  als  L  ohne 
weiteres  gar  keinen  Sinn  hat,  da  das  Integral  nach  s  in  i 
für  x  =  ^  von  n\2  auf  0  springt.  Es  müßte  also  diese  Stelle 
ausdrücklich  von  der  Integration  ausgeschlossen  werden. 

Herr  Lindemann  bemerkt  pag.  325  oben:  Nur  für  a  =  — 1 
geben  beide  Integrale  denselben  Wert.  (Wir  können  hinzu- 
fügen: Nur  in  diesem  Falle  wird  auch  der  Sprung  des  Inte- 
grals nach  s  durch  den  Faktor  x  '\-  a^  =  x  —  f  aufgehoben 
und  der  nach  f  zu  differenzierende  Ausdruck  in  x  und  f  einzeln 
stetig.)  Gerade  dieser  Fall  liegt  aber  an  der  beanstandeten 
Stelle  meiner  Elektronenarbeit  vor.    Handelt  es  sich  doch  hier 

um  die  Größe  1  1  i  -^dxdy  dz  (vgl.  pag. 323  bei  Lindemann), 

welche  ebenso  wie  S  eine  stetige  Funktion  der  Variabein  |, 
nach  der  differenziert  wird,  sowie  der  Variabein  t  ist,  nach  der 
integriert  wird  (vgl.  den  Schluß  der  vorangehenden  Nummer). 
Das  Lindemannsche  Beispiel  spricht  also  nicht  gegen, 
sondern  für  mich. 

Durch  die  Stetigkeit  von  8  erledigt  sich  auch  der  Ein- 
wand, den  Herr  Lindemann  durch  die  letzte  Formel  von  pag.  323 
begründet.     Hier   wird   das   Gebiet,   in   dem   S  verschwindet, 


Ai  Sommerfeld:  Über  die  ßtweft-ang  der  Elektronen.  167 

tiQtersehieden  vod  demjenigen  Gebiet  (Volumen eloment  d*  m), 
in  dem  S  nicht  verschwindet.  Wegen  der  Stetigkeit  ver* 
schwindet  aber  S  auch  noch  auf  der  Begrenzung  dieses  Ge- 
bietes.    Differenzieren  wir  nun  1  j^-  d'  ö>?  ^ie  es  der  erste 

Tenn  der  [  ]  in  der  fraglichen  Gleichung  verlangt,  nach  | 
in  den  Grenzen  dea  Rauniintegrals,  so  ist  nach  der  Differen- 
tiation derjenige  Wert  von  S  einzutragen »  der  auf  der  Be- 
grenzung statthat,  d,  h,  eben  der  Wert  S  =  0.  Damit  vei^ 
schwindet  aber  der  soeben  genannte  Term,  der  den  Unter- 
iehied  der  von  Lindemann  rait  ^  und  K*  bezeichneten  Inte- 
gnile  bedingen  würde. 

7.  Über  die  Berechnung  des  bestimmten  Integrales  ü^ 

Das    Lindemannsche    Integral    ß,    bei   mir   mit   {B)    he- 
Biehiiet.^)  ist  folgendermaßen  definiert: 

ü=fsßd/i. 

(1 

För  S  kommen  wieder  die  drei  Werte  5p  S^,  S^  in  Be- 
tnkcht,  in  denen  wir,  um  an  die  Lindemannschen  Bezeich- 
lungen  anzuknüpfen,  ^t  durch  ß  und  r  durch  y  ersetzen 
l'wolleti. 

Es  sind  hier  sowohl  nach  Lindemann  wie  nach  meiner 
[früheren  Arbeit  zunächst  drei  Fälle  zu  unterscheiden,  welche 
^ich  durch  die  folgenden  drei  Figuren  yerdeutliche: 


H- 


2,  2€J>  y>a 

3.  a>y« 


2a 


0         ir-a)    a 


2  a 


-F 


0  {a-y)  y       a 


2u 


1.  Da  ^  bei  der  Integration  auf  die  Werte  0<  ^<a  be- 
BcltrEiikt    ist,   ist   in   diesem   ersten  Falle  dauernd  7  >  a  -j-  ß^ 

•)  Vgl-  meine  Note  l!  in  dtn  Göttinger  Nachrichten,  päg.  3&0. 


i^ 


168  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  8.  Jani  1907. 

das  Dreieck  (a,  /$,  y)  also  unmöglich.  Da  außerdem  a  nicht 
die  größte  dieser  drei  Zahlen  darstellt,  so  gilt  für  das  ganze 
Integrationsgebiet  S  =  Sj  =  0  und  es  wird 

(7)  ß  =  0 

in  Übereinstimmung  mit  Gl.  (232)  von  Herrn  Lindemann. 

2.  Für  diejenigen  Werte  von  /?,  welche  kleiner  als  y  —  a 
sind,  ist  das  Dreieck  (a,  /?,  y)  wieder  unmöglich  und  S=  Sj  =  0. 
Es  sind  also  bei  der  Integration  nur  die  Werte  y  -  a<.ß<.a 
zu  berücksichtigen,  die  in  der  Figur  durch  eine  verstärkte 
Linie  markiert  sind.  Hier  gilt,  da  das  Dreieck  (a,  ß,  y)  mög- 
lich wird,  Ä  =  Äj  und  es  wird 

a 

(8)  Q^^j(a*-(ß-yy)ßdß. 

Herr  Lindemann  schreibt  (s.  seine  Gl.  (233))  in  der  unteren 
Grenze  yj2  statt  y — a.  Dies  ist  nach  Fig.  2  offenbar  ein 
Irrtum.    Aus  (8)  ergibt  sich  der  von  mir  früher  gefundene  Wert 

(9)  fi  =  |(|„V_aV  +  ^) 
statt  des  von  Lindemann  angegebenen:^) 

(,«)  fl_|(^  +  |„v-|a.,'-i,'). 

Eine  Probe  auf  die  Richtigkeit  meines  und  die  Unrichtig- 
keit des  Lindemannschen  Ausdruckes  liefert  der  besondere  Wert 
y  =  2a,  der  die  Grenze  des  Falles  1   und  2  bildet. 

Hierfür  ergibt  meine  Formel  (9)  den  Wert 


«-8«'(|-*  +  3)  =  "- 


der  sich  stetig  an  (7)  anschließt,  die  Lindemannsclie  Formel  (10) 
dagegen 

5  5 

M  Herr  Lindemann  schreibt  versehentlich  -f-  .    y*  statt  —  ~  v*. 


A.  Sommeifeld :  Über  die  Bewegung  der  Hektrontn.  1^9 

„^^n        4  _5        5\  13jra^ 

8    V4  "^  3       2        l)  48     ' 

dies  ist  umziöglicliT  da  Q  sicher  stetig  von  y  abhängt, 

3.   Im  dritten  Falle  ist  das  Dreieck  (a,  ß,  y)   unmr>glieh, 
solange  ß<.a  ^  y.     Da  aber  jetzt  a  größer  als  ß  und  y^  gilt 

gicht    mehr    S  =  S^  =0»    sondern    S  =  S^  ^  ^  ßy.     Dieses 

Intervall  ist  in  Fig.  3  durch  einen  Doppelstrich  hervorgehoben, 
dem  Eest  des  Integrationsintervalles  a  —  yKß  <a^  der 
ieder  durch  einen  einfachen  Strich  markiert  ist^  wird  die 
Dreieckshildung  möglieh  und  daher  5=^5,.  Der  Wert  von  i? 
lautet  daher  jetsst: 


A-r 


(11) 


il-2) 


Uerr  Liudemann  gibt  statt  dessen  den  folgenden  Wert  an : 

0^ljia--(ß-yr)ßdß^^jß^ydß 

fß  f 

-^ljia^-iß-yf)ßdß. 


«-r 


Der  Vergleich  mit  Fig.  3  zeigt  unmittelbar,  daß 
Itier  das  erste  Integral  fortfallen  mala,  und  daß  im 
sweiten  die  untere  Grenze  durch  0  zu  ersetzen  ist 

Die  Ausrechnung  von  Ul)  liefert,  wie  ich  fiüher  ange- 
geben habe,  wieder  den  Wert  (9),  so  dafi  insbesondere  filr  die 
Qrenzß  zwischen  2  und  3,  d.  h.  für  den  Wert  y^a^  wieder 
etiger  Anjsclilu&  der    beiden  Intervalle   aneinander  statt- 

Die  Ausrechnung  von  (12)  ist  bei  Herrn  Lindemann  nicht 
pkBt  richtig  durchgefOhrt,    indem  das  erste  Integral  nicht 


170  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  8.  Jnni  1907. 

n    67 


8  192  ^  ' 


sondern 


8  \,    8  192  ^  ; 


liefert.  Man  überzeugt  sich  sehr  leicht,  daß  auch  nach  Be- 
richtigung des  letztgenannten  Versehens  der  Lindemannsche 
Wert  (12)  von  Q  die  Probe  auf  seinen  stetigen  Anschluß  an 
'das  Intervall  2  nicht  aushält. 

Ich  will  nur  noch  auf  die  Bemerkung  von  pag.  328  ein- 
gehen, daß  bei  der  vorstehend  erörterten  Berechnung  von  Q 
in  dem  Intervall  0  <  /?  <  y/2  nicht  die  Gl.  (40)  von  Lindemann 
(d.  h.  S=S^\  sondern  die  Gl.  (42)  (d.  h.  S=  0)  anzuwenden 
sei.  Letzteres  steht  in  direktem  Gegensatz  zu  den  zusammen- 
fassenden Bemerkungen  Lindemanns  auf  pag.  248,  welche  sich 
mit  der  oben  angegebenen  Wertbestimmung  von  pag.  157 
decken.  Denn  wenn  ß  <  y/2  und  wie  im  vorliegenden  Falle  3, 
y<a  ist,  so  bedeutet  a  jedenfalls  die  größte  der  drei  Zahlen 
a,  /?,  y  während  nach  den  Lindemannschen  Gleichungen  (42) 
und  (45)  S=0  nur  statthat,  wenn  a  (oder  wie  es  pag.  248 
heißt  a)  nicht  die  größte  jener  drei  Zahlen  ist. 

Hiemach  werden  auch  die  folgenden  Einwände,  die  sich 
auf  meine  Berechnung  des  an  Q  anschließenden  Integrales  Q 
beziehen,  gegenstandslos. 

8.  Über  meine  vereinfachte  Behandlung  der  Elektronenbewegung 
in  den  Sitzungsberichten  der  Amsterdamer  Akademie. 

Zu  dieser  bemerkt  Herr  Lindemann:  „Weshalb  nach  t 
zwischen  den  Grenzen  0  und  c»  integriert  wird,  geht  aus  der 
a.  a.  0.  gegebenen  neueren  Darstellung  nicht  hervor."  Dem- 
gegenüber möchte  ich  hervorheben :  Im  Anschluß  an  die  Qreen- 
schen  Methoden  hatte  ich  eine  aus  der  Differentialgleichung 
des  Problems  folgende  Identität  über  den  unendliclien  Raum 
(mit  Ausschluß  der  Unstetigkeitsstelle)  zu  erstrecken ;  ich  hatte 
sodann,  im  Anschluß  an  Kirchhoffs  Behandlung  der  optischen 


A.  Sommerfeld:  Über  die  Bewegung  der  Elektronen.  171 

Probleme,  eine  Integration  nach  der  Zeit  hinzuzufügen.  Die 
Grenzen  dieser  Integration  können  an  sich  beliebig  festgesetzt 
werden,  ohne  daß  die  Identität  zu  gelten  aufhört.  Um  aber 
zu  einem  einfachen  Ergebnis  und  zur  Ableitung  übersicht- 
licher physikalischer  Tatsachen  zu  gelangen,  wird  man  diese 
Grenzen  passend  zu  wählen  haben.  So  gut  wie  die  Raum- 
integration über  den  unendlichen  Raum,  darf  die  Zeitintegration 
über  die  unendliche  Zeitskala,  d.  h.  in  der  Variabein  t  über 
die  ganze  Vergangenheit  von  t  =  0  bis  t==  oo  erstreckt  werden. 
Einer  Rechtfertigung  für  dieses  Verfahren  bedarf  es  nicht. 
Wollte  man  die  Zeitintegration  nur  von  t  =  0  bis  t  =  ^  er- 
strecken, was  zwar  möglich,  aber  unvorteilhaft  wäre,  so  würden 
von  der  oberen  Grenze  herrührende  Zusatzglieder  auftreten, 
welche  die  physikalische  Bedeutung  des  Ergebnisses  verschleiern 
und  die  beabsichtigte  explizite  Berechnung  von  (p  unmöglich 
machen  würden. 

Zusammenfassend  glaube  ich  versichern  zu  können,  daß 
die  Elektronentheorie  durch  die  Lindemannsche  Untersuchung 
in  keiner  Weise  erschüttert  ist. 


173 


8il«iiiig  der  math.*phjs.  Elaise  vom  €.  Juti  1907« 

1,  Hsrr  RicHARE*  Hebtwiö  tält   einen  Vortrag   über  seine 
^.Untersuchungen    Über  das  Sexualitäts-Problem.     Die- 
lben werden  anderweit  yeröffentliclit. 

Derselbe  berichtet  über  experimentelle,  an  Froscheiem 
"angestellte  Untersuchungen,  Bei  denselben  hat  sich  heraus- 
gestellt, daß  Froschlarven,  welche  aus  überreifen  Eiern  ge- 
züchtet worden  waren,  in  der  Inten,^ität  des  Wacbstumes  und 
der  Schnelligkeit  der  Entwickelung  normal  entwickelten  Larven 
weit  überlegen  sind.  Auch  ist  das  Sexualitäts Verhältnis  bei 
Eiern  von  verschiedener  Reife  ein  verschiedenes-  Ferner  hat 
sich  herausgestellt,  data  der  Samen  auf  die  Wachstunasweise 
ier  Eäer  und  das  Geschlecht  der  aus  ihnen  henrorgehenden 
Larven  einen  großen  Einfluß  ausübt. 

2.  Herr  Peädinano  Lindemakn  überreicht  einen  Aufsatz 
¥00  Herrn  Dr.  Fiunz  TwALMiErEK:  ^Flächen  eines  dreifach 
imt'udlichen  linearen  Systems,  welche  mit  einer  ge- 
gebenen algebraischen  Raumkurre  eine  Berührung 
3,  Ordnung  eingehen.* 


3*  Herr  Feboihand  Lindemann  bringt  den  für  die  Denk- 
schriften bestimmten  IL  Teil  seiner  Untersuchung:  ,Über  die 
Bewegung   der  Elektronen  (stationäre  Bewegungen)/ 

Die  im  ersten  Teil  gegebenen  Entwickelungen  führten  zu 
llaIeD,  die  von  den  bisher  angeuoramenen  vresentlich  ver- 


174  Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  6.  Juli  1907. 

schieden  sind.  Die  von  Abraham  und  anderen  aufgestellten 
Formeln  nämlich  gehen  von  der  Vorstellung  aus,  daß  das 
elektromagnetische  Feld  sich  nach  unendlich  langer  Zeit  einem 
stationären  (von  der  Zeit  unabhängigen)  Zustande  nähert,  und 
daß  es  gestattet  ist,  aus  diesem  Zustande  des  Feldes  durch 
Integration  über  die  Körperelemente  auf  die  resultierenden 
Kräfte  zu  schließen.  Wenn  man  aber  Grenzwerte  für  eine  un- 
endlich lange  Zeit  untersuchen  will,  so  sollte  man  erst  die 
ganze  Betrachtung  (auch  die  Integrationen)  für  eine  endliche 
Zeit  ausführen,  und  dann  den  Qrenzprozeß  vornehmen.  In 
vielen  Fällen  ist  es  allerdings  gleichgültig,  in  welcher  Reihen- 
folge man  die  verschiedenen  Operationen  vornimmt;  bei  dem 
vorliegendem  Probleme  aber  tritt  die  Notwendigkeit  heran, 
die  vorgeschriebene  Reihenfolge  genau  einzuhalten;  denn  da- 
durch ergeben  sich  eben  die  von  den  früheren  Resultaten  ab- 
weichenden Gleichungen.  Die  Rechnungen  des  Verfassers 
wurden  durch  Herrn  Schott  in  Bonn  nachgeprüft,  und  der- 
selbe hat  gefunden,  daß  bei  Auswertung  der  auf  das  skalare 
Potential  bezüglichen  Foimeln  ein  rechnerisches  Versehen  vor- 
gekommen ist.  Dadurch  werden  zwar  nicht  die  allgemeinen 
Überlegungen,  aber  einzelne  Resultate  beeinflußt.  Insbesondere 
ergibt  sich  nunmehr,  daß  bei  gleichförmiger  Bewegung  die  vom 
Elektron  auf  sich  selbst  ausgeübte  Kraft  nach  Ablauf  einer 
gewissen  Zeit  genau  gleich  Null  wurd,  wie  es  sonst  angegeben 
wurde.  Aber  das  Resultat  wird  dadurch  erreicht,  daß  zwei 
Integrale,  die  wesentlich  von  Null  verschieden  sind,  sich  gegen- 
seitig aufheben,  während  nach  den  bisherigen  Theorien  jedes 
einzelne  dieser  Integrale  (d.  h.  die  Wirkung  des  skalaren  und 
diejenige  des  Vektor-Potentials)  je  für  sich  gleich  Null  sein 
müßte.  Der  Verfasser  findet  für  eine  allerdings  kurze  An- 
fangszeit eine  Kraft,  die  für  kleine  Geschwindigkeiten  sehr  be- 
trächtlich werden  kann,  so  daß  man  sich  kaum  vorzustellen 
vermag,  wie  eine  stationäre  kräftefreie  Bewegung  je  zustande 
kommen  könnte.  Hierin  liegt  auch  eine  wesentliche  Schwierig- 
keit für  die  versuchte  elektromagnetische  Begründung  der 
materiellen  Mechanik.    Auf  die  von  Sommerfeld  in  einer  Arbeit, 


SitsuDg  der  math.-pfajs.  Elasie  Tom  6.  .Tuli  1907. 


175 


weleba  in  der  letzten  Sit^iung  der  Akademie  %^orgelegt  wurde, 
erhobenen  Einwandti  wird  in  einer  besonderen  (unten  auf  S,  177 
folgenden)  Abhandlung  eingegangen,  in  der  diese  Einwände 
widerlegt  werden. 


4.  Herr  Wn.HELir  Konbad   Ro^fraEN  legte  vor  eine  Experi- 

mentalüutersuchung  des  Assistenten  am  Physikalischen  Institut 

Universität  Dr.  PrrKH  Vml  K*kth;  „Über  dieAbhängig- 

^  .  Cp 

reit  des  Verhältnisses  der  spezifischen  Wärme  ~- ^^  i 

in  trockener  kohlensäurefreier  atmosphärischer  Luft 
fon  Druck  und  Temperatur/ 

Die  mit  bedeutenden  experimentellen  Hilfsmitteln  nnter- 
nommene,  auf  müglichste  Präzision  angelegte  Untersuchung 
bestimmt  in  ihrem  ersten  Hauptteil  die  Schallgeschwindigkeit 
In  Luft  bei  Drucken  bis  200  Atmosphären  und  den  Tempera- 
turen 0°  und  ^  79*^  C,  im  zweiten  Hauptteil  die  Isothermen 
der  Luft  unter  denselben  Bedingungen  von  Druck  und  Tem- 
peratur. Die  Verknüpfung  der  Resultate  beider  Hauptteile 
mgt,  da§  das  Verhältnis  der  speüitischen  Wärmen  für  —  79"  sin 
Maximum  im  Werte  von  2,44  erreicht,  bei  rund  150  Atrao- 
spharan  Druck,  während  für  0°  bei  Drucken  bis  200  Atmo- 
ipblren  ein  Maximum  noch  nicht  erreicht  ist  Diese  Ergeb- 
nisse stimmen  qualitatiir  gut  überein  mit  dem,  was  bisher  von 
den  thermodyuamißchen  Eigenschaften  reeller  Gase  bekannt  ist. 


r>,  Herr  Richüid  Hektww  legt  eine  Abhandlung  des  Herrn 
Dpu  Kahl  Pakkoti  , Beiträge  zur  Ornithologie  Sumatras 
und  der  Insel  Bangka*^  vor.  Dieselbe  ist  für  die  Denk- 
iiriften  bestimmt. 

Die  Arbeit  behandelt  die  Vogel,  welche  von  den  Herren 
Hofrul  Hauen  und  Hofrat  Maetik  auf  den  Sunda-Inseln  ge- 
SAummlt  und  der  Staatssammlung  geschenkt  worden  sind,  gibt 
gleich  aber  auch  eine  vergleichende  Untersuchung  der  schon 
Uiagerer  Zeit  von   der  Staatssammlung  erworbenen  suma- 


176  Sitzung  der  math.-phjrs.  Klasse  Tom  6.  Juli  1907. 

tranischen  Vögel,  so  daß  im  ganzen  154  Arten  Berücksichtigung 
finden  konnten.  Der  Verfasser  gelangt  hinsichtlich  der  Zu- 
sammensetzung der  Avifauna  welche  in  engem  Konnex  mit  der 
Entstehung  des  malayischen  Archipels  steht,  zu  interessanten 
und  zum  Teil  neuen  Resultaten.  Die  Beziehungen  zu  den 
Nachbarinseln  Java,  Bomeo  etc.  werden  ausführlich  abge- 
handelt und  hier  auf  die  bezeichnende  Tatsache  hingewiesen, 
daß  die  geologisch  anders  geartete  Insel  Bangka  manche  Formen 
aufweist,  die  nur  auf  Bomeo  heimisch  sind,  während  dieselben 
dem  unmittelbar  benachbarten  Sumatra  fehlen.  Eine  Anzahl 
Vogelformen,  die  bisher  noch  nicht  genügend  unterschieden 
worden  waren,  werden  neu  benannt,  darunter  namentlich  solche 
aus  dem  Tiefland  von  Deli,  das  durch  einen  besonderen  Charakter 
seiner  Vogelwelt  —  es  ist  eine  Neigung  zu  zwerghaftem  Wuchs 
bei  vielen  Individuen  unverkennbar  —  ausgezeichnet  erscheint. 
Auch  aus  Bangka   werden   mehrere  neue  Formen  beschrieben. 


177 


Zur  Elektronentheorie. 

Von   F.  Liod«iiiatin, 

in  einer  Arbeit  des  Herrn  Sommerfelil,  welche  Herr 
Hrmtgen  in  der  Sitzung  vom  8.  Juni  dor  nmthematiseb- 
jihjsikHlischen  Klasse  vorlegte  (vgL  oben  S.  155  ff*),  sind  ver- 
schiedene Einwände  gegen  meine  Behandlung  der  Elektronen- 
äeorie^)  erhoben  worden»  indena  der  Verfasser  die  von  mir 
6gen  seine  Darstellung  der  Theorie  geltend  gemachten  Be- 
deoken  zu  entkräften  sucht.  Im  folgenden  werden  diese  Ein- 
wände des  Herrn  Sommerfeld  als  unbegründet  nachgewiesen; 
zugleich  nehme  ich  Gelegenheit,  einige  Bedenken,  die  ich  in 
g  16  meiner  Abhandlung  ausgesprochen  hatte,  ausführlicher  zu 
heg^ronden,  ak  ich  es  damals  für  nötig  hielt. 

In  erster  Linie  kommt  es  auf  die  unten  in  §  8  gegebenen 
Ausführungen  an,  in  denen  gezeigt  wird»  daß  Herr  Sommer- 
feld seinen  Rechnungen  eine  Potentialfunktion  zu  Grunde  legt, 
lie  im  Innern  des  bewegten  Elektrons  der  geforderten  par- 
Men  Differentialgleichung  nicht  genügt  Es  dürfte  demnach 
eigen  ilieh  überflüssig  sein,  über  die  anderen  Punkte  zu  dis>^ 
kuiteren;  doch  ist  dies  immerhin  nützlich,  um  Mißverständ- 
tufisen  ^u  begegnen. 

Nur  in  einem  Punkte  kann  ich  Herrn  Sommerfeld  recht- 
IfebeD,    nämlich    in  Betreff  der  Auswertung  eines   bestimmten 


*)  Über  die  Bewegung  der  Elektronen»  I.  Teil,  die  tranalatoriache 
Brwrirnisg,  Ahhafidlnngeß  der  K.  Bayer.  Akad.  d.  Wiaa.,  11.  Kl.,  Bd.  23, 
lüü?;   pinr  Fortaet^iing  diener  Ahhiiudlung   iat  gegenwärtig  im  Üruake 


178  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  6.  Juli  1907. 

Integrals  (vgl.  unten  §  7);  dieses  Integral  wird  indessen  in 
meiner  Abhandlung  überhaupt  nicht  benutzt;  die  Frage  der 
Auswertung  ist  daher  eine  nebensächliche;  es  wird  von  Herrn 
Sommerfeld  gezeigt,  daß  an  dieser  Stelle,  wo  ich  einen 
Irrtum  in  seiner  Arbeit  vermutete,  ein  solcher  nicht  vorliegt. 
Die  Anordnung  des  Stoffes  entspricht  genau  derjenigen, 
welche  Herr  Sommerfeld  seinem  Aufsatz  zu  Grunde  legt; 
und  dementsprechend  sind  die  Überschriften  der  Paragraphen 
gewählt. 

§  I.    Berechnung  des  skalaren  Potentials. 

Zuerst  hebt  Herr  Sommerfeld  hervor,  daß  die  von  mii 
(zur  Erleichterung  der  mathematischen  Entwicklung)  gestellten 

Anfangsbedingungen  (p  =  0  und  — y  =  0  für  ^  =  0  den  physi- 

kaiischen  Bedingungen  des  Problems  nicht  entsprechen;  dieser 
Einwurf  ist  gesperrt  gedruckt,  so  daß  ihm  also  besonderes 
Gewicht  beigelegt  wird.  Trotzdem  ist  er  nur  eine  Wieder- 
holung dessen,  was  ich  selbst  gesagt  habe;  ich  habe  selbst 
betont,  daß  der  von  mir  verlangte  Anfangszustand  den  Be- 
dingungen der  Elektronentheorie  nicht  entspricht,  vgl.  den 
Schluß  von  §  3  und  den  Anfang  von  §  15.  Wenn  also  für 
/  =  0  das  elektrostatische  Potential  resultieren  soll,  und  wenn 
Herr  Sommerfeld  die  betreffenden  Formeln  meiner  Abhand- 
lung zur  Kontrolle  benützen  wollte,  so  hätte  er  ausschließlich 
die  von  §  15*)  und  nicht  die  von  §  li  anwenden  müssen  (vgl. 
unten  §  2).  Daß  letztere  den  Wert  Null  geben,  entspricht  der 
von  mir  gestellten  Anfangsbedingung  und  ist  höchstens  eine 
Kontrolle  für  die  Richtigkeit  der  Lösung,  nicht  gegen  dieselbe. 
Überhaupt  kann  man  eine  Unrichtigkeit  nicht  durch  irgend- 
welche angebliche  Konsequenzen  nachweisen,  sondern  nur  durch 
direkte  Angabe  darüber,  wo  der  Fehler  der  mathematischen 
Entwicklung  liegt,  wie  ich  es  für  die  Sommerfeldschen 
Formeln  in  §  16  meiner  Arbeit  getan  habe. 

M  Diese  sind  imwi^chen  in  der  oben  erw&hnten  Fortsetzung  meiner 
Abhandlung  weiter  entwickelt. 


?.  Lindetnann:  5!ur  Ekktronentheorie. 


Nach   der   Dargtellung    des   Herrn   Sommerfeld   küiinte 
'mau  allerdings  glauben»  daö  ich  selbst  behauptet  hätte,  meine 

in  iibichung  (o4)  gegebene  Lösung 


(1) 


müsse  für  /  =  0  in  das  elektrostatische  Potential  übergehen; 
er  ssitiert  dafUr  einen  Satz  aus  dem  Beginne  meiner  Arbeit, 
wo  die  Differentialgleichungen  ftlr  «He  Potentiale  7^  und  31  an- 
gegeben werden: 

%—  f;*/J*a|,  =  t>' Öjr, 

Hwv  fügte  ich  hinzu:  ^lu  ruhendem  Zustande  geht  das  skalare 
Potential  7^  in  t\m  elektrostatische  Potential  über*j  das  gilt 
Itlr  alle  Anfangsbedingungen,  denn  diese  Bemerkung  bezieht 
sich  nur  auf  die  Form  der  Differentialgleichung,  da  in  diesem 
tadium  der  Untersuchung  von  etwas  anderem  noch  gar  nicht 
lie  Rede  war.  Der  weitere  Zusatz  „das  Vectorpotential  ^{  geht 
m  das  magnetische  Potential  Über**,  den  Herr  Sommerfeld 
beanstandet,  ist  allerdings  ungeschickt;  er  soll  sich  auch  nur 
auf  die  Form  der  Differentialgleichung  beziehen  und  lautet 
besser:  ^das  Vectorpotential  31  bezieht  sicli  auf  die  durch  Bewe- 
gung des  elektrischen  Teilchens  erzeugten  magnetischen  Xräfte/ 
Bei  jedem  Probleme,  das  mathematische  Schwierigkeiten 
bietet,  ist  es  nicht  nur  erlaubt,  sondern  notwendig,  zunächst 
solche  Beschränkungen  zu  machen,  daß  die  mathematische 
Behandlung  vereinfacht  wird,  gleichgültig  ob  man  dabei  die 
ursprQngUchen  physikalischen  Bedingungen  verläßt  oder  nicht, 
wenn  man  nur  in  der  Lage  ist,  das  mathematisch  ein- 
fachere Problem  nachträglich  als  Grundlage  für  das 
ursprüngliche  physikalische  Problem  zu  benützen. 
Wie  letzteres  aber  zu  geschehen  hat,  habe  ich  in  §  15  meiner 
Abhandlung  (und,  für  besondere  Fälle,  in  der  demnächst  er- 
ftcheitienden)  Fortsetssung  ausführlich  gezeigt. 


ItC;.  »tlsantib^  d.  iBAth.-pbrB.  KL 


13 


180  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  6.  Juli  1907. 

§  2.    Die  ergänzende  Betrachtung  über  den  Anfang8ZU8tand 
in  §  15  meiner  Arbeit. 

Herr  Sommerfeld  behauptet:  »die  folgenden  ergänzenden 
Betrachtungen  verfehlen  nun  aber  ihr  Ziel  (nämlich  das  bisher 
behandelte  Problem  den  physikalischen  Bedingungen  anzu- 
passen), wie  ich  der  Kürze  halber  sogleich  an  dem  Schluß- 
ergebnis zeigen  will". 

Es  handelt  sich  um  das  Beispiel  der  Bewegung  mit  kon- 
stanter Unterlichtgeschwindigkeit  v;  hier  gilt  nach  meinen 
Entwicklungen  die  Formel: 

t-hio 


wenn: 


^0  = 


2a 


gesetzt  wird,  indem  t^  nach  meinen  Angaben  (a.a.O.  S.  311) 
so  zu  bestimmen  ist,  „daß  die  vor  Beginn  der  Bewegung 
vom  Elektron  ausgehenden  Kraftwirkungen  volle  Be- 
rücksichtigung finden."  Diese  Wirkungen  sind  elektro- 
statischer Natur,  und  somit  folgert  Herr  Sommerfeld,  daß 
der  Ausdruck  (2)  für  ^  =  0  in  allen  Punkten  des  Raumes  in 
das  elektrostatische  Potential  übergehen  müsse;  diese  Folgerung 
ist  unrichtig;  der  Ausdruck  (2)  soll  das  Potential  <p  zufolge 
seiner  Ableitung  in  denjenigen  Punkten  des  Baumes  darstellen, 
in  welchen  sich  das  Elektron  zurzeit  befindet;  denn  nur  so  ist 
die  Größe  t^  von  mir  bestimmt.  Zur  Zeit  ^  =  0  befindet  sich 
aber  das  Elektron  in  der  Ruhelage;  also  nur  für  JB  <  a  (wenn  R 
die  Entfernung  eines  Punktes  im  Innern  des  Elektrons  von 
dem  Punkte  bezeichnet,  wo  sich  zur  Zeit  ^  =  0  der  Mittelpunkt 
des  Elektrons  befand)  muß  die  Funktion  cp  nach  meiner  Theorie 
mit  dem  bekannten  elektrostatischen  Potentiale  übereinstimmen ; 
welche  Werte  sie  für  jR>a,  ^  =  0  hat,  ist  für  meine  Theorie 
(und  für  das  gestellte  physikalische  Problem)  ganz  gleichgültig. 


F.  Lindemann :  Zur  Elektironeittbeorie. 


181 


Um  nun  den  fragliclien  Wert  filr  li  <  a  zu  berechnen, 
hat  man  die  Gleichung  (52b)  in  §  6  meiner  Arbeit  aöÄUwenden, 
in  der; 

zu  wtihlen  ist;  dann  wird: 

''-s^.i"''+i6wsli"'-<"-w'' 

U  r' 

und   dies  ist  der  hekuunte  Wert  des  Potentials  der  Kugel   auf 
einen  inner»  Punkt 

Für  einen  äuüern  Punkt  nmü  meine  Formel  noch  den 
üblichen  Wert  für  alle  diejenigen  Punkte  ergeben,  bis  zu 
welchen  sich  die  von  den  Punkten  des  ruhenden  Elektrons 
musgehende  elektrische  Erregung  im  Laufe  der  Zeit  ^^  '^^^  ^^^^' 
fiäatiseu  künueii,  d.  b.  für  alle  Punkte  im  Iniieni  einur  Kugel, 
ilervtn  lisiäiuM  M^  durch  die  Gleichung: 

2  (i  € 

a+  /fo  =  ^^ö  = 


c  -^  r 


itprat  wird;  es  ist  also: 


er  —  V 


Für  die  Punkte  im  Innern  dieser  Kugel  ergibt  aber  meine 
mel,  wie  HeiT  Sommerfeld   berechnet  (vgL  oben  S.  160X 
der  Tai  den  richtigen  Wert; 


(p  = 


4nR' 


Um  diese  Kugel  legt  sich  eine  Schale,  innerhalb  welcher 
nur  ein  Teil  der  vom  Elektron  ausgegangenen  Wirkung  zur 
Oeliung  kommt;  man  hat  um  einen  Punkt  dieser  Schale  mit 
dem    Badius  /^   eine  Kugel   zu  beschreiben,    welche   aus  der 

18» 


182  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  6.  Juli  1907. 

ruKenden  Kugel  des  Elektrons  ein  Gebiet  ausschneidet.  Die 
Wirkung  dieses  Gebietes  wird  durch  meine  Formel,  d.  h.  hier 
durch  den  Potential  wert  (vgl.  Sommerfeld  oben  S.  160): 

x'" 

dargestellt.  Endlich  außerhalb  dieser  Schale,  d.  h.  au&erlialb 
einer  Kugel  mit  dem  Radius: 


«=(^ +:-+-:)<• 


muß  9p  =  0  werden,  wie  es  a.  a.  0.  berechnet  ist;  denn  bis 
zu  einem  solchen  Punkte  hat  sich  von  keiner  Stelle  im  Inneren 
des  Elektrons  aus  die  elektrische  Wirkung  während  der  Zeit  t^ 
verbreiten  können.  Bei  richtiger  Anwendung  gibt  daher 
die  von  mir  aufgestellte  Formel  auch  richtige  Re- 
sultate. Die  Bemerkung  des  Herrn  Sommerfeld,  nach 
welcher  meine  „in  Rede  stehenden  ergänzenden  Betrachtungen 
bei  richtiger  Durchführung  auf  seine  Formeln  hätten  führen 
müssen,  in  der  vorliegenden  Fassung  aber  in  sich  widerspre- 
chend sind**,  entbehrt  hiernach  der  Begründung. 

In  einer  Note  unter  dem  Texte  sagt  Herr  Sommerfeld 
ferner:  „Daß  die  Größe  t^  und  damit  die  Potentialverteilung 
zur  Zeit  ^  =  0  von  dem  Charakter  der  nachfolgenden  Be- 
wegung abhängen  soll,  ist  an  sich  kaum  verständlich.**  Hierbei 
hat  derselbe  nicht  beachtet,  wie  die  Variable  r  (die  er  in  seiner 
Arbeit  doch  in  ganz  gleicher  Weise  benutzt)  definiert  ist;  sie 
mißt  die  Zeit  von  der  jeweiligen  Lage  des  Elektrons  aus  nach 
rückwärts.  Die  Zeit  von  T  =  t  bis  t  =  ^  +  ^^  bezieht  sich 
also  auf  die  vor  der  Zeit  ^  =  0  entstandene  Potential  Verteilung ; 
für  den  Zeitpunkt  ^  =  0  gibt  also  das  Intervall  von  t  =  0  bis 
r  =  (q  die  durch  die  Ruhelage  vor  Beginn  der  Bewegung  be- 
dingte Potentialverteilung;  von  einem  Einflüsse  der  nach- 
folgenden Bewegung  kann  bei  meinen  Formeln  keine  Rede  sein. 


F.  Liodejsami:  Zur  Elektronentheoriü. 


183 


§  3.  Zahlenbeispiel. 

Infolge  eines  Versehens  bei  Auswertung  des  von  mir  mit 
^,  bezeichneten  Integrales  sind  die  entsprechenden  Formeln 
ia  der  Weise  zu  revidieren,  wie  es  im  zweiten  Teile  meiner 
Abliandlung  inxwifichen  geschehen  igt  (vgl  oben  S,  171),  was 
ich  in  der  Junisitzung  (in  der  Herr  Röntgen  die  Sommer- 
feld sehe  Arbeit  vorlegte)  der  Akademie  bereits  mitteilte;  das 
fon  Harm  Sommerfeld  berechnete  Zahkmbeispiel  sagt  also 
nichts  gegen  die  Richtigkeit  meiner  Methode, 


§  4.   Die  Ausrechnung  von  9^  in  §  6  meiner  Arbeit 

Herr  Sommerfeld  stellt  sich  im  Aufgabt^   das  oben  in 

(I)  gegebene  Potential  tp  für  den  Fall  zu  berechnen,   daiä  das 

Elektron  auch  nach  der  Zeit   /  =  0    dauernd   in  Ruhe   bleibt, 

und  zwar  auf  Grund  meiner  Formeln.    Hier  ist  f  ^  0,  t}  ^  0^ 

*  ^  0,  also: 

TP  ^  jc^  +  y*  +  g\ 

R  unabhängig  von  t;  es  wird  also  nach  (1): 

i 
3#c 


^^2^i^J^^^' 


wo  S  ein  Integral  bedeutet,  welches  den  folgenden  Bedingungen 
gt^nügt;  es  ist: 


:f 


(8)   8=  ~  [a*  —  (e t  —  Ä)*] ,    wenn    sich    aus    den    Strecken 
a,  CT  nnd  R  ein  Dreieck  bilden  läßt, 

(4)  j5=  ^^erU,  wenn  ein  solches  Dreieck  nicht  mOglich  ist, 

weil  <i>€  T  +  R, 

(5)  S ^  0,  wenn  das  Dreieck  unmöglich  ist,  well  üKct  —  M 
bzw.  a<R  —  CT. 

n^rr  Sommerfei  d  beschränkt  seine  Rechnung  ausdrücklich 
das  Auüere  der  Kugel  R^=ii  (also  R>a). 


184  Sitzung  der  maÜh.-phys.  Klasse  vom  6.  Juli  1907. 

Nach  Seite  253  meiner  Arbeit  haben  wir  zunächst  die 
folgenden  beiden  Fälle  zu  unterscheiden: 

L  ct<a,  II.  ct>a. 

Im  Falle  I.  ist  auch  stets  ct  <i  a;  ferner  wird  R>  a  vor- 
ausgesetzt;  wir  haben  also  das  Zeitintervall  in  zwei  Teile  zu 

zerlegen : 

1.  CT<  R  —  a 

2.  CT>R  —  a; 

im   ersteren  Intervalle  ist  S  =0  nach  (5),   im   anderen   ist  8 
durch  (3)  bestimmt;  und  wir  erhalten: 

(p  =  0  für  ct<R  —  a 
t 

<p  =  -T^—~  ([a^  —  {cr—Ry]dr  filr  R-a<ct<a. 
^        Ißna^ RJ  ^ 

{R-a)le 

Das  sind  aber  ganz  dieselben  Formeln,  welche  Herr 
Sommerfeld  für  das  Intervall  ct<a  als  die  richtigen  an- 
gibt. Aus  meinen  Formeln  leitet  er  unrichtige  Resultate  ab, 
indem  er  sogleich  für  kleine  Werte  von  t  meine  Oleichung 
(53)  anwendet,  während  dieselbe,  wie  ich  a.  a.  0.  ausdrücklich 
bemerkt  habe,  nur  für  cr>a  in  Betracht  kommt.  Ebenso 
geben  meine  Formeln  auch  im  folgenden  das  Richtige;  und 
die  Behauptung  des  Herrn  Sommerfeld,  daß  »meine  Formeln 
(52)  und  (53),  auf  denen  alles  weitere  beruht,  irrig  sind*,  ist 
unzutreffend.  Sie  geben  selbstredend  etwas  Unrichtiges,  wenn 
man  sie  auf  Fälle  anwendet,  für  die  sie  ausdrücklich  nicht 
bestimmt  sind. 

Mit  der  Angabe,  daß  „auf  diesen  Formeln  alles  weitere 
beruhe*,  befindet  sich  Herr  Sommerfeld  überdies  im  Irrtume ; 
der  Inhalt  von  §  6  könnte,  abgesehen  von  der  ersten  Seite 
(nämlich  S.  253),  ganz  gestrichen  werden,  ohne  am  folgenden 
etwas  zu  ändern;  er  zeigt  nur  und  soll  nur  zeigen,  daß  man 
bei  dieser  direkten  Behandlung  des  Problems  auf  Schwierig- 
keiten stößt,  und  daß  deshalb  (vgl.  den  Schluß  von  §  6)  ein 
anderer  Weg  eingeschlagen  werden  muß.    Auch  im  folgendeD 


F.  Lindemann ;  Zur  Elektronentheorie. 


185 


(vgL  S.  259)  ist  hervorgeh oböii  wordeiiT  daß  dio  in  §  6  ein- 
geführten Hülfsgroäen  r\  t*\  r'**  .  ,  .  .  bei  Ausführung  der 
räumlichen  Integrationen  nicht  weiter  in  Betracht  kommen. 
Selbstverständlich  ist,  daß  die  Bestimmung  dieser  Großen 
nicht  alle  möglichen  Fälle  einzeln  umfaßt;  das  brauchte  nicht 
besonders  gesagt  zu  werden,  denn  wegen  des  Eingehens  der 
willkürlichen  Funktionen  in  die  Rechnung  wäre  es  ein  unsinniges 
Ünternehmeu,  alle  Möglichkeiten  erschöpfen  zu  wollen ;  es  konnte 
sich  nur  darum  handeln,  ein  im  allgemeinen  brauchbares  Schema 
aufzustellen  und  daran  die  Methode  zu  erläutern,  wie  das  im 
folgenden  auch  wiederholt  hervorgehoben  wurde  {vgh  die  An- 
merkung auf  S.  26:^  und  den  Schluß  von  §  7  sowie  S.  284). 
Zu  Beginn  von  §  6  formuliere  ich  überdies  die  zu  behandelnde 
Aufgabe  dahin,  daß  zu  verfolgen  ist,  wie  das  Elektron  allmählich 
sich  von  der  Anfangslage  (bzw.  aus  der  jeweils  kurz  vorher- 
gehenden Lage)  befreit,  um  dann  seine  Bahn  zu  beschreiben, 
Für  den  Fall,  daß  überhaupt  keine  Bewegung  eintritt,  können 
daher  die  Größen  i\  t'\  .  .  ,  ,  keine  Bedeutung  haben;  man 
kann  den  Wert  von  <p  aber  stets  aus  den  Formeln  (3),  (4) 
und  (5)  ganz  elementar  berechnen»  wie  es  oben  geschah, 

§  5,    Diffepentiation  nach  der  oberen  Grenze* 

In    der    Theorie    des   Vektorpotentiales    kommt    es    unter 

anderem  nach  meinen  Formeln  auf  die  Berechnung  des  folgen- 

den  Integrales  an: 

t 

Da  Herr  Sommerfeld  überall  die  obere  Grenze  t  durch 
^^  ersetzt  (vgl  darüber  unten  §  S),  so  hatte  bei  ihm  das  Integral: 

(7) 


äSASiSSB=& 


186  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  6.  Juli  1907. 

berechnet  werden  sollen,  wobei  die  Volum-Integration  sich  auf 
das  ganze  Innere  des  Elektrons  bezieht.  Statt  dessen  wird  von 
ihm  das  Integral: 

0 

ausgewertet.  Mein  Einwurf  gegen  dieses  Verfahren  gründet 
sich  darauf,  daß  infolge  der  Werte  von  S,  die  oben  in  (3),  (4) 
und  (5)  angegeben  wurden,  die  oberen  Grenzen  des  dreifachen 
Integrals  Funktionen  von  t  sind,  daß  also  Herr  Sommerfeld 
diese  Grenzen  mit  diflFerentiert,  während  sie  in  dem  ursprüng- 
lichen Ausdrucke  (7)  nicht  differentiert  werden  sollten. 

Herr  Sommerfeld  beruft  sich  darauf,  daß  S  eine  stetige 
Funktion  von  t  sei,  und  daß  infolgedessen  die  DiflFerentiation 
der  Grenzen  keinen  Beitrag  liefere;  das  ist  richtig,  wenn  es 
sich  um  DiflFerentiation  einer  Summe  von  der  Form: 

t'  r" 

S 


!'R^'+i'R^'  + 


handelt;  und  von  dieser  Bemerkung  habe  ich  selbst  Gebrauch 
gemacht  (S.  269).  Aber  dadurch,  daß  der  Ausdruck  (6)  durch 
(8)  ersetzt  wurde,  ist  die  Sachlage  eine  ganz  andere,  und  eine 
Übereinstimmung  der  aus  beiden  Ausdrücken  durch  DiflFeren- 
tiation nach  t  zu  erhaltenen  Resultate  ist  nicht  mehr  zu  erwarten. 
Es  kommt  also  darauf  an,  den  Einfluß  der  vorgenommenen 
Vertausch  ungen  von  DiflFerentiation  und  Integration  zu  unter- 
suchen. 

Bei  Einführung  von  Polarkoordinaten  JJ,  0,  W  wird  die 
Integration  nach  dem  Winkel  W  immer  von  0  bis  2  ji  ausge- 
führt; wir  haben  also  nur  noch  mit  Doppelintegralen  zu  tun. 
Es  sei:  ^^       ^^ 

0  6 

WO  0j  und  i?j  Funktionen  von  t  sind: 


F,  Li  n  dem  an  n :  Zur  Elektronenthcorie. 


187 


wiihrerid  b  eine  von  t  unabhängige  Konstante  bedeutet.  Die 
Variable  t  aoll  auch  in  der  Funktion  f  neben  Ti  und  0  vor- 
komuien.  Mit  6  U  möge  der  Ausdruck  bezeichnet  werden,  der 
durch  Differentiation  der  Grenzen  allein  entsteht;  dann  ist: 

Es  enLsteht  also  die  Frage,  ob  diese  Ausdrücke  verschwinden, 
'Wir  müssen  hier  die  einzelnen  Fälle  und  Lagen  durchgehen* 
Allerdings  kommen  diese  bei  Herrn  Sommerfeld  nicht  vor, 
aber  nur  deshalb,  weil  er  unter  Voraussetzung  der  Ver- 
tausehbarkeit  der  betreffenden  Operationen  die  Unterscheidung 
der  Fälle  umgehen  kann. 

h  UnterUckl^eschwindi^keit« 
Erste    Lage,    vgl,    Figur  1.     Hier   ist   in    dem    vertikal 
schraffierten  Gebiete  S  nach  (3),  in  dem  horizontal  schraffierten 
Gebiete  S  nach  (4)   zu  berechnen. 
Die  Integrationen  erstrecken   sich 
über  geschlossene  Gebiete;    in   er- 
flt^reni  ist: 

6i^^=jf,     b^  a  ^  CT 

und  Ä,  durch  die  Gleichung  (99) 
memer  Abhandlung  bestimmt,  d.  h. 
dtirch : 

(9)    a*  =  m^r^2R,Ttosine, 

T  eine  Funktion  von  t  und  i 
leutei     Wir  haben  also,  da: 

lu  wBtzen  ist: 

m        «  P.  =  f  /[«•  -(CT-  it,)»]  ü,  ^^^'  sin  ©  d  e. 


188  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  6.  Juli  1907. 

In  dem  horizontal  schraffierten  Gebiete  ist: 


R^  =  a 


"•  »=»■  H-».  ft-O' 


also  auch  (5  ü,  =  0.     Der  Ausdruck : 

verschwindet  also  keineswegs  identisch,  wie  Herr  Sommerfeld 
anzunehmen  scheint.    Nur  im  Falle  konstanter  Geschwindigkeit 

dR 

ist  T  =  t;  T  von  t  unabhängig  und  dann  — -. -  =  0 ,   also  auch 

o  t 

AU=0. 

Zweite  Lage,  vgl.  Figur  3.^)  In  dem  vertikal  schraf- 
fierten Gebiete  ist  alles  wie  im  vorigen  Falle;  nur  muß  jetzt 
b  =  CT  —  a  genommen  werden.  Es  behält  also  S  U^  denselben 
Wert.  Im  horizontal  schraffierten  Gebiete  ist  R<cr  —  a, 
und  somit  S  =  0  nach  (5),  also  wieder  ^  ^/^  =  0. 


Fig.  3.  Tig.  4. 

Dritte   Lage,    vgl.   Figur  4.     Wir    haben    (vgl.   S.  274 
meiner  Abhandlung)  im  vertikal  schraffierten  Gebiete: 

(in  i\  =  f >^ lidii  fsiu ede. 


^)  Pio  Xummern  dor  Fi^fuivu  sind  dieselben  wie  in  meiner  größeren 
Abhandlung. 


F.  LindeinAnn  i  Zur  Elektrooentheorie. 


189 


©i  durch  die  Gleichung  (109),  d.  h.  durch: 
(11»)  2i??'cosinÖ,  =  Ä«+T»-«»« 

bestimmt  wird,  und  es  ist  S  durch  (3)  bestimmt,  also: 


dT 


äU,=  ^  [fl»  -  (c  T  -  r-  «)»]  (r+  «)  (1  -  cosin  Ö.)  ^ 


(12) 


8 


9t 


T+a 


+  ^J[«* -(c ^  -  ^)T  Äsin  0.  ^  d  iJ. 


WO  im  ersten  Gliede  die  Klammer  (1  —  cosin  0j)  für  B=T+a 
gleich  Null  wird. 

Im  horizontal  schrafüerteü  Gebiete  ist  wieder  ü<€t— s, 
nko  5  =  0  nacli  (5)  und  A  V^  =  0. 

U,  6b«rl1ctitgeBcfaw[iidlgke1i. 

Erste  Lage,  vgL  Blgur  8,    Im  voiiikal  schraffierten  Ge- 
biete habeu  wir: 


<I  +  Cf 


^ 


^o  nach   Gleichung  (145)  meiner  Abhandlung  9^   durch   die 
Gleichung: 

(12»)  ri^  ^  T^  +  12*  -^  2  12  r  cosin  Ö^ 

bestimmt  ist.     Wir  erhalten  also: 

a  tr,  =  Ijry  -  (C7  ~  ü)']  iJsin  e„^"  dR. 

Das  lit>rizontal  schraffierte  Gebiet  ist  wieder  so  in  zwei  Teile 
XU  7,erlegen,    wie  es  auf  S.  286  meiner  Abhandlung  geschah; 
wir  haben  nach  (4)  in  dem  einen  Teile: 
«  -  r         .1 


190  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  yom  6.  Juli  1907. 

und  im  anderen  Teile: 

ob 


U^  =  ''^^'^- JK}  dB  (sin  e  de, 


a-T 


WO  ^0  wieder  durch  obige  Gleichung  bestimmt  wird;  also: 
fiU,  =  +  "^^  (o  -  J)»  |-^(1  -  cosin  0„) 

a-T 

wo  das  erste  Glied  für  R^=^a  ^  T  nach  (12»)  verschwindet. 
Kin  viertes,  gesondert  zu  betrachtendes  Gebiet  endlich  ist 
in  Figur  8  nicht  schraffiert;  in  ihm  ist: 

R>a'\-€T,  und  folglich  nach  (5):   ü"^  =  0,  »U^  =  0. 

Zweite  Lage;  es  bleiben  die  Formeln  der  ersten  Lage  gültig 
(vgl.  S.  287  f.  meiner  Abhandlung,  und  Figur  9  daselbst  S.  280). 

Dritte  Lage;  vgl.  Figur  11.     Es  ist  im  vertikal  schraf- 
tiortou  Teile: 


V  = 


Fig,  11- 


.   !  +  .> 


F.  Lindemiutni  Zur  Eiektroiientheorie. 


191 


a  i7  =  I  [fl»  -  (c  T  -  J  +  a)*\  (T-  a)  (1  -  cosiii  ©.)  ^^ 


et-^4 


[WO  wieder  das  erste  Glied  wegen  (12*)  yerschwifidet 

In  dem  nielit  schraffierten  Gebiete  dagegen  ist  wieder 
n=0  und  *[/=-0. 

Es  geht  hieraus  hervor,  daf^  die  durch  DiÖereutiation  der 
Grenzen  entstehenden  Termt  keineswegs  %n  vernachlässige« 
ind.  Es  soll  aber,  geuiülj  (8),  das  Resultat  noch  nach  j  in- 
riert  werden»  nachdem  vorher  mit  tJ,(^  —  r)  multipliziert 
bt  Bei  Unterlichtgeschwindigkeit  wird  die  Grenze  der  ersten 
Lage  gegen  die  zweite  durch  den  Wert  r  =^  ci/ö  gegeben  (vgl* 
S*  261  meiner  Ahhimdlung);  dieser  ist  unabhängig  von  t:  die 
Grenze  der  zweiten  Luge  gegen  die  dritte  ist  durch  t  =  r* 
gegeben;  es  ist  also: 

Jt)4^  -  r)  d  U^  dr  H-  Jo^(^-  T)d  r/i  är 

bilden,  wenn  mit  (5  U^  der  Ausdruck  (10)»  mit  d  U\  der  Aus- 

^druck  (12)  bezeichnet  wird.     Es  ist  nicht  abzusehen,  weshalb 

die    von   fl  Ui   und  d  Oi    herrührenden    Beiträge    herausfallen 

sollen*     Anders  ist  es  bei  der  nochmaligen  Vertauschung  von 

DÜferentiation  und  Integration;  biersoll  die  Relation  bestehen: 

f  Jo.(^  -  0  Udr  =  Jl^  [d,(/  -t)  U]  dr. 


Die  konstante  Grenz©  ajc  bietet  offenbar  kein  Hindemis*     Die 
Jmi3E4*  zwischen   der  zweiten  und  dritten  Lage   ist  durch  den 
fert  r®  gegeben,  welcher  durch    die   Gleichung  (73^),   d*  Ju 
durch: 


iW) 


€T  +  T=  2a 


192  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  6.  Juli  1907. 

als  Funktion  von  t  definiert  war.     Es  A'agt  sich  hier,  ob  der 
Wert: 

(14)  |^\.(<-T»)[f^,-r7i],=^ 
verschwindet,  wo: 

U,  =  g- Jsin  0de  r[a>  —  (CT  —  JJ)»]  RdR 

0  CT  —  a 

gesetzt  (woraus   durch  DiflFerenzieren   der   Ausdruck  (10)  ent- 
steht), während   U\  durch  (11)  gegeben  wird: 

U\  =  ^jla^  -  (CT  -  Ry]  RdRJsin  ßdO. 

CT  — a  0 

Nun  ist  filr  t  =  t®  nach  (13)  er  —  a  =  a  —  T;  ein  Blick 
auf  die  Figuren  3  und  4  lehrt  also,  daß  die  Integrations- 
gebiete für  die  Integrale  Ui  und  Ui  für  r  =  t®  zusammen- 
fallen, und  daß  somit  der  Ausdruck  (14)  gleich  Null  wird. 
Jetzt  kommen  aber  noch  die  aus  (10)  und  (12)  entstehenden 
Glieder  in  Betracht,  die  im  allgemeinen  nicht  verschwinden. 
Es  ist  also,  da  Analoges  für  die  Grenzen  zwischen  den  anderen 
Intervallen  gilt: 

00 

3-Jo.(^-r)drJJj|da:rfyd. 

0 

00 

(15)  °«  .« 

0 

+Jt),(f-T)(j£r;dT  +  -.., 

tO 

wenn  dU^   durch  (10),  dU'i   durch  (12)  gegeben   wird,    und 


P,  Lüiöemann:  Zur  Elektrön^ntheorie. 


193 


wenn  Tj  den  £nd[mtikt  der  dritten  Lage  bezeicbotit,  d*  li.  durch 
die  Gleichung: 

CT  — r=2a 

bestimmt  wird*  Naoti  Herrn  SomraerfGld  müüten  diese 
Integrale  über  SUj^  Jt/J,.,.  der  rechten  Seite  ver- 
schwinden, was  aber  nur  in  besonderen  Fällen  wird 
eintreten  können. 

Ein  wesentlicher  Unterschied  der  Sommerfeld  sehen  For- 
meln gegenüber  den  meinigen  liegt  ferner,  wie  schon  bemerkt 
wurde,  in  der  Wahl  der  oberen  Grenze,  die  bei  ihm  gleich  a>, 
bei  uns  gleich  i  bzw.  t  +  t^  gesetzt  wurde  [vgL  obige  Formeln 
(1)  und  (2),  in  denen  filr  das  Vektorpotential  unter  dem  Inte- 
gralzeichen der  Faktor  ~- hinzuzufügen  ist];  es  ist  klar, 

c 

dai  bei  DiÖerentiation  des  Potentials  nach  i  dies  einen  wesent* 
liehen  £Iuflul^  übt 


§  §.   Vertiusohung  von  Differentiation  und  Integration, 

Neben  der  Uifferentiation  nach  i  kommt  diejenige  nach 
f,  ff,  t  in  Betracht.  Die  Kräfte  werden  durch  die  Ditferential- 
quotienten  des  Potentials  tind  den  niumlicben  Koordinaten  be- 
reehnet:  es  kommt  also  auf  Integrale  der  Form: 


;;/ 


-^  dy  dxds 


ftn,  wo  das  räumliche  Integral  über  das  Volumen  ^u  erstrecken 
is^l  da  nun  z  und  ^  im  9>  nun  in  der  Verbindung  ^  +  f  vor- 
kommen, so  ist: 

und  es  kommt  also  darauf  an,  ob  die  Gleichung: 

fiehtiff  ist.  Diese  Frage  ist  durch  die  Betrachtung  des  vor- 
Wgihenden    Paragraphen  schon  mit  erledigt,   denn    bei   der 


196  Sitzung  der  math.-ph js.  Klasse  vom  6.  Juli  1907. 

Integration  derjenige  Wert  von  S  einzutragen,  der  auf  dei 
Begrenzung  statthat,  d.h.  eben  der  Wert  iS=0.*  Dieses 
ist  richtig  bei  einem  «einfachen  Integrale;  wenn  man  aber  ein 
Doppelintegral  (und  nur  mit  solchen  haben  wir  hier  zu  tun) 
nach  einem  in  den  Grenzen  vorkommenden  Parameter  diffe- 
rcMiziort,  so  kommt  im  Resultate  zwar  der  Wert  der  Funktion 
unter  dem  Integralzeichen  an  der  Begrenzung  in  Betracht; 
aber  os  ist  das  Doppelintegral  nur  auf  ein  einfaches  Integral 
reduziert;  und  unter  dem  Zeichen  ist  dabei  nicht  immer 
S  =  0  zu  nehmen.  Es  geht  dies  aus  den  Gleichungen  des 
vorhergehenden  Paragraphen  deutlich  hervor. 

Betrachten  wir  z.  B.  die  in  Figur  4  dargestellte  , dritte 
Lage*,  so  bildet  die  Kugel  B  =  ct  —  a  einen  Teil  der  Grenz- 
Hächo  des  HÄumintegrals ;  und  hier  verschwindet  in  der  Tat 
der  zugehörige,  in  (11)  gegebene  Wert  von  d  f/,,  indem 
|rt*— (rr-  EY]  und  somit  S  gleich  Null  wird.  Bei  der 
ersten  Lage  dagegen  handelt  es  sich  um  die  Grenzfläche 
Il=za  —  CT,  und  hier  ist  8  nicht  gleich  Null,  und  die  in 
(10)  unter  dem  Integralzeichen  stehende  Funktion  verschwindet 
nicht.  Ebenso  ist  es  bei  Überlichtgeschwindigkeit;  der  für 
die  .erste  Lage*  oben  (S.  189)  gegebene  Wert  von  dU^  ist 
an  der  Grenzfläche  R  =  er  +  a  gleich  Null;  aber  für  Figur  8 
kommt  auüerdem  die  Kugel  R^^a  ^  er  in  Betracht,  und  hier 
ist  (^  l\  von  Null  verschieden.  Auch  die  für  d  U^  und  d  U^ 
oben  gefundenen  Werte  (die  sich  auf  das  Vektorpotential  be- 
zogen^ sind  in  der  zugehörigen  Grenzfläche  (i?  =  ct  —  T)  von 
Null  verschieden,  während  der  auf  S.  191  für  die  dritte  Lage 
l^Fig.  14^  gegebene  Wert  von  iST  an  der  Grenzfläche  R=a  -f  er 
wiederum  gleich  Null  ist. 

§  7.  Ober  die  Berechnung  des  bestimmten  Integrafe  Q^ 

Was  die  Benx'hnung  dieses  be.<timmton  Int^rales  betriflFt 
so  erkenne  ich  an,  dali  das  Verfahivn  des  Herrn  Sommer- 
feld korrekt  und  mein  Einwurf  unl>envhtigt  war,  indem 
ich  nicht  beachtet  hati««   d^U   auch   die  Funktioa   unter  dem 


F,  Undeintmn:  Zur  FUektronenthearie. 


197 


IntegralÄeicheii  nocb  von  der  oberen  Grenze  a  abhängt  Zur 
pt*rsönliclien  Entschuldigung  kann  ich  nur  anführen^  daß  ich 
tjit'  gimze  Arbeit  über  Elektronen  unter  einem  gewissen  Drucke 
und  in  Eile  habe  machen  müssen,  um  meine  anderen  Arbeiten 
nicht  «IIäu  lange  zu  unterbrechen.  Ich  hielt  mich  aber  doch 
für  TeTpflichtet,  die  mündlich  mehrfach  ausgesprochenen  Be- 
denken gegen  die  bisherige  Behandlung  der  Elektronentheorie 
tu  veröifentlichen  und  glaube  auch,  dadurch  wesentlich  zur 
Klärung  der  betreffenden  Fragen  beigeti-agen  zn  haben. 

Der  Wert  des  fraglichen  Integrals  Q  spielt  übrigens  nur 
in  den  Untersuchungen  des  Herrn  Sommerfeld  eine  Rolle: 
bei  meiner  Beb antl hing  des  Problems  kommt  das  Integral  nicht 
der  betreffende  Irrtum  ist  also  hier  ?on  nebensächlicher 
Bedeutung. 

§  B.  Über  Sommerfelds  vereinfachte  Behandlung  der  Elektronen- 
bewegung in  den  Sitzungsberichten  der  Amsterdamer  Akademie. 

Ein  wesentlieber  Untt*rschied  der  Sommer f e  1  d 'sehen 
Fonneln  von  den  meinigen  beruht,  wie  mehrfach  hervorge- 
hoben, darin,  data  Herr  Sommerfeld  die  obere  Örenze  i  in  (1) 
durch  CO  ersetzt,  indem  er  sich  einen  Anfangs  wert  t^  einge- 
führt denkt  so  daß  t  —  f^  an  Stelle  von  t  tritt,  und  dann  t^ 
gltticb  —  OD  wählt,  oder  (was  auf  dasselbe  hinauskommt),  in- 
dem er  in  (2)  die  GroÜe  t^^  gleich  -(-  cd  setzt;  ich  hatte  hervor- 
geboben,  daß  dies  nicht  erlaubt  ist,  denn  der  Grenzproisel^ 
1^  ^^  X  darf  (nach  allgemeinen  mathematischen  Primsijiien) 
rrsi  gemacht  werden,  nachdem  alle  GrÖüen  (auch  die  Kräfte) 
flir  endliche  Werte  von  t^  berechnet  sind;  es  genügte  zur  Be- 
giUtidung  dessen  darauf  zu  verweisen,  daß  das  yektorielle 
l*i»tentiiil,  bei  Berechnung  der  Kraft,  nach  t  differenziert 
werden  muö,  dali  ako  der  Ausdruck  (vgL  S*  325  meiner  Ab- 
handlung): 


w 


l'^H  Hiizung  der  math.-phjk.  Klaue  vom  6.  Juli  1907. 

ZU  bilden  ixt,  der  offenbar  von  dem  bei  Sommerfeld  an  dessen 
Bielle  tretenden: 

0 

verNchi(*(Ien  ausfallen  muß.  Ich  hatte  femer  erwähnt,  da& 
aucJ)  in  der  später  von  Herrn  Sommerfeld  gegebenen  ,ver- 
eiiif;icht<5n  Kehaiidlung"  eine  Begründung  dafür  fehlt,  weshalb 
nach  der  Zeit  zwischen  den  Grenzen  0  und  oo  integriert  wird 
(S.  1529  meiner  Abhandlung).  Herr  Sommerfeld  gibt  jetzt 
(oben  H.  171)  zur  Begründung  an:  »man  habe  die  Grenzen 
pass(4id  zu  wählen,  um  zu  einem  einfachen  Ergebnis  und  zur 
Ableitung  übersichtlicher  physikalischer  Tatsachen  zu  gelangen* 
und  weiter  bemerkt  er:  »bei  meiner  Wahl  der  oberen  Grenze 
würde  dii^  physikalische  Bedeutung  des  Ergebnisses  verschleiert 
und  die  exj>lizierte  Berechnung  von  (p  unmöglich  gemacht*. 
Dafa  leiztor(>s  unrichtig  ist,  glaube  ich  hinreichend  gezeigt  zu 
liaben.  Die  Kinfachheit  der  Resultate  ist  gewiß  ein  erstrebens- 
wertes Ziel,  die  Richtigkeit  derselben  ist  aber  doch  wichtiger, 
und  diese  leidet  sehr  wesentlich  unter  der  Festsetzung  des 
Herrn  Sommerfeld.  Die  Grenzen  des  nach  der  Zeit  t 
zu  nehmenden  Integrals  sind  nicht  willkürlich  wähl- 
bar, sondern  der  beschränkenden  Bedingung  unter- 
worfen, data  das  Potential  9?  den  fundamentalen  par- 
tiellen Differentialgleichungen  zu  genügen  hat, 
nlimlich: 


(i:> 


r*  .1*  v^  =  0     außerhalb  des  Elektrons, 

^  —  {^-1*9=  c*t^     innerhalb  des  Elektrons: 
3r 


und    dieser    Forderung     genügt    die    Sommerfeld'sche 
Funktion  c    nicht. 

Wir  halnni  also  zu  untersuchen,  ob  die  Funktion: 

0>>  v.^=-T^vJä^^ 


F,  IJiidemannr  Zur  Elektro  neu  theorie. 


199 


aogegebenen  Gleichungen  genügt.  Dabei  ist  die  obere 
Grenze  od  durch  die  Konstante  Q  ei-setzt,  da  sich  die  Grenze  oc 
hei  der  Differentiation  nach  t  ebenso  verhält  wie  eine  Kon- 
atante.  Zu  dem  Zwecke  müssen  wir  zunäckst  den  Beweis  dafür 
kur^  rekapitulieren,  daß  obige,  in  (2)  gegebene  Funktion  ^ 
den  Bedingungen  (17)  genügt  (vgl,  §§  1,  2  und  3  meiner  Ab- 
handlung oder  die  entsprechenden  Untersuchungen  bei  Som- 
merfeld, Göttinger  Nachrichten,  1904). 

In  letzterem  bezog  sich  der  Ausdruck  J^  (jp  auf  ein  im 
Kaum  festes  Koordinatensystem  x\  y',  e*\  mittels  der  Gleichungen: 
t  t  i 

0  0  u 

in  denen  d,,  öj^,  t»,  die  Komponenten  der  Geschwindigkeit  sind, 
lirde  ein  im  Körper  festes  System  Jt,  p,  s  eingeführt*  Die 
reite  Differentialgleichung  (17)  ging  dadurch  in  die  folgende 

Über: 

in  ihr  bedeutet  5  ein  Summazeichen,  so  daß  2,  B,: 

¥x  ~di  "■  3i  dt  """  ^p  d /  ^  37  ~dl  * 

'Während  in  (17)  die  Größe  ^  eine  Funktion  von  x\  p\  z* 
und  t  war,  ist  jetzt  in  (18)  q  eine  Funktion  von  x^  y,  b\  und 
tiiich  der  Theorie  der  Fourier'schen  Integrale  haben  wir: 


(20) 


^  -^  =0 


für  r  <  ü, 

wenn  r  ^  V^  +  y*  +  **  <^^  Entfernung  vom  Mittelpunkt  des 
Elektrons  (Kugel  mit  Radius  a)  bezeichnet,  und  wenn: 

iliUM  P^g-^ JJJ  Q{H,X,^)^'^^^-dKdXdfi 


200  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  6.  Juli  1907. 

gesetzt  wird,  wobei  die  Integration  nach  x,  A,  fi  über  das  Innere 
des  Elektrons  auszudehnen  ist.  Sei  nun  (p*  eine  zu  bestim- 
mende Funktion  von  x^y^z  und  k^l^m,  und  es  sei: 

(21)  (p=  C  C  C  (p'  (kj,m) '  P '  dkdl  dm; 

—  00 

bezeichnen  wir  ferner  mit  D  <p  die  linke  Seite  der  Differential- 
gleichung (19),  so  ist: 
+» 
Bcp=  ^^^P'Dcp* 'dkdldm  =  c'Q 

(22) 

+  00 


=  c*  ^^^Pe'^^'dkdldm, 


Es  ist  folglich  (p  eine  Lösung  der  Gleichung  (19),   wenn 
die  Hilfsfunktion  (p'  der  Differentialgleichung: 

(23)  D(p'  =  c^e*S'" 

im  ganzen  Raum  genügt,  so  daß  wir  jetzt  von  der  Notwen- 
digkeit befreit  sind,  das  Innere  und  das  Äußere  des  Elektrons 
zu  unterscheiden.     Zur  Integration  von  (23)  wurde  sodann: 

(24)  (p'  =  e<^^'F{t) 

gesetzt,  wodurch  sich  für  F{t)  die  Differentialgleichung: 

(25)  ^_2»^5Ä».+  [c»s'-iSÄ^-(5Ät).)»]  JJ-^c» 

ergab.     Die  letztere  endlich  ward  durch  die  Funktion: 

i-to 

(26)  F^^  je'S'^  sin  csrdr 

0 

integriert,  in  der  ^^  eine  Integrationskonstante  bedeutet,  während 
und: 


F.  Lindemann:  Zur  Elektronentheorie.  201 

<  t  t 

(27)  f=Jt),(T)rfr,     ri^^>o,{7)dT,     f=Jt),(T)dr 

t-X  t-T  i-X 

gesetzt  ist.     Für  die  Elektronentheorie   wird    q   konstant   und 

3c 
zwar  =  j  -    3  gewählt;  führt  man  statt  x,  A,  fi  räumliche  Polar- 
koordinaten, o^&^\p  ein,  so  ergab  sich: 

a  2jt  .T 

P=    0-3--^  ^o^do  ^  dtp  rc-*'''<^°^sindd*^ 

(28)  ■    "  \°  "         " 

3f     sinas  —  as  cosin^s 

und  somit  nach  (21),  (24)  und  (26): 

iec    f  f  f  sinas— ascosinas  .,   „  ,      f   ,„.,   .  , 

^=8:TȊuJJ V^ dkdldm^  e^s^'sincsrdr, 

—  OB  0 

oder  wenn  man  statt  Ä,  /,  m  Polarkoordinaten  jR,  0,  !P  einführt: 

3c     fsinas— ascosinas  f  .    ^,x^r7.r/r     »     •  -o  . 
^=1  —      -  ^  lsm0rf0ldy^le-^'*^*'»»"<^sm6*srdT 

0  000 

(29)  t-t, 

—  ^^^  r  ^ 

~2^*aU]B'^'' 
0 

wenn  S  das  folgende  Integral  bezeichnet: 

OD 

,«^x          o        fsinai'  —  ascosinas     .     r^       .  , 

(30)         S  =   I ^ sm  Rs  •  sm  cst  •  rt6^ 

0 

dessen  Wert  oben  unter  (3),  (4)  und  (5)  augegeben  wurde. 

In  (29)  haben  wir  den  obigen  Ausdruck  (2)  des  Poten- 
tials 9?  gewonnen,  es  ist  nur  die  willkürliche  Konstante  ^^ 
durch  — t^  zu  ersetzen  (da  diese  Konstante  damals  eine  andere 
Bedeutung  hatte). 


202  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  6.  Jali  1907. 

Diese  Konstante  t^  ist  willkürlich;  sie  darf  aber 
nicht  unendlich  groß  gewählt  werden,  denn  für  t^ 
=  ±  00  hat  das  in  (26)  aufgestellte  Integral  F  keinen 
Sinn  mehr.  Wenn  man  also  mit  Herrn  Sommerfeld  trotz- 
dem ^Q  =  —  00  setzt,  so  hat  man  keine  Sicherheit  darüber,  ob 
die  Funktion  (p  noch  den  partiellen  Gleichungen  (17)  genügt; 
es  ist  im  Gegenteil  zu  erwarten,  daß  dies  nicht  mehr  der  Fall 
ist.  Diese  Erwägung  veranlagte  mich  hauptsächlich  zur  Nach- 
prüfung der  Sommerfeldschen  Resultate;  sie  erschien  mir 
80  einleuchtend,  daß  ich  bei  der  Divergenz  unserer  Resultate 
eine  direkte  Prüfung,  ob  für  ^^  = — oo  die  Differential- 
gleichungen (17)  noch  erfüllt  sind,  für  nicht  notwendig  hielt. 
Eine  solche  Prüfung  soll  aber  jetzt  vorgenommen  werden. 

Die   Annahme  tQ^=  —  oo   hat   für   das   Differenzieren   die 

nämliche  Wirkung,   als  wenn  man  die  obere  Grenze  t  —  t^   in 

(29)   durch   eine   Konstante  Ü   ersetzt;    wir   beschäftigen    uns 

also  mit  der  in  (18)  definierten  Funktion  (pQ.     Die  Funktion  F 

ist  dann  durch: 

u 

(31)  Fij=  ^   re»«**sinc-5rrfT 

(• 

zu  ersetzen.     Wir  trennen  von  ihr  einen  Faktor  ab,  indem  wir: 

setaen,  wo: 

t 

{{VM         ^<^  y^f)  =  I  j,^  ^j)  jj       ^m^j  entsprechend  filr  \>,  und  0,) 

g%^st*t/t  wer\K\  unter  «!>  eine  willkürliche  Konstante  verstanden: 
dann  ist  in   Kücksicht  auf  i^:Uh 

wenn: 


F.  Lindemann:  Zur  Elektronentheorie.  203 

(34)  ^  (^  -  t)  =  iSm^  (t  -  t) 

gesetzt  wird.     Wir  stellen  zunächst  für  Q  eine  lineare  Diffe- 
rentialgleichung auf.     Es  ist: 

a 

dO  C  ' 

-^  =  —  xp*{t  —  T)  U-vC'-OsincsTdr 

0 
Q 

~d sm  C5T  ar 

\) 

a 

=  —  e- v'('-ö)sinc5ß  +  CS  jc"^'^'"~')cosincs  rdr, 

0 

ü 
(PO                                                             pde-vC-r) 
-~  =\p*{t— Q)  sin  CS Q-e-y^*-^-'^  —  CS  \  -    -^ cosincsidr 

0 

=  W  (ß—  ii)sin  CS  Q~  CS cosin  es ß]  c - v'«-ö)  _ c« s*  Ö; 
wir  haben  also: 

(34»)  -^-,|  +c^s^Q=lyj'(t  -  ß)sincsß  -  es  cosincsÖjc-vC-ß). 

Gehen  wir  nun  zu  Fn  zurück,  indem  wir  gemäß  (33)  und  (34): 

c 
setzen,  so  finden  wir  für  Fu  die  Differentialgleichung: 

/PF  dF 

//  "  2iSÄt),(0.'*^^'  +  lc's'-iSkt>'.(t)-(Skr>.it)y]  Fa 

(35) 

r   ,..         .     sincsß         ,  ^1    ,,.^ 

=   V^'(f  —  a})c r  cosincsß  c***'o, 

wobei  fo  aus  (27)  entsteht,  indem  man  t  durch  Q  ersetzt;   es 

ist  also: 

t 

(36)         iShi^  =  V^(0  -  V  (^—  ß)  =  iSkjt)^  (T)dT. 


204  Sitzang  der  maih.-phjs.  Klasse  vom  6.  Juli  1907. 

Wie  vorauHZUHehen  war,  ist  also  die  Konstante  ro  fQr  das 
llesultat  ohne  Bedeutung.  Die  linke  Seite  der  Differential- 
gleichung (85)  ist  mit  der  linken  Seite  von  (25)  in  Überein- 
Htimmung;  die  rechten  Seiten  sind  aber  vollständig  verschieden. 
Um  nun  zu  einer  partiellen  Gleichung  für  cpQ  zu  gelangen, 
müssen  wir  die  in  obigen  Gleichungen  (19)  bis  (25)  vorge- 
nommenen Operationen  rückwärts  verfolgen. 
Wir  setzen  demnach,  analog  zu  (24): 

dann  genügt  q^i  derjenigen  Differentialgleichung,  welche  aus 
(2J^)  entsteht,  wenn  man  auf  der  rechten  Seite  die  Konstante  c^, 
d.  h.  die  rechte  Seite  von  (25),  durch  den  auf  der  rechten 
Soite  von  (35)  stehenden  Ausdruck  ersetzt,  d.  h.  der  partiellen 
Gleichung: 

(,S7)    />7';,  =  |v^'(^-ii)6'^^^— c2cosincsßle»«*^'+^^o), 

in  der  das  Zeichen  D  dieselbe  Bedeutung  hat  wie  in  (22). 
Hieraus  entsteht,  analog  wie  bei  (22),  die  Differentialgleichung 
Rlr  7'ij,  wenn  man  beiderseits  mit  P  multipliziert  und  nach 
A%  /,  m  zwischen  den  Grenzen  —  oc  und  +  oo  integriert.  Dabei 
ist  /*  durch  (20**)  hezw.  für  konstante  Werte  von  q  (die  jetzt 
allein  in  Betracht  kommen),  durch  (28)  definiert.  Mit  Rück- 
sicht auf  den  aus  (;U>)  zu  entnehmenden  Wert  von  iSk^^ 
lülat  sich  die  rechte  Seite  von  (87)  in  folgender  Form  schreiben: 

'■  I sin  <•..<.) g^,,(e'"»'+^»')  -  .■"(x  +  j„.3«°^«ir'j. 

Infolgedessen  erhaltt»n  wir  als  partielle  Differentialgleichung 
für  die  Funktion  qni 

(38)  />Vü  =  clJ,  -  J,\, 

wo  mit  t/j  und  ./^  die  folffi^nden  Inteirnde  bezeichnet  sind: 

J  J  J  S  ^  Li 


F.  Lindemann:  Zur  Elektronentheorie.  205 

—  OD 

oder,  wenn  die  konstante  Dichte^  eingeltihrt  wird,  nach  (28): 

+  00 

T  ^«     ff  fsinas— ascosinas  .        ^d  ,  vow.xt  n  jt  J7  j 

—  00 

+• 

T           3e     fffsinas—a^cosinas  .«.,...  9sincsfi  ,,  ,,  , 
'^«  =  r«»ir.J  J  J -—    V e^^''<'^^^--^^--dkdldM. 

—  30 

Statt  A;,  Z,  m  führen  wir  räumliche  Polarkoordinaten  6*,  ß^  W  in 
der  gleichen  Weise  ein,  wie  auf  S.  244  meiner  Abhandlung; 
es  ist  dort  nur  t  durch  den  konstanten  Wert  ii  und  demnach 
R  durch  Rq  zu  ersetzen,  wo: 

K  =  {x  +  ^,y  +  (^  +  ,;J»  +  (^  +  f,)«, 

wenn  f^»  ^o»  ^o  dieselbe  Bedeutung  haben  wie  in  (36).  Dann 
wird: 

Sk(x  -{  Sq)  =  Rq'S'  cosin  0; 
also: 

_  3«    ajRrt  fsina^-ascosinaÄ  .       ^   ,     3    f  ,„.,„.:.,«  .    ,:,  ,^ 

*      4jr*a'afiJ  s*  a/f^J 

0  Ü 

OD 

3e      aJJß  fsina5-a5cosinaÄ 


öe       aito  fsina5-a5cosmaÄ,  .    ,,       ,.         •    t>   v  •       ^^^ 
2^iqsjg  9  fl  J    ^j- (smii^s  RfficosiuR^)sincsÜd^ 


0 


-,  3f     fsmas— a5cosmasasmc5i/  ,    f  .«..«.!«<«,  .    ^^^^ 

0  0 

Oft 

3€<?      fsinas — a^cosina^      .        ^     .    ^^        , 
=  v'-iT"^  I T cosm  CS  U  •  sm  jB^  5  •  as. 


Das  in  J,  auftretende    bestimmte  Integral   ist  von  Herrn 
Sommerfeld  ausgewertet;^)  es  ist  dasjenige,  auf  welches  sich 

M  Göttinger  Nachrichten.  1904,  S.  120. 


206  Sitzann^  der  math.-phys.  Klasse  vom  6.  Juli  1907. 

seine   obigen  Bemerkungen  (S.  167  ff.)  beziehen.     Wir   haben 
darnach: 

1.  Aus  den  Strecken  ü^cQ^Rq  kann  ein  Dreieck  gebildet 
werden,  dann  ist: 

2.  Aus   den  Strecken  a,  cß,  Rq  kann    kein   Dreieck    ge- 
bildet werden;  dann  ist: 

(39*)  J,  =  0. 

Das  Integral  J^  können  wir  berechnen,  indem  wir  es  auf 
die  beiden  Integrale: 

00 

^.      ..        f  sinas-sin/5s  , 


,,         ,.        C  cosin  a  5  •  sin  ^  s  , 
i^i  l«»  ß)  =J —  d^ 


0 

zurückt'Uhren:  es  ist  dann: 

—  (I  P,  (a,  Ä„  -f  fÖ)  -  «  P,  (a,  A;  -  c  ä)\. 
Nun  ist  Wkanntitch: 

I*     ..  sin  « .<  sin  />\>*  .  ^^-f  ß       .         '«  -r  /*' 

.•    '  ^^  «/.<=      ,      arctang     ^^ 

•J  ^      p      ^  4     ^  /r*  +  («  +  P>' 

folglich,  indem  /'  =  0  gesetzt  wird: 


F.  Lindemann:  Zur  Elektronentheorie.  207 

und  bekanntlich: 

-Pi(a,/»)  =  0     fiir     a>ß 

=i  ■  °<^- 

Hiemach  erhalten  wir: 

^«  =  I^i^R,  1 2  ^  +  2  ^  -  "2  ^  -  2  ^J 
=  0    für    a<jR^-~  cÜKR^-^  cQ, 

=  16|^(Äo-cß)    für    Q<:R^-cQ<a<R,  +  cQ, 

=  ---%     für    0<Äo  — cß</?.  +  (?ß<a, 

-.  See      r^i  jr  jr        ,    ji    "1 

•^•  =  4;i5HVB;l2'*-2°-2«+2«J 

=  0    für    a<cQ  —  Il^<cQ-\-It^, 

=  g|^(«.-eö)    (Or    0<eö-ü.<o<»ü+ü„ 

=  -ß^.     für    0<cfi- iZo<cß+ iZ.<a. 

Wir  fassen  diese  Resultate  in  folgender  Weise  zusammen ; 
es  ist: 


208  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  6.  Juli  1907. 


0 


Sjia^        R, 


0 


wenn  sich  aus  den  Strecken  a,  JR^,  c  i2  ein  Dreieck  bilden  lüüt, 

wenn  ein  solches  Dreieck   unmöglich  ist,    weil  a  zu  groß   ist, 

(40»>)  J,  =  0, 

wenn  das  Dreieck  unmöglich  ist,  weil  a  zu  klein  ist. 

Die  durch  Gleichung  (18)  definierte  Funktion  q^Q 
genUgt  der  durch  Gleichung  (38)  dargestellten  Diffe- 
rentialgleichung, wenn  die  auf  der  rechten  Seite  auf- 
tretenden Ausdrücke  e/,  und  J^  so  gewählt  werden, 
wie  es  die  Gleichungen  (39),  ...  (40**)  vorschreiben. 

Die  vorstehende  Betrachtung  wird  ungültig,  wenn  die 
Funktion  v*('  —  ^^)  von/  unabhängig  wird,  welche  Werte 
auch  k\  L  ni  haben  mögen;  dies  tritt  nach  (33)  und  (34)  ein, 
wenn  ü^  =  0,  o,  =  0,  0=  =  0,  d.  h.  im  Falle  der  dauernden 
Ruhe  des  Elektrons.  Dann  nämlich  ist  auch  die  durch  (32) 
eingeführte  Funktion  Q  von  /  unabhängig,  und  an  Stelle  von 
\34*^  erhalten  wir  die  Gleichung: 

rtu^  der  sich  eine  Gleichung  von  der  Form  ^35)  nicht  ableiten 
läLi,  Dieser  einfachste  Fall,  mit  dem  wir  uns  schon 
oben  in  ^S  2  beschäftigt  haben,  ist  also  hier  auszu- 
so  hlieiien. 

Herr  Sommerfeld  nimmt  nun  in  IS  ttlr  Ü  Aen  Wert  x 
ixlor  eiuf  sehr  grv^ue  endliche  Zahl.  Bei  Interlichtgtesch win- 
digkeit k^un  man  jedenfalls  1?  so  grx^ü  nehmen,  dafi  cQ>Ii^ 
ist  und  zugleich  a<ciJ — Ryi  denn  /•,  Insieut^l  die  Ent- 
fernung de*  Funklet  x\  p\  £*  d.  h.  Jos  l^;nkt<'^  in  dem  sich 
der  Funkt  r,  t.  •   sur  Zeit  /  beiludet,  von  der  Sli^U«^«  wo  sich 


F.  Lindeniann:  Zur  Elektmaentheorie 


209 


der  Mittelpunkt  des  Elektrons  zur  Zeit  t  —  Q  befand.  Dann 
gelten  aber  die  Gleichungen  (39*)  und  (40^),  unrl  zwar  für 
all*^  Punkte  X,  y,  z  des  Kaumes,  unabhängig  davon,  oh  der 
l'tiukt  x^  ij,  z  im  Iniierti  oder  aufkrhalb  des  Elektrons  liegt, 
Bei  ÜherHchtgeschwindigkeit  kann  i^  so  groü  gewählt  werden» 
daß  B,>{?D  und  a<Rt  —  cÜ  wird,  und  es  gelten  wieder 
die  Gleichungen  (39*)  und  (40^);  ausgenommen  sind  hier 
solche  Bewegungen  mit  Überlichtgeschwindigkeit ^  bei  denen 
das  Elektron  ein  gewisses  endliches  Raumgebiet  nicht  verlälät 
Für  hinrelcheiul  grotiu  Werte  von  Ü  genügt  hier- 
nach die  Funktion  7^  im  allgemeinen  der  Differential- 
gleichung: 

und  somit  der  ersten  Differentialgleichung  (17)  im 
iTiuiifien  Räume,  während  die  zweite  Gleichung  (17) 
nicht  erfüllt  ist.     Das  gilt  dann  auch  für  Xi==oo, 

Alle  Entwicklungen  des  Herrn  Sommerfeld  beziehen 
sich  also,  ?on  Gleichung  (16)  seiner  ersten  Abhandlung  ab, 
Äuf  eine  Loming  <f^  (und  ebenso  bei  St^,  51^,  3U)*  die  nur  aul^er- 
halb  des  Elektrons  brauchbar  ist;  die  vom  Elektron  auf 
sein  eigenes  Innere  während  der  Bewegung  ausge- 
Qbten  Kräfte  können  daher  durch  die  Somnierfeld*- 
schen  Formeln  nicht  richtig  dargestellt  werden* 

Auf  8.  330  meiner  Abhandlung  erwähnte  ich»  daü  üerr 
Hc»rglotz  die  Sommerfeld' sehen  Formeln  auf  anderem  Wege 
iihgeleitet  habe,  daü  aber  bei  ihm  ein  Beweis  dafür  fehle, 
flau  seine  Lösung  auch  der  zweiten  Gleichung  (17)  genüge, 
Nacli  Torstehenden  Ausführungen  ist  derselbe  Einwurf  gegen 
|ie  Sommerfeld*schen  Entwicklungen  zu  erheben,  und  es  ist 
pr  nicht  auffällig,  wenn  beide  Forscher  zu  den  gleichen 
taten  gelangt  sind. 


211 


Flächen  eines  dreifach  uneüdlichen  linearen  Systems» 

welche  mit  einer  gegebenen  algebraischen  Ranm- 

knrve  eine  Berührung  3.  Ordnung  eingehen, 

Yoti  Dr.  FranK  Thalrelt«r. 

Die  LCisung  *las  vorliegemlen  Problems  verlangt  die  Eli- 
mitiatioti  der  Pammeter  h^  X  und  ßi,  der  liomogenea  Variabein 
jTj,  z^,  Xg,  a?|,  der  Dilterßnfciale  dx^^  dx^,  dXf^,  äx^^  der  Diiieren- 
tiale  ^i^weiter  und  dritter  Ordnung  d^x^,  d^x^,  ^^^r  ^^^^4  ^^^ 
d*Xj,  d^x^,  ti*3Pj,  </*^4  aus  folgenden  Gleichongen: 

q>  +  x%ff  +  Ix  +  fiüi  =  0 
dip  +  xdiff  +  Xd^  -{-  fxdüy  =0 
d*^  +  xd^yf  +  AfPjf  +  /i<f*£i>  =  0 
d*ip  +  H^if  +  Id^x  +  Z**'^«^  =  0 
/  =  0,  df^O,  d*f  =  ü,  d'f=0 
ff^O,   dg  ^  Q,  d^g  =-  0,    d^g  =  0. 

Mit  qi,  v%  X^  ^'*  Bollen  gan^a  homogene  Funktionen  ?on 
derselben  Ordnung  s  bezeichnet  werden,  mit  f  und  g  zwei 
ganze  homogene  Funktionen  n^^  bzw.  m^^^  Ordnung. 

Ks  soll  hier  dieselbe  Methode  angewandt  werden,  die 
Herr  Professor  Lindemann  in  der  Arbeit  ,Sur  les  courbes 
d*uii  sjsteme  Unfaire  trois  fbis  infini  qui  touchent  une  courbe 
ilg^brique  doiin^e  par  un  contact  du  troisieme  ordre *.^)  ge- 

t)  Of*  BoUttiu  dii^  la  Bad4te  MatbiJma^que  de  Fmnoe,  Tarne  dixi^me, 


Htt;«  ftllMiifab.  d.  iiiAth.*i»hriL  Kl. 


16 


mäkm 


212  Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  6.  Juli  1906. 

geben  hat.  An  Stelle  der  Kurven  des  dreifach  unendlich 
linearen  Systems  treten  hier  Flächen,  während  die  gegebene 
Kurve,  mit  der  eine  Berührung  3.  Ordnung  erreicht  werden 
soll,  mit  einer  algebraischen  Raumkurve  vertauscht  wird. 

In  der  Ebene  wurden  zu  diesem  Zwecke  die  Punkte  be- 
stimmt, in  denen  die  Berührung  stattfinden  soll,  und  diese 
wurden  als  Koinzidenzpunkte  einer  gewissen  Korrespondenz  ge- 
funden. Ebenso  kann  auch  im  Räume  die  Korrespondenz  an- 
gegeben werden,  vermöge  deren  jedem  Punkt  x  die  ihn  ihm 
die  Raumkurve  berührende  Fläche  eines  Büschels  oder  Netzes 
entspricht.  Die  benützten  Sätze  über  Korrespondenz  in  der 
Ebene  können  ohne  weiteres  auf  den  Raum  übertragen  werden, 
wie  dies  Herr  Brill  in  der  Arbeit  „Zur  Theorie  der  Elimination 
und  der  algebraischen  Kurven"  *)  gezeigt  hat. 

Nimmt  man  Ebenen  statt  der  Flächen  des  dreifach  un- 
endlich linearen  Systems,  welche  mit  der  Raumkurve  eine 
Berührung  3.  Ordnung  haben  sollen,  so  kommt  man  auf  das 
Problem  von  Clebsch  „Über  die  Wendungsberührebenen  der. 
Raumkurven ",*)  so  daß  die  hier  behandelte  Aufgabe  die  allge- 
meinere ist,  der  sich  als  Spezialfall  die  von  Clebsch  unter- 
ordnet. 

Wie  in  der  zitierten  Arbeit  des  Herrn  Professors  Linde- 
mann soll  zuerst  eine  Berührung  von  der  1.  Ordnung  unter- 
sucht werden. 

§  I.   Berührung  I.  Ordnung. 

Die  algebraische  Raumkurve  soll,  um  symbolisch  rechnen 
zu  können,  als  Schnitt  zweier  algebraischer  Flächen  dargestellt 
werden : 

/•  =  0     oder    /"*•  {x^,  x^,  a?,,  a; J  =  0 
und 

^  =  0     oder     (^  (a:,,  a;,,  x^,  x^  =  0. 

Femer  sollen  die  Definitionen  gelten: 

^)  Mathematische  Annalen,  Band  4,  pag.  522. 
«)  Grelles  Journal,  Band  63. 


F.  Thalreiter:  Flächen  eines  dreifach  linearen  Systems.        213 


-.13/"  ,  l    99 

n  dXi  m  oXi 

Es  mttssen  zuerst  die  Flächen  eines  Büschels: 

9>o  {x)  +  X(p,{x)  =  0  (1) 

bestimmt  werden,  welche  die  Raumkurve  berühren.  Zu  diesem 
Zwecke  kann  man  die  Berührungspunkte  der  verlangten  Flächen 
auf  der  Raumkurve  suchen.  Diese  Punkte  sind  durch  die 
Korrespondenz  gegeben: 


9o(!f)    <Pi(y) 


=  0. 


Setzt  man  in  dieser  Gleichung  yi  =  Xt  -\-  dXi,  so  wird: 


(2) 


=  0. 


9^0  (^)  9>i(^) 

Die  dXi  sind  bestimmt  durch  die  Gleichungen: 

g,dx^  +  g^dx^  +  9^  dx^  +  g^  dx^  =  0 
und  femer  durch  die  Idendität: 

Xj  dx^  +  x^dx^  +  X3 dx^  +  ><^dx^  =  0, 
wenn  zwischen  den  Xi  die  Relation  besteht: 

Aus  den  Gleichungen  (3)  und  (4)  erhalt  man: 

odx^  =  /;  (^3X4- 5^4  «s)— 5^1  (/i«4  — /i^s)  +  «1  if%9K—9Jd 

gdx^  =  /i  Kfi'i  —9%  ^i)—9i  K/i— /i^i)  +  ^1  (9jA—9Afi) 

Q  ä^A  =  /i  (ff9>^i  —  '^%9i)  -  f%  (ffi  >^8  — ^1 9f)  +  /s  (^1^2— ^2«i)- 

16» 


(3) 


(4) 


(4^) 


214 


Sitzung  der  math.-pbys.  ELlaese  vom  6.  Juli  1907. 


Diese  Werte  führen  wir  in  obiger  Determinante  ein  und 
finden: 


=  0. 


(5) 


also 


Setzen  wir  jetzt: 

f(^r)  =  al,      g(x)  =  b^, 

{q)^fgx)  =  n-ni'S'  {ßabx) ßl~^a^~^  i^;^~^ 

.so  geht  Gleichung  (5)  über  in: 

[(aa6«)^x  — 0^aftx)aJa;;-'6«-'a'-»/?«-»  =0. 

Hier  kann  nun  der  Faktor  x,==x,  a:,  +  «2^2 +  ^»^8  +  ^4^4 
leicht   abgespalten  werden    durch  Anwendung   der  Relation:^) 

ßx(aabx)  —  Xg.{aahß)-\-hx{aaxß)  —  a^{ah x ß)  -\-  aJiahx ß)=^Q. 

Und  da  a«  =  0,  ij»  =  0,  x^  =  1,  so  wird  die  Gl.  (5): 

(abaß)a''-^  b""-^  a'-^  ß'-^  =  0. 

Die  gesuchten  Berührungspunkte  sind  also  die 
Schnittpunkte  der  durch  /*=  0  und  g  =  0  dargestellten 
Raumkurve  mit  der  Jacobischen  Fläche  bezüglich  der 
Flächen  des  Systems: 

/  =  0,     5^=0,     9^0  =  0,     (p,  =  0. 


*)  Diese  Formel  kann  leicht  aus  der  entsprechenden  für  temäre 
Formen  gewonnen  werden. 


F.  Thalreiter^  Fl&chen  eine»  dreifach  linearen  Systemi.        215 


Gegeben  ist  ein  zvrei 


§  2.  Berührung  2.  Ordnung. 

unendlichem  iineares 


Syste 


m: 


wo 


und 


(1) 


l  3^ 


1  dip 


Die  ßleichung  der  Fläche  von  der  Ordnung  s,  welche 
obigem  System  angehört  und  die  Kurve  f  =  (J  und  (/  =^0  in 
eiueiu  Punkt  x  berührt^    ist,    wenn  y   der  variable  Punkt   kti 


(3) 


Wobei  folgende  Definitionen  eingeführt  werden  sollen: 

a;  =  i*  =  6;  ^  0 
nod 

fi  S  9 

Die«e  Qleictiung  (3)  kann  man  auch  in  der  Form  schreiben: 


=  0.      (4) 


Mau  hat  ferner  noch  die  Relationen: 

X(x)  =  «,  Zi  +  «,Jlt,  +  *sZs  +  *«  Xt 

fij:)  =  «,  /;  +  *,/;  +  *,/;  +  ««/;  =  o 

flfar)  =*,?,  +  x,g,  -i  J:,gt  +  x^g^  =  0. 


Ti») 

v  (y) 

xiy) 

0 

0 

^p^ix) 

Vi  (a:) 

Xii^) 

AW 

?,(^) 

9Pt(«) 

'/',(•») 

Xfi-e) 

/U^) 

i/,(^=> 

*»,(*) 

fjx) 

X,(x} 

/.(x) 

«/,(*) 

T'iC*) 

y\{^) 

Z4O*) 

/i(«) 

i'«(«)' 

210  Bitoang  der  maik-phyt.  Klasse  Tom  6.  Juli  1907. 

Setzt  man  nun: 

80   gehen    die  Glieder   der  1.  Horizontalreihe  obiger  Determi- 
nante Uhor  in: 

(»-l)ai-»«J.,     {s-l)ß--^ßl,     (s-l)yi-VL. 
(n-l)a:-2a3,,    (m- l)a,"-*o;»,. 

Wir  I)urechnen  zuerst  den  Ausdruck  ö^a^«' 
^,«  (ij^  =  {afgxf  =  (naax)  (ahli x)al  - '  6;j-^  a^"— *  6;^^" " .  (5) 

Und  es  ist: 
1.  a«(fift6'x)«x«(aft6'tt)  —  hx(ahxa)-\-  bg(ab'xa)  —  ax(bb'xä). 
11.  (u(a aa'x)  =  xj^aaah)  —  a'x{a ax b)  +  ax{aa  xb)  —  ag(aaxb). 

Wendet  man  dies  auf  den  Ausdruck  (5)  an,  so  wird,  da 
die  Qliodor  mit  den  Faktoren  a'^  und  b'^  verschwinden: 

f^'if{2^=:^al~ibi'^a^-^  b';;-^  lbj,x,{a aa  b) {ab' X a) 
4-  ajeh,{na  xb){ab'xa)  —  agb,{aa  xb){ab' xa) 

—  ngXj(aaah){hh' xa)  —  agXx(aa  xb)(abb' ä)         (6) 
4-  xl(aaa'  b){ahb' a)  +  a^x^  {aa  xb)(abV a) 

—  n,as(fi(i'  >cb)(bb'xa)  +  a^(aa'xfi)(ft6'xa)]. 

Ourch  Anwendung  der  Formel  II  geht  das  1.  Olied  über  in: 
^^n-2  f^n  -0  n'jj»-  '  fc'jj» " ^  [7)^ (aad'ft) (an rt' x)  +  aitbM{<iaxb)(aaab) 
Othj(aaa'b)(aa  xb)  t  agb,(aaa'b){(aa'xb)^. 

In  diesom  Ausdruck  verschwindet  das  1.  und  2.  Glied 
idi>niisch  wogen  a^^^s^  0  und  h^  =  0,  das  3.  und  4.  Glied  heben 
sich  mit  »lern  ? weiten  und  dritt-en  des  Ausdruckes  (6)  auf  und 
da.^  4.  Glitnl  von  (6)  geht  durch  Vort^juschung  von  n'  und  h' 
in  dA,<  •^.  Glied  über.     Also  wird: 


F.  Th*lteiter:  Flftoh«n  einei  drei&cb  lineMwn  Systems.       217 


Q3al^=  a^-H^-'-a';"-^  b-^-*  {»tHaaa'b){abb' a) 
+  aJ(oo'xi)(&fc'*a)  — 2a,>i,(ao'x&)(a66'a) 
—  a^a^ina'3tb){bb'xa)  -\-  a^x^(aa'Kb){abb'a)\. 


(7) 


Diese  Relation  kann  nodi  weiter  vereiulacht  werUeii; 
durch  Vertauschiing  voa  a  und  b  und  indem  man  die  halbe 
SuQjme  des  alten  und  neuen  Ausdruckes  bildet,  geht  das  letzte 
Glied  über  in: 

^  lal'^ b^-^ a^-^ b^ -^ M^{abb' a)  la^ina' xb)  --b^{aa'Ha)] 

—  I  n^  '  a  6*—  2  ci^»  - 1 1^*  -  J  si^ (^rt  i 6'  a)  [a^  {a a*  x b)  —  k^ (n aa*b)} ; 

Ebenso  erzielt  man  durch  Vertauachung  vou  a  und  />: 

=  ia2-^i^-^a^-^h;''^{bb*xa)l{a^iaa*xb)  —  x^iaaa'b}l 
Der  Ausdruck  (7)  erhalt  jetzt  die  Form: 

+  ^  al(aa* xb){bb' Ha)  +  a^H^(aa' xh){abb* a)l 


(8) 


Für  die  4.  und  5.  Kolonne  der  Detenuinant©  (4)  pag.  (5) 
tätät  sich  der  Ausdruck  (8)  nocli   mehr  umformen.     Setzt  man 
erst  n  =^  c^  dann  kommt: 

(n  —  1 )  a;~H;  -  •  a'/- 1  bj^ "  1  c;  - 1  Äj^  (aa'  «i)  (tJifc*  a) 

--  (ca*xb)a^  --  {öa'«^)ij 
1 1«  —  I)a2~^b2^'€^ -^ «;* -  ^  6,* - ^  x; {cö «'  b) (c b b* a\ 

Und  weil  noch  die  Gleichungen  gelten: 
/:=  0     und  df^Ü, 


218  Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  6.  Juli  1907. 

so  wird  schließlich: 

Q^ cl^c^-^  =  ^a^-^b^-'^ cl'^ aj^-^ bj^-^xlicaa' b)(cbb' a)  (9) 

Setzt  man  aber  in  (8): 

a  =  c', 
so  verschwindet  das  3.  Glied  identisch  und  es  bleibt: 
q'oZ  c,»-2=|a--26--2a2-'t,"-'c^-«x|(c'aa'ft)(c'66'a).  (10) 

Multipliziert  man  die  vier  letzten  Reihen  der  Deter- 
minante (4)  mit: 

{s-l)(abb')Aaa'xb)a--^b2-'aJ-Hlr-'>c,, 
(s  —  l){abb\(aa'  xb)a^-H2--  a^^-^b'J'-^x^, 
(s  —  l)(abb\(aa'  xb)al-^  b^-"-  a;'-n-J'-^>c^, 

und  zieht  diese  Produkte   von   den  Gliedern  der  1.  Reihe  ab, 
so  werden  diese: 

j(s— l)(aao'6)(a66'a)cJ-26»-2o;"— '6;"-'a'-2x2, 
l(s  —  l}(yaa'b)(ybb'a)a»-H2-^a,;'-^b'J'-^yl--xl, 

K  ^  '^  '       St  9  K  tB  X  X' 

4(m-l)(c'aa'6)(c'&&'a)a»'-2jn-2^'m-ij'm-i^'m-2,^2 

»V  /\  /\  /      X  X  X  X  X  X 

Durch  diese  Operationen  ist  der  Faktor  h\  vollständig 
abgespalten,  und  die  7ii  kommen  in  den  Gliedern  der  Deter- 
minante nicht  mehr  vor. 

Die  Punkte  unserer  Raumkurve,  in  denen  eine 
Fläche  des  Büschels  (1)  pag.  (215)  eine  Berührung  von 
der  2.  Ordnung  mit  ihr  hat,  sind  ihre  Schnittpunkte 
mit  folgender  Fläche: 


F.  Thalreiter:   Flächen  eines  dreifach  linearen  Systems. 

n4-2«— 3 


219 


is-l)0  (s-l)^  {s-l)X 


<Pt 


Vi 
Vi 

Vi 

V4 


Xt 
Xt 
Xa 


3 
f. 


J  (m-l)G 

9i 
9t 
9» 
9i 


=0(11) 


wo: 


■a;- 

.^ß.^-2 

■'y'-' 


^=^(aaa'b)(abb'a)al-ni 

'F  =(ßaa'b)(ßbb'  a)a2-n2-'  a^''-'bj' 

X  =  (y'^a'b)(ybb'a)al-^bf^-^a;'-^b'J' 

J  =(caa'  b)(cbb'  a)a''-^b'*-^a''-'b''<'-^  <r-^ 

G  =  (c'aa'b)(c'bb'a)a''-^b'--a-r-^b'''-^c'''-K 

*  x\  ^      X  X  m  X  X 

In  dem  Ausdruck  (5)  pag.  216  wurden  zu  seiner  Berech- 
nung die  Symbole  a,  b  der  Form  aJJ  =  6^  .  .  .  in  den  Formeln  I 
und  II  zusammengefaßt.  Statt  dessen  kann  dies  auch  in  anderer 
Weise  noch  geschehen.     Hier  soll  z.  B.  von  den  Formeln: 

a'^{abb*x)  =  x^{abVa*)  —  b's[abxa*)  -f  b^{abxa*) 

—  a^ibb'xa*) 
bx{aaa* x)  =  Xx(aaa'b')  —  ax{aaxb')  -[-  a^ioLa* xb*) 

—  Qs  (a  a*  X  b') 

ausgegangen  werden. 

Führt  man  in  analoger  Weise  wie  vorher  die  Rechnung 
durch,  so  findet  man,  daß  die  Fläche  (11)  von  vorher  jetzt 
durch  folgende  Fläche  ersetzt  wird: 


=0(12) 


III 


IV 


(»-1)«, 

(s- 

-im  {s 

-1)X,  (« 

-l)jl 

w  +  25-3  ., 
3          ^' 

r, 

Vi 

Xi 

u 

9i 

9>t 

V, 

Xt 

ft 

9t 

Vt 

V. 

Xi 

ft 

9t 

Vt. 

Vi 

Xk 

f. 

9k 

220  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  6.  Juli  1907. 

wo  die  Definitionen  gelten: 

0i  =  (aaa'b*){abh'a')aJ^-^b'J^-^a2-^b2-^a'-^ 
"P^  =  {ßaa*b'){ßbVa')a^-H'^-^al-'bl-^  ß'~^ 
Xi  =  {yaa'b*){ybb*a*)a^-n'^--al-^bl-^y*-^ 

*\  /v  Ix  X  m  »  X 

(?i  =  (c'oo'6')(c'iJ'a')o''"~*ö''"~*a"-'6"-'c'"— *. 

/\  'X  X  XXS 

Setzt  man  nun  s=l,  so  geht  das  Flächenbüschel  (1) 
pag.  215  in  das  Ebenenbüschel  über: 

ax  +  A/8^  +  /i2'x  =  0, 

und  die  Gleichungen  (11)  und  (12)  werden: 

Durch  Umrechnung  kann  man  aber  zeigen,  daß: 
^'=ä     und     G  =  |'. 

Für  den  Fall  s=l  sind  also  die  beiden  Flächen  (11) 
und  (12)  identisch. 

§  3.  Berührung  3.  Ordnung. 

Nach  den  vorausgehenden  Resultaten  kann  man  leicht 
die  Gleichung  einer  Fläche  von  der  s*®"  Ordnung  aufstellen, 
welche  dem  3 fach  unendlich  linearen  System: 

(p  {x)  -\-  X  xp  {x)  -{-  k  x{x)  -[-  IX  (o  (x)  ==  Q 

angehört,  und  welche  die  Rauinkurve  f  =  0  und  ^  =  0  in 
einem  gegebenen  Punkt  x  von  der  2.  Ordnung  berührt.  Diese 
Gleichung  ist  bei  variabeln  y: 


F.  Thalreiter:   Fl&chen  eines  dreifach  linearen  S73tems.        221 


•     vis)        vis)        XiJf)        «»(y)  0 

(«-!)*  is-l)^  (s-l}Jf  t8-l)i2'*'^'^*"^ 


Vi 
9, 


Vi 

Vi 

V* 


Xt 

X» 
Xa 


tu. 


CO, 


3      " 

■    \wn      X 

A 

tfi 

/; 

j'i 

/. 

9t 

/* 

94. 

=  0   (I) 


Die  Größen  <ß,  ^,  X,  J  und  G  sind  durch  (11)  pag-  219 
definiert,  und  ea  sei  noch: 

Diese  Gleichung  (1)  wird  befriedig  tMrtf^x,  ij  =  £-\-  dx 
und  ^^=x  +  2dx  +  cPx,  wie  man  durch  Anwendung  der 
forausgehenden  Betrachtungen  sehen  kann. 

Nehmen  wir:  y^3c+t\d3C-\'Sd*xx  ^^^-^^  ^^  ^^^^  ^^" 
rÜhruQg  3,  Ordnung  2u  erzielen ^  so  transfonirieren  sieh  die 
Elemente  der  1.  Eeihe  in: 


3(«-l}«;-^B,.a^,  +  („-l)(»-2)«;-'a»,. 


(2) 


«1  -  »  ^    A 


Multifiliriert  man  (8)  pag.  217  mit  «•-*  und  diflerenziert, 
so  kommt; 

^  (II — 2)a;-»  ft;-«  a;«-!  ft^**-»  a*-«  «J(«  ä  a'  i)(a  fc  b'  ü  ]  n^ 
+  (m  -  l)ö;-=2fe^^ö^'— ^i;;"-ia^»i«^(aaa'6)(a  t  t'ajfi^j, 
-f  1(5  -  2)0«  "^6;-%^«-^  j;-"-»  ai-«xj(aaa'i»)(aftft'«)ö^^ 

+  (*n-  l)a^-»i;f-2af -sfjj«  ia^{aa*xh){hh*Ha)a^^ 
^-1  •g*ö^-*6^-%;«-'6;'«-ia^'^(oa'»Ä)(Äfc'Ka)a^^ 


222  Sitzung  der  math.-pbjs.  Klasse  vom  6.  Juli  1907. 

+  2(n-2)a;-»6;-2a;"-i6;"->aJ-»x^(aa'x6)(a66'a)a^^ 
+  2(w~l)a;-26~-2a;"-26;'''-ia'-»x^(aa'x6)(a66'a)a^^ 
+  {s—)al-H^-^a;^-^b';^-'a'-^x^{aa'xb){abb'a)a^^. 

Es  ist  weiter: 

=  l(acc'd)?(^  —  {acxa)c^'j-{ac'xd)c^  —  (cc'xa)aj(^-^c^-^ 
wobei  aber  immer  gilt: 

cj  =  0     und     c'j^  =  0. 
Relation  (3)  geht  dann  über  in: 

=  {n-2)a''^-H^'^a^-^b';'-^a'-^xlc^-^c^-^(aaa'b){abV 
^m-l)a*;^-^b*^-^a;'-^b';'-^a'-^xlc';^-^c'^^^^ 

-|(5-2)a;-86;-2a;*''-^6;'«-X~^«l^r'^i""Haö^«'*)(ai^ft'«)(cc'xa^ 
-\^(n-2)ayn'^'-^a;^'^b'J^-^a*^a^^'Q{aa'xb)(bb'xa) 

+ 1 sa;-* 6^-2 ^^m-i  j^m-i Qf-i  ßj^^ .  g  (aa'xb) (bb'xa) 

+2(n-2)a;-«6;-2ct^m-i5^m-iaf-ip^^^-i^^m-i(öta'x6)(a66'a)(acc'x) 

+2(m-l)a;;-26;-2^;«-26;'«-ia»-'x^c;-^c;'«"-H««'«*)(ö^*^'«)(«'^^'^) 

^  '        X  JC  X  X  X  X    X  X  ^  '^  '^  ' 

Dies  kann  man  anders  schreiben: 


-i- (s- 1)  *'v  x»+^  9)+5d9J  -  (w- l)xj  <P^'+2(»» -l)x,0vii 


T.  Tbulreiter:  Fläffaen  mnm  dreifach  lineareii  Syatema.       223 


I 


Hier  bes^eichueti  ^4  und  B  Grüfien,  wölche  die  Symbole  « 
nicht  mehr  enthalten  und  wir  setzen: 

0*  =  iaaa*h){abb'a)(acc'a)a^-Hl'^m^'-W^-*  ^l'^^'^c^'^^ ,       (5*) 

wo; 
R^  =  {ab'h).{Haa'b){x€c*a)a^-H*^-^a^'^b^^-^€^-^e^-^, 

*^'  =  (aaa'b)(abt'a)iH€&a')u^-V}^'^a;'"^b';'-^^^^ 
0rii^f^aa*b){abb*a){x€€'a*)ai-^b^-^a^'n'^-^^€^^^^ 

wo: 

Den  Ausdruck  für  4^iv  wollen  wir  noch  weiter  behandeln. 
Es  ist: 

4i^''^{abb'a)l{H€e*a)(aaa'JA  +  {hee/a)iaa'Ka)+{a^^ 

Das  L  Glied  wird  gleich  ^'\  das  dritte  verschwindet  durch 
Vertauschung  von  a*  mit  c*  Identisch,  und  es  bedeutet: 

2        'S         *  2  ac       jp        (B 

Dann  ist: 

=  *"  f  i {bcc*a)(aa'x a){cb*a b) o;^« ft^=^ a^-^^ //-^ t^-^c;-»-'  a*^i 

dm  das  3.  Glied  verschwindet  wegeu  b'J*  =  0  und  das  L  Glied 
wird: 

l(aa'Ha)(abh*€)ibe€'a) 

=  4  [{aa*xu](abb*c)  *  {ca'xaK«'>?/a)  -  Cl»ö'iefi)fßa?/V)](^><r<r'a)  =  0. 


224  Sitzung  der  math.-phys.  EClasse  vom  6.  Juli  1907. 

Definieren  wir  noch: 
^'f  =  {hc&a){aa*xa){cVah)al'^hl-^a^-^V;^-'^cl'-^c^^ 

=  2:Si(pi,  (5»>) 

so  geht  die  rechte  Seite  des  Ausdruckes  (5)  über  in: 

+  ':^^10^  (6) 

+  A<p-\- Bd<p  —  {m—  l)x«  *^  4  2(m—  1) x, <P^". 
Studiert  man  den  Ausdruck  a*~*a*_,  so  kommt: 
Q^al  a»""^  =  (aaa'x)(a&&'x)(acc'«)a'»""^&*~^a'*""V/'*-^c"~*c'r*~'a'~' 

*-        ax    X  ^  f  ^  '  ^  '     X  X  £  X  XX  X 

Durch  Anwendung  der  Relation: 

{acc'  x)a^(^^^  c^--^  ^[{acc'  a)x^-—  (cc*  xa)ajc^'^  c^'-'^  (8) 
erhält  man: 

Multipliziert  man  die  Gleichung  (5)  bzw.  (6)  mit  4(s  — 1) 
und  zieht  davon  die  mit  ^(s — l)(s  —  2)  multiplizierte  61.  (9) 
ab,  so  erhält  man  das  Resultat: 

3e''(*-l)a'-^a,^a^^H-  gHs-l)(s-  2)a'-»a», 

3{s-l)e^dea'^-'al^  +A"<p  +  B"d<p  +  -~ ^  '^~^  ^'xl 

—  f(«-l)(n  +  s— 3)«P";<^  +  |(s-l)(6n+2s— 13)*"'x^ 
H-i(s- l)(2s-l)<r>^x|-|(»»-l)(s- l)x2<pvi 

+  3(m  — 1)(«— l)x,0va 


F.  Tlmlreiter:  Flüchen  eitiüji  dreifaeh  linearen  Rystema.        225 

Auf  dieselbe  Weise  er/i<»lt  luftn  andere  Kelationeti,  die 
aus  (10)  hervorgeben,  indem  mnii  a  durch  ß^  y,  d  nacheitmnder 
ersetzt  Nimmt  man  nher  d  an  Stelle  vod  fi(<fj  ==  a^  =  ()\ 
so  gehen  die  Ausdrücke  (5*}  über  in: 

j**^(4aa%){dU*a){HC€'a)a^-H^-^^d'^-^a^-^b'^--'c^^^ 

Dalj  il'  identisch  verschwindet,  sieht  man  sofort  bei  Ver- 
iftusclitirig  der  Sjmbole  a  und  d.  Vertauscht  mau  in  A***  h 
tait  fl,  so  wird: 

A'"  =  ^{H€€'a)(dbb*a)l{Haa*b)d^ 

—  (Haa*d)blü^-^b^''^d^-^ay'^f^-^€^'^t!^-'^ 

^  ■■^    -r-i     jr  j*  j  uf  JE  4  J 

Letzteres  Glied  ist  aber  Null,  da: 

i[(Ha'h(r)(x€€'a)'-{xa*ad){x€C*b)  —  {xa'ba){xce*dy] 
=  ^(xa'bd){x€e'a)  =  0 

Ebeo^  behandelt  man  A^^^: 

j™  =  i(^cc'a')  (dbb'a)  {_{xaa*b)a^ 

--  (xaa'd)  AJa;  '^-b'^  "^  d**^-^a^-H*^-^  cj'^  C^*-* 


226  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  6.  Juli  1907. 

Das  3.  Glied  ist  gleich  zl^^  das  2.  verschwindet  bei  Ver- 
tauschung von  a*  und  c*  identisch,  und  geht  bei  Vertauschung 
von  a  mit  d  in  A^^^  über.     Also  wird: 

zjvii^l^^jvi, 
Gleichung  (10)  nimmt  dann  die  Form  an: 

3  e»  ("  - 1)  «r '  «.X  «.3«  +  e*  (« - 1)  (« -  2) «:  -» «L 

=  _  3(n-l)ß»dea;-«a^^-i(n-l)(n-2)J"«^       (12) 
—  i(m  — l)(n— l)xMvi. 

Ebenso  erhält  man  ähnliche  Relationen,  wenn  noch 
a  =  d'  ((?J"  =  a^""  =  0)  in  (10)  gesetzt  wird: 

G'=(rf'oo'6)(d'66'o)(J'cc'o)o;j-»&;-2o;"'-'6;;;"-i(^-'c;— '^--8  (13) 

G"  =  {d'aa%){d'Wa){x  c  c'a)o;-»6;j-2c^-i62"~'  c»-'  c;"-'d;— 2 
G'"  =  (xaa'6)(d'6ft'a)  (x  cc'a)  a;;-»6;-2o;— '  ft;"-'c»-i  c;«-'  «f;;--'  =  0 
G^  =  (/ycc'a)(oa'xd')(c6'o6)a»-»6"-2o'»-'6'»-'c»-'c''"-i  d'"-' =  0 

G'^^^  =  {xaa'b)(d'bb'a){x€c'a)a*^-^b^-'a^^-^-b'^-^(^-^c^^^ 

G"\  G^  und  6r^"  verschwinden  identisch,  wie  man  durch 
Vertauschung  der  Symbole  V  mit  d\  a*  mit  d*  und  fe'  mit  d' 
sieht,  so  daß  man  für  Gleichung  (10)  erreicht: 

3 e»  (m  - 1)  a;-2 a;^  a^^  +  e»  (»»  -  1)  {rn  -  2) «;-»  aj^     (14) 

=  — 3(m-l)e»rfßa;"-'>a^^  — |(»»-l)(n  +  m-3)x«G" 

_^(m-l)^(m-2)^,^,  -  |(m  -l)»x^Gvi. 

Nach  denselben  Methoden  wie  bei  §  2  kann  man  die 
Glieder 

-3(s-l)^»d^a-2a2^,  ...,-3(n-l)ö^döa-2a2^, 


—  3(m— l)^»doa;*"-2a; 


2 


F.  Thalreiter:   Flächen  eines  dreifach  linearen  Systems.        227 

vernachlässigen,  wie  auch  in  Hinsicht  auf  /  =  0,  df=0  und 
fy  =  0,  rf^  =  0  diejenigen,  welche  die  Faktoren  qy  und  d(p 
u.  s.  w.  enthalten. 

Damit  auch  die  Glieder,  welche  *'",  !P'",  X"'  und  fi'" 
enthalten,  wegfallen,  muß  man  von  dem  4.  und  5.  der  Aus- 
drücke (2)  abziehen: 

^(5  -  l)(6n  +  25  — 13)J'";^^  =  -l(s-  l)(6n  +  25- 13)^"x2^ 
1(5  -l)(6n-f  25  — 13)G'"«,,  =  0. 

Ebenso  entfernt  man  $^  .  .  .,  bzw.  $^^'  .  .  .  durch  Sub- 
traktion von: 

lrl(2s-l)ziv^2  =  l-l(2s-l)^"x], 

4 
bzw.  3(ot  -  l)(s-  l)x,zr^"  =  (m—  1)(»  -  l)/ivi  ;,2, 

3(m-l)(s-l)x,GV"  =  0. 

Auf  diese  Weise  erhalten  die  Glieder  der  1.  Reihe  unserer 
Determinante  folgende  Form: 

^(s-l)(s  — 2);<3*'  — |(s-  1)(m  +  s  — 3)x30" 
-|(»»-l)(s-l)<P^'x2, 

|(s_  i)(.,_2)x2  S^' _|(s- l)(n  +  s-3)x;«P" 
—  |(m-l)(s-l  !Pvi;,^, 

i(s-l)(s-2)x»X'-|(s-l)(n  +  s-3)x2X" 

-|(m-l)(s-l)Xvix^  (15) 

^is-l)(s  —  2)xlQ'-%(s-l)in  +  s—S)xlii" 

-|(»»-l)(s-l)ß^ix^, 

-  [i(«-l)(n-2)  +  4(s-l)(3»  +  2s-7)]x2/J" 

-  |(m  — 1)(«  +  2s  — 3)x;  JV', 

Km— l)(m-2);<;(?'  — |(m— l)(m  +  «-3)x3ö" 
—  |(m  — 1)«x;;övi, 

ItOV.  Sftcnogab.  d.  mAib.-pbyn.  Kl.  iq 


228  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  6.  Juli  1907. 

Die  Determinante  selbst  nimmt  den  Wert  an: 

wenn  man  setzt: 

r'4>'         r'W        r'X'         r' Q'        0         t-G"     \ 
(s— 1)*  (s— l)!f  (s-l)A-(s— l)ß  a'A  {tn-\)G\ 

A= 


Vx 

Vi 

Xi 

a>, 

n 

9, 

Vi 

V, 

t% 

w, 

U 

9i 

9s 

Vs 

X» 

«'s 

h 

9s 

y« 

n 

Xk 

w. 

U 

9k 

I     o«P"         aW"         oX"  oQ"      rJ"      qG" 

Xs—\)0  (s—l)¥(s-l)X  {s—l)Ü  o'A  (m—l)G 


B= 


<P1 

Vi 

Xi 

ö>, 

/•. 

9t 

n 

y» 

Xt 

ö>. 

/; 

9i 

<f's 

V'a 

Xi 

ö>s 

/", 

9s 

f\ 

V« 

Xi 

ö>. 

A 

9i 

!(s-l)*vi  (s-  l)y/vi  (.,_i)xvi  (s-l)ßvi  o'^vi  (w_i)etvi 
\(s-l)<r>    (/t-l)¥    (s-l)X     (s  l)fi     o'/J     (m-\)G 


c= 

Vx 

V, 

;i:i 

<^x          h             9i 

Vi 

V'2 

a;« 

<"i          fi            9i 

Vs 

Vs 

Xt 

«s          /i             9t 

Vi 

Vi 

Xi 

">4             ^4                 ö»* 

femer: 

r'^-{s  — 

l)(s- 

-2). 

e  :=  (m — l)(m  +  n 

t  =  {m- 

-\\(m      2) 

,       n  +  2s-3 
"=        "3         • 

a  = 

{s- 

1)(« 

+  s- 

3), 

3), 


(16) 


(17) 


(18) 


(19) 


(20) 


r  =  •  [(n      1) («  -  2)  f  (s  -  l)(3n  +  2 s -  7)]. 


F.  ThalreiWr:  FlEeJieii  elties  dreiüieh  lina 


229 


Es    bleibt  nucli   liidig,    vuu    dmi  DeterminaDteii  jB  und  C 
rmen  Faktor  %^  öb'/stispalien,     Setzt  man: 

d;  =  c?^  ^  /;    und    d';^  =  e^  =  /;«', 

£7'  =  Jtf' .  JV^', 

N'  =  u^ - '  U^-^  ü^f*--'  ci;«'-^ e " "  ^  f»* "' , 
ner: 

a,  öj.  . , .  d^dr,  dl  dj^ 

«1  *^  • . .  dt  ^'  t  *fe  ^'j! 

«i«j  ...  dj^d^,  d^djr 


«iQ 


4«j^ 


d^dj, 


didj. 


Die  zweite,  dritte  und  vierte  Kolonne  dieser  Determinante 
«öd  wip   die   erste  gebaut,    nur  ist  das  Sjinbol  n   bjiw»  durcb 
I  Jii»  Sjnibole  /?,  y,  ö  ersetzt. 
Es  wird  dann: 

Inun  wendet  man  die  Idendität  an: 

Dadurch  wird  B  in  eine  Summe  von  vier  Gliedern  trans- 

jfbrtuteri.      Das   zweite    and   dritte    Glied    dieser   Saniine    ver- 

(ffchwindt!n,    weil   sie   die   Faktoren  cj  ^  0    und  c^"*  =  0   ent- 

kalten:  das  L  Glied  ist  gleich  B,  wie  man  erkeunt,  wenn  man 

tt  mit  (?,  ft   mit  /.  a'  mit  e'   und  h*   mit  /'   vertauscht.      Man 

«rhält  also: 


Ebenso  behandelt  man  die  Determinante  C: 


(21) 


Iß" 


230  Sitznnf;  der  matb.-pbys.  Klasse  vom  6.  Juli  1907. 

6' =  F-(xcc'a')j;c; /;•//', 

wo: 

77"  =  M"  .  N", 

M"  =  n"-2Ä-2y-2<V-2a»-2J»-2c"-'*'-2e--2/*;-2. 

•^'XX  X  JC  X  X  X  X  X 

und  i''  aus  ^  hervorgeht,  wenn  in  E  man  ersetzt  r  durch  o', 
(>  durch  m —  1,  und  a  durch  (s — 1). 
Durch  Anwendung  der  Idendität: 

{x('c'a')ex  =  rC(xrc'e?')  —  c'xixca'e')  +  Cs{xc*a*e')  —  Xs{c&a*e') 

geht    die    Determinante  C,    in    ähnlicher  Weise   wie    oben  jB, 
über  in: 

C  =  I  xx  •  F{e*c&a*)Kf',  •  //-.  (22) 

Das  Resultat  unserer  Untersuchung  ist  also: 
Dio  Punkte,    in  denen  eine  Raumkurve    von    einer 
Fläche  des  linearen  Systems: 

von  der  3,  Ordnung    berührt  wird,   sind  ihre  Schnitt- 
punkte mit  der  Fläche: 

D  -  .1    -  ^  B^  -  ;Hm  -  1)  C;  =  0  (23) 

wo  -4,  B.  C  durch  die  Ausdrücke  (17X  (21)  und  (22)  definiert 
sind,  und: 

B^x.B^.   c  =  x,.r, 

gesetzt  ist. 

Setzt  man  in  der  Fläche  (2o)  s=  1,  so  erhält  mau  eine 
Fläche  von  der  Ordnung  t>m4-6w  —  20.  welche  die 
Kurve  ^==0.  ^«;=  0  in  den  nmißm  -*  t>N  —  20>  Berührungs- 
punkten von  Wendungsberührebenen  schneidet. 

Die  GleichuniT  dieser  Fläche  erscheint  in  der  Form: 
\\m   2»-   \  G  -\bK'c\i\R'[^H-  2»«irnr6»i*r'.A\iMJ'rc-7^f/'/7V) 
-  IHM  -  «  -  '>^yd' a\.%' h\d' bh' a^  '}i^^' Ok^'V^^^     124) 

V«*       1  »  ^r   CCtl'  »5-  [(ll  Cl  «r  M  \dh  h'\M^\^  C  ^*  f^K'^*  ff  t\ 


F.  Thalreiter:   Flachen  eines  dreifach  linearen  Systems.        231 
Hier  sollen  die  Definitionen  gelten: 

X  XX  X  X         '  X  X  X  X  X  X  '  X  y 

^  X  X  X  X  X         Ix  X  X  X  X  X  '  X  J 

und  für  J  und  6r'  gelten  die  Bezeichnungen  von  p.  219  und  226. 
Die  Gleichung  (24)  kann  aber  noch  weiter  vereinfacht 
werden,  da  die  beiden  Glieder  in  der  2.  und  3.  Summe  durch 
Vertauschung  von  a  mit  e,  h  mit  /,  a*  mit  e'  und  h*  mit  /*' 
ineinander  übergehen.  Es  wird  Gleichung  (24)  jetzt  in  der 
Gestalt  erscheinen: 

i(m  - 2) J G*  -  \{m  +  2n-h){ecc'a)R^2{m - \){e'c&a')S] 

.  {daa*h){dbh'a)(d'ee'f){d'ffe)  =  0.  ^^^^ 

Dies  ist  die  Gleichung  der  Clebsch'schen  Fläche  in  sym- 
bolischer Form.  Die  Unsymetrie  rührt  davon  her,  daß  der 
Ausdruck  (5)  p.  216  in  verschiedener  Weise  behandelt  werden 
kann,  wie  am  Schlüsse  von  §  2. 


233 


Öffentliche  SiUang 

zur  Feier  des   148.  Stiftungstageg 

am  16.  Mära   19<i7. 


»Sitzung  eröffnete  der  Präsident  der  Akademie,  Geheimrat 
Dr.  Karl  Theodor  v.  Heigel,  mit  folgender  Ansprache: 

Mit  Frühlingsanfang  findet  ein  Arbeitsjahr  unserer  Akademie, 
ieiier  seit  der  Stiftung  das  148.,  seinen  Abschluß.  Die  Wende 
liefet  Anlali,  wenigstens  einen  Blick  auf  die  jüngste  Vergangen- 
heit zu  werfen,  auf  die  Tätigkeit  unserer  Körpersschalt  und  der 
mit  ihr  Tereinigten  Sammlungen  und  Institute  im  abgelaufenen 
Jahre. 

Die  Mitteilungen  Über  die  Klassensitzungen,  sowie  die  ge- 
druckten ilßferate  and  Abhandlungen  geben  Zeugnis  —  ich 
^darf  wohl  sagen  —  von  ehrlicher^  emsiger  Arbeit  zur  For- 
li^rting  menschlicher  Erkenntnis  auf  allen  Wissensgebieten,  um, 
wie  es  BacoTi  in  seinem  Buche  De  dignitate  et  augmentis 
eientiarum  von  den  Gelehrten  fordert,  uaser  wehbelndenes 
chlecht  mit  neuen  Kräften  and  Werken  (novis  op*^ribus  et 
ji0te«$tiitibus)  zu  bereicherci,  die  feindselige  Natur  zur  Helferin 
zu  wandeln,  die  scahllosen  Übel  auszurotten  oder  doch  zu  rail- 
und  allmählich  der  heiligen  Zone  des  hachssten  Wissens 
lilier  7M  kommeTK 

Den  Akademien    ist   gerade    in  nnserer  Zeit  eine  wichtige 

ibe  besehieden.     Die  Wissenschaft  hat  sich  im   19.  Jahr- 

iert  so  unendlich  ausgedehnt  und  so  mannigfach  gespalten, 

auch  erleuchtete  Geister   nur  noch  einen  Bruchteil   Über^ 


234  öffentliche  «itzung  vom  16.  März  1907. 

schauen  und  nur  ein  kleines  Gebiet  mit  Aussicht  auf  Erfolg 
anbauen  können.  In  dieser  allgemeinen  Zerteilung  und  Zer- 
splitterung bietet  eine  Akademie,  wie  die  unsere,  für  die  nach 
allen  Kichtungt-n  auseinandergehenden  Disziplinen  einen  Mittel- 
und  Sanmielpunkt,  einen  Fokus,  in  welchem  die  in  Folge  der 
weit  veriLstelten  Spezialisierung  gebrochenen  Licht-  und  Wärme- 
strahlen der  Wissenschaft  zusamnientreflfen.  Der  Einzelne  ver- 
mag heute  nicht  mehr  eine  Universalität  des  Wissens  zu  er- 
reiclien,  doch  was  dem  Individuum  nicht  vergönnt  ist,  vermag 
eine  verständig  aus  jüngeren  Kräften  sich  immer  wieder  er- 
gänzende und  dadurch  verjüngende  Körperschaft.  Durch  sie 
und  in  ihr  ist  im  Wechsel  der  Zeiten  und  Menschen  eine 
segensvolle  Kontinuität  ermöglicht:  reife  Früchte  entwickeln 
aus  sich  Keime,  die  sicli  zu  Blüten  entfalten  und  dann  ihrer- 
seits auch  wieder  Frucht  werden. 

Auf  die  Tätigkeit  unserer  wissenschaftlichen  Institute 
brauche  ich  an  dieser  Stelle  nicht  einzugehen,  da  sie  als  Lehr- 
anstiilten  in  näherem  Zusammenhang  mit  den  Hochschulen 
stehen.  Ich  kann  mich  beschränken  auf  die  mit  den  Instituten 
verbundenen  Sammlungen  und  darf  auch  hier,  um  die  Geduld 
meiner  Hörer  nicht  über  Gebühr  in  Anspruch  zu  nehmen,  nur 
die  wichtigsten  Veränderungen  und  die  wertvollsten  Erwer- 
bungen herausgreifen. 

„Am  Ausbau  der  Wissenschaft**  sagt  Du  Bois-Reymond, 
,  beteiligen  sich  alle  Kulturvölker  in  dem  Mala,  wie  sie  diesen 
Namen  verdienen**.  Doch  kommt  auch  in  Betracht,  welche 
materiellen  Mittel  zur  Verfügung  stehen.  Wissenschaft  ist  an 
sich  ebensowenig  für  Geld  zu  haben,  wie  Kunst,  aber  hier 
wie  dort  spielt  das  allgemeine  Wertausgleichungsmittel  eine 
leider  gar  bedeutsame  KoUe.  Zur  Untersuchung  der  Natur- 
kräfte braucht  man  Laboratorien  und  Maschinenhallen,  Apparate 
und  Ingredienzien  aller  Art;  die  Geisteswissenschaften  haben 
Büchereien  und  Kunstsammlungen  nötig;  nicht  bloti  die  eigent- 
lichen Forschungsreisen  beanspruchen  namhafte  Summen,  auch 
Ueisen  zur  Besichtigung  fremder  Institute,  zur  Benützung  aus- 
wärtiger Archive  und  Bibliotheken  sind  unumgänglich  erforder- 


K,  Tb.  V,  Hetg&l:  AnÄpt-acbf*. 


t 


» 


lieh.  Und  nur  das  Neueste  and  Beste  ist  für  diese  Zwecke 
j^ut  ^(enug,  denn  in  der  Wissenschaft  darf  es  keinen  Stillstand 
gebeD,  ebensowenig  in  Spracli-  und  Gesell ichtsfot'sdiung,  wie 
in  den  exakten   Wisseniicbaften. 

Nur  Unverstand  könnte  behaupten?  dai  es  in  den  deutschen 
Staaten  den  Unter  rieh  tsver  waltungen  und  den  Volksvertretungen 
mi  Verständnis  für  deti  Segen  der  geistigen  Arbeit  und  an 
gutem  Willen  zu  ausgiebiger  Unterstützung  mangelt.  Doch 
dtjr  Staat  allein  kann  niclit  allen  Anforderungen  Genüge  leisten ♦ 
Die  Wissensubaft  wie  die  Kunst  kann  der  opferwilligen  Hilfe 
der  Privaten  nicbt  entraten. 

Da  möchte  die  Frage  berechtigt  erscheinen:  Wie  kommt 
i*H,  dali  gerade  im  Lande  der  Deuker  und  Dichter  so  selten 
wirklich  bedeutende  Schenkungen  und  Stiftungen  zu  Förderung 
iriimetischaftlieher  Forscherarbeit  eu  verzeichnen  sind  ?  Darauf 
dürfte  zu  erwidern  sein:  Deutschland  ist  heute  glücklicher 
Weise  nicht  mehr  bloß  das  vom  Ausland  so  liebevoll  und 
geringschätzig  angesehene  Land  der  Denker  und  Dichter.  Das 
nifue  deutsche  Reich  ist  nicht  nur  eine  politische  Macht  ge- 
worden, sondern  auch  in  wirtschaftlicher  Beziehung  gewachsen 
und  en^tjirkl  Doch  auch  heute  noch  sind  MultimiUionäre  in 
Berlin  und  München  nnd  Dresden  seltener  anzutreflen,  als  in 
St^  Jame^  Street  oder  in  der  5*  Avenue  in  New  York, 

Immerhin  fehlt  es  in  Deutscliland  nicht  an  grolamütigen 
und  verstiindigen  Gönnern  der  Künste  und  Wissenschaf ben. 
Mim  braucht  nur  die  Museen  in  Leipzig,  Hamburg,  Frankfurt 
zu  iMssucheiit  um  dafür  tnlHfehche  Gewähr  zu  finden. 

Vielleicht    würde    rühmliche   Freigebigkeit    noch    häuiiger 
Wtiitigt  werden^    wenn   nicht    die  Opferw^illigen  ein  eigen tüm- 
lichefi  Vorurteil    der    ötfentlichen    Meinung:    »Es    geschieht  ja 
bloß  aus  Eitelkeit!"   zu  scheuen  hätten. 

Mag  sein,  dala  das  Streben»  sicli  und  seinen  Besitz  zu 
itigen,  an  manchen  öffentlichen  Spenden  Anteil  hat.  Mag 
sein*  djiü  neben  anderen  Gründen,  dit*  den  Pariser  Bankier 
Clsiris  vor  einigen  Wochen  bewogen,  dem  Pastcur'schen  Institut 
dnti  Miüionen  Franks  zu  schenken,  auch  die  Absicht  mitwirkte, 


236  öffentliche  Sitzung  vom  16.  Mürz  1907. 

von  sich  sprechen  zu  machen.  Jedenfalls  ist  selbst  diese  Eitel- 
keit nicht  so  verwerflich,  wie  es  mancher  Diogenes  in  seiner 
Biertonne  glauben  machen  will.  Rühmlicher  Eitelkeit  verdankt 
die  Welt  die  ägyptischen  Pyramiden  und  das  Grab  des  Hadrian, 
den  Moses  von  Michel  Angelo  und  Mozarts  Requiem.  Rühm- 
licher Eitelkeit  hat  es  Amerika  zu  danken,  daß  seine  Kunst- 
sammlungen und  Lehranstalten  von  Jahr  zu  Jahr  den  euro- 
päischen Schwesterinstituten  ebenbürtiger  werden.  Wenn  ein 
Mitbürger  zu  wissenschaftlichen  oder  künstlerischen  Zwecken 
einen  Teil  seines  Vermögens  opfert,  so  dient  er  dem  Gemein- 
wohl und  verdient  den  Dank  des  Vaterlandes. 

Ich  erfülle  freudig  diese  Dankespflicht,  indem  ich  daran 
erinnere,  daß  auch  unserer  Akademie  im  abgelaufenen  Jahre 
wertvolle  Gaben  und  Stiftungen  zugewendet  worden  sind. 

Auf  gnädige  Anregung  Ihrer  Königlichen  Hoheit  Prinzessin 
Therese,  unseres  Ehrenmitglieds,  wurde  mit  Unterstützung  von 
Gönnern,  die  nicht  genannt  sein  wollen,  eine  reiche  Sammlung 
peruanischer  Altertümer  für  das  ethnographische  Museum  er- 
worben. Um  dem  Publikum  Gelegenheit  zu  bieten,  die  seltenen 
Reste  einer  untergegangenen  Kultur  kennen  zu  lernen,  und 
zugleich  um  den  Bestrebungen  unserer  Akademie  die  Sympathie 
weiterer  Kreise  zu  gewinnen,  wurden  die  Peruana  ein  paar 
Wochen  lang  öffentlich  in  unserem  Festsaal  ausgestellt.  Ich 
lade  wohl  kaum  den  Vorwurf  der  Ruhmredigkeit  auf  mich, 
wenn  ich  von  einem  durchschlagenden  Erfolg  spreche  und  den 
Zuwachs  für  unser  Museum  als  einen  hocherfreulichen  be- 
zeichne, und  ich  weiß  mich  Eins  mit  allen  Kollegen,  wenn  ich 
der  großmütigen  Stifter  dankbar  gedenke  und  auch  an  dieser 
Stelle  unserem  hochverehrten  Ehrenmitglied  herzlichen  und 
ehrerbietigen  Dank  ausspreche. 

Die  von  dem  deutschen  Arzt  Dr.  Gaffron  in  Lima  ange- 
legte Sammlung  bietet  ein  nahezu  erschöpfendes  Bild  der 
Kultur  jenes  Landes  der  Gegensätze,  wo  Kunst  und  Natur  in 
großartigen  und  mannigfaltigen  Fonnen  wetteifern,  wo  am 
Fuße  himmelanstrebender  Berge  und  an  den  Ufern  geheimnis- 
voller Seen,    inmitten   unzugänglicher   Wüste»   ""■*•  li^koider 


IT.  Th»  V.  Heigel:  AniprAche. 


Fluren  die  Reste  irnposantei'  Baudenkiuäler  uud  die  düsteren 
Grabstiltten  der  Incas  und  der  von  ihnen  bezwungenen  Ur- 
bevölkerung yich  erheben.  Von  Kennern  und  Techniken!  wird 
dem  in  unserer  Sammlung  befindlichen  (lotd'  und  Öüberschatz, 
den  Geweben,  den  Holzschnitzereien,  den  keramischen  Objekten 
ein  hoher  künstlerischer  und  antiquarischer  Wert  beigemessen. 
Die  Geschichte  der  Ornamentik  wird  durch  diese  Nascakriige 
und  Ponchos  um  manches  neue  Blatt  bereichert  werden.  Nur 
wenige  Sammlungen  der  Welt  haben  so  köstliche  Reliquien 
ältester  indianischer  Kultur  aui^^u weisen.  Um  so  dankbarer 
ist  atijsuerkennenT  daß  die  K,  Staatsregierung  t"dr  die  neue  Er- 
werbung, die  im  überfElüten  ethnographischen  Museum  nicht 
mehr  Platz  finden  kann,  in  provisorischer  Weise  geeignete 
Räume  im  Studiengebäude  des  NationÄlmuseums  zur  Verfügung 
gestellt  hat. 

Ein  lioch herziger  Stifter  im  idealsten  Sinne  war  unser 
lieher  Kollege»  Professor  W^ilhelm  Königs,  den  uns  der 
ueidi&cheTod  im  vorigen  Jahre  entrissen  bat  Ohne  jeden  Hinter- 
gedanken, nur  weil  er  edel,  hilfreich  und  gut,  hat  er  einen 
betrachtlichen  Teil  seines  Vermögens  l^r  wissenschaftliche  Zwecke 
bestimmt.  iiUO0(J  M.  hat  er  seiner  eigenen  Adolf  von  Baeyer- 
Jubiliiums-'Stiftung  für  chemische  Forschungen  zugewendet, 
50  not  >  M.  der  München  er  Bürgerstiftung»  auLierdeni  noch  be- 
fton^lers  lOOOU  M.  dem  chemischen  Laboratorium*  Er  schied 
aus  dem  Leben,  ehe  er  Beine  von  vidlent  Verständnia  für  die 
wirklichen  Bedürfnisse  zeugende  Absicht,  für  botaniscbet  zoo- 
logische, chemische  Forschung  noch  etwüs  zu   tun,   iu:^  Testa- 

fment  aufni^hmen  konnte.  In  pietiltToller  Weise  wurde  nichts 
deeto  weniger  der  letzte  Wunsch  des  Verblichenen  von  seiner 
Familie  erfüllt.  Herr  Kegierungsrat  Richard  Königs  in  Düssel- 
dorf richtete,  als  ihm  die  Annahme  der  Stiftung  von  Seite  der 
K.  Stafttsregierung  bekannt  gegeben  war,  an  das  r*räs«idiiün 
die  hochherzigen  Worte:    ^Dies   ist  die  schönste  Ehrung    für 

.den   Verstorbenen,  der  bei   Lebs^eiten  wiederholt  dem  ^Vunsche 

ku<tdriick  gt'geben  hut*  daü  die  besitzenden  Kreise  \n  lleubcli- 

Utid  mehr  nr^ch  als  bisher  angeregt  werden  mr>chteu»  den  Uni- 


238  öffentliche  Sitzung  vom  16.  März  1907. 

versitäten  und  wissenschaftlichen  Instituten  reiche  Zuwendungen 
zur  Förderung  wichtiger  Forschungen  zu  machen."  Ehre  dem 
edlen  Spender  und  seinen  Angehörigen! 

Zahlreiche  kleinere  Geschenke  an  das  Münzkabinett,  an 
die  anthropologisch-prähistorische,  die  geologische  und  palä- 
ontologische, die  mineralogische  und  die  zoologische  Sammlung 
werden  im  gedruckten  Bericht  bekannt  gegeben  werden.  Heute 
sei  nur  darauf  hingewiesen,  daß  das  Antiquarium  durch  den 
neuen  Konservator  Professor  Furtwängler  eine  durchgreifende 
Reform  erfahren  hat.  Wenn  auch  die  räumlichen  Verhältnisse 
nichts  weniger  als  günstig  sind,  so  wird  doch  die  mustergiltige 
Aufstellung  auch  weiteren  Kreisen  zum  Bewußtsein  bringen, 
daß  München  im  Antiquarium  eine  Sammlung  der  neuerdings 
so  hochgeschätzten  antiken  Kleinkunst  besitzt,  die  gegenwäi-tig 
zwar  noch  nicht  umfangreich  ist,  dafür  aber  Stücke  von  er- 
lesener Schönheit  aufzuweisen  hat.  Diese  Erkenntnis  hat  auch 
bereits  Frucht  gezeitigt.  Unter  einer  stattlichen  Anzahl  neu 
aufgestellter,  besonders  reizender  Gegenstände  findet  sich  die 
zur  Nacheiferung  spornende  Bezeichnung:  „Leihgabe  des  baye- 
rischen Vereins  der  Kunstfreunde"  (Museumsverein). 

Die  Erforschung  der  Urgeschichte  Bayerns,  für  welche  in 
der  jüngsten  Zeit  ein  lebhaftes  Interesse  auch  in  den  histo- 
rischen Vereinen  des  Königreiches  erwacht  ist,  hat  von  Seite 
des  Staates  eine  dankenswerte  Förderung  durch  Erhöhung  des 
Jahresetats  von  4000  auf  8000  M.  erfahren.  Um  auch  die 
Wünsche  der  auswärtigen  Gesellschaften  kennen  zu  lernen, 
lud  die  akademische  Kommission  für  Urgeschichte  Vertreter 
des  neu  gegründeten  „Verbands  der  bayerischen  Geschichts- 
und Urgeschichtsvereine "  zu  einer  kombinierten  Sitzung  am 
16.  Dezember  vorigen  Jahres  ein.  Von  dieser  Versammlung 
wurde  ein  systematisches  Arbeitsprogramm  gemeinsam  fest- 
gestellt; in  einer  Sitzung  der  akademischen  Kommission  am 
27.  Februar  wurde  es  nach  nochmaliger  Beratung  der  einzelnen 
Punkte  genehmigt.  Als  die  drei  vordringlichsten  Hauptauf- 
gaben der  prähistorischen  Forschung  in  Bayern  haben  dem- 
gemäß zu   gelten:    1.    die  Vollendung   der  Untersuchung   der 


K.  Tb.  V.  Hei  geh  Anapmche. 


2B9 


römischen  Kastelle,  2.  die  Erforscliiing  der  voi?.fitIichen.  zum 
Tdl  bis  in  die  Steinzeit  zuillckreichenden  WobnungsstÜtten, 
3.  die  Inventamieriiüg  der  Bodenaltert ümer  und  der  prähis- 
torischen Sammlungen , 

Es  ist  zu  hoffen,  dafa  es  bei  gutem  Willen  aller  Beteiligten 
gelingen  wird,  die  zur  Mitarbeit  im  der  urgeschichtlichen 
Fnn^chung  berufenen  Krtifte  zu  Yereinigen,  insbesondere  die 
berechtigten  Ant^prüche  der  Archäologie  zu  t^rflLllen,  ohne  die 
ebenso  unanfechtbaren  Rechte  der  naturwissenschaftlichen  Dis- 
dplinen  zu  beein trächtigen. 

Vom  Thesaurus  linguae  latinae  sind  wäh ren<i  des  ver- 
flossenen Jahres  ausgegeben  worden :  die  Schluütieterung  des 
IL  Bandes,  die  1,  Lieferung  von  Band  III  und  die  1.  und 
2,  Lieferung  von  Band  IV.  Für  den  rascheren  Fortgang  des 
grotäen  Unternehmens  war  es  von  Wert,  daß  vom  IIL  Bande 
ab  die  p]igennameu  gesondert  bearbeitet  und  herausgegeben 
werden  sollen.  Auch  der  Druck  dieses  Eigennaraen-Supple- 
ments  hat  bereits  begonnen,  An  Stelle  des  nach  Halle  be- 
rufenen Redaktors  Professor  Ihm  trat  am  1.  April  1906  Dr. 
B^rthold  Maurenbrecher*  bisher  Privatdozent  an  der  Uni- 
versität Halle.  Die  Frage  der  Räumlichkeiten  hat  sich  leider 
noch  nicht  in  befriedigender  Weise  lösen  lassen.  Mit  der  ge- 
snmten  wissenschaftlichen  Welt  beklagt  der  Thesaurus  das 
Hinscheiden  des  hochverdienten  Vorsitzenden  der  Thesaurus- 
Kommission,  Seiner  Exzellenz  Herrn  Dn  von  Hartel  in  Wien, 

Auf  Antrag  der  Wiener  Akademie  haben  die  fünf  deutschen 
karteUierten  Akademien  im  Jahre  1906  beschlossen,  eine  Samm- 
lung und  kritische  Ausgabe  der  mittelalterlichen  Bibliothek- 
kaialoge  Deutschlands  in  Angriff"  zu  nehmen.  Es  sollen  damit 
diese  wichtigen,  aber  weit  zerstreuten  und  schwer  benutzbaren 
Dokumente  der  literarischen  Kultur  und  Ü  her  liefe  rungsge- 
schichte  des  Mittelalter?  in  einer  ihrer  Bedeutung  Lmtsprechen- 
den  Weise  zugänglich  gemacht  werden.  Die  Arbeit  wurde  so 
Terteilt,  daß  die  Wiener  Akademie  die  Kataloge  Österreichs, 
die  Mlinchener  Akademie  die  tibrigen  deutschen  Kulturkreise 
übernahm»     Die  Müncbeuer  Akademie   erfreut   sich   dabei   der 


14:0  öffentliche  Sitzung  vom  16.  Mürz  1907. 

weitgellenden  Unterstützung  der  Berliner  Akademie  und  der 
Gesellschaften  der  Wissenschaften  zu  Leipzig  und  Göttingen. 
Die  gleichmäßige  Ausführung  des  Unternehmens  wird  verbürgt 
durch  Einsetzung  der  von  den  einzelnen  Kartell-Genossen  er- 
nannten „Bibliothek-Kommission*'  (Berlin  Burdach,  Göttingen 
Schröder,  Leipzig  Hauck,  München  Traube,  Wien  v.  Ottenthai). 
Die  Münchener  Akademie  ihrerseits  setzte  zur  Durchführung 
ihrer  besonderen  Aufgabe  eine  Kommission  ein,  die  aus  den 
Professoren  Traube,  Grauert  und  Vollmer  besteht.  Diese 
Kommission  ernannte  zum  Redaktor  der  Ausgabe  den  Privat- 
dozenten an  hiesiger  Universität  Dr.  Sigmund  Hellmann.  An 
einzelnen  großen  Bibliotheken  läßt  sie  durch  eigene  Mandatare 
das  Material  sammeln  und  zum  Teil  selbständig  bearbeiten. 

Zographos- Preis. 

Auf  die  von  der  Kommission  der  Zographos-Stiftung  an 
unserer  Akademie  am  14.  März  1904  gestellte  Preisaufgabe 
,Die  Metrik  der  kirchlichen  und  profanen  Poesie  der  Byzan- 
tiner* ist  rechtzeitig  eine  Abhandlung  mit  dem  Motto:  ^Oriens 
Graecus*  eingelaufen. 

Der  Schwerpunkt  der  Arbeit  fällt  auf  die  literarisch  wert- 
vollste Gattung  der  byzantinischen  Poesie,  die  alten  Kirchen- 
lieder. Auf  diesem  Gebiete  hat  der  Verfasser  die  eingehendsten 
Studien  gemacht  und  viel  Neues  gefunden.  Auch  über  die 
spätere  Kirchendichtung  wird  das  Wesentliche  mitgeteilt.  In 
den  der  Profanpoesie  gewidmeten  Kapiteln  beschreibt  der  Ver- 
fasser vor  allem  auf  Grund  peinlichster  Detailuntersucbungen 
die  Entwickflungsgeschichte  und  die  Gesetze  des  byzantinischen 
Zwölfsilbers,  dann  auch  die  übrigen  Metren,  besonders  den 
sogenannten  .politisohtn'  Vers.  Wichtige  Nachweise  gibt  der 
Verfasser  auf  Grund  metrischer  Beobachtungen  über  gewisse 
sprachliche  Eigentümlichkeiten  und  besonders  die  Akzentver- 
hältnisse. Die  Bedeutung  der  Metrik  l'ür  die  Textkritik  wird 
treffend  hervorgehoben  und  die  Stellung  unserer  Handschriften 
zu  den  Eigentümlichkeiten  der  metrischen  Form  scharf  charak- 
teri^iert. 


K.  Tb.  V.  Heige):  Mitteilungen. 


241 


I 


Di«  DarEtellutig  bewegt  sich  gröläten teils  in  objöktiirer 
Fürm»  ist  aber  immer  interessant  und  oft  f^pannend>  Der  Ver- 
fasser biit  finijer  eineni  reichen  Handscbriftt'Tmiatfr^rial  tmd  rlen 
vorhandenen  Ausguben  auch  die  älteren  theoretischen  Unter- 
suchungen in  ge\vts.seTiliafer  Weise  verwertet;  er  ist  aber  durch 
scharfsinnige  und  mühevolle  Studien  sowghl  in  vjtden  Einzel- 
heiten als  auch  in  der  vergleichenden  Betrachtung  der  metrischen 
Formen,  in  der  Prüfung  ihres  Verhältnisses  zur  literarischen 
Blntwiekelung  und  in  anderen  allgemeinen  Fragen  erheblich 
über  die  Vorgänger  hinausgekommen.  Ihm  gebührt  das  Ver- 
dienst, xum  erstenmale  ein  auf  breiter  Grundlage  aufgebautes, 
sowohl  ^ur  Einföhrung  geeignetes,  als  zu  weiteren  Studien  an- 
rt'gendes  Lehrbuch  der  byzantinischen  Metrik  geliefert  zu  haben. 
Die  Arbeit  erscheint  als  eine  vortreffliche,  in  den  meisten 
Punkten  erschöjdende  InDsung  der  gestellten  Aufgabe  und  die 
Akademie  hat  daher  beschlossen,  der  Abhandlung  den  Preis 
Ton   1500  M.  zu  erteilen. 

Als  Name  des  Autors  t^rgab  sich  Dr.  Paul  Maas,  München. 

AJs  neue  Preisaufgabe  mit  dem  Termin  31.  Dezember  1910 
ütellt  die  Akademie; 

»Das  Plagiat  in  der  griechischen  Literatur", 
untersucht  auf  Grund  der  philologischen  Forschung  über 
y.limif  und  m^vlfiTuvjmq ,  der  rhetorisch  *  ästhetischen 
Tiieyrie  und  der  literarischen  Praxis  des  Altertums, 


s  den  Zinsen  des  Thereianosfoiids  konnten   zwei  Preise 
800  M.  verteilt  werden : 

1,  an  den  Öymnasialprofessor  Dr.  Otto  Stählin  für  den 
I.  und  n.  Band  seiner  Ausgabe  des  Clemens  Alexandrinus. 

2,  an    den    Gvnjnftsialprofessor   Dr.  Th.  Preger    in    Ans- 
für  Band  I  und  II  seiner  Ausgabe  der  Scriptores  originum 

Costaniinopolitanarum. 

Außerdem  erhielten:  1*  Kustos  Dr.  CurtiuB  für  Unter- 
suchungen zur  Geschichte  der  korinthischen  und  protokorin- 
tbiaichen   Keramik  900  M. 


242  öffentliche  Sitzung  vom  IG.  März  1907. 

2.  Prof.  Furtwällgier  und  Prof.  Keichhold  zur  Fort- 
setzung   ihres    Werkes:    ^Griechische  Vasenmalerei'*    2000  M. 

3.  Prof.  Krumbacher  zur  Fortführung  der  ^Byzanti- 
nischen Zeitschrift*'    1500  M. 

Aus  den  Renten  des  Mannheimer  Fonds  wurden  genehmigt : 

1.  3000  M.  zum  Ankauf  eines  herrlichen  Bronzeklapp- 
Spiegels  mit  versilberter  Gravierung,  sowie  mehrerer  Tanagra- 
figuren  für  das  K.  Antiquarium. 

2.  2000  M.  zur  Erwerbung  der  vom  verstorbenen  Zoo- 
logen Selenka  auf  Borneo  gesammelten  Affen-  und  Reptilien- 
Skelette. 

Aus  der  Münchener  Bürger-  und  Gramer -Klett- Stiftung 
konnten  folgende  Unterstützungen  gewährt  werden : 

1.  720  M.  an  Prof.  v.  Groth  fiir  Arbeiten  zur  , chemischen 
Kristallographie " . 

2.  600  M.  an  Prof.  Bürker  in  Zürich  zu  Untersuchungen 
der  physiologischen  Wirkung  des  Höhenklimas. 

3.  1000  M.  an  den  Privatdozenten  Dr.  Gürber  in  Würz- 
burg zu  Forschungen  über  Veränderungen  des  Blutes  unter 
dem  Einfluia  der  Luftverdünnung. 

4.  900  M.  an  den  Gymnasialprofessor  und  Privatdozenten 
der  technischen  Hochschule  Dr.  Hermann  Stadler  für  seine 
Studien  zur  Herausgabe  der  zoologischen  Schriften  des  Albertus 
Magnus. 

Aus  der  Wilhelm  Königs-Stiftung  zu  Ehren  Adolfs  v.Baeyer 
wurden   verliehen : 

1.  300  M.  an  Prof.  Karl  Hofmann  zur  Beschaffung 
norwegischer  Mineralien. 

2.  200  M.  an  Prof.  Dimroth  zu  Untersuchung  der  Car- 
minsäure. 


K,  Th.  V,  Heigel:  Mitteil  an  gen. 

Aus  dem  Etat  für  Eaturwissdüschaftliahe  Erforschung  des 
EöEfgT«iohas: 

1.  7U0  M.  an  die  paläontologische  Saraiolung  des 
Hinates  zu  Aufsammlungen  in  Bajeni  uad  den  Nachbar- 
gebieten. 

2*  300  M*  an  die  ornittiolagisclie  Gesellschaft  zu 
weiteren  oniitliologist*hen  Forsehungen, 

3,  400  M,    an    die    Bayerische    botanische    Gesell- 
[sebaft   zur   pftanzengeographischen   Erforschung  des  Landes. 

4.  300  M,  an  den  Kuraten  Dn  Familler  in  Eartbaus 
Prüll  für  bryologische  Arbeiten. 

Vielleicht  darf  ich  zum  Schlut  meiner  Mitteilungen  noch 
I  an    ein    zweites    Wort    Francis    Bacons    erinnern  ;    „Wer    die 
Wissenschaft    liirdert,     ehrt    die    Menschheit    und    nützt    den 
Menschen  1* 


» 


Ans  Jen  Erwerbungen  der  wissenschaftlichen  Staatssamm- 
lun|^6ii  und  den  Geschenken  des  Jahres  19ü6  seien  die  folgenden 
hervorgehoben : 

Anthropologisch  -  prähistorißche  Sammluiig.  Erwerbun- 
gi*n:  Gipsabgüsse  Ton  bayerischen  Funden  aus  den  Samm- 
lungen der  Instorischen  Vereine  in  Regensburg,  Dillingen, 
Laiidühut,  Augsburg,  Traunstein,  Friedherg,  St.  Ottilien, 
dos  GermaDischen  Museums  in  Nürnberg  und  des  Museums 
Rlr  Völkerkunde  in  Berlin.  2  Goldohrringe  aus  dem  Reihen- 
l^riiberfeld  bei  Allach,  einige  La-Tene-Fundgegenstände  aus 
Hanchiiig,  ein  Reitergrab  aus  der  Karolingerzeit  (ausgegraben 
bei  Schwabmiihlen).  Geschenke;  von  Dr.  Uugo  Ober- 
maier  Pseudoeolithen  aus  der  Ivreidemtlhle  in  Mantes;  von 
Dt*  Schweinfurth  (Berlin)  eine  Kollektion  von  Eolithen  aus 
Ägypten;  von  Dr*  Rutot  (Brüssel)  eine  systematische  KoUek- 
von  eolithischen  und  paläolithischen  Silexartefakt  i  - 
lisn;  von  Dn  Jacobs  Funde  aus  Vojkomi  in  1>^ 
Ton  Sind.  Sprater   bemalte  neoh'tbische  Scherben  aus   Erfif 


244  öffentliche  Sitzung  vom  16.  M&rz  1907. 

(Ungarn);  von  Medizinalrat  Dr.  Thenn  in  Beilngries  sämtliche 
Ergebnisse  seiner  Reihengräberforschungen  bei  Beilngries ;  von 
Kommerzienrat  Ludowici  in  Jockgrim  das  Modell  eines  rö- 
mischen Bades;  von  der  Stadtgemeinde  München  als  Leih- 
gabe die  Funde  aus  6  Hockergräbern  vom  Ende  der  Steinzeit 
bzw.  Anfang  der  Bronzeperiode  und  aus  170  Reihengräbem 
der  Völkerwanderungszeit,  die  bei  der  Kanalisation  der  Wolf- 
ratshauserstraüe  von  der  städtischen  Baubehörde  ausgehoben 
wurden. 

Antiquarlum.  Erwerbungen:  Bronzespiegel  mit  Sirene 
als  GrifiBgur,  strengen  Stiles;  Bronzefigur  eines  Stieres  als 
Votiv;  archaisches  Gorgoneion  aus  Euboea;  Gorgoneion  freien 
Stiles,  von  einem  Gefäße  stammend;  griechischer  Spiegel  mit 
Palmettenornament.  Von  Terrakotten  :  Europa  auf  dem  Stier, 
Frau  auf  Kline,  beide  strengen  Stiles;  Göttin  auf  dem  Greif, 
freier  Stil  phidiasischer  Zeit;  Kind  in  der  Wiege,  hellenistisch; 
geflügelter  Knabe  mit  Hündchen,  auf  der  Rückseite  Töpfer- 
name; eine  Gruppe  zweier  Kinder;  Hermes  Kriophoros,  ar- 
chaisch ;  brodbackende  Frau ;  Göttin  mit  Vogel  auf  der  Schul- 
ter; Reiter,  geometrisch-böotisch ;  Atthis,  sitzend;  primitives 
glockenförmiges  Idol;  Kopf  eines Nubiers,  aus  Smyrna;  Herakles 
mit  Keule,  Motiv  einer  großen  Statue;  Eros  auf  Delphin; 
Knabe  mit  Schusserbeutel.  Aus  Marmor:  Statuette  eines  be- 
kleideten Mädchens,  praxitelisch.  Aus  Stuck:  ägyptischer 
Porträtkopf.  Aus  Glas:  mehrfarbige  Perle  mit  menschlichen 
Köpfen  verziert. 

Ethnographisohos  Museum.  Erwerbungen:  77  Nummern, 
von  denen  keine  hervorragend  ist. 

Botanischer  Garten.  Geschenke:  Nordische  Pflanzen  von 
Frau  Dr.  Retvoll;  Alpenpflanzen  aus  Südtirol  und  der  Schweiz 
von  Professor  Goebel  und  Kustos  Dr.  Hegi.  Eine  Sammlung 
neuseeländischer  Moose  von  Prof.  Goebel  und  eine  größere 
Anzahl  bayerischer  Moose  von  Kurat  Dr.  Pamiller  in  Kart- 
haus Prtill  bei  R^gensburjj. 


K*  Tt.  V.  Hoigeh  MUteilujigeu. 


245 


BotaTÜsoties  Museum*  Erwerbungen:  ]0ü  Arten  aua  Si- 
plien  (Genturia  V  des  Herbarium  Siculum  von  Dr*  Ross);  100 
lUB  den  canarisclien  In!*eln;  l*^ö  aus  Britij^b  Cotumbia;  250  von 
Paraguay;  150  aus  Süd-Büliriea ;  50  aus  dem  Salicetum  ex- 
mcattjin  von  Ad.  Toepffer,  Geschenke:  51  Arten  ang  Au- 
stralien von  Professor  Goebelj  47  aus  dem  Herbarium  des  bo- 
tanincben  Gartens  zu  Calcutta;  133  aus  Guatemala  und  Honduras 
von  Donell  Sraith  (Baltimore);  26  Sapindaceen  aus  den  Phi- 
lippinen Ton  dem  Government  Laboratorium  in  Manila;  4  aus 
Aden  von  Hofrat  Martin;  18  Sapindaceen  aus  den  Philippinen; 
84  Arten  der  Flora  eisiccata  Bavartca  fasc.  XII  von  der  bo- 
tanischen Gesellscbaft  in  Kegensburg ;  36  Stammstlieke  von  Ge- 
wacbsbauspflanzen  des  botanieeben  Gartens  in  München;  6  der 
Gattung  Brownea  aus  belgischen  Gärten. 

Gtiologiseha  und  paläontologiBche  Sammlnng.  Erwer- 
bungen; Fossile  Fische  aus  dem  Silur  und  Devon  Schottlands, 
dtär  Trias  von  Adnet  bei  Hallein  und  von  Seefeld,  aus  dem 
Eocan  des  Monte  Bolca  und  aus  dem  Miocän  von  Bordeaux, 
Fossile  Säugetiere  aus  der  Ljbischen  Wüste  und  von  Quercy 
(Eocän)  sowie  aus  dem  Pliocän  von  Terual  in  Spanien.  Eine 
wertvolle  Saminlung  oligocäner  Foraminiferen,  deren  gegen 
300  Arten  schon  bestimmt  waren.  Die  Sammlung  von  227 
Handstücken  und  zugehörigen  Dünnschliffen  der  Kruptiv- 
gesttine  Norwegens,  welche  Prof.  Brogger  in  Christian ia 
aiittiammengestellt  hat.  Steinkoblenpflauzen  aus  dem  Saar-  und 
Rheinpfalzgebiet.  Triaaiscbe  Versteinerungen  aus  Dalmatien, 
Medusen  aus  dem  lithographischen  Schiefer  von  Solnhofen. 
lesehenke;  von  Dr.  Klessin  in  llegensburg  diluviale  Land- 
luecken;  von  Konservator  Maurer -Reichen  hall  Hippuriten 
au»  der  Kreide;  von  Koraraerzienrat  Ludowici  diluviale  Ele- 
phan^nresie  aus  der  Pfalz:  von  Oberleutnant  Rubner  Jura- 
varsleinerangan  aus  Franken;  von  Dr.  Wanderer  Verstei- 
nerungen aus  der  Oberpfak;  von  Dr.  Enauer  Gesteine  und 
arsteinerungen  aus  dem  Herzogstandgebiet;  von  Dr.  K.  Letichs 

ain©  und  Versteinerungen  aus  dem  Kaisergebirge :  von 
Hani«!  und  Myltus.  cand.  gaol.  iSteinkohlenpflanzen  desliubr- 

17- 


246  öffentliche  Sitzung  vom  16.  Mftrz  1907. 

gebietes.  Von  Konservator  Rothpletz  aus  Canada  silurische 
Versteinerungen  und  ein  Block  des  »Eozoon  canadense*;  Ver- 
steinerungen aus  Mexiko  (Jura -Kreide),  aus  der  Gegend  von 
S.  Francisco  (Tertiär) ;  Bronzerelief  von  Zittel. 

Münzkabinett.  Mit  Rücksicht  auf  die  im  vorigen  Jahre  er- 
folgte umfangreiche  Erwerbung  der  Sammlung  Sattler  traten 
die  Antiken-Erwerbungen  in  diesem  Jahr  quantitativ  zurück. 
Hervorzuheben  sind:  Elektronstater  von  Kyzikos;  Goldstater 
von  Philippi;  Goldmünzen  des  Hadrian;  Bronzemünzen  des 
Hadrian  von  Elis;  Didrachme  von  Velia;  Silbermünzen  von 
Gortyna;  Bronzemünzen  der  Tranquillina  von  Myra.  Von 
neueren  Münzen  und  Medaillen  (Mittelalter  und  Neuzeit  bis 
ca.  1850) :  Vier  Funde  von  Mittelaltermünzen  (darunter  einer  von 
circa  360  Stück);  ein  neuzeitlicher  Fund  von  26  Stück;  femer 
102  Münzen  und  Jetons,  sowie  12  Medaillen,  darunter  viele 
bayerische  Gepräge;  30  Prämien-Medaillen  der  Universität  Alt- 
dorf in  Silber;  Pesttaler  von  1528;  9  Brandenburger  Gold- 
gulden. Von  Renaissance-Medaillen:  4  wertvolle  Wachs- 
modelle aus  dem  Anfang  des  XVI.  Jahrhunderts  oberdeutschen 
Ursprungs  und  eine  Bronzemedaille  auf  Pico  della  Mirandola.  Von 
Modernen  Kunstmedaillen:  56  Stück  Medaillen  und  Pla- 
ketten, darunter  33  Stück  von  Münchener  Künstlern,  13  Stück 
von  anderen  deutschen  Bildhauern  und  Medailleuren,  8  Stück 
belgischen  und  2  Stück  französischen  Ursprungs.  Das  Fach 
der  Gemmen  erhielt  einen  Zuwachs  von  5  Stück,  darunter 
mykenischer  Stein  mit  Tierdarstellung,  etruskischer  Scarabäus 
mit  Perseus,  Amethyst  mit  Kopf  einer  Bakchantin.  Das  Kabinet 
empfing  Schenkungen  von  S.  K.  Hoheit  Prinz  Rupp recht 
von  Bayern,  Staafc^minister  von  Frauendorf  er,  der  Numis- 
matisch-antiquarischen Gesellschaft  in  Montreal,  dem  6e- 
schichts-  und  Altertums-Verein  in  Frankenthal,  Stadtmagistrat 
Freiburg,  Stadtmagistrat  Nürnberg,  ferner  von  Sanitätsrat 
Jaquet  in  Berlin,  Maler  Freiherr  von  Cederström,  Freiherm 
von  Löffelholz-Colberg,  Obermünzmeister  Riederer  und 
der  Firma  Deschler  und  Sohn  hier,  von  C.  F.  Gebert  in 
Nürnberg,  Generaldirektor  T hie mo  hier  und  J.  Pittowski  in 


K»  Tb,  V.  Heigel:   Mitteilurigeo, 


247 


Leiriberj^.  loi  Giinzen  beträgt  die  Zahl  der  im  Jalire  1906 
der  Staatssammlung  einverleibten  Münzen  und  MeitaiUeii  1036 
Numraern,  wobei  jedocb  größere  und  kleinere  Funde,  die  als 
Ganges  in  den  Besitz  des  Miinzkabineti^  übergiugeii,  nur  mit 
einer  Äkzessionsnummer  bezeichnet  sind* 

Museum  für  Abgüsse  antiker  Bildwerke,  L  An  Ergän- 
zungen wurden  ausgeführt:  L  an  der  Athena  Lemnia  die 
beiden  Ärrae  mit  Helm  und  Lanze,  2,  an  der  kapitolinischen 
AjnaÄone  der  rechte  Arm  mit  Lanze,  8.  an  der  neugefundenen 
Sphinx  Ton  Aegina  die  Flügel  und  Teile  der  Beine,  4.  an  dem 
Westmacottschen  Athleten  im  British  Museum  mit  Benutzung 
der  Wiederholung  Barraco  der  rechts  einen  Kranz  haltende 
Ann,  außerdem  der  Kopf  durch  die  bessere  Wiederholung  in 
Petersburg.  II.  Neugeformt  im  Gipsmuseum  wurden  L  hel- 
lenistischer Porträtkopf,  Sammlung  Jacobsen,  Kopenhagen, 
2.  römischer  Porträtkopf,  ebendaher,  3*  Bronzestatuette  des 
HermeSf  Mönchen  (Privatbesitz),  4,  Basaltkopfeines  ägyptischen 
Priesters  aus  dem  Kunsthandel^  5.  drei  Fragmente  vom  Schatz- 
baus des  Atreus,  München,  Antiquarium*  IIL  Von  käuflichen 
Abgüssen  wurden  erworben :  40  Stück (4  Statuen,  4  Statuetten, 
^  Baliefs,  29  Köpfe  aus  Boston,  Rom,  Berlin,  Paris,  Dresden, 
then,  Kopenhagen,  Petersburg),  IV*  Neugeformt  in  aus- 
tigen  Museen  wurden  auf  Veranlassung  des  Konservatoriums 
1  Kopf  in  Amsterdam,  5  Köpfe  und  l  Relief  in  Petersburg 
(Eremitage),  2  Statuetten  und  6  Köpfe  in  Rom  (Museo  Barraco 
ad  Lateran).  V.  Geschenke:  L  Bronzefigürcben  im  Mün- 
bener  Privatbesitz,  2,  linker  Aj-m  eines  neu  gefundenen  Diskus- 
werfers in  Rom,  3*  12  Stück  römisches  ties  grave,  VI,  Die 
Photographiansammlung  wurde  vermehrt  um  648  Stück. 

Zoologiaohe  StaatsBammlTiüg*    Unter   den   Erwerbungen 

ragen  hervor:  etwa  3üü  Reptilien  und  Amphibien  aus  Kamerun, 

|Vög©l  aus  Neuguinea,   sowie  Vögel  und  I{eptilien   aus   Nord- 

ilien,  Amphibien  und  Reptilien  aus  China,  eine  Sammlung 

atarktischer  und  südafrikanischer  Crustaceen,    sowie   Medusen 

malayischen    Archipel    und    stillen    Ozean,    endlich    eine 


248  öffentliche  Sitzung  vom  16.  MÄrz  1907. 

größere  Kollektion  Reptilien,  Conchylien  und  Insekten  aus 
Annam  und  Siam,  und  Affen  aus  Südamerika.  Geschenke: 
von  Oberleutnant  0.  K auf f mann  in  Marburg  eine  wertvolle 
Sammlung  von  Säugetieren  aus  Kaschmir  und  Mysore;  von 
Plantagenbesitzer  Widnmann  in  Deli  eine  größere  Samm- 
lung sumatranischer  Säugetiere;  ferner  von  S.  K.  Hoheit 
Prinz  ßupprecht  ein  Dammhirsch  und  ein  Schneehase;  von 
S.  K.  Hoheit  Prinz  Alfons  ein  Wapiti;  von  Notar  Braun 
(Amstorf)  einheimische  Vögel;  von  Rentner  J.  Brückmann 
siebenbürgische  Säuger  und  Vögel ;  von  Dr.  Brügel  Conchylien 
und  Insekten  aus  Malakka;  von  Postadjuukt  Fischer  (Augs- 
burg) Bälge  und  Eier  seltener  einheimischer  Vögel ;  von  Major 
Hauser  (München)  transkaspische  Reptilien;  von  Dr.  Hoseus 
Muscheln  und  Reptilien  aus  Siam;  von  Gutsbesitzer  Kotzbauer 
in  Diessen  Vögel  vom  Ammersee;  von  K.  Lankes  Reptilien; 
von  Kunstmaler  L.  Müller  (Mainz)  Conchylien  aus  Griechen- 
land; vom  ornithologischen  Verein  Bälge  zahlreicher  Vogel- 
arten; von  Dr.  Parrot  (München)  europäische  und  javanische 
Vögel;  von  Institutsdirektor  Roemer  (München)  südafrikanische 
Reptilien;  von  Jos.  Scherer  (München)  Reptilien  und  Fische 
vom  unteren  Senegal. 


C.  VoH:  Nekrologa. 


24» 


I 


Hierauf  teilt  fler  Sekretär  der  matheniati^^h-physi kaiischen 

Klasiae,  Herr C  v.  Vüit,  mit,  daü  Jie  mjithematiscii-pbyäikuliaclie 
Kl&ss«  in  dem  vergangenen  Jahre  fünf  iVlitglieder  durch  den 
Twl  verloren  hat: 

Zwei  einheimische  ordentliche  Mitglieder: 
deo  Mathematiker  Gustav  Bauer»  gesturben  den  3.  April  1906 
lind  den  Chemiker  Wilhelm  Koeuigs,  gestorben  den  15.  De- 
zember 1906 

ytid  drei  auswärtige  Mitglieder: 

deu  Fhysjiker  Ludwig  Boltzmann  in  Wien,  gestorlien  den 
6.  Sept*^raber  1906, 

den  Direktor  des  meteorologischen  Instituts  in  Berlin  Wilhelm 
V.  Bezold,  gestorben  den  17.  Februar  1907, 

den  Chemiker  Henri  Mo issan  in  Paris,  gestorben  den  2L  Fe- 
bruar 1907. 


p 


Qtiatav  Bauer.  ^) 

Am  3,  April  1906  ist  das  an  Jahren  älteste  Mitglied  der 
math.-phys.  Klasse,  der  Mathematiker  Gu^tiiv  Bauer,  im  hohen 
AJter  von  85  Jahren  gestorben.  Während  5(1  Jahren  hat  er  un- 
gemein tätig  und  erfolgreich  an  dem  Ausbau  der  mathematischen 
WiüaQschaften  mitgearbeitet  und  war  als  ein  bewährter  und 
vielseitiger  Forscher  auf  einer  Anzahl  von  Gebieten  derselben 
bei  seinen  Facbgenossen  hoch  geschätzt.  Es  ist  ihra  gelungen, 
sdiwierigen  Problemen,  welche  vor  ihm  die  hervorragendsten 
Mj»thematiker  beschäftiget  hatten,  neue  Seiten  abzugewinnen  und 
4m  Keimtitisse   seiner  Wissenschaft  zu    vertiefen.    Sein    Leben 


*)  Siehö  Äurel  Voü,  Zur  Erinnenmsf  an  Guitav  Bauer.  Allg.  Zeitung, 

i  Beilage  IJK)6,  Nr.  271  nnd  272,  und  Jabreabericbt  der  Deutschen  Matliemat. 

V««iDij^ung   Bd.  16,  Heft  l,  S.  &4,  —  Gustav  Bauer,  Erinnerüiigen   aoa 

raeioeii  StudipnjtibreQ.   FeutTOrtfag   euid  16.  Stiftungsfeste   dei   mnihem, 

I  fomu  m  MOnchet)  l^B. 


250  öffentliche  Sitzung  vom  16.  März  1907. 

gibt  uns  ein  lehrreiches  Beispiel,  wie  beharrliche  Ausdauer  trotz 
größter  Schwierigkeiten  zum  ersehnten  Ziele  führt. 

Bauer  wurde  am  18.  November  1820  zu  Augsburg  geboren. 
Nach  dem  frühzeitigen  Tode  des  Vaters,  eines  geachteten  Kauf- 
manns, leitete  die  vortreflFliche  Mutter,  deren  er  bis  an  sein 
Lebensende  in  Dankbarkeit  gedachte,  seine  erste  Erziehung. 
Er  besuchte  sodann  das  protestantische  Gymnasium  zu  St.  Anna, 
an  dem  damals  der  ausgezeichnete  Rektor  und  Schulmann  Kas- 
par Mezger  wirkte,  der  seinen  Schülern  nicht  nur  Kenntnisse 
beibrachte,  sondern  sie  auch  zum  Denken  anleitete  und  sie  für 
die  Schönheiten  des  Altertums  zu  begeistern  wußte. 

Schon  frühe  war  bei  dem  jungen  Bauer  die  Vorliebe  und 
Begabung  zur  Mathematik  hervorgetreten;  in  dem  Abgangs- 
zeugnisse vom  Gymnasium  sind  seine  reichen  Kenntnisse  in  der 
Mathematik  hervorgehoben  und  besonders  spricht  dafür,  daß  er 
vor  dem  Übertritt  an  die  Universität  während  eines  Jahres  die 
von  dem  Rektor  Leo  geleitete  polytechnische  Schule  in  Augsburg 
als  Hospitant  besuchte,  um  eingehenderen  mathematischen  Stu- 
dien zu  obliegen.  Aber  nicht  nur  in  der  Mathematik  war  er 
vortrefflich  vorgebildet,  er  hatte  lebhaftes  Interesse  für  alle 
Zweige  des  Wissens  und  sich  eine  reiche  allgemeine  Bildung 
erworben.  Seine  Vaterstadt  liebte  er  schwärmerisch  wegen  ihrer 
altertümlichen  Schönheit  und  ihrer  hohen  Bedeutung  in  der 
Geschichte. 

Es  stand  in  ihm  von  Anfang  an  fest,  daß  er  Lehrer  und 
Forscher  in  der  Mathematik  werden  wolle ;  es  war  aber  damals, 
namentlich  in  Bayern,  nicht  so  leicht  n^ne  jetzt  sich  auf  der 
Universität  zum  akademivschen  Berufe  vorzubereiten  und  tiefer  in 
die  mathematische  Wissenschaft  einzudringen.  An  den  meisten 
deutschen  Universitäten,  insbesondere  an  den  bayerischen,  wurde 
die  Mathematik  noch  nicht  als  reine  Wissenschaft  betrieben, 
sondern  nur  insoweit,  als  es  das  Bedürfnis  der  Gymnasien  und 
Gewerbeschulen  zu  erfordern  schien.  So  lehrten  hierin  in  Mün- 
chen um  diese  Zeit  der  frühere  Wundarzt  im  österreichischen 
Heere  und  Hofbediensteter  bei  dem  Ohurlilrsten  Karl  Theodor 
Dr.  med.  Franz  Paula  Gruithuisen,  von  dem  über  alle  möglichen 


0.  Yoit:   Nekrolof?  auf  Gustnv  Bauer. 


251 


Fiielier  der  Naturwissenschaft  eigentümliche  Beobachtungen  und 
Versuche  herrühren,*)  ab  Professor  der  Astronomie,  ferner 
Eduard  Hierl  als  Professor  der  Vermessungskunde  filr  Forst- 
kandidaten  und  der  durch  Herausgabe  mehrerer  nmthematischer 
Lehrbücher  bekannte  auiaerordent liehe  Professor  Dr.  Georg  Rechti 
alle  drei  ohne  jede  Bedeutung  für  die  mathematische  Wissen- 
schaft Nur  Karl  G.  Chn  v.  Staudt  in  Erlangen  forderte  dieselbe 
später  durch  seine  berühmte  Schrift  über  die  ^Geometrie  der 
Lage",  war  aber  als  Lehrer  von  geringer  Wirksamkeit. 

Bauer  bezog,  19  Jahre  alt,  die  Universität  zu  Erlangen, 
welche  die  Abiturienten  des  protestantischen  Augsburger  Gym- 
nasiums zumeist  wählten.  Er  muOtt;  zunächst  (he  vor  dem  Fach- 
studium noch  jetzt  vorgeschriebenen  acht  philosophischen  Vor- 
k»simgen  hören;  er  hörte  Naturgeschichte  bei  K.  v.  Raumer, 
Botanik  bei  dem  treölichen  Wilhelm  Daniel  Joseph  Koch^  der 
die  ihm  zeitlebens  gebliebene  Lnst  an  den  Pflanzen  und  dem 
Botanisieren  in  ihm  erweckte,  Mathematik  trieb  er  nur  für 
sich,  offenbar  da  darin  in  den  Vorlesungen  an  der  Universität 
nichts  mehr  !*ür  ihn  zu  holen  war. 

Er  verließ  nach  einem  Semester  Erlangen  und  beschloß 
nach  einem  kurzen  Aufenthalt  in  Wien,  wo  er  bei  Andreas  v, 
Ettinghausen  i*hysik  und  bei  Jos,  Job.  v.  littrow  Astronomie 
hörte,  zu  seiner  Ausbildung  in  der  Mathematik  nach  Berlin  zu 
gehen. 

Von  der  östlichen  Universität  Königsberg  war  zu  dieser 
Zeit  eine  neue  Auffassung  und  eine  Reform  in  dem  mathe- 
matischen Unterricht  durch  den  genialen  Astronomen  Friedrich 
Wilhelm  Bessel  und  den  ausgezeichneten  Mathematiker  C.  G. 
J.  Jacobi  ausgegangen,  denen  sich  F,  Richelot  und  der  berühmte 
Lehrer  der  mathematischen  Physik,  Franz  Keumann,  anschlössen. 
Nsich  ihnen  sollte  der  mathematische  Unterricht  nicht  wie  bisher 
io  einigen  allgemeinen  und  elementaren  Vorlesungen  bestf'ben, 
sondern  sein  Schwerpunkt  in  die  Übungen  und  in  die  Anleitung 
d«r  Studierenden  zu  eigenen  Arbeiten  im  Seminar  im  Anaehluä 


*J  Siehe  »eine  Beitrl^^e  ziir  Physiognomie  tiad  T!4üto|?no*<i('. 


252  öffentliche  Sitzung  vom  16.  M&rs  1907. 

an  die  ihrer  Lehrer  verlegt  werden.  Durch  diese  Vereinigung 
Ton  Mathematikern  ersten  Ranges  entstand  in  Deutschland  eine 
glänzende  wissenschaftliche  Schule  der  mathematischen  For* 
schung  und  von  ihr  aus  das  neue  Aufleben  der  Mathematik 
in  unserem  Yaterlande. 

Das  gleiche  Prinzip  hatte  schon  in  einigen  Naturwissen- 
schaften Eingang  gefunden  und  drang  allmählich  auch  in  ande- 
ren Wissenschaften  durch.  Durch  die  unausbleibliche  Erweite- 
rung desselben  wird  die  Ausbildung  an  den  Hochschulen  eine 
Umwälzung  von  Qrund  aus  erfahren,  indem  vieles,  was  man 
jetzt  in  ausfuhrlichen  Vorlesungen  lehrt,  dem  Privatstudium  der 
Lehrbücher  überlassen  werden  muß,  und  an  deren  Stelle  der 
Anschauungsunterricht  und  das  Arbeiten  in  den  Laboratorien 
treten  wird. 

Von  Königsberg  aus  pflanzte  sich  die  neue  Art  des  mathe- 
matischen Unterrichts  nach  Berlin  fort,  woselbst  die  hervor- 
ragenden Mathematiker,  Peter  Gustav  Lejeune-Dirichlet  und 
Jakob  Steiner  wirkten,  welche  Bauer  zu  hören  wünschte.  Ins- 
besonders  übten  die  geistvollen  Vorträge  des  ersteren  über  par- 
tielle Differentialgleichungen  und  über  bestimmte  Integrale  und 
Zahlentheorie  einen  groüen  Einfluü  auf  ihn  aus;  er  traf  unter 
den  sechs  Zuhörern  seinen  späteren  Münchener  Kollegen  Phi- 
lipp Ludwig  Seidel,  der  dann  zu  Bessel  nach  Königsberg  ging, 
wo  auch  der  früh  verstorbene,  für  Mathematik  und  Musik  hoch- 
begabte Augsburger  Freund  Bauers,  Qustav  v.  Uößlin,  zog. 
Zur  Charakteristik  Bauers  sei  angegeben,  is&  er  außerdem  noch 
die  Vorlesungen  von  Poggendorf,  Seebeck  und  Ohm  über  Physik, 
von  Dove  über  Meteorologie,  von  Steffens  über  Naturphilosophie, 
von  Werder  über  Geschichte  der  Philosophie  und  die  der  Ge- 
brüder Grimm  über  Kechtsaltertümer  und  über  das  Gudrunlied 
besuchte. 

Nach  einjälirigeni  Aufenthalte  in  Berlin  (1840/41)  nach 
München  zurückgekehrt,  besbmd  er  eine  eben  ausgeschriebene 
staatlich  theoretische  Prüfung  mit  ausgezeichnetem  Erfolge  und 
erhielt  dann  zur  Aushilfe  einen  Lohrauftrag  für  Mathematik  am 
Augsburger  Gymnt^um«  wobei  die  Lehrgabe  und  der  Eifer  des 


C.  Toiti  Nekrolog"  auf  Gusinv  Bauer, 


253 


21  Jäfirigoji  viel  Anerkeunutig  fanden.  Darnach  beschüftigte  er 
sich  in  München,  wohin  die  Muttur  gezogen  war,  bei  Joh.  La- 
raont  an  der  Sternwarte  und  bearbeitete  seine  der  matbe- 
mntiBcheu  Physik  entnommene  Dissertation:  „Von  der  Theorie 
der  Warme*f  mit  der  er  (1842)  in  Erlangen  (mit  dem  Prädikat 
iasigiie)  den  Doktorgrad  erwarb. 

Nun  sollte  noch  ein  Aufenthalt  in  Paris  folgen.    Bekann t- 

liatte  zu  Anfang  des  19.  Jiihrbunderts  eine  Ansammlung 
inenter  Mathematiker  und  Physiker  wie  Carnot»  Cauchy, 
Dulong,  Fourier,  Lagrange,  Laplace,  Legendre,  Monge^  Poisson 
Paris  zum  Zentrum  der  mathematiseh-physikalischen  Wissen- 
schaft gemacht,  Ihr  Ruhm  zog  lange  Zeit  die  jungen  Gelehrten 
aller  Länder  nach  Paris»  um  ihr©  Augbildung  t.n  vollenden, 
Auch  Liebig  inufite  daselljst  bei  dem  Chemiker  Gay  Lussac  das 
suchen,  was  er  in  Deutschland  nicht  fand.  Als  Bauer  nach 
Park  kam,  wirkten  daselbst  die  Mfitbematiker  Chasles,  Lacroix, 
Lani^,  Libri,  LiouviUe,  Poncelet,  Sturm  und  die  Physiker  Arago, 
Dumas,  Pouillet,  Regnault.  Man  kann  sich  denken,  wie  der 
wiasensdurstige  Jüngling  seine  Zeit  verwertete  und  auch  sonst 
in  der  großen  Stadt  neue  Eindrücke  für  das  Leben  empfing. 
Besonders  zogen  ihn  die  Vorlesnngen  von  Liouvüle  über  die 
Theorie  der  Attraktion  nach  dem  Newtonschen  Gesetz  und  die 
von  Libri  über  höhere  Mathematik  an. 

Mit  dem  Pariser  Aufenthalt  (1842/43)  waren  die  Lehrjahre 
Butlers  abgeschlüsgen,  und  er  muläte  sich  nun  einen  seinen  reichen 
K^mitniäsen  entsprechenden  Wirkungskreis  zu  verschaffen  suchen. 
Sein  sehnlicher  Wunach  war  die  akademische  Laufbahn,  aber 
in  Bayern  tat  sieh  unter  dem  den  wissenschaftlichen  Bestre- 
bungen wenig  geneigten  Ministerium  Abel  keine  Aussicht  auf. 

In  dieser  Sorge  wurzle  er  von  dem  Redakteur   der  Augs- 
btirger   Allgemeinen  Zeitung  Gustav  Kolb   auf  eine  Erzieher- 
le bei  dem  Fürsten  Nikolaus  Ghykha  in  Rumänien,  der  mit 
iner  Familie  abwechselnd  in  Jassy  und  auf  dem  ausgedahnten 
Gate  Comanes^  in  einem  einsamen,  von  dichten  Wäldern  mot- 
fg^bmeu  Schlösse  lebte,    aufmerksam  gemacht    Mit  Hchwe*^ 
sen  eatsehlob  er  sich,  diese  Stelle,  welche  sonst  si^hr  »jUa 


^54  öffentliche  Sitzung  vom  16.  März  1907. 

Bedingungen  bot,  (1845)  anzunehmen;  drängte  sie  ihn  doch 
von  der  gewöhnlichen  Laufbahn  eines  Gelehrten  ab  und  brachte 
ihm  Ungewisse  Wanderjahre.  Er  hatte  die  Aufgabe,  die  Er- 
ziehung der  drei  fürstlichen  Söhne  zu  leiten  und  sie  in  allen 
Schulföchern  zu  unterrichten,  wozu  er  durch  seine  allgemeine 
Ausbildung  und  sein  pädagogisches  Talent  in  hohem  Maße  be^ 
fahiget  war.  Er  hat  sich  durch  den  Erfolg  seiner  Tätigkeit 
befriediget  gefühlt,  und  die  fürstliche  Familie  sowie  seine  Zög- 
linge dankten  es  ihm  durch  innige  Verehrung  und  Anhänglich- 
keit. Er  blieb  daselbst  acht  Jahre  lang,  bis  die  Erziehung  in 
den  oberen  Gymnasialklassen  zu  München  ihren  Abschluß  fand. 
Er  bedauerte  nur,  daß  er  in  der  Einsamkeit  in  Rumänien  die 
literarischen  Hilfsmittel  und  den  Verkehr  mit  der  wissenschaft- 
lichen Welt  entbehrte. 

Bauer  hatte  sich  dadurch  endlich  die  Mittel  erworben,  die 
akademische  Laufbahn  einschlagen  zu  können,  allerdings  erst 
im  Alter  von  37  Jahren,  in  dem  andere  wohlbestallte  ordent- 
liche Professoren  sind  und  einen  guten  Teil  ihrer  wissenschaft- 
lichen Tätigkeit  hinter  sich  haben.  Sein  um  ein  Jahr  jüngerer 
früherer  Studiengenosse  in  Berlin,  Seidel,  war  schon  seit  zwei 
Jahren  ordentlicher  Professor. 

Im  Jahre  1857  habilitierte  sich  Bauer  an  unserer  Univer- 
sität als  Privatdozent  der  Mathematik  mit  einer  wertvollen  Ab- 
handlung: „Über  die  Integrale  gewisser  Differentialgleichungen, 
welche  in  der  Theorie  der  Anziehung  vorkommen.*  Es  war 
nach  der  Doktordissertation  seine  erste  wissenschaftliche  Arbeit. 
Seitdem  war  er  unablässig  bemüht,  der  Wissenschaft  zu  nützen 
und  durch  seine  Vorlesungen  die  mathematischen  Studien  an 
der  Universität  zu  fördern  und  zu  heben,  was  ihm  auch  in 
reichem  Maße  gelungen  ist.  Durch  den  Einfluß  seines  Kollegen 
und  späteren  Freundes  Seidel,  der  ihn  besonders  hoch  schätzte, 
wurde  er  1865  außerordentlicher  und  1869  ordentlicher  Professor. 

Die  wissenschaftlichen  Arbeiten  Bauers  bewegen  sich  auf 
zwei  ganz  verschiedenen  Gebieten  der  Mathematik. 

Die  erste  Art  derselben  handelt  von  der  theoretisch  inter- 
essanten und  für  die  mathematische  Physik  so  wichtigen  Theorie 


C.  Vöit:  Nekroloff  auf  Oüsttv  Bauer* 


255 


der  Kugel fijnktioneii.  Die  Vorlesungen  von  Diriclilet  und  Liou- 
vill©  hatten  ihn  in  die  Anwendungen  der  Potentialtheorie  auf 
das  Prohlein  der  Wärmeleitung,  inshesondere  in  die  Lehre  von 
den  Kugelfun ktioiien,  eingeführt,  der  seine  hauptsächlichsten 
Arbeiten  bis  in  die  Mitte  der  siebenziger  Jahre  angehören;  die- 
selben dnd  grüßten  teils  in  dem  Crelle-Borchardtschen  Journal, 
später  in  den  SitzungHberichten  unserer  Akatlemiti  verötfontlicht 
Die  vorher  erwähnte  Dissertation  zeigte,  daß  er  sich  schon  da- 
mals eingehend  mit  der  Theorie  der  Kugelfunktionen  abgegeben 
hatte.  Vor  allem  war  es  seine  allerdings  durch  die  Arbeiten 
von  Franz  Neumann  überholte  Habilitationsschrift,  in  der  er 
Völlig  selbständig  die  Theorie  der  Kngelfunktionen  zvireiter  Art 
entwickelte*  Hierher  gehören  noch  mehrere  weitere  Abhand- 
lungen, wie  die  Eiber  die  Garn maf unk tionen,  über  die  Ber- 
DouilÜHchen  Zahlen  und  über  Erweiterungen  der  Lehre  von  den 
Kügelfunktionen,  Er  lieferte  dadurch  neue  Beiträge  zur  Er- 
kenntnis der  Art  der  Darstellung  beliebiger  Funktionen  durch 
Reihen,  die  nach  solchen  Gebilden  geordnet  sind,  und  zeigte 
den  Weg  zu  einem  neuen  Beweise  der  Konvergenz  solcher  Ent- 
wicklungen, der  wesentlich  verschieden  von  dem  berühmten 
Dirichletscheu  sich  gestaltet.  Er  hat  dadurch  die  Wissenschaft 
mit  schönen  Sätzen  Über  die  vor  ihm  von  einer  Anzahl  der 
aui^gezeichnetsien  Mathematiker  bearbeiteten  Kügelfunktionen 
^l^ereichert,  welche  Sätze  bereits  in  die  Lehrbücher  überge- 
gen  sind. 

Die  zweite  Art  seiner  Arbeiten  ist  geometrischer  Natur. 
Die  Lehrtätigkeit  an  der  Universität  wies  ihn  besonders  auf  das 
mit  so  vielem  Erfolge  kultivierte  Feld  der  Anwendungen  der 
Älgi^bra  auf  die  Geometrie  hin.  Es  galt  die  weitere  Verfolgung 
der  analytisch-geometrischen  Methode,  welche  er  im  Anschluß 
an  die  Arbeiten  der  englischen  Geometer  sich  selbständig  zu 
eigi^n  gemacht  Auch  in  dieser  Richtung  hat  er  sich  mit  sehr 
gutem  Erfolg  betätiget  und  verwickelte  Aufgaben  zu  losen  ge- 
wußt. Es  gehört  hierher  die  Untersuchung  über  die  Reziprozi- 
tät»Yerhältnis;se  des  in  der  Theorie  der  Kegelschnitte  so  wich- 
tigen IVHkalschen  Sechsecks,  durch  welche  er  die  Kenntnis  der 


256  öffentliche  Sitzung  vom  16.  März  1907. 

interessanten  Eigenschaften  desselben  einerseits  bereicherte, 
andererseits  aber,  was  noch  wichtiger  ist,  dieselben  unter  gemein- 
samem Gesichtspunkte  in  ihrer  bisher  vermieten  Einheit  erkennen 
ließ,  so  daß  er  das  Problem,  üher  welches  vorher  Hesse  nicht 
zur  Entscheidung  gekommen  war,  in  höchst  anschaulicher  Weise 
völlig  löste. 

Ferner  sind  hervorzuheben  die  schönen  Arbeiten  über  die 
Theorie  der  Flächen  dritter  Ordnung,  die  ihm  einen  ihrer  wesent- 
lichsten Sätze  verdankt,  sowie  über  eine  Eigenschaft  des  gerad- 
linigen Hyperboloids,  welche  bis  dahin  den  Mathematikern  ent- 
gangen war.  Noch  im  Alter  von  85  Jahren  legte  er  in  der 
Sitzung  der  Akademie  vom  4.  März  1905  seine  letzte  Arbeit 
vor:  »Von  der  Kurve  sechster  Ordnung,  welche  der  Ort  der 
Brennpunkte  der  Kegelschnitte  ist,  welche  durch  vier  Kegel- 
schnitte gehen.* 

Ein  Hauptverdienst  Bauers  liegt  in  seiner  fruchtbaren  Lehr- 
tätigkeit. Er  las  über  die  geometrischen  Wissenschaften,  die 
sich  zu  jener  Zeit,  namentlich  durch  die  deutschen  Mathematiker, 
so  gewaltig  entwickelt  hatten,  und  dann  über  Algebra  und  ana- 
lytische Mechanik.  Er  war  ein  beliebter  Lehrer;  die  vielen  im 
Lehramt  für  Mathematik  und  Physik  an  den  bayerischen  Mittel- 
schulen Angestellten  waren  fast  alle  seine  Schüler.  Man  kann 
nicht  sagen,  daß  er  einen  glänzenden  Vortrag  hatte;  bei  seinem 
ungemein  lebhaften  Naturell  pflegten,  wie  Kollega  A.  Vofi  in 
seinem  schönen  Nachruf  sich  ausdrückt,  seine  Gedanken  nicht 
selten  dem  gesprochenen  Worte  und  damit  auch  dem  Verständ- 
nis des  Hörers  voranzueilen:  aber  die  an  die  originelle  Vor- 
tragsweise einmal  Gewöhnten  erkannten,  daß  es  ihm  heiliger 
Ernst  war  und  er  mit  aller  seiner  Kraft  bestrebt  war,  ihnen 
das  richtige  Verständnis  für  die  Lehren  der  W^issenschaft  bei- 
zubringen. Besondere  Sorgfalt  widmete  er  dem  Unterricht  in 
dem  mathematischen  Seminar  sowie  der  Ausgestaltung  desselben 
mit  Büchern  und  Modellen,  und  hier  war  es  vor  allem,  wo  er 
den  Studierenden  nahe  trat.  Er  hatte  ein  warmes  Herz  für 
den  fleißigen  Studenten  und  er  war  für  sein  Wohl  mit  Rat 
und  Tat  wie  ein  gütiger  Vater  besorgt. 


(7,  Voit:  Ifekrolog  auf  Wtlls  film  Koenif^t. 


257 


Die  allgemeine  Verehrung  geigte  sich  bei  seineoi  70»  und 

80*  Geburtstage,  welche  Feste  er  in  vollster  Rüstigkeit  feiern 
konnte.  Bei  dem  16-  Stiftungsfeste  des  mathematischen  Ver- 
eins am  7*  Juli  1893  hielt  er  den  Festvortrag;  ^Erinuerangen 
aus  meinen  Studienjahren,  insbesondere  mit  Rücksicht  auf  die 
Entwicklung  der  Mathtjmatik  in  jener  Zeit*,  in  dem  er  eine 
meisterhafte  Dansteliung  der  ruhmvollen  Oeschichte  der  Mathe- 
matik und  der  mathematischen  Studien  gab.  An  seinem  80.  Ge- 
hurtstage  brachte  ihm  der  mathematische  Verein  als  Festgabe 
seine  (Vorlesungen  über  Algebra"  dar.  Dieselben  sind  ans  den 
von  ihm  revidierten  Heften  der  Studierenden  von  seinem  Schüler 
Professor  Karl  Döhleniann  im  Auftrage  des  Vereins  heraus- 
gegeben worden, 

Bauer  ist  jugendfrisch  an  Körper  und  Geist  bis  in  das  höchste 
Alter  gehlieben.  Niemals  ernstUch  krank  erhielt  er  seinen  Körper 
leistungsfähig  durch  Leibesübungen  und  weite  Ausflüge  in  die 
schöne  Umgebung  unserer  Stadt,  In  rastloser  geistiger  Tätig- 
keit hielt  er,  obwohl  er  mit  dein  Sommersemester  1901  von  der 
Verpflichtung,  Vorlesungen  zu  halten,  entbunden  worden  war, 
doch  noch  im  Winter  1904/05  seine  gewohnte,  ihm  lieb  ge- 
w^ordene  Vorlesung.  Er  war  eine  frohe,  sinnige  Natur,  wahr- 
heitsliebend und  zuverlässig,  ein  durch  und  durch  edler,  reiner 
Charakter;  als  solcher  wird  er  in  unserem  Gedächtnis  bew^ahrt 
bleiben.    Sein  Leben  ist  ein  wahrhaft  glückliches  gewiesen, 

Wilhelm  Eoeniga. 

Am  15.  Dezember  1906  starb  im  Alter  von  55  Jahren 
im  ordentliche  Mitglied  der  mathematisch^phjsikalischen  Klasse, 
der  verdiente  Chemiker  Wilhelm  Koenigs.  Er  hat  sich  mit 
grotiem  Erfolg  an  der  Aufhellung  des  Baues  der  verwickelten 
Kohlenstgifverbin düngen  beteiliget  und  sich  namentlich  von 
Anfang  seiner  Tätigkeit  an  der  planmäßigen  Erforschung  der 
Cblna-Alkaloide  gewidmet. 

Koenigs  wurde  am  22;  April  1351  im  Dütken  bei  DüJi«el- 
dorf  ab  Sohn  einm  wohlhabe«iden  Kaufmanns   geborao.     Qtii^ 


■1^^ 


JiDS^ 


258  öffentliche  Sitzung  vom  16.  März  1907. 

ersten  Unterricht  erhielt  er  in  dem  Friedrich  Wilhehns-Gym- 
nasium  zu  Köln  (1862—1868),  wohin  die  Familie  übergesiedelt 
war.  Nach  Absolvierung  des  Gymnasiums  bezog  er  (im  Herbst 
1 868)  die  Gewerbeakademie  zu  Berlin  in  der  Absicht  Maschinen- 
baukunde zu  studieren;  nebenher  hörte  er  mathematische  und 
naturwissenschaftliche  Vorlesungen  an  der  Universität  und  an 
der  Bauakademie.  Dabei  entwickelte  sich  in  ihm  die  Neigung 
zur  Chemie,  die  ihn  veranlaßte,  ein  Semester  im  Laboratorium 
des  berühmten  Chemikers  Aug.  Wilh.  Hofmann,  des  Begründers 
der  Teerfarbenchemie,  und  ein  zweites  bei  Professor  Finkener 
auf  der  Bergakademie  zu  arbeiten.  Im  Herbst  1871  verließ 
er  Berlin  und  ging  zur  Fortsetzung  seiner  naturwissenschaft- 
lichen und  speziell  chemischen  Studien  nach  Bonn,  woselbst 
er  drei  Jahre  lang  in  der  organischen  Abteilung  des  Labora- 
toriums von  August  Kekule,  des  damals  auf  der  Höhe  seines 
Ruhms  stehenden  Schöpfers  der  Strukturchemie,  sich  beschäftigte. 

Nach  einem  in  Heidelberg  bei  dem  Altmeister  der  Chemie, 
Robert  Bunsen,  zugebrachten  Semester  (1874/75)  promovierte 
er  in  Bonn  auf  Grund  einer  im  dortigen  Institut  ausgeführten 
Untersuchung:  „Über  die  Einwirkung  von  Phosphorsuperchlorid 
auf  Äthylendisulfosäure.  * 

Nachdem  er  den  Sommer  1875  noch  analytische  Chemie 
bei  Professor  Finkener  in  Berlin  getrieben  und  den  Winter 
1875/76  im  Technologischen  Laboratorium  des  Polytechnikums 
zu  Zürich  tütig  war,  kam  er  als  junger  Doktor  im  Sommer 
1876  mit  reichen  Vorkenntnissen  ausgerüstet  nach  München. 
Nach  dem  Tode  Liebigs  war  mit  glücklichem  Griff  als  Nach- 
folger der  angesehene  Chemiker  Adolf  Baeyer  aus  Straßburg 
berufen  worden.  Während  vorher  eine  Ausbildung  in  der 
Chemie  dahier  nicht  möglich  war,  entstand  rasch  ein  gro&es 
Laboratorium,  das  bald  mit  an  erster  Stelle  im  Unterricht  und 
in  der  wissenschaftlichen  Forschung  stand.  Eine  große  An- 
zahl talentvoller  Schüler  hatte  sich  um  den  in  vollster  Kraft 
stehenden  Leiter  gesammelt,  von  denen  einige  zu  großer  Be- 
rühmtheit gelangt  sind.  In  diesen  Kreis  strebsamer  Jünger 
trat  Koenigs  ein;  hier  fand  er  die  ihm  zusagende  Wirksamkeit 


C.  Voit:  Nekrolog  üuf  Wilhelm  Koeniga. 


259 


fiir  8«iii  Leben,  so  daü  er  in  Müucben  sellhuft  blieb;  alle  sein© 
Arbeiten  hat  er  von  nun  tn  hier  aujsgeiührt. 

Im  Jahre  1881  habiliti&rtö  er  .sich  als  Pnvatdozent  für 
Chemie  mit  einf^r  bemerketis werten  Abhandlung:  , Studien  Über 
die  Älkaloide.*  1892  bekam  er  den  Titel  und  Rang  eines  an^r- 
ordentlichen  Professors  an  der  Univei-sität;  seit  1896  war  er 
außerordentliches  und  seit  1903  ordentliches  Mitglied  unserer 
Akademie;  1897  lehnte  er  einen  ehrenvollen  Ruf  als  ordent- 
licher Professor  an  die  Technische  Hochschule  zu  Aachen  ab, 
fr  fühlte  mch   durch   seioe   hiesige   Tätigkeit   toU  befriediget. 

KoenigB  begann  seine  wissenJichaftliche  Laufbahn  vor  fast 
30  Jahren  mit  einer  Untersuchung  der  Einwirkung  von  schwef- 
f  Säure  und  you  SuMnsäuren  auf  Diazobenzol  (1877).  Er 
ielt  dabei  eine  Substanz,  welche  einerseits  ein  Azokorper 
und  andererseits  ein  Sulfobenzid  ist,  und  die  er  dement- 
sprechend aus  BenzabulRnäblure  und  Diazobenzol  aufbauen 
konnte.  Durch  diese  Beobachtungen  wurde  er  veranlalät,  die 
Einwirkung  der  salpetrigen  Säure  auf  Benzosulfinsilure  zu 
studiereOf  und  entdeckte  dabei  die  Dibenzsulfhjdroxamsäure, 
welche  der  Ausgangspunkt  für  höchst  interessante  Unter- 
such ongen  über  die  Oxydation  des  Hjdroxjlamins  geworden  ist 

Seit  dem  Jahre  1880  wandte  sich  Koenigs  dem  Gebiete 
der  stickstoö  haltigen  KohlenstoÖVerbindungen  ¥on  basischem 
Charakter,  der  natürlichen  Alkaloide,  zu,  das  er  seitdem  unab- 
Ifissig  und  mit  reicher  Ernte  bebaut  hat  Zunächst  gelang  es 
ihnit  zwei  fundamentale  Reaktionen  aufzufinden,  nämlich  die 
Synthese  des  Chinolins,  das  man  durch  Destillation  von  Chinin 
oder  Cinehoniü  gewinnt,  aus  ÄUylanilin,  und  die  Überführung 
des  aus  dem  Piperin  des  Pfeäers  dargestellten  Piperidins  in 
Pyridin. 

VHb  Beschäftigung  mit  diesen  Basen  führten  ihn  zu  einer 

nmi'ji  Auffassung  der  in  der  Natur  vorkommenden  Alkaloide, 

die  er  in  seiner  vnrhergeuannten  Habilitationsschrift  zusammen- 

In  dieser  Schrift  setzte  er  auseinander,  daü  seahlreiche 

zenbasen  als  Derivate  des  Pyridins  und  hydrierter  Pyriditio 
aufzufassen  seien    und  daher  zu  den  Pyridinen  in  einem  Hhn- 

Ittt.  SJI««ncBb.  d.  mmik  -pbyii,  K).  ^g 


260  öffentliche  Sitzung  vom  16.  März  1907. 

liehen  Verhältnis  ständen  wie  die  Terpene  und  Kampherarten 
zu  den  aromatischen  Verbindungen.  Die  Schrift  bildet  ge- 
wissermaßen das  Programm  für  seine  umfangreichen,  in  un- 
unterbrochener Reihe  veröffentlichten  Untersuchungen  über  die 
Pflanzenbasen. 

Die  erste,  auch  für  weitere  Kreise  interessante  Entdeckung 
war  die  des  durch  Reduktion  des  Chinolins  und  darauf  folgende 
Methylierung  gewonnenen  Methyltetrahydrochinolins  oder  Kai- 
rolins; dasselbe  hat  stark  fieberstillende  Eigenschaften  und 
gab  den  Anstoß  zu  den  Untersuchungen,  welche  zur  Auffindung 
des  besser  wirkenden  Antipyrins   durch  Knorr   geführt  haben. 

Darauf  wandte  sich  Koenigs  mit  aller  Kraft  dem  Studium 
der  in  medizinischer  Hinsicht  so  wichtigen  Chinabasen  zu;  es 
gelang  ihm,  durch  eine  sehr  große  Reihe  von  Experimental- 
untersuchungen  die  Konstitution  derselben  soweit  festzustellen, 
daß  die  künstliche  Darstellung  des  Chinins  nur  mehr  eine  Frage 
der  Zeit  ist.  In  diesen  seinen  Arbeiten  ist  eine  Fülle  von 
neuen  Gesichtspunkten  für  den  Aufbau  derartiger  Pflanzen- 
basen enthalten,  die  eine  höchst  wertvolle  Bereicherung  der 
chemischen  Wissenschaft  bilden. 

Im  weiteren  Verfolg  dieser  Untersuchungen  über  die 
Alkaloide  erhielt  er  durch  Oxydation  von  Cinchonin  neben 
anderen  Oxydationsprodukten  das  Merochinen.  Es  glückte  ihm 
nun,  den  Zusammenhang  zwischen  diesen  Substanzen  aufzu- 
klären und  damit  eine  neue  Stütze  für  die  Richtigkeit  der 
Formel  des  Merochinens  beizubringen.  Ferner  stellte  er  Methy- 
Herungsprodukte  von  Desoxycinchonidin  und  Desoxycinchonin 
dar  und  untei-suchte  das  Verhalten  der  Jodwasserstoffadditions- 
prmlukte  von  Cinchoninchlorid  und  von  Cinchonin  sowie  die 
der  Sulfoderivato  des  Cinchens.  Das  aus  Cinchonin  gewonnene 
Lepidin  wurde  einer  genaueren  Prüfung  unterworfen  und  eine 
Anzahl  neuer  I>erivat*  dargestellt,  welche  für  dieses  Kapitel 
großes  Interesse  haben. 

Durch  Behandlung  der  CinchoninsÄure  mit  rauchender 
Salpet^^rsaure  stallte  er  eine  Xitrocinchoninsaure  dar.  welche 
sich  bei  der  Reduzierung  als  ein  A«a-SuK?:titutionsprodukt  er- 


C.  Voit:  Nekrob^e  mit  Wilhelm  Koenig«, 


261 


wie»,  inden]  efi  sich  abeiiäo  wie  dttö  etitsprecbtiud&  Derivat  der 
Niiphtoasäure  in  ein  inneres  Anhydrit  verwandelte. 

Besonders  erfolgreich  gestjiltete  sich  seine  Untei^uchuug 
über  die  Produkte  der  Eiü Wirkung  von  Formaldehjd  auf 
Chinaldin,  indem  es  ihm  möglich  war,  nicht  nur  ein  MolekUl 
des  ersteren,  sondern  auch  zwei  und  drei  in  das  Alkaloid  ein- 
zuftlhren.  Die  neuen  Basen  enthalten  nach  seinen  Ermitte- 
lungen nui*  eine  einzige  Seitenkette,  wie  die  Oxydation  der- 
selben 7*u  Chinaldinsänre  beweist,  der  Kohlenstoff  ist  aber  ein 
verzweigter,  da  der  doppelte  Alkohol  dnrch  R-eduktion  in 
IsopropylcbinoÜD  Terwandelt  wird.  Hieran  reihen  sich  seine 
Versuche  Über  die  Einwirkung  von  Aldehyden  auf  solche 
Chinolinderivate,  welche  eine  Methyl-  oder  Methylengruppe  in 
der  o-  oder  )'-SteÜung  enthalten,  sowie  die  Arbeiten,  welche 
bestimmt  waren,  das  neu  gewonnene  Gebiet  abzugrenzen* 

In  der  Sikung  der  mathematisch- physikalischen  Klasse 
vom  2.  Dezember  1905  hielt  er  seinen  letzten,  in  Llebig^ 
Annalen  der  Chemie  veröffentlichten  Vortrag:  »Über  die  Kon- 
stitution der  Chinaalkaloida'^,  in  dem  er  den  damaligen  Stand 
dieses  Problems,  an  dessen  Klärung  ihm  ein  so  hervorragender 
Ateil  zufallt,  darlegte. 

Eine  andere  Ileihe  wichtiger  Arbeiten  ist  endlich  die  über 
Derivate  von  Zuckerarten,  in  denen  er  einen  neuen  und  leicht 
gangbaren    Weg    für   die    Synthese   von   Glucosiden    nachwies. 

Nicht  nur  die  Wissenschaft  sondern  auch  das  chemische 
Laboratorium  unserer  Univei'sitüt  hat  durch  das  Ableben  von 
Koenigs  einen  schweren  Verlust  erlitten.  Er  war  dem  Vor- 
atafid  eine  getreue  Hilfe  seit  fast  drei  Dezennien  bei  dem 
Unterricht  im  organischen  Laboratoriuni  und  bei  der  Aus- 
fllkrtmg  der  wissenschaftlichen  Arbeiten  der  Schüler.  Den 
AnlUnger  wuläte  er  aufzumuntern,  wenn  er  an  dem  Erfolg 
seiner  Arbeit  verzweifeln  wollte,  und  den  älteren  Fachgenossen 
ww  ar  ein  fördernder  Berater* 

Als  Dank    dafür,  was  er   in  dem  Laboratorium  genossen, 
und  in  Begeisterung  für  die  Wissenschaft,  machte  er  in 
herziger  Gesinnung  im   Jahre  1900   mit  seinen   Gaseb 

18' 


262  öffentliche  Sitzung  vom  16.  März  1907. 

eine  Stiftung  zur  Förderung  wissenschaftlich-chemischer  For- 
schungen, welche  er  später  am  70.  Geburtstage  seines  geliebten 
Lehrers  zur  Adolf  von  Baeyer-Jubiläurosstiftung  mit  einem 
Kapitale  von  50000  Mark  erweiterte;  in  seinem  Testamente 
führte  er  der  Münchener  Bürgerstiftung  50  000  Mark  zu,  außer- 
dem noch  besonders  10000  Mark  dem  chemischen  Labora- 
torium und  eine  weitere  ansehnliche  Summe  für  botanische, 
zoologische  und  chemische  Forschung. 

Als  Wohltäter  der  Akademie  ist  sein  Name  in  den  Tafeln 
der  Spender  der  Akademie  für  immer  eingegraben;  er  wird 
aber  auch  in  den  Annalen  seiner  Wissenschaft  als  der  eines 
feinen  Denkers  und  Experimentators  fortleben. 


Ludwig  Boltzmann. 

Ludwig  Boltzmann,  der  hervorragende  Physiker,  ist  am 
6.  September  zu  Duino  bei  Triest,  wo  er  Erholung  suchte,  eines 
jähen  Todes  gestorben.  Mit  ihm  hat  die  Wissenschaft  den  Meister 
und  Führer  in  der  theoretischen  Physik  verloren,  dem  es,  wie 
nur  wenigen,  gelungen  ist,  auf  diesem  schwierigen  Gebiete  in  die 
Tiefe  zu  dringen;  er  war  einer  der  bedeutendsten  Denker  in 
seiner  Wissenschaft,  von  größtem  mathematischen  Scharfsinn 
und  ein  äußerst  gewandter  Experimentator. 

Ludwig  Boltzmann  wurde  in  Wien  am  20.  Februar  1844 
geboren;  er  machte  seine  akademischen  Studien  hauptsächlich 
in  seiner  Vaterstadt,  wo  Joseph  Stefan  und  Lohschmidt  seine 
Lehrer  waren.  Als  Assistent  Stefans  habilitierte  er  sich  (1867) 
an  der  Universität  als  Privatdozent.  Man  erkannte  bald  das 
ungewöhnliche  mathematische  Talent  des  jungen  Gelehrten,  denn 
schon  im  Alter  von  25  Jahren  (1869)  wurde  er  als  ordentlicher 
Professor  der  mathematischen  Physik  an  die  Universität  Graz 
berufen.  Er  war  eine  unstete  Natur,  die  nirgends  dauernde  Ruhe 
fand  und  immer  glaubte,  einen  mehr  zusagenden  Wirkungskreis 
erreichen  zu  können.  Er  blieb  in  Graz  nur  vier  Jahre,  ging 
dann  als  Professor  der  reinen  Mathematik  an  die  Wiener  Uni- 
versität, hierauf  nach  zwei  Jahren    als  Professor   der   Experi- 


C.  Yoit;  Nekrolog  auf  Ludwig  Bottzmann. 


263 


■ 
I 

I 
I 


I 


» 


>hjsik  und  Vorstand  des  neu  errichteten  physikalischen 
Institutes  wiederum  nach  Graz*  Seine  glüDÄende  Entwicklung 
und  die  hoho  Bedeutung,  die  er  in  der  Wissenschaft  erlangt 
hattei  brachten  es  rajt  sich»  daß  man  von  vielen  Seiten  bestrebt 
war,  ihn  ^u  gewinnen.  Seine  bereits  erfolgt«  Ernennung  zum 
Nachfolger  Kirchhofts  in  Berlin  machte  er  wieder  rückgängig, 
folgte  aber  im  Jahre  1890  gerne  einem  Rufe  an  rlie  hiesige 
Universität  ak  Professor  für  theoretische  Physik,  Er  lebte  sich 
dahier  bald  ein  und  versammelte  einen  Kreis  vorgeschrittener 
Schüler  um  sich;  wir  waren  stolz  darauf,  ihn  als  tätiges  Mit- 
glied unserer  ümversität  und  Akademie  zu  besitjien;  um  so 
gi^läer  war  unsere  Überraschung,  als  er  nach  vier  Jahreii  sich  be- 
stimmen lielä  abermals  nach  Wien  als  Profössor  der  theoretischen 
Physik  als  Nachfolger  seines  Lehrers  Stc*fan  zu  gehen.  Er  hielt 
es  ja  loch  auch  in  seiner  Vaterstadt  nur  sechs  Jahre  aus;  es  zog 
ihn  naeh  Leipzig,  weil  er  glaubte,  au  dieser  Universität  mit 
ikrer  glänzenden  mathematischen  Schule  in  der  Anregung  eines 
größeren,  besser  vorgebildeten  SchUlerkreises  eine  befriedigendere 
Wirksamkeit  zu  finden.  Er  fand  aber  auch  da  nicht  das  Ge* 
suchte  und  kehrte  (1902)  endlich  als  Professor  der  theoretischen 
Physik  nach  Wien  zurück.  Er  wäre  nicht  abgeneigt  gewesen 
iiochmaLs  nach  München  zu  kommen.  In  den  letzten  drei  Jahren 
erliielt  er  noch  einen  Lehrauttrag  ftir  Methode  und  allgemeine 
Theorie  der  Naturwissenschaften  als  Erbe  der  Lehrkanzel  des 
Physikers  Ernst  Mach,  welcher  über  Geschichte  und  Theorie 
der  induktiven  Wissenschaften  Vorlesungen  zu  halten  hatte. 

BoltzmauD  stand  nach  dem  Tode  von  Clausius,  Kirchhoff 
ttfid  Helniholtz  nach  dem  Übereinstimmenden  Urteil  aller  Fach- 
geiiosaen  unter  den  theoretischen  Physikern  Deutschlands  an 
ersUT  Stelle.  Seine  zahlreichen,  zum  grötten  Teil  in  den  Sitzungs- 
riehten  der  Wiener  und  unserer  Aksidemie,  sowie  in  Clebschs 
lematischen  Annalen  und  in  Wiedcmanns  Annalen  der  Physik 
f^röffisntliehten  Arbeiten  bewegen  sich  fiist  sämtlich  auf  dem 
Gebiete  der  theoretischen  Physik,  und  wenn  er  im  Laboratorium 
Beobachtungen  und  Messungen  ausfiihrte,  so  geschah  es  immer 
im  Anschluß  au  theoretische  Untersuchungen  und  zur  Prüfung 


264  öffentliche  Sitzung  vom  16.  März  1907. 

ihrer  Konsequenzen.  Dabei  zeigte  sich  der  eminente  Theoretiker 
zugleich  als  Erfinder  der  sinnreichsten  Beobachtungsmethoden 
und  fein  ausgedachter  Apparate.  Seine  hervorragende  Begabung 
für  theoretische  Untersuchungen  in  Verbindung  mit  einer  sel- 
tenen Beherrschung  des  mathematischen  Rüstzeuges  haben  ihn 
befähiget,  die  physikalischen  Theorien  von  Clausius  und  ins- 
besondere von  Maxv^ell  in  glücklichster  und  erfolgreicher 
Weise  weiter  auszubilden  und  zu  ergänzen,  sowie  eine  Reihe 
anderer  schwieriger  Fragen  zu  lösen  oder  der  Lösung  näher  zu 
führen. 

Seine  Lehrer  Lohschmidt  und  Stefan  hatten  ihn  als  an- 
gehenden Forscher  auf  die  kinetische  öastheorie  und  die  Theorie 
der  elektrischen  Erscheinungen  von  Maxwell,  dem  er  die  tief- 
sten Anregungen  verdankte,  aufmerksam  gemacht.  Den  größten 
Teil  seines  Lebens  widmete  er  der  Klärung  dieser  schwierigen 
Probleme. 

Die  Untersuchungen  über  die  mechanische  Theorie  der 
Wärme  und  der  auf  die  Gase  bezügliche  Teil  dieser  Theorie, 
die  kinetische  Theorie  der  Gase,  waren  wohl  seine  größten 
Leistungen;  schon  als  21  jähriger  Student  schrieb  er  seine  erste 
Abhandlung,  in  der  ihm  die  mechanische  Begründung  des  zweiten 
Hauptsatzes  der  Wärraetheorie  durch  Zurückführung  auf  das 
Hamiltonsche  Prinzip  gelang;  dieselbe  blieb  aber  ganz  unbe- 
achtet, bis  eine  Polemik  mit  Clausius,  der  vier  Jahre  nachher 
zu  ähnlichen  Resultaten  gekommen  war,  die  Aufmerksamkeit 
auf  sie  lenkte. 

Später  deckte  er  die  Beziehungen  auf  zwischen  diesem  Satze 
und  der  Wahrscheinlichkeitsrechnung,  sowie  den  Sätzen  über 
das  Wärmegleichgewicht.  Er  verfolgte  denkend  bis  in  die 
letzten  Konsequenzen  den  Vorgang  beim  Zusammenstoß  zweier 
Teilchen  nach  den  Grundsätzen  der  Mechanik  und  stellte  fest, 
in  welcher  Weise  sich  die  Geschwindigkeiten  beider  Teilchen 
beim  Stoß  ändern,  und  berechnete  sodann,  wie  oft  in  einer  ge- 
gebenen Zeit  jede  Art  von  Zusammenstößen  vorkömmt. 

So  erhielt  er  das  Gesetz,  nach  dem  sich  in  einem  Gas 
während  des  stationären  Zustandes   die  Geschwindigkeiten  auf 


G.  Vmt^  Nekrolog  ».uf  Ludwig  Boltsmimii, 


265 


die  verscbiedeaen  MoIeklUe  verteilen,  ao  daß  er  davon  auggebend 
die  firecheinungen:  d©n  Druck,  die  innere  Heibuirg,  die  DiB'usiou, 

die  Wrirmeleitung  etc,  abzuleiten  verraochte. 

Nur  wenige  konateii  ihm  anlaiigs  iu  die  abstrakten  Höhen 
lines  Denkens  folgen,  eo  daü  «eine  Lehren  längere  Zeit  vielen 
fremd  geblieben  sind ;  in  England,  wo  Maxwell  vorher  mit  solchen 
Problemen  beschäftiget  war,  l'and  er  früher  Verständnis*  und 
AüerkennUDg.  Die  Znsammenstellung  seiner  diesbezüglichen 
Arbeiten  in  dem  zweibändigen  Werke:  ,  Vorlesungen  über  kine- 
tische Uastheorie"  (1895  -  1899)  gab  eine  unvergleichliche  Ein- 
führung in  das  schwierige  üebiet  und  rückte  ilin  in  Deutsch- 
land in  die  Stellung  neben  Clausius  und  MaxwelL 

Die  mechanische  Begründung  des  zweiten  Hauptsatzes  der 
Thermodynamik  war  ihm  die  Verünlabisung,  sein  merkwürdiges 
Buch:  ,  Vorlesungen  über  die  Prinzipien  der  Mechanik'*  in  zwei 
Bänden  (1897  und  1904)  zu  schreiben;  es  ist  eines  der  hervor- 
ragendsten deutschen  theoretisch -physikalischen  Werke,  eine 
Darstellung  und  Prüfung  fler  allgemeinen  Sätze  der  Meclianik 
Von  unerreichter  Genauigkeit  und  meisterhafter  Kritik. 

Nächst  der  öastheorie  hat  sich  Boltzmann  am  eingehendsten 
mit  der  Elektrodynamik  beschäftiget,  insbesondere  mit  der  Er- 
weiterung der  klassischen  Theorie  der  elektromagnetischen 
Schwingungen  in  Nichtleitern  von  Maxwell.  Mit  besonderer 
VarÜebe  war,  wie  gesagt.^  Boltznifinn  den  von  letzterem  er- 
5i!neten  Pfaden  gefolgt.  Maxwell  hatte  vorausgesagt,  dald  das 
Licht  auf  elektro-magnetischen  Schwingungen  beruhe,  und  auf 
der  von  Faraday  geschaffeneu  breiton  induktiven  Grundlage  einen 
theoreti scheu  Bau  kühnster  Konstruktion  aufgeführt,  dessen 
Schluiastein  jener  Zusammenhang  yvwischen  Licht  und  Elektri- 
xität  bildete,  welcher  später  (188H)  durch  die  bewundernswerten 
Versache  des  leider  zu  früh  verstorbenen  Heinrich  Hertz  eine 
3^1  überraschende  experimentelle  Bestätigung  fand.  Die  Schriften 
des  genialen  Schatten  sind  jedoch  nicht  immer  von  klarer  und 
logtseh  gegliederter  Darstellung,  und  deshalb  oft  dunkel  und 
iwer  verständlich.  Für  Boltznmnu,  der  die  Tragweite  der 
Lwdbchen  Konzeption  alsbald  erfaöte  und  deren  begeisteiter 


266  öffentliche  Sitzung  vom  16.  März  1907. 

Apostel  in  Deutschland  wurde,  gab  es  jedoch  auch  hier  keine 
Schwierigkeiten;  sein  Scharfsinn  erkannte  leicht  die  einfachen 
Prämissen,  welche  sich  hinter  der  manchmal  nebelhaften  Dar- 
stellung Maxwells  verbargen,  und  er  entwickelte  daraus  mit 
der  ihm  eigenen  Eleganz  und  Durchsichtigkeit  ein  logisch  kon- 
sequentes Lehrgebäude  der  Elektrodynamik.  Er  hat  als  erster 
Maxwells  Theorie  der  Elektrizität  experimentell  geprüft  und 
gerade  hierin  sich  als  Meister  in  der  Kunst  des  Experimen- 
tierens  durch  Überwindung  der  größten  Schwierigkeiten  gezeigt. 
Hierher  gehören  vor  allem  seine  in  den  Jahren  1873  und  1874 
gemachten  berühmten  Untersuchungen  über  die  dielektrischen 
Körper  mit  experimentellen  Bestimmungen  der  Dielektrizitäts- 
konstanten einiger  Gase  und  des  kristallinischen  Schwefels, 
wodurch  er  die  Maxwellsche  Theorie  stützte,  indem  er  sie  in 
Beziehung  zu  dem  optischen  Brechungsvermögen  brachte.  In 
seinem  im  Wintersemester  1890  an  unserer  Universität  ge- 
haltenen „Vorlesungen  über  Maxwells  Theorie  der  Elektrizität 
und  des  Lichts*,  welche  1891  im  Druck  erschienen  sind,  treten 
jene  Vorzüge  in  glänzender  Weise  hervor. 

Wir  besitzen  von  ihm  noch  eine  eingehende  Theorie  der 
elastischen  Nachwirkungen  nebst  bestätigenden  Versuchen,  Ab- 
handlungen über  das  Hall-Phänomen,  über  die  molekulare 
Theorie  der  Dissoziation,  über  das  Strahlungsvermögen,  wo- 
nach die  Gesamtstrahlung  eines  Körpers  proportional  ist  der 
vierten  Potenz  seiner  absoluten  Temperatur. 

Er  war  ein  überzeugter  Anhänger  der  Annahme  von 
Atomen  und  der  kinetischen  Theorie  der  Materie.  Alle  seine 
Werke  ruhten  auf  dieser  Voraussetzung,  seine  Lehren  in  der 
kinetischen  Gastheorie  sowie  in  den  Prinzipien  der  Mechanik. 
Immer  wieder  verteidigte  er  seine  Anschauung  gegen  Machs 
Beschreibung  oder  Phänomenologie  und  gegen  Ostwalds  Ener- 
getik auf  das  energischste. 

Boltzmann  war  ein  ausgt^zeichnoter,  hiJchst  anregender  aka- 
demischer Lehrer,  welcher  dem  nach  Erkenntnis  strebenden 
denkenden  Studierenden  auch  schwierige  Themata  verständlich 
zu  machen  wuL^te.    Gerne    hielt  er  auch  Vorträge   und  Reden 


C,  Toitx  Kekrolog  auf  Ludwig  BolUmann. 


267 


vor  einem  grölaeren  Kreise,  k.  B*  bei  Naturforseherversamm- 
lungen  und  Festsitzungeo  der  Akademie,  die  sich  durch  Klar- 
heit, tingemeine  Lebendigkeit  und  Schönheit  der  Darstellung 
aufizeichneten.  In  der  wissenschaftlichen  Debatte  war  er  ein 
ungemein  schlagfertiger  und  gefürchteter  Gegner. 

Im  Jahre  1905  gab  er  seine  gesammelten  Reden  und  popu- 
lären Abhandlungen  von  allgemeiner  Bedeutung  heraus*  Nicht 
alle  sind  in  gewöhnlichem  Sinne  populär,  aber  der  naturwissen- 
schatUich  gebildete  Leser  wird  die  geistvollen  Darlegungen 
mit  dem  größten  Interesse  verfolgen.  Seine  Nekrologe  auf 
Kirehhoff,  Lohschmidt  und  Stefan  zeigen  eine  rührende  Pietät 
und  Dankbarkeit  filr  die  Männer,  welche  ihm  als  Lehrer  die 
Wegü  geebnet  haben*  Die  letzte  Abhandlung  darin,  eine  Be- 
schreibung seiner  Heise  nach  Amerika»  ist  voll  von  Humor  und 
feinem  Witz,  die  mau  dem  sonst  so  ernst  erscheinenden  Ge- 
lehrten nicht  zugetraut  hätte* 

In  den  letzten  Jahren  hielt  er  an  der  Universität  vor 
einem  Zuhörerkreis  von  mehr  als  600  Studierenden  aus  allen 
Fakultäten  Vorträge  über  philosophische  Themata;  es  war  wohl 
die  wahre  Naturphilosophie,  reich  an  Gedanken,  geschöpft  aus 
den  tiefsten  Kenntnissen  der  Naturwissenschaft, 

BüUxmann  war  eine  eigenartige,  in  sich  geschlossene  Per- 
sönlich keit.  Sein  ganzes  Denken  und  Sinnen  war  eriiillt  von 
seiner  wissenschaftlichen  Arbeit  und  seinen  Ideen,  so  dstü  anderes 
keinen  Platz  mehr  iand.  Daher  kam  es,  dati  ihm  die  Gebräuche 
und  Gewohnheiten  des  gewöhnlichen  Lebens  unbekannt  hlieben 
und  er  ihnen  als  Fremdling  gegenüberstand;  er  war  darin  von 
einer  Einfachheit  und  Kindlichkeit,  die  in  grellem  Gegensatz 
stand  zu  der  Höhe  seines  Geistes. 

Es  bildete  sich  bei  ihm,  hervorgerufen  durch  körperlicho 
Leiden,  allmählich  eine  tiefe  Melancholie  aus,  die  auch  die  lyr- 
ische war,  daß  er  Hand  ati  sich  legte. 

Boltzmann  wird  stets  als  einer  der  groöten  Denker  in  der 
Naturwissenschaft  gepriesen  worden. 


i 


268  öffentliche  Sitzung  vom  16.  März  1907. 

Wilhelm  von  Bezold. 

Am  17.  Februar  1907  ist  der  Direktor  des  K.  Preußischen 
Meteorologischen  Instituts  und  Professor  der  Meteorologie  an 
der  Universität  zu  Berlin,  Wilhelm  von  Bezold,  im  Alter  von 
nicht  ganz  70  Jahren  gestorben.  Er  hat  bis  zum  Jahre  1885 
an  den  beiden  hiesigen  Hochschulen  in  ausgezeichneter  Weise 
gewirkt  und  war  seit  1875  ein  hochgeschätztes  und  tätiges  ein- 
heimisches ordentliches  Mitglied  unserer  Akademie.  Mit  ihm 
ist  einer  der  angesehensten  Physiker  und  Meteorologen,  der 
sowohl  als  Forscher  wie  als  Organisator  sich  hohe  Verdienste 
erworben  hat,   aus  einem  großen  Wirkungskreise  geschieden. 

Bezold  wurde  am  21.  Juni  1837  zu  München  als  der  Sohn 
eines  höheren  Ministerialbeamten  geboren.  Die  Familie  der  Be- 
zolde  stammt  aus  der  alten  ehemaligen  freien  Reichsstadt  Rothen- 
burg ob  der  Tauber,  die  1806  mit  den  protestantischen  frän- 
kischen Landen  an  Bayern  gekommen  war.  Schon  frühe  zeigten 
sich  an  ihm  ein  ungemein  lebendiger  Geist  und  ungewöhnliche 
Talente,  namentlich  trat  seine  Vorliebe  für  Mathematik  und 
Physik  hervor;  aber  auch  für  andere  Wissenszweige  hatte  er 
das  größte  Interesse  und  wie  andere  Mitglieder  der  Familie  ein 
tiefes  Verständnis  für  die  Kunst. 

Von  Anfang  an  entschied  er  sich  für  das  Studium  der 
Physik  als  Lebensaufgabe.  Zunächst  besuchte  er  die  Universität 
München,  an  der  seit  1854  Philipp  Jolly  als  Physiker  wirkte, 
wandte  sich  aber  bald  nach  Göttingen,  wo  der  bedeutendste 
Physiker  der  damaligen  Zeit,  Wilhelm  Weber,  sein  Lehrer  war. 
In  Göttingen  erwarb  er  (1860)  den  Doktorgrad  mit  einer  Disser- 
tation „Zur  Theorie  des  Condensators".  Nach  München  zurück- 
gekehrt, wurde  er  Assistent  am  Physikalischen  Institut  und 
habilitierte  sich  (1861)  an  der  Universität  für  Physik  unter 
Vorlage  einer  Schrift  „Über  die  physikalische  Bedeutung  der 
Potentialfunktion".  Nachdem  er  als  Privatdozent  imd  seit  1866 
als  außerordentlicher  Professor  an  der  Universität  gelehrt  hatte, 
erhielt  er  bei  Errichtung  der  Technischen  Hochschule  (1868) 
eine   ordentliche  Professur   für  Physik    und    zwar   för   mathe- 


0,  Yoits  Nelp-olog  auf  Wilhelm  v.  Retiold. 


269 


Dhe  und  angewandte  Physik  an  derselben.  Außerdem  wurde 
er  infolge  seiner  ausgezeic hotten  meteor alogischen  Studien 
(1878)  zum  Vorstand  der  neu  begründeten  K.  Bayerischen  Me- 
teorologischen Zentralatation  ernannt  und  ihm  die  Organisation 
dds  nieteorologischtjn  Dienstes  übertragen,  welche  er  mit  ebenso 
großem  Eifer  als  Erfolg  ins  Leben  rief.  Sowohl  die  fQr  die 
Beobachter  ausgearbeiteten  Instruktionen  als  auch  die  Publi- 
kationen der  Beobachtungsresultate  wichen  in  vielen  Beziehungim 
von  den  herkömmlichen  Formen  ab  und  können  als  muster- 
gültig bemchnet  werden.  Er  führte  auch  die  tägliche  Heraus- 
gabe von  Wetterkarten  und  Wetterberichten  mit  Wetterpro- 
gnosen  ein  und  organisierte  einen  weit  ausgebildeten  Dienst 
filr  die  Untersuchung  der  Gewitter, 

Das  hohe  wissenschaftliche  Ansehen,  das  er  sich  durch  die 
letzteren  Arbeiten  erworben,  veranlafite  die  preußische  Regierung 
ihn  (1885)  als  ersten  ordentlichen  Professor  der  Meteorologie 
in  Deutschland  an  die  Universität  tu  Berlin  und  als  Direktor 
dfts  Meteorologischen  Instituts  daselbst  zu  beruferK  Es  ist  ihm 
ongemein  schwer  gefallen,  München  zu  verlassen*  da  er  dadurch 
den  Entsebiuß  fassen  mußte,  der  Physik,  der  er  so  lange  treu 
gedient  und  in  der  er  durch  seine  elektrischen  Forschimgeti 
eben  an  einen  ihm  die  weitesten  Aussiebten  eröffnenden  Funkt 
gelangt  war,  zu  entsagen  und  sich  einer  neuen  Lebensaufgabe 
anzuwenden,  Er  sollte  den  damals  noch  sehr  daniederliegenden 
Wetterdienst  in  Preußen  reorganisieren;  es  ist  ihm  auch  durch 
sein  organisatorisches  Talent  und  durch  unablässige  Wirksam- 
keit als  Leiter  des  enormen,  viel  verzweigten  Verwaltungsappa- 
rates gelungen.,  das  Institut  zu  einer  mustergültigen  Anstalt  aus- 
20 bauen,  die  im  In-  und  Auslände  das  grollte  Ansehen  genießt. 
Bei  seiner  wissenschaftlichen  Tätigkeit  befafäte  sich  Bezold 
pmentsprechend  in  der  ersten  Zeit  mit  rein  physikalischen  Pro- 
sen, später  insbesondere  mit  solchen  der  Meteorologie. 
■Von  seiner  physikalischen  Arbeit  bewegt  sich  der  größere 
Teil  auf  dem  Gebiete  der  Elektrrzitätslehre,  An  den  vorher  er- 
weinten  ersten  größeren  Aufsatz  über  die  physikalische  Be- 
ikutung  der  Potentialfunktion   itehlieÜen    sich  Uniersuclumg^n 


270  öffentliche  Sitzung  vom  16.  März  1907. 

an:  über  das  Verhalten  der  starren  Isolatoren  gegen  Elektri- 
zität, über  die  elektrische  Entladung,  über  die  elektromotorische 
Kraft  des  galvanischen  Lichtbogens,  über  die  Theorie  des  Elektro- 
phors,  über  den  Zusammenhang  zwischen  Temperatur  eines 
glühenden  Drahtes  und  der  Zusammensetzung  des  von  ihm  aus- 
gehenden Lichtes  sowie  über  die  Brechung  von  Strom-  und 
Kraftlinien;  seine  Versuche  über  elektrische  Staubfiguren  gaben 
ihm  ein  elegantes  Mittel  zur  experimentellen  Prüfung  für  die 
Art  der  Entladung.  Die  hohe  Bedeutung  seiner  Untersuchungen 
über  elektrische  Entladungen  ist  anfangs  nicht  genügend  be- 
achtet worden,  bis  später  Heinrich  Hertz  die  Aufmerksamkeit 
darauf  lenkte;  sie  kamen  den  bahnbrechenden  Entdeckungen 
des  letzteren  über  den  Zusammenhang  von  Licht  und  Elektri- 
zität, die  unter  anderem  für  die  Begründung  der  drahtlosen 
Telegraphie  den  Ausgang  bildeten,  sehr  nahe. 

Eine  zweite  Reihe  von  Arbeiten  Bezolds  gehört  der  Optik 
und  der  Farbenlehre  an.  Es  sind  namentlich  auch  schwierige 
Fragen  der  physiologischen  Optik,  welche  er  mit  tiefem  Ver- 
ständnis und  feiner  Beobachtungsgabe  zu  lösen  bemüht  war; 
es  sind  hierher  zu  zählen  seine  Untersuchungen  über  binokulares 
Sehen  und  über  binokulare  Farbenmischung,  über  Zerstreuungs- 
bilder auf  der  Netzhaut,  über  das  Gesetz  der  Farbenmischung 
und  die  physiologischen  Grundfarben,  seine  Vergleichung  von 
Pigmentfarben  mit  Spektralfarben  und  seine  Arbeit  zur  Lehre 
von  den  identischen  Netzhautpunkten.  Ganz  eigenartig  ist  sein 
1874  erschienenes  Werk:  „Die  Farbenlehre  im  Hinblick  auf  Kunst 
und  Kunstgewerbe",  wozu  er  durch  den  Umgang  mit  Künstlern, 
besonders  mit  seinem  Schwager,  dem  feinfühlenden  Maler  Anton 
Seitz,  veranlalät  worden  war. 

Seit  der  Gründung  der  Bayerischen  Meteorologischen  Zentral- 
station und  seiner  Berufung  als  Direktor  des  Meteorologischen 
Instituts  nach  Berlin  wurde  Bezolds  Arbeitskraft  fast  ganz  von 
der  Meteorologie  in  Anspruch  genommen.  Schon  frühe  inter- 
essierten ihn  die  Erscheinungen  in  der  Atmosphäre,  die  er  auf 
das  genaueste  beobachtete.  Er  bezeichnete,  die  Meteorologie  als 
eine  Physik  der  Atmosphäre;  seine  Arbeiten  hierin   haben  die 


C.  Voii:  Nekrolog  auf  Henri  Moiieian. 


271 


Meteorologie  in  bahabrecheader  Weist«  gefördert,  Diirch  ^ta- 
tjsligche  Zusamnienätellutigen  fand  er,  daß  gewisse  Gesetznml^ig- 
keitt*n  in  der  Häufigkeit  der  Gewitter  existieren  und  darin  eine 
siikülare  Periode  aiiftritt,  welche  5^u  den  schon  bekannten  Peri- 
oden der  Sonueuflecken  und  der  Nordlicht&r  in  einfacher  Be- 
7.iehyng  steliL  Hierher  gehürl  seine  Abhandlung  über  die  Kälte- 
rÜcklülle  im  Mtü,  die  ^strengen  Herren **»  sowie  die  Über  die  Ver- 
teilung dew  Luftdruckes  und  der  Temperatur  hei  Gewittern,  Die 
Vorgänge  während  der  Dämmerung  und  den  Ablauf  der  Farben - 
Erscheinungen  während  derselben  wurden  von  ihm  in  München 
und  im  Gebirge  genau  verfolgt  und  beschrieben.  In  Berlin  be- 
schäftigte er  sich  mit  einer  neuen  Klasse  von  Untersuchungen 
über  die  Thermodynamik  der  Atmosphäre,  in  denen  er  den  Zu- 
sammenhang zwischen  Meteorologie  und  Physik  herzustellen  ver- 
stand und  die  Meteorologie  erst  eigentlich  zu  einer  der  exakten 
Näturwissenäehafteii  erhoben  hat.  Seine  Forschungen  zur  Gaufa- 
sehen  Theorie  des  Erdmagnetiämus  haben  diesem  Wissenszweige 
neue  Wege  gewiesen. 

Noch  ira  vorigen  Jahre  erschienen  seine  gesammelten  Ab- 
handlungen über  Meteorologie  und  Erdmagnetismus,  welche  dar- 
tun, wie  sehr  er  hierin  die  Wissenschaft  bereichert  hat. 

Bezold  war  auch  ein  ausgezeichneter  akademischer  Lehrer; 
namentlich  hat  er  in  öffentlichen  Vorträgen  in  weiteren  Kreisen 
über  viele  allgemeine  Fragen  der  Meteorologie  ein  Verständnis 
fUr  letztere  zu  erwecken  gewuM. 

Die  physikalischen  und  meteorologischen  Arbeiten  BeKoIds 
sichern  ihm  ein  ehrenvolles  Andenken  in  der  Geschichte  der 
Wissenschaft. 


Henri  UoiaBan. 

Am  21.  Februar  1907  ist  das  auswärtige  Mitglied  unserer 
Akademie,  der  berühmte  Chemiker  Henri  Moissan,  Professor  der 
Chemie  an  der  Univemtät  zu  Paris  und  Membre  de  riustitut, 

ira  rüstigsten  Alter  von  55  Jahren  und  in  voller  Schafteu 
auf  der  Uühu  seines  Ruhmes  der  tückischen  Blinddarmentl 


272  öffentliche  Sitzung  vom  16.  März  1907. 

erlegen,  nachdem  er  eben  von  einer  Reise  nach  Stockholm,  wo 
er  den  Nobelpreis  in  der  schwedischen  Akademie  in  Empfang 
genommen,  zurückgekehrt  war.  Seine  unermüdliche  Tätigkeit, 
durch  die  er  für  die  Wissenschaft  und  die  Technik  die  größten 
Erfolge  errang,  bewegte  sich  fast  ausschließlich  auf  dem  Ge- 
biete der  anorganischen  Chemie,  welche  durch  die  mächtige 
Entwicklung  der  Chemie  der  KohlenstoffVerbindungen  sehr  zu- 
rückgedrängt worden  war. 

Moissan  wurde  am  28.  September  1852  zu  Paris  geboren. 
Er  begann  an  der  Pariser  Universität  seine  den  Naturwissen- 
schaften, besonders  der  Chemie  und  Physik,  gewidmeten  Studien. 
Den  ersten  chemischen  Unterricht  empfing  er  am  Musäum 
d'Histoire  naturelle  in  dem  Laboratorium  von  Fremy;  hierauf 
trat  er  in  das  Institut  von  Decaisne  und  Deh^rain  ein,  wo  er 
im  Alter  von  22  Jahren  seine  erste  wissenschaftliche  Arbeit 
über  die  Aufnahme  und  Abgabe  von  Kohlensäure  und  Sauer- 
stoff durch  die  Pflanze  in  der  Abhängigkeit  von  der  Belichtung 
ausführte.  Nachdem  er  die  verschiedenen  Grade  erlangt  hatte, 
wurde  er  (1879)  Repetitor  der  Physik  an  dem  Institut  agro- 
nomique,  dann  (1883)  Professor  der  Toxikologie  an  der  Ecole 
sup^rieure  de  Pharmacie  und  zuletzt  (1900)  Professor  der  Chemie 
an  der  Facult^  des  Sciences  an  der  Sorbonne,  wo  er  das  aus- 
schließlich wissenschaftlicher  Forschung  gewidmete  Laboratoire 
de  Chimie  gän^rale  leitete. 

Seine  ersten  Arbeiten  in  der  unorganischen  Chemie  waren 
die  über  verschiedene  Chromverbindungen  und  über  neue  Amal- 
game der  Metalle  der  Eisengruppe. 

Von  1884  an  beschäftigte  er  sich  mit  Untersuchungen 
über  Fluor  und  Fluorverbindungen,  welche  er  20  Jahre  lang 
fortsetzte.  Im  Jahre  1886  gelang  ihm  dabei  eine  der  glänzend- 
sten Entdeckungen  in  der  Chemie  des  vorigen  Jahrhunderts, 
nämlich  die  Isolierung  und  Keindarstellung  des  Elementes  Fluor, 
ein  Problem,  dessen  Lösung  vorher  die  bedeutendsten  Chemiker, 
wie  Davy  und  Fremy,  erfolglos  versucht  hatten.  Er  stellte  zu- 
nächst eine  große  Anzahl  merkwürdiger  Fluorverbindungen  dar: 
die  Fluoride  des  Kohlenstoffs,  Jods  und  Schwefels,  die  Oxj^uor- 


C,  Voitt  Nekrolog  uof  Henri  Moiasan. 


273 


verbindlungeii  di^s  Schwelels  und  Stiekätoös,  das  wasserfreie 
Platiiiäuorid^  das  Phosphor-,  Mangan-  und  Arsentrifluorid,  das 
Phosphorp^nta-  und  Phosphoroxyfluorid;  er  machte  ferner  Ver- 
suche über  die  Einwirkung  von  elektrischen  Funken  auf  das 
Phosphortrichlorid  und  studierte  die  Additionsprodnkte  von  Brom 
auf  Phosphortrifluoride.  Von  besonderem  Interesse  ist  das  von 
ihm  entdeckte  Schwefelhexartuorid,  welches  ein  höchst  bestän- 

^diges  Gas  bildet,  das  weder  von  Wfissor  noch  von  Alkali  an- 
gegriffen wird,  sowie  das  in  der  letzten  Zeit  von  ihm  darge- 
stellte sehr  reaktionsfähige  Niti^ofluorid  aus  Stickoxyd  und  Fluor. 
Das  Wichtigste  war  aber  die  Reindarstellung  des  Fluors. 
Es  !3t  seineni  Scharfsinn  und  seiner  hervorragenden  Experi- 
tnentierkunst  durch  dreijährige  unermüdliche  Arbeit  gelungen, 
die  enormen  Schwierigkeiten  zu  überwinden,  welche  sich  wegen 
der  außergewöhnlichen  Reaktionsfähigkeit  dieses  Elementes  seiner 
Idolierung  entgegenstellen.  Er  erhielt  es  durch  Elektrolyse,  die 
er  in  gr5ßerer  Ausdehnung  in  die  Wissenschaft  einiilhrte,  und 
zwar  der  wasserfreien,  durch  einen  Zusatz  von  Fluorkalium 
leitungstahig  gemachten  Fluß.^äure,  an  der  Anode  in  Form  eines 
gelben  Gases,  welches  durch  flüssige  Luft  in  eine  gelbe  Flüssig- 
keit sich  verwandeln  läfät.  Das  Fluor  zeigt  von  allen  Elementen 
die  groläte  Heaktiouslahigkeit,  d.  h.  es  hat  eine  sehr  große 
Fähigkeit,  sieh  mit  anderen  Stoffen  äu  verbinden:  in  Wasser- 
stoff entzündet  es  sieh  von  selbst,  Wasser  zerlegt  es  augen- 
bltckticb  unter  Bildung  eines  indigoblauen  Dampfes,  der  aus 
Osson  besteht;  Silizium  entzündet  sich  darin  von  selbst,  Kien- 
rud^bei  150''  unter  Bildung  von  Tetrafluorkolüenstoff.  Die  Rein- 
darstellung des  Elementes  Fluor  ist  die  bedeutendste  Tat   von 

^Idoissan,  die  ihm  auch  den  Nobelpreis  eingebnicht  hat.  Alle 
mm  Erkenntnisse  Über  das  Fluor  und  die  Fluorverbindungen 
lind  in  seinem  Werke:  ^Le  Fluor  et  se^  Com pos^*  zusammeu- 

|[g^fa&t. 

Daran  schlössen  sich  seine  Untersuchungen  über  das  von 

ihm  zuerst  rein   gewonnene  Bor  und   seine  Verbindungen    an. 

Ein    weiteres    Verdienst   Moissans  ist  die    Erfindung    des 

ungeheuere  Hitzegrade  liefernden  elektrischen  Ltchtbogenofe 


274  Öflfentliche  Sitzung  vom  16.  März  1907. 

und  seine  systematische  Anwendung  für  die  Wissenschaft.  Er 
erreichte  damit  bis  3500^.  Die  strengflüssigsten  Metalle  wurden 
dadurch  geschmolzen  und  verflüchtigt  und  neue  Verbindungen 
erzeugt.  Durch  Reduktion  der  Metalloxjde  von  Uran,  Wolfram, 
Vanadin,  Titan,  Kalzium  etc.  mit  Kohle  im  elektrischen  Ofen 
erhielt  er  die  Karbide  der  Metalle;  nur  wenige  Metalle  zeigten 
sich  unfähig  zur  Karbidbildung.  In  ähnlicher  Weise  stellte 
er  auch  Verbindungen  des  Siliziums  und  Bors  mit  den  Metallen 
her,  die  Salizide  und  Boride;  dann  durch  Reduktion  der 
Phosphate,  Arseniate  und  Antimoniate  mit  Kohle  die  Phosphide, 
Arsenide  und  Antimonide. 

Die  Karbide  zeigen  die  wichtige  Eigenschaft,  durch  Wasser 
unter  Bildung  von  flüssigen  und  festen  Kohlenwasserstoffen,  wie 
Acetylen,  Methane  etc.  zersetzt  zu  werden.  Von  besonderer 
Bedeutung  ist  in  dieser  Hinsicht  das  Kalziurakarbid  durch 
seine  Verwendung  in  der  Technik  geworden,  da  es  mit  Wasser 
das  Azetylen  liefert;  Moissan  ist  dadurch  der  hauptsächlichste 
Begründer  der  großartigen  Azetylenindustrie  geworden. 

In  seinem  Werke:  ,Le  four  älectrique"  (1897)  finden  sich 
seine  Erfahrungen  mit  dem  elektrischen  Ofen  beschrieben. 

Die  Entdeckung,  welche  Moissans  Namen  besonders  populär 
gemacht  hat,  ist  die  künstliche  Herstellung  von  Diamanten, 
ein  Problem,  das  bekanntlich  schon  viele  Chemiker  beschäftigt 
hatte;  er  erhielt  dabei  jedoch  anfangs  nur  kleinste  Kristalle 
in  sehr  geringer  Menge.  Später  machte  er,  angeregt  durch 
die  winzige  Diamanten  führenden  eisenhaltigen  Meteoriten  von 
Canon-Diablo,  abermalige  Versuche  über  künstUche  Herstellung 
von  Diamanten.  Er  kam  nämlich  durch  diesen  Fund  auf  die 
Idee,  daß  der  Diamant  ein  aus  Eisen  unter  hohem  Druck 
kristallisierender  Kohlenstoff  wäre.  Er  ließ  daher  den  Kohlen- 
stoff unter  hohem  Druck  aus  einer  Lösung  von  flüssigem  Eisen 
sich  ausscheiden.  Um  diesen  Druck  zu  erzeugen,  ließ  er  ge- 
schmolzenes, kohlenstoffhaltiges  Eisen  in  Wasser  fließen,  und 
erhielt  dann  aus  dem  erkalteten  Eisen  Kriställchen,  welche  in 
ihren  physikalischen  und  chemischen  Eigenschaften  vollständig 
den  natürlichen  Diamanten  entsprachen. 


C.  Voit:  Nekrolog  auf  Henri  Moissan.  275 

In  den  letzten  Jahren  war  er  noch  mit  den  Nitriden, 
Hydriten  und  den  Metallammoniumverbindungen  beschäftiget; 
er  isolierte  dabei  die  Hydrüre  der  Alkali-  und  Erdalkalimetalle 
und  stellte  reines  metallisches  Kalzium  her.  Auch  führte  er 
den  Nachweis,  daß  den  Metallhydriden  jeder  Metallcharakter 
fehlt  und  daß  sie  den  elektrischen  Strom  ebensowenig  leiten 
wie  der  flüssige  Wasserstoff,  wodurch  die  Metalloidnatur  des 
letzteren  bewiesen  wurde. 

Mit  einer  Anzahl  von  Mitarbeitern  gab  er  das  wertvolle 
große  Lehrbuch  der  anorganischen  Chemie:  „Trait^  de  Chimie 
min^rale*  in  4  Bänden  heraus. 

Durch  alle  diese  Entdeckungen  gehört  Moissan  zu  den 
hervorragendsten  Forschern  auf  dem  Gebiete  der  unorganischen 
Chemie. 

Er  sprach  einmal  die  Idee  aus,  dafä  die  Bildung  der 
natürlich  vorkommenden  Kohlenwasserstoffe  durch  Zersetzung 
von  im  Erdinnern  befindlichen  Karbiden  durch  Wasser  zu- 
stande gekommen  sei;  man  sagt,  es  wäre  dies  die  einzige  von 
ihm  geäußerte  Theorie  gewesen,  und  doch  hat  er  die  Wissen- 
schaft der  Chemie  mit  einer  großen  Anzahl  wichtigster  Er- 
kenntnisse bereichert  wie  wenige  seiner  Zeitgenossen. 


tti9.  «tsaiigsb.  d.  mAth.-phys.  Kl.  Iff 


277 


Sitzungsberichte 

der 

Königl.   Bayer.  Akademie  der  Wissenschaften. 
Mathematisch-physikalische  Klasse. 

Sitzung  vom  2.  November  1907. 

1.  Herr  S.  Günther  machte  eine  Mitteilung:  ^Über  einen 
portugiesischen  Portulauatlas  des  Entdeckungszeit- 
alters*. 

Das  kostbare  Dokument  alter  Kartographie  gehört  der  an 
literarischen  Schätzen  reichen  Bibliothek  des  Fürsten  Öttingen- 
Wallerstein  in  Maihingen  an.  Es  wird  beabsichtigt,  das- 
selbe, welches  bisher  noch  keine  literarische  Verwertung  ge- 
funden hat,  durch  eine  mit  Kommentar  versehene  Ausgabe  in 
den  , Abhandlungen*  weiteren  Kreisen  zugänglich  zu  machen. 

2.  Herr  W.  C.  Röntgen  legt  eine  Mitteilung  des  Herrn 
Dr.  A.  Jov¥t  vor:  Eine  Bemerkung  zu  der  Arbeit  von 
E.  Ladenbubü:  »Über  Anfangsgeschwindigkeit  und 
Menge    der   photoelektrischen    Elektronen*. 

Es  wird  in  dieser  Notiz  nachgewiesen,  daß  die  Versuche 
des  Herrn  E.  Ladenburg  in   einigen   wesentlichen   Punkten 

IWI.  8it«uMg»>»,  d.  matii.-ph7a.  KL  20 


278        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  November  1907. 

die  Folgerungen  aus  der  Einsteinschen  Theorie  der  Erzeugung 
und  Verwandlung  des  Lichtes  bestätigen. 

3.  Herr  W.  C.  Röntgen  legt  eine  Erklärung  des  Herrn 
A.  Sommerfeld  bezüglich  einer  in  den  Sitzungsberichten  Bd.  37 
1907  p.  177  veröffentlichten  Mitteilung  von  Herrn  F.  Lindemann: 
„Zur  Elektronentheorie**  vor. 


279 


Eine  Bemerkung  zu  der  Arbeit  von  E,  Laden  bürg: 

„Über  Anfangsgeschwindigkeit  nnd  Menge  der  pboto- 

elektrisehen  Elektronen  etc."*) 


Von  A.  Joir^. 

(Mit  f  albl  IL) 


Die  Ergebniaee  der  tob  Herrn  E.  Laden  bürg  verüffeni- 
lichten  ArWit  bestätigen  in  einigen  wesentlichi^a  Punkten  die 
VortiussQgtingen,  die  Herr  Ä,  Einstein*)  aus  der  atomistiscben 
Bjpotbeae  der  Strahl ungsenergie  gezogen  hat,  Stt^Ilt  man 
nämticb  die  Beobacbtungi^n  der  TaheUen  H  oder  2  im  Koordi- 
nr  m   P,  1'  dar,  so  kommt  man  zu  der  von  A.  Einstein 

gti  .*»  ,  .4  li  linearen  Beziehung  liür  alle  drei  untersuchten  Metalle 
(fgl,  Tttli*!  It).  Nur  ist  nach  den  vorliegenden  Messungen  die 
Neigung  dieser  Geraden  nicht  universeU,  wie  es  die  Einstein- 
e  Theorie  fordert,  sondern  variiert  etwas  mit  der  Substanz* 
idererseits  wird  die  Unabhängigkeit  der  Geschwindigkeit  der 
Elektronen  rem  der  Lichtstärke  bestätigt*  Berechnet  man  aus 
diev^n  Ge.»^chwindigkt*iteii  dii.s  IM anck »che  Wirkungsquantuni  A» 
m  kommt  man  zu  Zahlen»  die  zwischen  2,2  - 10'**  und  3,5  <  10"^' 
liegen,  während  die  Strahlungstheorie  6,5  *  10"*'  ergibt.     Das 


»J  K  Lud <ju  bürg,  Pbfs.  Zeit«chrift  8,  8.  691),   19«>7. 
^  A*  Einstein»  ÜWr  einen  die  Evitngnng  und  Verwiiödlung  de« 
MMm  belref enden    heuriatbclien   GedcbUpunkt.     Ann.  d.  Pb^i.   17, 

Ztu  Tbeori«  dc^r  Licbt^nenirunir  und  Liditiibsorptiaii-   Ann.  d,  l'hjr». 
iOl.  H.  199.  19ori 


HM 


280        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  2.  November  1907. 

Kontaktpotential   liegt   für   die    drei   Metalle    zwischen    +  0,9 
und  +1,6  Volt.  _ 

Herr  E.  Ladenburg  gelangt  zu  der  Bezeichnung  v  =  a|/P, 
die  seine  Beobachtungen  fast  ebensogut  widergiebt,  mit  der 
Strahlungstheorie  aber  in  keiner  Beziehung  steht.  Es  wäre 
für  die  Einst  ein  sehe  Theorie  von  großem  Interesse,  die  Be- 
obachtungen auf  ein  größeres  Gebiet  und  besonders  auf  lange 
Wellen  auszudehnen. 

St.  Petersburg,   Physikalisches  Laboratorium  des  Poly- 
technikums,   23.  Oktober  1907. 


281 


Zur  Diskussion  über  die  Elektroneitheorie, 

Von  A,  SammerPeld. 

Herr  LiDdeman  n  hat  in  seiner  Entgegnung  vom  6»  August 
(diese  Sitzungsberichte  p.  177)  aufs  Neue  seiner  Meinung  nacli 
wesentticlie  Einwände  gegen  meine  Behandlung  der  Elektronen- 
th^rio  vorgebracht»  Wie  unberechtigt  dieselben  sind,  dürfte 
feschon  daraus  hervorgehen,  daü  sein  Haupteinwand,  die  ron 
mir  mit  (p  bezeichnete  Potentiatfunktion  gentige  nicht  den 
fundamentalen  partiellen  Differentialgleichungen,  lediglich  auf 
einem  Rechenfehler  (vgl.  Zeile  8,  p.  203)  beruht*  Auch  die 
übrigen  Einwände  des  Herrn  Lindemann  habe  ich  in  einem 
Manuskript,  das  ich  Herrn  Liudemann  zur  Verfügung  ge- 
stellt hatte,  meiner  Meinung  nach  vollständig  widerlegt.  Unter 
diesen  Umständen  halte  ich  eine  Fortsetzung  der  Diskussion 
io  diesen  Sitzungsberichten  nicht  für  angemessen,  umsomehr, 
als  die  Schwierigkeiten,  die  sich  xur  Zeit  der  Elektron entheorie 
entgegenstellen,  gar  nicht  auf  dem  Gebiete  der  mathematischen 
Üurchtllhning,  sondern  auf  dem  der  physikalischen  Grundlagen 
^insbesondere  Michelson  -  Versuch)  liegen.  Selbstverständlich 
behalte  ich  mir  vor,  falls  es  erforderlich  erscheinen  sollte, 
meine  Enviderung  auf  die  Einwände  des  Herrn  Lindemanii 
an  jinderem  Orte  zu  veröÖi^ntlichen. 


282 


Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

1.  Herr  Karl  Andreas  Hofmann  hält  einen  Vortrag:  „Über 
die  Struktur  der  Cyanide/  Der  Vortrag  wird  an  anderer 
Stelle  veröflFentlicht  werden. 

Die  im  Hinblick  auf  das  Verhalten  der  Komponenten  auf- 
feilende Beständigkeit  der  Doppelcyanide  von  der  Art  des  gelben 
und  roten  Blutlaugensalzes  hat  zu  vielfachen  Erörterungen  über 
diese  wichtigen  Verbindungen  geführt,  deren  Aufbau  um  so 
merkwürdiger  erschien,  als  die  Valenzlehre  hier  versagte,  inso- 
ferne  sich  kein  Grund  dafür  finden  ließ,  daß  zwei  gesättigte 
Moleküle  wie  Schwermetallcyanür  und  Cyankalium  mit  ganz 
besonders  starker  Kraft  sich  zu  einem  neuen  Ganzen  vereinigen. 
Zwar  hat  man  versucht,  durch  Annahme  von  Tricyangruppen 
den  Zusammenhang  zu  erklären,  aber  die  Arbeiten  des  Ver- 
fassers zeigten,  daß  parallel  zu  den  Hexacyaniden  FeCy^K^  und 
FeCy^Kg  eine  Reihe  von  Pentacyaniden  existiert,  die  vom  Nitro- 
prussidsalz  FeCysNOMeJ  ausgehend,  die  heterogensten  Gruppen 
neben  dem  Cyan  fest  gebunden  enthalten:  in  den  Pentacyaniden 
FeCy,NO,Na,;  FeCysNH.Na,;  FeCy^H^ONa,;  FeCy^SO^Na^; 
FeCy^AsOgNa^  können  zwei  Ticyangruppen  nicht  vorhanden 
sein,  also  muß  der  Zusammenhalt  des  ganzen  Moleküls  eine 
andere  Ursache  haben. 

Nach  Werner  kommt  dem  zentralen  Eisenatom  die  Fähig- 
keit zu,  die  Säuregruppen  und  die  übrigen  Bestandteile  des 
Komplexes  in  bestimmter  Weise,  nämlich  in  oktaedrischer  An- 
ordnung zu  gruppieren,  aber  jede  chemische  Kraft  kann  nur 
gegenseitig   binden    und    die  Tatsache,    daß    bei    den  Cyaniden 


SÜÄung  der  matb^-phya»  Klatse  vom  1,  Desemb^r  1907.        283 

solche  beständige  Oebilde  ungleich  häufiger  als  sonst  auftreten ^ 
ttihrt  zu  dem  Schluß,  daß  die  Eigenart  des  CyaDs  die  gegen** 
[zeitige  Bindung  mit  bedingt« 

Ftli*  das  Cyan  sind  nun  im  Cj  an  Wasserstoff  und  seinen 
Salzen  zwei  Gruppierungen  möglich,  nämlich  als  Nitril  HC  =  N, 
oder  als  Carbylamin  C  =  NH, 

Der  direkte  Vergleich  der  Nitrite  mit  den  Carbylaminen 
hinsichtlich  ihrer  Bindungsfiihigkeit  an  Metallsalze  mußte  hier 
entscheideiK 

In  Gemeinschaft  mit  Herrn  Günther  Bugge  wurden  dar- 
gestellt und  untersucht  die  Verhiudungen  von  Phenyl-  und 
Athylfcarbylamin  mit  Platinchlorür,  Iridiumchlorilr,  Palladium- 
chlorÜi%  Eisenchlorid,  Kobaltchlorür: 

Pt  €%  (C^H.NC),:  Pt  C1,-(C,H^NC),;  Ir  CI,^(C,H,NC)  ; 
Pd  CI,*  (C,  H,NC),:  Fe  Gl,-  (C,H,NC),;  FeCI,-  (C,  H,NC),; 
OPe,Cl,  (C,H,NC\;    OFe.Cl.^CC.H^NC),;    CoCl,  (t\H,NC)„ 

«jwie  die  Verbindungen  mit  Benzonitril  und  AcetonitrÜ: 

PtCl,-(C,H,CN\  und  PtCl,*(CH,CN),. 

Von  diesem  letzteren  leitet  sich  infolge  eines  hydrolytischen 
Vorganges  das  indigoblaue  Piatod iacetamid 

Pt(KHCOCH,),+  H,0 

&b.  Kobalt-  und  Etsensalze  vereinigen  sich  nicht  mit  den 
beiden  Nitrüen, 

Unverkennbar  entsprechen  nach  Bildungsenergie  und  Ter- 

Ibalttin  nur  die  Carbylamine,  nicht  die  Nitrile,  den  Cyangruppen 

Ider  Doppelcyanide. 

Da  somit  zweiwertiger,   also   ungesättigter  Kohlenstoff  in 

.den  (Cyaniden  vorliegt,  kommt  neben  dem  centralen  Metallatom 

.diesem  die  bindetjde  Kraft  zu.  Damit  stimmt  überein,  dal^ 
auch  andere  ungesättigte  Kohlenstoffgrupp^n,  wie  t.  B.  das 
Aethyhm,  MetalUake  wie  besonders  Quecksilberchlorid,  aber 
auch   Eisen-    und  Platinchlor Ür    aulnehmen*     Uiehcr    gehüren 


284  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

noch  die  kürzlich  in  Gemeinschaft  mit  Herrn  v.  Narbutt  dar- 
gestellten Anlagerungen  von  Dicyklopentadiin  an  Platinsalz  z.  B. 

CjoHjjOCHjPtCl  und  CjoHijOCjHgPtCl. 

Die  von  den  Cyangruppen  infolge  der  ungesättigten  Stufe 
ihrer  Kohlenstoffatome  ausgehende  Bindungsfahigkeit  kann  zu 
merkwürdigen  Störungen  im  analytischen  Verhalten  führen, 
wie  am  Quecksilbercyanid  nachgewiesen  wird.  Ostwald  sagt 
von  diesem  Salz:  ,es  kann  als  Typus  einer  durch  Fehlen  der 
elektrolytischen  Dissoziation  reaktionsunfähig  gemachten  Ver- 
bindung angesehen  werden.** 

In  der  Tat  fällt  Silbernitrat  aus  Quecksilbercyanidlösung 
kein  Cyansilber  aus  und  verdünnte  Kalilauge  läßt  kein  Queck- 
silberoxyd austreten.  Es  wurde  aber  gefunden,  daß  in  beiden 
Fällen  sogleich  Reaktion  erfolgt;  denn  es  bilden  sich  stabile 
Additionen  von  Silbernitrat  resp.  Kalilauge  an  das  Quecksilber- 
cyanid. Um  die  normalen  Umsetzungen  zu  erreichen,  muß 
man  konzentrierte  Lauge  auf  das  trockene  Cyanid  wirken  lassen, 
wodurch  Quecksilberoxyd  und  Kaliumcyanid  entstehen,  oder 
um  die  Cyangruppen  sich  betätigen  zu  lassen,  muß  man  statt 
Silbernitrat  das  Silberacetat  oder  das  Silbernitrit  zur  Lösung 
von  Quecksilbercyanid  hinzugeben;  sofort  fällt  weißes  Cyan- 
silber nieder.  Daraus  folgt,  daß  Quecksilbercyanid,  trotzdem 
es  in  wässeriger  Lösung  elektrolytisch  nicht  dissoziiert  ist,  also 
keine  Ionen  bildet,  dennoch  normale  Quecksilber-  und  Cyan- 
reaktion  zeigt.  Der  Mangel  oder  das  Vorhandensein  von 
elektrolytisch  wirksamen  Bruchstücken  der  Moleküle:  „von 
Ionen",  ist  für  das  chemisch-analytische  Verhalten  nicht  ent- 
scheidend, sondern  es  können  außer  den  Ionen  auch  nicht 
dissoziierte  Moleküle  in  Lösung  sofortige  Umsetzung  erfahren. 

2.  Herr  Ferdinand  Lindemann  macht  zwei  Mitteilungen: 

a)  „Lber    das    sogenannte    letzte    Theorem    von 
Fermaf**; 

b)  „Zur  Elektronentheorie.** 


Sitiang  der  mttlh.-plijB,  Klaffte  vom  7>  DeÄeraber  1907.  285 

3.  Herr  H,  v.  Seeijoir  legt  eine  Arbeit  de^  Herrn  Kon- 
sermtors  Dr.  J*  B.  MEmKÄi^HMirr  vor;  , Magnetische  Orts- 
be^tifiimUQgen  in  Bayern/     (HI,  Mitteilung.) 

Die  SUlrungen  dps  Erdmagnetismus  am  Observatoriimi  in 
München  haben  sich  durch  die  Erört'niing  der  neuen  Tramhahn- 
Unie  am  linken  Ufer  der  Isar  sehr  vermehrt,  wodurch  die  Ge- 
nauigkeit der  Beobachtungen  wieder  verringert  wirrl. 

Die  Feldbeobachtungeu  wurden  für  das  Hauptnetss  in  der 
Rheinptak  yollendet.  Ein  Vergleich  mit  den  älteren  Messungen 
von  Lamont  und  Nenmayer  ergab  eine  gute  Übereinstim- 
mung, Eine  weitere  Anzahl  Stationen  im  reclitsrheinischen 
Bayern  dient  zur  Verdichtung  des  Netzes  der  magnetischen 
Landesaufnahme,  sowie  zur  Vnrbereitung  für  die  Detailaufnahme 
der  wichtigeren  Störungsgebiete. 

4.  Herr  B*  HEKTWia  überreicht  eine  für  die  Denkschriften 
bestimmte  Abhandlung  des  Herrn  Dr,  WAsatLrEri?  über:  , Japa- 
nische  Aktinien.* 

Die  Arbeit  behandelt  die  Aktinien,  welche  Herr  Professor 
Doflein  auf  seiner  ostn^iatischen  Reise  in  der  Sagami-Bucht 
getischt  hat*  Bei  der  Untersuchung  hat  sich  herausgestellt, 
daß  fast  die  Hälfte  der  gefundenen  Arten  für  die  Wissenschaft 
neu  ist^  was  sich  daraus  erklärt,  daü  die  Sagajiü-Bucht  sich 
durch  einen  ganz  außergewöhnlichen  Tierreichttim  auszeichnet 
und  daß  die  Aktinienfauua  des  stillen  Ozeans  bisher  wenig 
ÜerÜcksiehtigung  gefunden  hat. 

5.  Herr  Alfhku  PßfKo^Aiuji  legt  2wei  Arbeiten  im  Herrn 
Dr.  OsKAK  Pekimin  vor: 

a)  ,Uber    die    Konvergenz    der    Jacobi- Ketteu- 
algorithmeu  mit  komplexen  Elementen*; 

b)  »Ober  die  Kettenbruchen twicklung  des  Quo- 
tienten zweier  Besselscher  Funktionen.* 

Iß  der  ersten:  »Über  die  Konvergenz  *ler  Jakob i-Kctten- 
nigantUuien  mit  komplexen  Klementen*  gibt  der  Verfaüser,  der 


286        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

in  seiner  Habilitationsschrift  bereits  die  Konvergenz  solcher 
Algorithmen  für  den  Fall  positiver  Elemente,  sowie  periodischer 
Algorithmen  mit  komplexen  Elementen  behandelt  hat,  ein  all- 
gemeines Kriterium  für  die  Konvergenz  beliebiger  Algorithmen 
mit  komplexen  Elementen,  im  wesentlichen  eine  Ausdehnung 
des  Pringsheimschen  Fundamental-Kriteriums  für  gewöhnliche 
Kettenbrüche.  Durch  Spezialisierung  leitet  dann  der  Verfasser 
nicht  nur  umgekehrt  jenes  Kettenbruch-Kriterium,  sondern  auch 
noch  einige  andere  aus  dem  seinigen  ab.  Weiter  zeigt  er,  wie  sich 
auch  der  bekannte  Legendresche  Irrationalitäts-Satz  auf  Jacobische 
Algorithmen  übertragen  und  wie  diese  Verallgemeinerung  sich 
verwerten  läßt,  um  die  Nichtexistenz  linearer  Relationen  zwi- 
schen gewissen  Transcendentien  zu  beweisen.  Daran  knüpfen 
sich  weitere  Analogien  mit  verschiedenen  Kettenbruch -Ent- 
wickelungen. 

In  der  zweiten  Abhandlung:  „Über  die  Kettenbruchent- 
wicklung  des  Quotienten  zweier  Besselschen  Funktionen'*  gibt 
der  Verfasser  einen  neuen  Beweis  für  die  Konvergenz  dieser 
Entwicklung,  deren  Ursprung  bis  auf  Euler  (1737)  zurückgeht, 
während  nach  mancherlei  mißglückten,  vom  Verfasser  ausge- 
führten kritischen  Versuchen  überhaupt  erst  im  Jahre  1895 
von  Herrn  Graf  ein  brauchbarer  Beweis  geliefert  wurde. 

6.  Protokoll  über  die  am  26.  Oktober  1907  dahier  stattge- 
fundene Sitzung  der  luftelektrischen  Kommission  der  deutschen 
kartellierten  Akademien. 


über  das  sogenaimte  letzte  Fermatsche  Theorem. 

Von  F.  Lindemaiiii. 

In  eifier  früheren  Mitteilung^)  hatte  ich  flie  von  Abel 
ohne  Beweis  mitgeteilten  Formeln  abgeleitet^  welche  drei  der 
Gleichung  ar*  ^  y* -f- ^f**  genügende  ganie  Zahlen  x^y.z  rliirch 
die  »**"  Potenzen  dreier  anderer  Zahlen  dai^stellen.  Die  weiteren 
ditran  geknüpften  Folgerungen  waren  aber  nicht  korrekt.  Trot?:- 
dem  hielt  ich  an  der  Überzeugung  fest,  daü  tlie  damals  be- 
nutzet] Hilfsmittel  geeignet  sein  müßten,  der  Lösung  des 
Problems  näher  zü  kommen  ^  und  glaube  dies  Ziel  nunmehr 
erreicht  zu  haben. 

Zur  Erleichterung  der  Übersicht  wiederhole  ich  im  folgen- 
den meine  frühere  Ableitung  der  A  heischen  Formeln  (deren 
Autstellung  durch  Abel  mir  damals  erst  nachträglich  bekannt 
wurde)  unter  Hinzufügung  einiger  Ergänzungen. 

fiekaiintlich  hat  Fermat,  ohne  einen  Beweis  anzugeben, 
den  SatÄ  aufgestellt,  daß  die  Gleichung  a;"^  ^^  y" -(- jf"  nicht 
darch  drei  ganze  Zahlen  x,  y,  m  befriedigt  werden  könne,  so» 
bald  die  ganze  Zahl  n  gröier  als  1  ist.  Diese  Angabe  wird 
uns  in  der  von  Baehet  veranstalteten  Diophant- Ausgabe*) 


M  Die^e  Sitsiimpberiehte,  Jahrgang  IBÜL 

*>  Dit>phi*nti  AJexandri  mithmeiicoruin  libri   «est,   et  de  nauioris 

cuulttLtigulb   libar  uboä.     Cum   cocajö«ntiirij«  <;*  G,  Bix^h'^ti  V.  C.  et 

ubterfalionibu«  D.  P*  de  Fermat  8eiiütt>ri»  TolQ^iÄni.    Aroewtit  I>octrij:)ae 

'   '  I.  coUectüui  et  vary»  eiuwdt^m  l>.  de  Feriutvt 

X  X. 


288        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

überliefert,  in  welcher  gelegentliche  Randbemerkungen  aus 
Ferraats  Handexemplare  abgedruckt  wurden.  Die  Quaestio 
Vni  im  zweiten  Buche  von  Diophants  Arithmetik  handelt 
nämlich  von  der  Aufgabe,  ein  gegebenes  Quadrat  in  die  Summe 
zweier  Quadrate  zu  zerlegen;  und  am  Schlüsse  dieser  Quaestio 
findet  sich  folgender  Passus :  *) 

»Observatio  Domini  Petri  De  Fermat. 

„Cubum  autem  in  duos  cubos,  aut  quadratoquadratum 
„in  duos  quadratoquadratos  et  generaliter  nuUam  in  infini- 
,tum  ultra  quadratum  potestatem  in  duos  eiusdem  nominis 
„fas  est  dividere  cuius  rei  demonstrationem  mirabilem  sane 
„detexi.     Hanc  marginis  exiguitas  non  caperet.* 

Für  den  Fall  n  =  3  betont  Fermat  seinen  Satz  auch  in 
einem  Briefe  an  Digby  vom  7.  April  1658,*)  in  einem  anderen 
Briefe  vom  15.  August  1657  stellt  er  die  Aufgabe  eine  Zahl 
x^  in  der  Form  y'  -f-  ^'  darzustellen.') 

Für  eine  gewisse  Klasse  von  Zahlen  n  (zu  welcher  z.  B. 
alle  Zahlen  unter  100  gehören)  hat  bekanntlich  Kummer  bei 
Gelegenheit  anderer  Untersuchungen  den  Fermatschen  Satz 
verifiziert.*)  Einzelne  einfache  Fälle  sind  schon  vielfach  be- 
handelt worden. 


*)  Vgl.  auch  Oeuvres  de  Fermat,  publies  par  Paul  Tannery  et 
Charles  Henry,  1891,  t.  I,  p.  291. 

2)  Yg\.  Wallis,  Opera  Mathematica,  t.  II,  p.  844,  Oxford  1693. 

*^)  Beide  Briefe  abgedruckt  in  den  Oeuvres  de  Fermat,  t.  II, 
p.  343  ff.  und  p.  376;  vgl.  ferner  Henry,  Recherches  sur  les  manuscripts 
de  Pierre  de  Fermat,  Bulletino  di  bibliograpbia  e  di  storia  delle  scienze 
mat^matiohe  e  fisiche  publ.  da  B.  Boncompagni,  Bd.  XII,  1879,  wo  ins- 
besondere auch  die  Frage  erörtert  wird,  ob  Fermat  im  Besitze  von 
Beweisen  für  seine  Sätze  war;  vgl.  dazu  Mansion,  Nouvelle  correspon- 
dance  de  mathematiques,  t.  V. 

*)  Monatsberichte  der  Berliner  Akademie,  April  1847  und  Grelles 
Journal,  Bd.  45,  p.  93,  1847,  femer  A])handlungen  der  K.  Akademie  der 
Wissenschaften  zu  Berlin,  1857;  vgl.  die  Darstellung  bei  H.  J.  Stephen 
Smith:  Report  on  the  theory  of  numbers,  Part  11,  Reports  of  the  Brit. 
Association  for  the  advancement  of  science  for  1860,  London  1861,  sowie 


F,  Lindemaniir  Dat  letzte  Fennniaelie  Theorem. 


289 


§  1.   Zerlegung  der  Zahlen  ijßf  tf*  ^  ^^  Faktoren. 

Mit  Xt  y,  *    seien  drei   gana^e  positive  Zahlen   bezeichnet, 
welche  der  Gröüe  nach  geordnet  snul,  so  daß: 

(1)  i£>tf>M. 

Es  bedeute  n  eine  ungerade  Prinizahl;  es  ist  also: 
iß)  n  >  % 

Wir  oehmen  an,  e^  bestehe  eine  Gleichung  der  Form: 

(3)  ^  =  y"  -|-  ^ 

lind  wollen  zeigen»  daß  diese  Annahme  zu  Widersprüchen 
Rlhrt,  Da  gemeinsame  Faktoren  aus  dieser  Gleichung  heraus- 
;&llen.  so  können  die  Zahlen  x^  y,  ^  jedenfalls  als  relativ 
prim  zueinander  vorausgesetzt  werden. 

Die  Diflerenz  3f — y*  ist  sofort  in  die  Paktoren: 

(4)  x--tj  und  ^  -^  +  ^"-* y  -h  - . .  +  y* ^  ' 

Lserlegbar;  es  muß  deshalb  auch  die  Zahl  b  in  entsprechender 
r Weise  in  Faktoren  zerfallen.  Ist  die  Zahl  B  ein  Faktor  von  b^ 
so  müssen  die  beiden  Ausdrücke  (4)  zusammen  den  Faktor  R* 
enthalten;  ist  R  ©ine  Primzahl  und  kommt  die  Potenz  i?""' 
in  a'  —  y  vor,  so  muß  die  Potenz  W  in  dem  anderen  Ausdrucke 
(4)  enthalten  sein,  kt  R  Potenz  einer  Primzahl,  etwa  li  ^  Jf™, 
kann  die  Potenz  JlP«-i)«H-*  m  m  —  y  vorkommen,  und  dann 
nufi  die  Potenz  Jlf  *«"*  in  dem  anderen  Faktor  enthalten  sein. 
Sine  solche  Zerlegung  wird  auf  maDnigfache  Weise    möglich 


bei  Hilbert:  Die  Theorie  der  algebraiaeben  Zahlkörper,  JahreBhericht 
di^r  Deutacben  Mutheniiitiker-VereiniguEg*  Bd.  4,  1894/96»  p.  517  flF.,  wö 
<uicb  die  Ultore  Litendor  angeKeben  ht;  binKuauftlgen  sind  die  Arbeiten 
¥on  Genocclii  in  Hiind  3  und  6  der  Annali  di  matematica  riitd  Crelkti 
Jourrjnl,  Bd*  99,  ferner  Pepin»  Comptea  rendua^  t.  62.  Einen  eingehenden 
Bericht  aber  Fermati  NticMaß  gibt  Henry:  BuUetmo  di  bibliografia, 
lu  0.;  einzelne  Notixen  Endet  man  auc^h  bei  Eouae  Bull:  Matbematjca) 
Mioni  and  pmblema.    2"»^  odit.    Londoü  1092. 


290        Sitzung  der  matb.-phjs.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

sein;  jedenfalls  kann  man  die  folgende  Darstellung  der  drei  in 
Betracht  kommenden  Faktoren  erreichen. 

Eine  solche  Zahl  R  werde  mit  r,  bezeichnet;  dann  ist 

(5)  -3'  =  r  .  Tj  .  r, . . .  r,„ 

(6)  :r  —  y  =  r"  .  rj»- >  .  r»-2  . . .  r^^^g .  r^_ ^  =  r»  •  q, 
wobei  also: 

gesetzt  ist,  ferner: 

(7)  :r-»+a;~-2y+...  +  y"-i  =  r,.r2.rJ...r;;i}.f^. 

Jede  dieser  Zahlen  r,  kann  wieder  in  verschiedene  Faktoren 
zerfallen;  für  das  Folgende  kommen  hauptsächlich  die  Zahlen 
Q,  r  und  Tn  in  Betracht.  Ist  die  hier  angegebene  Zer- 
legung auf  mehrfache  Weise  möglich,  so  gelten  für 
iede  einzelne  Zerlegung  dieser  Art  die  folgenden  Be- 
trachtungen. 

In  gleicher  Weise  kann  die  DiflFereftz  x  —  ^e^  in  Faktoren 
zerlegt  werden;  es  ist: 

(6*)      X  —  z  =^  q** '  X  =  q^  '  q^-^  '  g^^-^ , . .  ql^^'  q^_^, 

femer: 

(?•)     a;~-i  +a;~-2^  +  .  .  .  +  ^-1  =  g, .  32.  . .  qlz\ '  Q^. 

(5*)  y  =  g-gi...?H. 

Eine  analoge  Zerlegung  kann  auch  fOr  die  Summe  y  +  ^ 
zur  Anwendung  kommen,  so  daü: 


F.  Lindemann :  Das  letzte  Fermatsche  Theorem.  291 

§  2.   Ableitung  einer  Hilfsformel. 

Offenbar  laut  sich,  wenn  n  eine  ungerade  Zahl  bezeichnet, 
die  Zahl  N^  so  bestimmen,  daß  die  Differenz: 

X**  —  yn  ^  Jf^^x yY 

durch   das   Produkt   xy  teilbar   wird;    und   zwar  ergibt  sich: 

j^,  =  1. 

Ferner  kann  N^  so  gewählt   werden,   dafci  der  Ausdruck: 

a:«  -  y«  _  JVj  {x  —  yY  —  N^xy{x  —  yY"^ 

durch  a?*y*  teilbar  wird.  Man  muß  zu  dem  Zwecke  den  Faktor 
von   j:"  ~ '  y   gleich    Null    setzen    und    findet    N^n  —  ^^  =  0, 

Der  Faktor  von  xy"*  ~  *  fallt  dann  von  selbst  heraus.    Um 
ebenso  das  Aggregat: 

/p»  —  y"  —  N^{x--yY  — N^xyix  —  yY~^  —  N^^^y^  (^  —  y)"""* 

durch  x^ y^  teilbar  zu  machen,  muß  man  den  Faktor  von 
x^-^y^  (welcher  bis  auf  das  Vorzeichen  gleich  dem  Faktor  von 
jj»yi«-2  jg^^  2um  Verschwinden  bringen,  d.  h.  es  muß: 

also: 

_n(n-3) 

«  "^         2 
sein.    In  gleicher  Weise  wird: 

a:"  _yH__  jv,  {x  —  yY  —  N^xy{x  -  yY'' -  N^x^y^{x -yY'* 
—  Na  x^  y*  (x  —  y)*  ~  ^ 

durch  a^y*  teilbar,  wenn: 

ist,  oder: 

_w(n-4)(n-5) 

*  ~  1  •  2  •  3 


292         Sitzung  der  raath.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

Ebenso  kann   man  weiter   schließen    und  findet,    dala    das 
Aggregat: 

^  ^  —  NsOf-'  y-'  (x  -  yy-^'-^^ 

durch  x'y*  teilbar  ist,  wenn  Ng  durch  die  Gleichung: 

bestimmt  wird,  welche  aussagt,  daß  in  dem  Aggregate  (8)  der 
Faktor  von  a?** ''*+'y»- ^  (oder  aj'"'^**  "*•+"*)  verschwindet;  und 
durch  ein  Rekursionsverfahren  erhält  man  leicht  (wie  wir  sogleich 
auch  direkt  bestätigen  werden): 

^  n(n    -  s)(n-s-  l)  ,  .  .(n-2s  +  i)(n  —  2s  +  3) 
'  ""  1  .  2  .  3  ...  (5  -  1) 

^^^       ^_ n      (n-s\ 

Aus  der  Rekursionsformel  (8*)  folgt  sofort:  Sind  N^,  N^^ 
...  Ns^i  ganze  Zahlen,  so  ist  auch  N»  eine  ganze  Zahl. 
Sei  nun  w  =  2v+  1   und  setzen  wir  s  =  v,  so  wird: 

(10)  ^..llltlW^, 

und  wir  haben  identisch: 

x»  —  y^ —  N^(x  —  yy  —  N^xy[x  —  y)**"^ —  . . . 
—  NyX""-^ tf"-^  {x  —  yf  =  iVar^y"  {x  —  y), 

wo  N  noch  zu  bestimmen  ist;  die  linke  Seite  nämlich  ist  teil- 
bar durch  x^'y  und  ist  gleich  Null  für  x  =  y.  Der  Wert  von 
N  wird  schließlich  durch  Fortsetzung  derselben  Schlußweise 
gefunden,  die  wir  bisher  anwandten,  nämlich  indem  wir  ver- 
langen, daß  aus  dem  Ausdrucke: 

x^  —  yn  —  ]S[^(x  —  y)^  —  ,..  —  N^x''-^tf'-\x—yf'-Nx^tf'(x—y) 


R  liindenuiTin:  Ihia  lets«te  Fermatsche  Theorem. 


293 


der  Term  ji^'^+VjT  (und   folglich  auch  jf|/*+^)  herausfalle:   es 
wird  daher: 


(11) 


N=  Nr^i  =  2)-+  1  =  n. 


Zwischen  beliebigen  Zahlen  a:  und  ^besteht  hier- 
nach die  folgende  Identität! 

(12)    nx''fix~y)^:t--r-ix-pY-^N.x'-'r-' (^-y)'*"^*^'- 

Ist  n  eine  Primzahl,  so  sind  nach  obigem  N^  und  N^ 
durch  n  teilbar;  aus  der  Rekursionsformel  (8*)  folgt  also  dann: 

Die  in  der  Identität  (11)  auftretenden  und  durch 
(9)  gegebenen  Zahlen  N^  sind  sEmtHch  ganze  Zahlen 
und  (wenn  ^>1)  durch  die  Primzahl  n  teilbar. 

Die  Bestimmung  der  Zahlen faktoren  N»  hätte  übrigens 
auch  in  der  folgenden  einfsichen  Weise  geschehen  können,  in- 
dem man  ^  und  j^  durch  spezielle  Werte  ersetzt  und  so  die 
Aufgabe  auf  ein  bekanntes  Resultat  zurückführt.    Nehmen  wir 


wird: 


x  =  ^,  y  ^  —e-'^f. 


X  -y  ^  —  It    s  ^  y  =^  2  '  ziM  tp,    a?**  —  y**  ^=  2  '  cosin  ntp\ 
und  aus  (12)  folgt  (für  n  ungerade)  t 

cosin  mp  =  2*''i  cosin"  9^  +  %  2V;2"-*'+i  (—  l)--'(oosinqt^>»--'^ 

-f  ij(—  1)"  cosin ^j; 

und  diese  Formel  ist  in  der  Tat  mit  der  bekannten  Entwicklung 
von  coi?in  ntp  nach  Potenzen  ?on  cosin  v  iclentiHch,*)  wenn  man 
unter  2V,  die  obigen  Zahlenwerte  versteht. 


')  TgL  8.  B.  Serret,  Traiy  d^iüg^bre,  voL  1,  Nr.  lOÖ. 


294         Sitzung  der  iimth.-phys.  Klasse  vom  7.  Dozemher  1907. 

§  3.  Die  Abelschen  Formeln. 

Setzen  wir  nun  in  (12)  für  z  und  x  —  y  die  Werte  (5)  und 
(6)  ein,  so  ergibt  sich  die  Relation: 

»sry 

1=1 
oder,  wenn  beiderseits  mit  gr^  dividiert  wird: 

r 

(13)  nx-tr  =  r,'rlf\.  .  .  r;;  —  £iV.a:-V'~^*^^-""^^^^e-"^*"^*7 

1=1 

wobei  die  Zahlen  N,  sämtlich  ganze  Zahlen  sind. 

Die  relativen  Primzahlen  x  und  y  können  wegen  (6)  mit 
den  Zahlen  r„  r,, . . .  r««!  keinen  Faktor  gemein  haben.  Jedes 
Glied  der  rechten  Seite  von  (13)  ist  durch  jede  dieser  Zahlen 
teilbar,  da  mit  q  die  Zahl  ry"^t^~2...rn-i  bezeichnet  wurde. 
Soll  daher  auch  die  linke  Seite  durch  r^,  r^, . . .  r„_i  teilbar 
sein,  so  muß  die  Zahl  n  diese  Faktoren  enthalten.  Nun  sollte 
aber  n  eine  Primzahl  bedeuten ;  also  bleiben  nur  folgende  Mög- 
lichkeiten : 

Entweder  es  ist: 

(14)  r,  =  n,  r,  =  rj  =  . . .  =  r„-  1  =  1 , 
und  dann  folgt  aus  (5)  und  (6): 

(15)  js  =  n'r'rn,      a:  —  y  =  r**  •  n••"■^ 
Oder  es  ist: 

(16)  r,  =  r,  =  rj  =  . . .  =  r„  _ ,  =  1 , 
und  dann  folgt: 

(17)  z  =  r'rn,      x^y  =  r^. 

£ine  andere  Möglichkeit  bleibt  nicht  offen,  denn  von  den 
Zahlen  r,,  r,, . . .  rn-i  kann  keine  gleich  n  sein;  es  wäre  näm- 
lich dann  die  rechte  Seite  von  (13)  mindestens  durch  n*  teil- 
bar, folglich  auch  die  linke  Seite;  d.  h.  es  müßte  x  oder  y 
durch  n  teilbar  sein;  dann  aber  wären  nach  (6)  beide  Zahlen 


F.  LindenaanTi;  Da«  letzte  Ferniatfi<ühe  Theorem. 


dui(^h    n   teilbar,    während   sjie   fioch   als   relative    Prinizahbn 
vorausgesetzt  sind.    Die  Zahl  r^  bleibt  zunächst  beliebig. 

Da  die  Gleichung  (12),  wenn  N,  durch  (9)  bestimmt  wird, 
eine  Identität  ist,  können  wir  in  ihr  ^  durch  z  ersetzet]  und 
erhalten  so  in  Rücksicht  auf  (6*)  und  (7*)  an  Stelle  von  (lU) 
die  Beziehung: 

Auf  welche  wir  die  gleichen  Überlegungen  anwenden  können, 
Es  ist  also  entweder: 


^  =  nq^q^ 


X  —  M^q^  -n'^~\ 


(15*) 

oder: 

(17»)  y^q-qn,      m-M^q\ 

Endlich  können  wir  in  der  Identität  (12)  auch  x  durch  ij 
und  ij  durch  ^  ^  ersetzen;  dann  ergibt  sich  mit  liUcksicbt  auf 
(6^)  uiid  (7»^): 

(13^)  _£jy^^_jj,^,^,_,^.^,^,^^_2,^,j^^_2,^l^ 

1=1 

und   die   nochmalige   Wiederholung  der  gleichen  Scblußweise 
führt  zu  dem  HeBultate,  daü  entweder: 

(15**)  X  =  nppn,       ^  +  ie  =jJ''' w"-', 

oder: 

(17^)  ^^P'P^.      y  +  ^=p'' 

sein  muß. 

Da  x^  y,  £  keinen  gemeinsamen  Faktor  enthalten  sollen,  so 
ergibt  die  Kombination  der  GleicJiungen  (15),  (17),  (15*),  (17'), 
(15^).  (17**),  daia  nur  drei  Fälle  noch  näher  zu  unter- 
«tuehen  sind.  Die  Annahme  (15)  numlich  ist  mit  (15')  oder 
(15i^)  nicht  Tßreinbar,  so  da&  aus  der  Annahme  (16)  notwendig 
die  Gleichungen  (17»)  und  (17^)  folgen.  Gehen  wir  aber  ron 
(17)  aus,  so  kann  sowohl  (15*)  als  (15^)  niöglicb  si^in.  Betrachten 
wir  diejenigen  Möglichkeiten  als  gleichwertig,  die  durch  Ver- 

21  • 


296         Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

tauschung   von  y  mit  z  auseinander  hervorgehen,   so   bleiben 
die  folgenden  drei  Fälle: 

I)  X  —  y  =  r*»-w"~^         jg  z=:  n-r-Tn, 

y +  ^  =  ;p--n'*-\         x  =  n-p-p,,; 
III)  x  —  y=r^,  j^  =  r-rn, 

x  —  js==q'',  y='^'in, 

Hieraus  folgt  im  Falle  I): 

a:  =  |(p"  +  g"  +  n--ir"), 
I*)  y  =  i(i?"  +  (r  — «*"'»^)» 

£r  =  I  d?"  _  gr«  -I-  Yin-\^n>^^ 

im  Falle  II): 

x  =  Kn«- ii>"  +  5'**  +  '^l, 
II*)  y^Kn'-i^  +  g'.—r"), 

jß'  =  ^  (n"  -  *|?*  —  3**  +  ^*0» 
und  im  Falle  III): 

^  =  i(i>''  +  ?'*  +  ^")^ 

III*)  y  =  Hp"  f  5"-»'"). 

^=  i(l^_^4-r^). 

Daß  a:  sich  durch  drei  Zahlen  jp,  g,  r  in  einer  dieser 
Formen  darstellen  lassen  müsse,  hat  schon  Abel  ohne  Mit- 
eilung  eines  Beweises  angegeben.^)  £r  erwähnt  außerdem  noch 
die  Möglichkeit: 


1)  Lettre  ä  Holmboe  vom  3.  August  1828,  Oeuvres  t.  II,  p.  255. 


F.  Lindemann:  Das  letzte  Fermatsche  Theorem.  297 

welche  bei  uns  ausgeschlossen  ist,  da  sie  auf  das  nicht  statt- 
hafte Zusainmenbestehen  der  Gleichungen  (15)  und  (15*)  führen 
würde. 

§  4.    Der  Fall  I);  Darstellimg  Yon  x,  y,  z. 

Wir  machen  zuerst  die  Annahme  I).  Die  Gleichung  (13*) 
wird  hier: 

(18)  nx-jg-  =  q^—i^NiS^-^ ^'-'  (^(«-2,+i). 

1=1 

Alle  Zahlen  Ni  mit  Ausnahme  von  N^  =  l  sind  nach 
obigem  durch  n  teilbar;  auch  js  ist  durch  n  teilbar;  vom  dritten 
Gliede  ab  sind  also  alle  Terme  der  rechten  Seite  durch  n* 
teilbar.  Die  linke  Seite  ist  mindestens  durch  n''^*  teilbar; 
folglich  ist  auch: 

(19)  ql  —  grn(n- 1)  ^  Q     mod.  n\ 

Nach  dem  F  er  matschen  Satze  ist: 

(20)  g^<"-')  =  l     mod.n*, 

denn  q  kann,  da  y  zu  ^e^  relativ  prim  ist,  nicht  durcli  n  teil- 
bar sein.    Es  ergibt  sich: 

gj^l     mod.  w*, 
und  da  identisch  q^E^qn  mod.  n  ist: 

(21)  3n  =  1     mod.  n. 
Ebenso  folgt  aus  (13»»): 

(22)  (-  l)''ny'ir'=|,«_5J2V,.(_iy-iy-'^'-»^(»-2«+'), 

und  die  Anwendung  derselben  Schlußweise  führt  zu  der 
Kongruenz: 


298        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

(23)  l>»  =  1     mod.  n. 

Folglich  ist  auch: 

x==P'Pn:^p    mod.n, 
(24) 

Ferner  ist: 

x  —  y  =  ppn  —  qQn^p  —  q    mod.  n 

also  auch: 

(25)  p*"  =Lq**    mod.  n*. 
Weiter  folgt  aus  den  Gleichungen  I): 

(26)  2£r  =  |>«  —  g~  +  r-  .  n'*-\ 
also  nach  (25),  da  n  >  2 : 

(27)  2/si  —  O     mod.  n\ 

Es  wäre  also  -s^  nicht  nur  durch  n,  sondern  durch  n*  teilbar, 
d.  h.  eine  der  beiden  Zahlen  r  oder  r„  müßte  den  Faktor  n 
enthalten. 

Setzen  wir  die  der  Annahme  I)  entsprechenden,  in  (14) 
und  (15)  gegebenen  Werte  der  Zahlen  n  in  (13)  ein,  so  er- 
gibt sich: 

V 

1=1 
und  nach  Division  mit  n: 

f  =  l 
/23)  =  r" ^H(n-l)  ^»(M-2)    — ^  y  ^(»-8)^ii«-4»  +  2 ^^^ 

Wäre  also  r^^^O  mod.  n,  so  müßte  eine  der  Zahlen  x 
oder  y   durch  n   teilbar  sein,    was   nicht   angeht.     Es    kann 


F.  Lindemann:  Das  letzte  Fermatsche  Theorem.  299 

also  nur  r  den  Faktor  n  enthalten  und  r^  kann  nicht 
durch  n  teilbar  sein.  Es  muß  also  r  den  Faktor  n  ent- 
halten, so  daß  wir: 

(29)  r  :=n'r' 

zu  setzen  haben,  und  Jif  mindestens  durch  n^  teilbar  ist. 
Es  wird  dann: 

(29*)  "      1^1    • 

oder,  da  Ny  nach  obigem  durch  n  teilbar  ist: 

(30)  o^y^'iLir^     mod.  w**-«. 
Da  aber  nach  I): 

(30»)  a:  — y  =  n"-*r"  =  n2*-»r"» 

ist,  so  haben  wir  auch: 

x^  —  t/^  ii^nr*^-^  -  V  ^r'^ '  yT"^     mod.  n*" "" 2, 
also  nach  (30): 

yiy''  +  vn-'»-*r"*y^-0  =  r;|    mod.  n*"-^ 

oder,  wenn  wir  sogleich  die  entsprechende  Kongruenz  für  x 
hinzufügen: 

yn-l=^_y„2«-ly'ny2r-l       mod.    n*"-'. 

Nach  I)  war  ferner: 

a:  =  g»  -j-  jgr  =  g«  +  w**»r"»r;|, 

die  Zahlen  ^)«C»»-»>  —  1  und  g»(~-0  _  1  sind  durch  n*  teilbar; 
folglich  haben  wir: 

und  somit  aus  (30^): 


300         Sitzung  der  iDath.-pbys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

rJI  ^  1     mod.  w* 
und  weiter: 

(30«)  rn=l     mod.  n. 

Von  diesem  Resultate  werden  wir  weiterhin  Gebrauch 
machen,  nachdem  wir  zuvor  die  Zahlen  Xy  y,  js  noch  in  anderer 
Weise  werden  dargestellt  haben. 

Nach  dem  F  er  matschen  Satze  und  infolge  der  Relationen 
(21)  und  (23)  können  wir  setzen: 

(SD  ;?--*  =  1 +W7r,  ^--»  =  l-fn;«, 

Pn      =l+n.V,  q,       =l+nx\ 

Es  wird  dann,  wenn  noch  r  =  n  »r*  gesetzt  wird : 

X  —  Z  =PPn  —  nrVn  =PPn  —  n^  T*  Tn, 

Die  linken  Seiten  sind  wegen  I)  bzw.  gleich  q**  und  p**; 
also  folgt: 

q»  =  q  ^  nqx  =p  +  npTi*  —  n^r'Vn^ 
p^  =  p  -\-  npn  =  q  -\-  nqx*  -\-  n^r'Vn^ 
und  hieraus: 
(32»)     2?  —  q  —  n^r'Vn  =  n{qx  ^ p  jt*)  =:  n  (qx'  —  p n), 

oder: 

piTt'  --  ji)  +  q{x'  —  x)  =  0. 

Es  bestehen  demnach  zwei  Gleichungen  der  folgenden  Form: 

(33)  Mp  =  {x*-x), 

Mq  =  — (jt'  — 7i); 

und  hierin  ist  M  eine  ganze  Zahl,  denn  p  und  q  können  keinen 
gemeinsamen  Faktor  enthalten,  da  sonst  nach  I)  auch  x  und  y 
denselben  Faktor  enthalten  müßten. 

Zu  den  Gleichungen  (32)  fügen  wir  aus  I)  die  dritte  hinzu: 
(33*)     x-y  =  n^''-^r*^=rppn  —  qqn=p  —  q  +  n{p:n['-'  jx'). 


F,  Lmdeittünn:  Das  letxte  Fermatsclie  Theorem*  301 

Der  Vergleich  mit  (32*)  zeigt,  daß  auch  die  Relation: 

' — '  ^  fjx  —  pTi'  -\-nr*r„  =  qx*  —  pn  +  nr^fn 
fi 

b^tehen  miiJa,     MultipliziereTi  wir  beiderseits  mit  M  und  be- 
nutzeß  die  Gleichungen  (38),  so  folgt: 

Es  ist  also  mindestens  eine  der  beiden  Zahlen  {%  —  x') 
lind  (JT  —  n*)  durch  n  teUbar;  dann  aber  ist  nach  (33)  M 
durch  n  teilbar  (da  p  und  q  den  Faktor  n  nicht  enthalten 
dürfen),  und  es  folgt  aus  denselbon  Gleichungen  (3^.5),  data  auch 
die  andere  dieser  beiden  Zahlen  den  Faktor  n  enthält*  Es 
bestehen  demnach  die  Kongruenzen: 

(33*)  y  ^  TT,    H*  "^  K     mod*  », 

sa  da^  die  Gknehungen  (31)  durch  die  folgenden  ersetzt  werden 
dürfen : 

p^      ^  1 +  »ji  +  ?4*7r,,     5rt     =  1  H-Mx -|-n*x,. 

Bildet  man  wieder  die  Ausdrücke  x^ß  und  //  +  ^,  so 
ergibt  sich  jetzt  aus  I): 

9"^gf  +  nqx  =p  4-  »«l*-^  +  n^pji^  — n^r*r„, 
p^  =p  ^npji  =q^  nqx  -j-n'^x^  +  n*r*rn, 
und  hieraus  an  Stelle  von  (32*); 

(35)  />^  J  +  n{pn  —  qx)  —  n^r' r^^  —  ^t^p^t  ^  ^^q^i> 
Es  ist  folglich  auch; 

(36)  — pn^  =^  qx^. 

Die  dritte  Gleichung  (nämlich  x — y  =  tt®*»-'f'«)  gibt  jetsst: 
»• "  ^  '  r'«  =  pp^  —  qqn=p-q-)r  ^{J^^  —  g«)  +  »*  (p^i  ^  S^i). 

Wir  haben  so  die  DiflFtrenz  p—  q  auf  doppelte  Weise 
b«rt'chiiet;  es  ist: 


(34) 


302        Sitzung  der  math.-pbjs.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

und  somit  erhalten  wir,  unter  Benutzung  von  (36): 

(38)  q^i  =  —P^i  =  r'Vn  —  n2~  -«r'*. 

Da  X,  y,  J3  zueinander  relativ  prim  sind,  so  können  keine 
zwei  der  Zahlen  p,  q  und  r'  einen  gemeinsamen  Faktor  ent- 
halten; bezeichnet  R  eine  ganze  Zahl,  so  kann  man  deshalb 
setzen : 

(39)  Tt^^—qRr',  H^=pRr\  r^  —  n^*'''^r''''-^  =  pqR. 
Die  Gleichungen  (34)  werden  demnach: 

Es  wird  somit  nach  I)  und  I*): 
2  a:  =  i>~  4- g- +  n2~- 1  r'- =  2i?«  —  2n*i?gr'ü, 

(41)  2y  =jp'»  +  g''-  n2~~»r'~  =  2g'~  +  2n*i)gr'i?, 

2  z  =2}~  — g«  +  n«~-ir"»  =  2n2~- V»»  +  2n^pqr'  R. 
Aus  jeder  dieser  Relationen  folgt: 

(42)  pn  —  g«  =  2 n^pqr'  R '\' n^''-^''', 

was  sich  in  Übereinstimmung  damit  befindet,  daß  die  DiflFerenz 
jpn  —  gfi  nach  (25)  durch  n?  teilbar  sein  muß. 

§  5.    Der  Fall  I),  wenn  r'  nicht  durch  n  teilbar  ist. 

Unter  Anwendung  der  Gleichungen  (31)  erhalten  wir  aus 
(41)  durch  Potenzieren: 

(43)  ,  „  ^    ,     mod.  nr. 

Da  nun  x  —  y  nach  I)  durch  n^""*  teilbar  ist,  so  folgt 
durch  Subtraktion:*) 


*)  Dasselbe  Resultiit  findet  man,  wenn  man  die  Differenz  p^  —  3»»' 
einmal  aus  den  Gleichungen  (41)  und  (3)  bildet,  das  anderemal  durch 
Potenzieren  aus  der  Gleichung  (42). 


F.  LindemtLnn;  Da»  letzte  Femmtache  Theorem. 


303 


(44)  k  — TT  =  (j»4g)i2r'  =  2|?iJr'=  2qllr*     mod.  w. 

Wir  kehren  nunmehr  zu  dem  in  der  Kongruenz  (30*)  vor- 
Uegenden  Resultate  zurück.  Mit  Rücksicht  auf  den  in  (39) 
gsgebeneo  Wert  von  r„  ist: 

(45)  r;;  =  j5^  g"  iJ"    mod.  /»^"  --, 
also  DÄch  (30*): 

(46)  pqR^  1     mod.  *i, 

woraus  hervorgeht,    daß    R  nicht  durch  n   teilbar  sein  kann. 
Setzen  wir  demnach; 

(47)  Ä»''-l+f»ß, 

wodurch  die  Zahl  g  definiert  sei,  so  wird  nach  (31): 

(48)  i?" -  * ^-'  2^-^  =  l  +  n(n+x^Q)     mod.  n\ 
und  folglich  wegen  (46): 

(49)  pqR^  l^niji-^-  H -{-(})     mod.  «*, 
und  durch  PotenKieren; 

(49»)  p^g"  Ä"  ^  1  —  n"(^  +  ?<  +  ^)     mod-  n^. 

Nach  (30^)  ist  femer: 
(49»*)  a?»->  =y"-J  =f^    mod,  »i^*'\ 

alao  infolge  von  (45)  und  (49): 

(50)  a:« ->  =  JT"*  =  1  —  »« (TT  +  X  +  e)     ^o<J-  »* ? 

und  der  Vergleich  mit  (43)   lä&t  jetzt  die  Kongruenzen   (44) 
in  folgender  Weise  achreiben: 

yr  +  H  +  Q  ^  —  K  +  p Rr' ^  —  7t  ^  qRr'     mod.  n, 

und  hieraus  erhalten  wir: 

^  2n  -^^  X  -{-  o  ^  —qRr*     mod.  n, 

(51)  _ 

Von  den  hier  zuletzt  abgeleiteten  Relationenf 
d.  b.  di*n  Kongruenzen  (48)  bis  (51),  werden  wir  keiruai 
Ocbriiucb    weiter    machen;    man    würde    iudus^eu    auf  sie 


304         Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

rekurrieren  müssen,  wenn  man  das  Produkt  pqR  nicht,  wie 
es  nunmehr  zunächst  geschehen  soll,  auf  das  Produkt  p^'q'' 
reduziert. 

unsere  Relation  (28)  erlaubt  noch  weitere  Schlüsse;  ge- 
mäß den  Gleichungen  I)  können  wir  x  durch  ^  +  g*  und  y 
durch  p*^ — £1  ersetzen;  dann  ist: 

/rlb^       ^"y"  =  {^  +  q''y(p''  —  ^y  =  [>"g-  +  -^O*  -  3")  --8^*]" 

denn  p*^  —  5"  ist  nach  (42)  durch  n*  teilbar  und  ^  enthält 
ebenfalls  den  Faktor  n*.    Wir  erhalten  somit  aus  (28)  bzw.  (30) : 

(52)  /?'»''g'*''  =  r»     mod.  n*, 
also  auch: 

(52»)  i^^g"  =  rn    mod.  n^ 

und  nach  (39): 

(53)  7?'' q""  ^ pqR     mod.  n^ ; 
folglich  gemäß  (42): 

(53»)      p**  -  q'*  —  2n^pqr'R^2  n^i^'g"  r'     mod.  n*. 

Ersetzen  wir  andererseits  in  der  allgemeinen  Identität  (12) 
die  Zahlen  x  und  y  bzw.  durch  p  und  g,  so  wird: 

ni>»'g''(;;  — g) 

(53»>) 

=  1>-  -  gr«  —  Cp  —  g)"  —  S  N,p'-^q'-^  (p  —  qy-'^'+^, 

folglich : 

(53  ^)  p»»  —  5"  ^  n  i?"  5"  (l>  —  q)    mod.  n*, 

und  durch  Vergleichung  mit  (53»): 

(54)  p  —  q^  2nr'     mod.  n*. 

Mit  Hilfe  dieser  Kongruenz  können  wir  zunächst  ein 
früheres  Resultat  bestätigen;  es  ergibt  sich  nämlich  aus  (42), 
daß  man  setzen  darf: 

(54»)  P  —  q  =  2pqr'Iin  +  (J»^ 


F,  Liiuleinann :  Dtis  kts^ia  Femiataohe  Theorcin. 


305 


wo  1^  eine  Zahl  bezeichnet,  die  sich  durch  Potenzieren,  d-  h*  durch 
ZurtSckgehen  auf  (42)  leicht  beistimmen  läßt;  es  wird  nämlich r 

mod.  n* 
—  2n^pq / '  jR  +  n^  [2 K r'  —  2 r'^q^-^  +  &]     mod.  n\ 

wobei  benutzt  ist,  daß  pqR  nach  (47)  im  Faktor  von  n*  durch 
1  ersetzt  werden  darf*    Durch  Vergleichung  mit  (42)  folgt  dann: 

(54  ^)  a  ^  2  r' V^  —  2 «  r'      mod.  fl, 

Mittels  (49)  erhalten  wir  daher  aus  (54*): 

t«)  p-  5  =  2r*n+  2n^r*[r' ^-^—  h  —  {n  -\^  n  ^  qJ\ 

mod-  »^* 

Hier  muß  nach  (54)  die  eckige  Klammer  durch  n  teilbar 
sein;  d.  h.  wir  haben: 

JT  +  2  «  +  ^  ^  r*q^-^    mod.  n, 

Multiplizieren  wir  beiderseits  mit  q,  so  kommen  wir  wegen 
der  Relation  (46)  auf  die  Kongruenz  (51)  zurück,  wodurch 
letztere  Yon  neuem  bewiesen  wird. 

Aus  den  drei  Kongruenzen,  von  denen  die  dritte  eine  Folge 
der  Relationen  (46)  und  (30^)  ist: 

j?*"*^!,      g^'^^l,      p*q*^\     "mod*  n, 

folgt,  daß  man! 

(55)  p'^^q^^E       mod*  n 

setssen  darf,  wenn  f  eine  Zahl  bezeichnet,  die  entweder  durch 
-f  l  oder  durch  —  1  in  Bezug  auf  den  Modul  n  ersetzt  werden 
darf*     Sei  abo: 

(55»)  p'  =  e  +  «<       g*^  ==£+»«'» 

so  folgt  durch  Quadrieren: 

(56)  .-T  =  2  f  n*  +  n  Jl'^       H=^2€H*-^n  k'«* 

Zunächst  soll  die  Kongruenz  (44)  für  das  Quadrat 
des  Moduls  n  ergänzt  werden*  Es  ist  nach  (53*),  (54) 
und  (55*): 


306         Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

i>-  — g~=i>  — g  +  w(l>:T  — gx) 

mod.  n*. 
Die  linke  Seite  ist  nach  (54)  in  Bezug  auf  den  Modul  n^: 

^1  2nr'-f  n7i(q  +  2nr')  —  nqx 
HE  2nr'+  nq{7T  —  «)  -j-  2n^r'^. 
Wir  erhalten  also: 
(57»)       g(:T  — x)  =  — 2r'+2nr'(l— Ti)     mod.  n« 
und  ebenso,  indem  man  p  und  g  vertauscht: 
(57»>)       p{7i  —  x)=—2r'i'2nr'{l-'x)     mod.  n^ 

Die  eine  dieser  Kongruenzen  geht  aus  der  anderen  durch 
Anwendung  der  Relation  (54)  hervor. 

Auch  die  Kongruenz  (54)  können  wir  für  die  nächst 
höhere  Potenz  des  Moduls  erweitern.     Setzen  wir: 

(58)  i>  — g  =  2nr'  +  r'^>n^  ^ 

so   läßt  sich  i?  durch   folgende  Überlegung  bis   auf  Vielfache 
von  n  bestimmen.     Nach  (58)  ist: 

(58»)    j9"  — g»*HE2n«r'g'»-J  +  r'i?n*g«-»  +  i  n^  v  r'^  q*""^ 
-i-8n>(g)r'3  2'-3     mod.  n*. 

Der  Vergleich  mit  (57)  ergibt  dann: 

2«  +  w*  +  4vr'g--2  +  8  (^  r'^qn-s 

^  2  £  (ti'  +  «0  +  2n  Ji'  x'     mod.  n», 

oder,    wenn  wir  2  v  durch    n  —  1    und    x    gemäß   (56)    durch 
2fx'  +  wx'*  ersetzen: 

2£(«'_jr'):^2rV^~w[*?  +  2x'»  +  2r'(?«-2 

(^8')  /n\  1  1 

+  8Qj^r'«g--«-2.r'x'J    mod.  n«.  ^    ^ 


F,  Ijtndeinttnn:  uns  letzte  Permat^scbe  Theorem.  307 

Itorbts  und  links  addieren  wir  die  J^alil  n{H*'^  —-  n*^)^ 
mulMpIizieren  mit  q  und  ersetzen  im  ersten  Gliede  rechts  ^  ^ ' 
durch  1  +  iix;  dann  wird: 

{h^  n)qs^2r'  ^^nhq  +  ir'ii^  k)  +  («^  ^  :;T')*g 

Auf  der  rechten  Seite  ist  gemäß  (57*): 
femer  nach  (58**): 
Ferner  ist: 

Es  ergibt  sich  somit: 

i7i  —  x)q=  —  2r' 

+  »»  [^  g  +  2  r'  (1  -^  TT)  —  -  ^"^  f'>  ^-«1     mod.  n». 
Diese  Kongrueiiz  muß  mit  (57*)  übereinstimmen ;  es  folgt  also : 

SO  da£  die  Terrollständigte  Kongrueaz  (54)  lautet: 

^  *  o 

Die  vorstehende  Betrachtung  erleidet  eine  Aus- 
nahme im  Falle  w  ^^  3;  daan  nämlich  lautet  die  KongrueuÄ 

(58*),  da  die  Zahl(^|daDn  gleich  1,  also  nicht  durch  n  teil- 


bar ist: 


(^  "  x) 5  =  -  2  r'  ^  r'* (/*»-«     mod,  3. 


308         Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vorn  7.  Dezember  1907. 

und  die  Vergleichung  mit  (57*)   oder  (44)  fQhrt   zu  dem  Re- 
sultate: r'=^0  mod.  3. 

Das  entsprechende  Resultat  läßt  sich  flir  jede  Primzahl 
n  gewinnen.  Wenden  wir  die  Kongruenz  (59)  auf  die  Kon- 
gruenz (58*)  an,  so  ergibt  sich: 

j^n  __  gl.  --_^  —  g  _|_  ijQ^ji g^) 

=  2nV'g«-'  +  4n»vr'»g«-2^9n3/^^^r'5g— 8     mod.  n* 
und  die  linke  Seite  ist  nach  (59*): 

=  2nr'  +  n»  yA  r'^g«-»  +  nq(n  —  7i)  -f  2n»  jrr'     mod.  n*. 

Wir  erhalten  also: 

(tt  — x)g  =  — 2r'  +  2nr'(l-  n) 

^^^^    +nv[2;^  +  2(n-l)r'g--2-^(g^r'»g— 3]     mod.  n», 

womit  die  Kongruenz  (57*)  für  den  Modul  n*  vervollständigt 
ist.    Setzt  man  dann  weiter: 

(60*)  i>  —  g  =  2nr'  +  nVt^  +  w*i9,, 

so  läßt  sich  in  analoger  Weise  i^j  bestimmen,  indem  man  durch 
Potenzieren  den  Ausdruck  p^  —  cf"  bildet  und  das  Resultat  mit 
demjenigen  vergleicht,  wie  es  sich  ergeben  würde,  wenn  man 
den  Wert  von  p  —  g  in  die  Identität  (53^)  einsetzt.  Man  er- 
hält so  einen  zu  (58°)  analogen  Ausdruck  für  jt  —  x,  der  mit 
dem  Ausdrucke  (60)  übereinstimmen  muß,  woraus  sich  dann 
eine  Berechnung  von  #,  (bis  auf  Vielfache  von  w)  ergibt. 
Olffenbarkann  man  mit  einem  solchen  Pendelverfahren  fortfahren, 
und  so  die  Kongruenzen  (60)  und  (60*)  für  immer  höhere  Po- 
tenzen des  Moduls  ergänzen. 

Zur  Durchführung  dieser  Schlußreihen  ist  es  notwendig, 
die  in  (57)  benutzte  Kongruenz  (53)  zuvor  fiir  höhere  Potenzen 
des  Moduls  sukzessive  zu  erweitern.  Das  kann  auf  folgende 
Weise  geschehen.  Infolge  der  Annahme  (3)  ist,  wenn  wir  die 
Werte  von  x^  y,  z  aus  (41)  einsetzen: 


F.  l.indemann:  Daa  letzte  FerrantÄdK*  Theorem,  309 

(ii*  —  n^pqR r'f  —  (§"  +  n^pqR r')''  =  0     mod.  »**, 
also: 

Die  zweite  Klammer  der  rechten  Seite  ist  durch  n%  das 
betreffende  Glied  also  durch  n^  teilbar;  es  wird  somit  einfach: 

jr'-9**  =  »V$  Jir'  [2  +  »» (ji  +  x)  +  ri»i'(;r»  +  «■)]     mod.  n\ 
oder,  wenn  wir  entsprechend  (53),  den  Wert: 

(60**)  pqli=p'q''{^+n^n) 

einführen,  wo  t/  eine  t\x  bestimmende  Zahl  bezeichnet: 
fj«*  —  q^  =  2  n^p^'q'  r'  +  tt*;/  q'  {n  +  x)r'  +  2  n^  r'p''  q""  ri 

So  erhalten  wir  eine  Kongruenz,  durch  welche  die  ganze 
Zahl  ij  definiert  und  mittels  der  Zahlen p^q^  jt, h  ausgedrückt  ist; 
die  wirkliche  Berechnung  von  tj  kann  aber  einfacher  in  folgen- 
der Weise  geschehen.    Aus  (51^)  erhalten  wir,  da  gemäß  (52*): 

(60»)  #  =  »"  r*  r„  =  «■  rV  8'    i^o^-  »* 

;6€«izt  werden  darf»  unter  Benutzung  von  (53*): 
(60^*)  x""  y*  ^  I>"  g"  +  n*  r  *  j^ "  g^^  *^] "      mod.  n\ 

^0  nach  (30): 

und    zufolge    (39)    lautet    sonach    die    verYollständigte    Kon- 
gruenz (53): 

j3  g  Ü  =  r„  EU j?«^ 3*  +  n^  y r**j)^" *  {*'-*     mod.  n*. 

Die  Vergleichung  mit  (60**)  ergibt  demnach: 

1}  ^  v  r*^p''-^  q""-^     mod»  w» 

so  daß  die  Tenrollständigte  KongruenK  (53)  jetzt  lautet: 

(60»)        pqB=p'^q''[l  +  «'y  r'^j?''-'  J»^-^]     mod.  «*. 

Mit  Hilfe  dieses  Resultates  ist  man  in  der  Lage,  die  Kon- 
gruenz (57)  für  den  Modul  n*  aufzustellen;  sie  lautet: 


310        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 
p^ — q'^^in^r'pqR    mod.  n^»»-^ 

Um  #,  zu  bestimmen,  hat  man  also  diesen  Ausdruck  (60^) 
mit  demjenigen  zu  vergleichen,  der  sich  aus  (60*)  durch  Po- 
tenzieren ergibt;  das  führt  zu  einer  Relation  für  jt  —  x  für  den 
Modul  n*,  die  mit  (60)  übereinstimmen  muß,  woraus  dann  t?, 
gefunden  wird;  und  mit  Hilfe  dieses  Wertes  gelingt  es  weiter, 
mittels  der  Kongruenz  (60^)  und  durch  eine  zu  (60*)  analoge 
Relation,  die  Kongruenz  (60®)  auf  den  Modul  w*  und  dadurch 
die  Kongruenz  (60^)   auf  den  Modul  n^   zu    erweitern;    u.  s.  f. 

Nehmen  wir  an,  es  sei  gefunden: 

(61)      i>  —  g  =  r'  (2  w  +  n»  1?  +  w*  1?,  4-  .  . .  +  n'  ^.-3), 

wo  nun  alle  Zahlen  ^«  bis  auf  t^^^s  bekannt  sind:  es  handle 
sich  also  um  die  Bestimmung  von  i?«-8;  dann  wird,  wenn  wir 
die  rechte  Seite  dieser  Gleichung  mit  0«  bezeichnen  und  wenn: 

(61*)  0,  =  r'  (2  n  +  n»  *  +  . . .  +  n«  *,_3) 

gesetzt  wird: 

pn  —  g»  ^  n  0«  g"-^ 

(61")  ^  ^        ^ 

mod.  n'+2^ 
Ferner  setzen  wir  voraus,  man  habe  gefunden: 

(610  {7i-x)q^-2r'-Y  Ö,  w  +  ^2  w«  +  . . .  +  a.gn-"« 

mod.  w'^^ 

Endlich  habe  man  gefunden,  und  zwar  durch  sukzessive 
Erweiterung  der  Kongruenzen  (53)  und  (60®): 

(61<*)     pqR~p^q^{l  +  n^V  +  w*^,  +  •  •  .  +n-^  17.-4) 

mod.  n*, 
also  nach  (42): 


F.  Uiidemann:  Dm  leUt«  FerinaUcbe  Tlieoi^m» 


Sil 


Subtrahiert  man  nun  die  Kongruenzen  (61**)  und  (61*) 
vfineinander,  so  muJa  wieder  die  obige  Kongruenz  (61*^)  ent- 
stehen, nachdem  beiderseitig  mit  n^  r'  dividiert  und  mit  q  uadti- 
pUztßrt  wurde.  Der  Faktor  ?oii  n*'^^  in  der  so  gebildeten 
neuen  Kongruenz  enthält  die  unbtskannte  J^ahl  t^t-fit  und  diese 
iat  dadurch  besjtiiuoit.  Diese  Zahl  Öi-g  kommt  nämlich  auf 
der  rechten  Seite  von  (61**)  nur  im  ersten  Giiede«  nämlich  in 
Öat  vor  und  ist  hier  io  r'»t*+^g*"*  multipliziert;  bei  Bildung 
der  genannten  Difterenz  erscheint  ^^-a  also  auch  nur  im  Faktor 
der  höchsten  Potenz  von  n,  d,  h.  (da  mit  u^  dividiert  wurde) 
ixii  Faktor  von  >4'"^;  Hg  Zahlen  rj,  in  (61*)  enthalten  die  Un- 
bekannte ^,_3  nicht.  Die  so  gefundene  neue  Form  der  Kon- 
gruenz (61")  lautet  also: 

+  (P+  ö,_ag)«*~2     mod.  n—\ 

wo  sich  die  Zahl  F  aus  den  bekannten  Zahlen  #/  und  tji  zxi- 
sammensetzt,  und  zwar  kommen  in  P  alle  diejenigen  ZaKlen 
aus  der  rechten  Seite  von  (61**)  vor»  welche  dort  in  ?i'+^ 
multipliziert  sind.     Zu  ihnen  gehört  auch  das  Glied: 

über  nur  dann,  wenn  die  Zahl  5<»  ist;  setzen  wir  also: 

»  P  =  «  P' +  ('^  V2  r')*  g— , 

wird  nach  (62); 
(j.-«)?  =  -2r'-hy,n  +  (?,M»-H...  +  ^._,»*-» 


(62) 


+ 


i*  + 


l  {"hy^-' 


+*.-»9 


»■~*    mod.«'"', 


wo  nun  die  Zahlen  l^,....^t  s  durch  dte  Torhergehcnden 
(d.  h,  die  als  durchgeftlhrt  vorausgesetzten)  Rechnungen  schon 
TölUg  bestimmt  sind.    Wählt  man  aber  s^n,  so  erhält  man: 


22* 


312         Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

Der  schon  durch  die  Betrachtung  für  s  =  n  —  1  völlig 
(d.  h.  bis  auf  Vielfache)  von  n  festgelegte  Wert  von  Qn-s 
müßte  also  eine  nachträgliche  Korrektur  erfahren,  was  nicht 
möglich  ist;  wir  müssen  somit  schließen,  daß  die  Zahl 
r'  den  Faktor  n  enthalte,  daß  also  die  Kongruenz: 

(62»)  r'=0     mod.  n 

erfüllt  sei.  Die  bisher  gemachte  Annahme,  es  sei  die  Zahl 
r'  nicht  durch  n  teilbar,  erweist  sich  somit  als  nicht  haltbar; 
die  aus  der  Kongruenz  (62*)  weiter  zu  ziehenden  Konsequenzen 
werden  wir  im  nächsten  Paragraphen  verfolgen. 

§  6.    Der  Fall  I),  wenn  r^  durch  n  teilbar  ist. 

Das  Resultat  (62*)  ergibt  nun  zufolge  der  Kongruenz  (44) 
unmittelbar: 
(62^)  71  — ;«  =  0     mod.  n, 

also  auch  nach  (56): 

(62«)  jr'  — x'zziO     mod.  n 

und  weiter  nach  (55*): 

l?"  ^  g"  ^  €     mod.  n^. 
Dann  aber  folgt  aus  (52*)  und  (53): 

Vn^p^''  ^~ pqR    mod.  n* 
und  folglich  erhalten  wir  aus  (49): 

71  z-Z  —  (^  +  ^  +  ^)     niod.  n, 

wie  sich  jetzt  auch  aus  (51)  ergeben  würde,  um  nun  ein 
Rekursionsverfahren  durchführen  zu  können,  ersetzen  wir  die 
Kongruenzen  (62*),  (62^),  (62^)  durch  die  folgenden  Relationen : 

(63)    r'=r^n\    p'^^q^'^e    mod.  n^+\    p«-^  — g*~»=r^n^+^; 

wir  wollen  zeigen,  daß  dann  entsprechende  Relationen 
auch  gültig  sein  müssen,  wenn  man  k  durch  A-j-1  ersetzt. 


F.  Lindenjann:  Da«  letzte  Fei-matflche  Theorem. 


313 


Wir   befolget!    dabei    genau   die    im   Falle  A  =  0    angewanclie 

Sclilußweise  und  werdöo,  um  die  Analogie  deutlich  hervortreten 
2u  lassen,  die  gleichen  Nummern  für  die  einzelnen  Gleichungen 
vmA  Kongruenzen  verwenden,  indem  wir  nur  einen  Stern  hin- 

Setzen  wir  in  die  Relation  (29*)  für  r*  den  Wert  n^r^  ein, 
&o  ergibt  mck: 

(30)*  afr=C    ^^^*  i|t2Ä+4)t.^2. 

nun  ist  jetzt : 

(30*)*  ;c  "  1/  =  ti-'"- '  r-"  ^  «(^+2>*.-i  ^^ 

tilso: 

"tind  nach  (30)*: 


(30  T 


««-t  ^^r*  —  vw^^+^J"^^  .  f«.  «2^-1 


mod.  nf«^+^>-^. 


Infolge   der  Ansätze  (63)   ist   daa  Produkt  p^  q""  in  Bezug 
»uf  den  Modul  tj^"^*  mit  1   äquivalent;   aus  den  Gieiohungeo: 

^  =  $"  +  ^  =  £"*  +  fi*^+^^"  rj*  rj; 
y  =sj:^  —  j?  =  jp^  —  t|U+^J*r«rjj 

ergibt  sich  also: 

jf  y  ^ji*'g**'^2  1     mod-  A^+^ 
tiiid  somit  aus  (30): 
(30-f  U=l     mod.  i»^+\ 

Weiterhin    folgten    in    §  5    zunächst    Überlegungen,    bei 
denen  nicht  Kongruenzen,  sondern  Gleichungen  benutzt  wurden, 
Lilia  also  hier  sich  unverändert  wederhoien  lassen.    Wir  Enden 
^so  die  folgenden  Resultate: 

(89)*  r,  ^pqR  +  n(^+aH»-i)-i  ^-i 

und : 


314         Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

a:  =  ^  —  n^+2^  q  ^^  jl^ 
(41)*  y^q^'  +  n^+^pqr.R, 

aus  jeder  dieser  Relationen  folgt  jetzt: 
(42)*  i?-  —  g-  =  2n^+2;>gr,  i?  +  wt^+2)n-iy^. 

Die  Gleichungen  (43)  werden  jetzt: 

(43)*  -^  ^  ^  mod.  n^+3 

und  durch  Subtraktion  erhalten  wir  gemäß  (63): 

(44)*    i)'»^'— 1)  — g«('»-»  =  n^+V  =  2gi2r'n^+2   mod.  n^+s, 

oder: 

(44»)*  /i  =  2gi2r'=2i?i2r'     mod.  n, 

Aus  (39)*  erhalten  wir: 
(45)*  u=pqR     mod.  n(^+2)— 8, 

also  nach  (30«)*: 
(46)*  i>gi2=l     mod.  n^+^ 

Es  gilt  die  Gleichung  bzw.  Kongruenz: 

(5  IM*  ^'  ^'  ^  ^-^ + ^'*^''  ^^  ~  -^^^  =  Ci^"  3" + ^  cp" — ö'*)  -  ^^y 

^^•»"g*»"     mod.  n2^+*, 

denn  die  Zahlen  is  und  |>*  —  q^  sind  hier  je  durch  n^+*  teilbar. 
Aus  (30)*  ergibt  sich  somit: 

(52*)*  Tn  =  l?"  5"     mod.  n«^+3 

und  nach  (39)*  bzw.  (45)* 

(53)*  p^  q*=pqR    mod.  n^^+ä, 

folglich  gemäß  (42)*: 

(53»)*  ^  —  5"  =  2  n^+'-/?''  g"  r,     mod.  n^^^^ 

Die  Gleichung  (53^)  gilt   unverändert,   und   aus  ihr  folgt 
jetzt,  Ab,  p  —  q  durch  n^"*"*  teilbar  ist: 


F*  Uodeniann;  Dat  leUte  Ferroateehe  Theorei«, 


315 


(53«)«  p**  ^  qn  ^  ^jf  qy  ^p  _  g^     jj^o^l    n*^H-\ 

also  durch  Vergleichung  mit  (53*)*: 

(54)*  I»  — g  =  2fi^+»rj     mo4,  n^^-^^. 

Nach  (30*)*  und  (52»)*  haben  wir  die  achoD  benutzt©  Relation  r 

(54»)*  ^^  ^'  —  1     mod.  n^^K 

Nun   ist  nach  (54)*  die  Differenz  /?  —  g,   also   auch   die 
Differenss  /i'—  q""  durch  n^'^^  teilbar;  es  folgt  deshalb  aus  (54*)* : 

d.  h.  es  ist  zu  setzen: 


7t  =  n^  It. 


1 ' 


X  —  n^'  X. 


tiud  aus  den  ßelatioiieu: 
folgt  dann  weiter: 


(55»)* 
also: 


jp*^  :=  €  4  n^-^  ^  n\,     ff  ^  E  -{-  n^^^  xj 


An  Stelle  von  (57)  erhalten  wir  daher: 
p  —  q  +  n^-^^ißn^  —  qn^) 
{57)'     ^  2  n^+^  n  [1  H-  e  fi^-*->  (.^5  +  «;)  +  »*'+^  ^i  «i] 

inod.  n^^-^\ 

Nach  (54)*  ist  die  linke  Seite  (mod,  »»ä+»): 
=  2fi*+i  r,  +  «^+1  ^j  (5  +  2n^+J  r,)  -  f^^+i  g^i, 
ia  dafi  wir  erhalten: 
(57*)*    q  iii,  -  X,)  =  ^  2  Tj  +  2  n r,  -  2 ft*+*  r,  tt^     mod.  «^^+-. 

Jet/.t  sind  wir  in  der  Lage,  die  Kongriionz  (54)*  für  den 
nächst  höheren  Modul  tm  erweitern;  wir  setzen ; 

wo  nun  ^^1  ^u  bestimmen  ist.     Zunäclist  ergibt  sich: 


&^ 


316         Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

(58»)*  +  8  n8^+8  Tg^  rj  g— «  +  r,  *,  w8^+*  q-"^ 

mod.  n*^+^ 

Durch  Vergleichung  mit  (57)*  erhalten  wir  ako  (nach 
Division  mit  r^w^^+s): 

=  2€(:Tl  +  «i)+  2n^+>7rixi     mod.  w^^H-«, 
oder  nach  (56)*: 

2«(xi  —  :7r;)  =  2r,g'»-2_  2nr^q''-^ 

(58y-n^+iU  +2xI'+2r,g"-2^8^g^^^r?g«-2-2^1x;l 

mod.  n^^+^ 

und,  wenn  wir  links  n^  und  Xj  einführen  und  mit  g  multi- 
plizieren : 

(«,  —  ^,)  2  =  2r,  —  2  wr,g«- 1 

(58«)*_„.4-i[^,g4-2r,x,+  («;-^i)*g+8(3)^r;g-2J 

mod.  w^^+^ 

oder  endlich,  wenn  wir  in  der  eckigen  Klammer  die  Relation 
(58**)*  zur  Umformung  benutzen,  und  im  zweiten  Gliede  der 
rechten  Seite  q"*^^  durch  1 -^  n'-'^^  x^  ersetzen: 

(58^    +n^  +  i[*,g  +  2r,;<,  +  rJg-2+8(3)^r?8"-2J 

mod.  n^+2. 

Indem  man  die  rechte  Seite  mit  der  rechten  Seite 
von  (57*)*  vergleicht,  ergibt  sich  die  Bestimmung  von  ^j. 
Eine  Ausnahme   tritt   im  Falle  »2  =  8  ein,   da  man  dann  das 

Glied  mit  dem  Faktor  (  ^  j  nicht  in  die  eckige  Klanmaer  bringen 

kann;  dann  lautet  vielmehr  die  letzte  Kongruenz: 


F.  LindetDfiiii] :  Das  letzte  Fermatscbe  Theorem, 


317 


+  3'-^'  [^i  2  +  2  r,  X,  +  r?  g]     mod,  3^^^ 

und  jetzt  folgt  durch  Vergleichung  mit  (57*): 

fi  ^  0      raod.  3. 

Von  hier  ab  kann  die  Reihe  toh  SchlÜBsen   unaeres  Re- 
lIcursioEsverfahrens  in  ganz  gleicher  Weise  wie  oben  durchge- 
fthrt  werden;  mao  setze: 

(60*)*       p^q^2n'+'r,-\-r^  t?,  n»^  +  »  +  r,  §[  n«*+* 

lind  verfahre  in  ganz  entsprechender  Weise,  so  wird  man  die 
Zahl  §\  bis  auf  Vielfache  von  n  bestimmen  können.  Es  ist 
dabei  nur  nötig,  auch  die  Kongruenz  (53)*  für  immer  höhere 
I  Moduln  zu  erweitern*  Zu  dem  Zwecke  gehen  wir  wieder  von 
der  Gleichung  ar"  =  i/*  +  ^'^  »^s;  das  Einsetzen  der  Werte 
(41)*  gibt  eine  Relation,  die  zur  Definition  von  ij^  dienen  kann, 
wenn  wir  gemä&  (53)*  setzen: 

(60»')*  pqM^p^q'  (1  +  »ä^+»  ml 

Einfacher   geschieht  die  Bestimmung  von   tj^   wieder  auf 
ende  Weise.    Auf  Grund  der  Kongruenz  (52*)*  haben  wir: 

"(60«)*         £  =  n^+2 ^^  y^  =  ^i+fi r^ p- g"    jnod.  n«^+\ 

ftko  nach  (51^  und  (53*f : 

=  p*^g*''  +  n-^+**F-rJ(i?#''+"<^-'J     mod,  ft*^+', 
also  nach  (30)*: 

rjj  ^j^^^g»*^-}-  n^^+<  *  v  •  rjj?"*'"'  $**''"*     mod.  tt*^"^'^ 
somit: 

r,  =1/8*'  +  ff?^+^'  V  *  rJi?^'^  g"-!     mod.  ti*^+^ 
folgüch  na^h  (39)*  und  (54*)*: 

/igÄ=l>^g*'+  w-^+^i'-r;/?''- 1^*^-1        mod.  «**+* 


(60^)* 


(60*)* 


318         Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

wodurch  rj^  bestimmt  ist: 

rj^  lEE  vfip^'-^gl^-^     mod.  n^+^ 

und  die  Kongruenz  (53*)*  kann  nun  auch  für   einen  höheren 
Modul  aufgestellt  werden;  sie  lautet  dann: 

(600*    i>~  —  g-  =  2n^-i-2^jp'3''  +  2n^^-^^vfip^'^^  ^^v-i 

mod.  n*^+*. 

Durch  ein  Pendelverfahren,  analog  demjenigen,  das  am 
Schlüsse  von  §  5  eingehend  geschildert  wurde,  wird  man  so 
die  Kongruenzen  für  die  Werte  von  p  —  g,  von  ti  —  x  und 
von  p^  —  q^  auf  immer  höhere  Potenzen  des  Moduls  n  er- 
weitern können.  Ist  man  bei  der  Kongruenz  für  p  —  g,  d.  h.  in 
(58)*,  bis  zum  Modul  n''^+*+*  gelangt,  so  daß  der  Koeffizient 
von  n**^+'»  bestimmt  werden  soll,  so  tritt  in  der  entsprechenden 
Kongruenz  (58*)*  rechts  das  Glied: 


2»  n*»^+'* 


0^ 


auf,   das  einen  Faktor  n  weniger  enthält,   als  man  nach  dem 
Verlauf  der  Rechnungen  bis  zu  diesem  Modul  erwarten  durfte, 

indem  der  Binomialkoeffizient  f     |  für  s<n  durch  n   teilbar 


C) 


ist,  für  s  =  n  aber  nicht.  Hierdurch  ist  es  dann  wieder  be- 
dingt, daß  sich  bei  Aufstellung  der  Kongruenz  für  n^  —  x^, 
d.  h.  der  zu  (58*^)*  analogen  Kongruenz,  für  den  Modul: 

ein  Glied  ergibt,  welches  die  schon  vollständig  definierten 
Glieder  der  entsprechenden  niedrigeren  Kongruenz  noch  beein- 
flussen würde,  welches  also  noch  einen  Faktor  n  mehr  ent- 
halten muß;  und  dies  kann  nur  erreicht  werden,  wenn  der 
andere  Faktor  dieses  Gliedes,  der  sich  aus  einer  Potenz  von  r^ 
und  einer  Potenz  von  q  zusammensetzt,  den  Faktor  n  enthält. 
Wir  kommen  so,  da  (/  nicht  durch  n  teilbar  sein  kann,  zu 
dem  Schlüsse  (vgl.  auch  unten  §  12): 

r,  i^  0     mod.  n. 


F.  fjindenmnn:  Das  letaste  FermatJii^he  Theoiem 


319 


Aus  (44)*  folgt  dann»  daß  jt,  —  >£^  durch  n^+\  und  aus 
(65*)*,  data  /?"  —  5*'  durch  n^'^^  teilbar  sein  muß,  d.  h.  daß  die 
RelatrioDea  (63)  für  die  Zahl  A  +  1  bestehen»  wenn  sie  für  die 
Zahl  X  gelten. 

Wenn  man  also  annimmif    es  sei  r'  durch  n*  teilbar,   so 
folgt,   däla  r'  auch  durch   »^+^  teilbar  ist.     Die  Zahl   r*  ist 
isoiiiit    durch    jede    beliebige    PotensB    von    n    teilbar, 
[d,  h.  wir  haben: 

f '  =  0. 

Dann  aber  geben  die  Gleichungen  (41)  bzw.  (41)*: 

[und  aus  (42)  folgt:         p**  =  </"*. 

Wenn   also   die  drei  Zahlen  x,  y,  js   der  Gleichung; 

^  =  ^«  -f  ir« 

[genügen,  so  kann  s  (und  ebenso  y)  nicht  durch  n  teil- 
bar sein,  es  sei  denn,  daß  die  betreffende  Zahl  gleich 
IXuH  ist,  wo  sich  dann  die  genannte  Gleichung  auf 
eine  Identität  reduziert 


§  7,   Der  Fall  11). 

Der  Fall  II)  läßt  sich   in   genau  der  gleichen  Weise  6r- 
kdigen.    Aus  den  Identitäten  (13)  und  (17*}  erhalten  wir  bzw.: 


n^'p'^r^-  L^^a:'"*/'' r"<"-'^+^ 


nsf'ß'  =  ?;  —  S  Nt  a^i  J^-'  g^Ci-Ä^+i), 


^=1 


i^\ 


und  schließen  aus  ihnen,  wie  in  (21),  (23)  und  (24)  die  Kon- 


=  ij"  *  tr 


1     — 


^0 


320        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

also  auch,  entsprechend  zu  (25): 

j*  +  r"  ^  0      mod.  n*, 
ferner  aus  II*): 

2x^q^  +  r*^  +  p^ n"~*  ^  0     mod.  n*. 

Die  Identität  (13^)  gibt  nach  Division  mit  n: 

( —  iyy^e''  =  p^  — p*^(**''^)n**(»*-^) 

Hieraus  folgt,  wie  oben  entsprechend  aus  (28),  daß  p 
durch  n  teilbar  sein  muß,  während  Pn  den  Faktor  n 
nicht  enthalten  kann.     Wir  setzen  demnach: 

An  Stelle  von  (29)  haben  wir  hier  die  Gleichungen: 

(65)  gr-^  =  l  +  nx,      r^-i  =  l+nQ, 

g"     =l+nx',       f"     =l^nQ\ 
und  an  Stelle  von  (30): 

/ggx  ^  -  y  =  f^  =  n^p'Pn-'qqn, 

x  —  £f=zq^  =  n^p'pn  —  r  r^, 

also  infolge  von  (35): 

r"  =  r  +  nr^  =  n*p'/?H  — q  —  nqx\ 

q^  =  q'\-nqx  ^  n^p'Pn  —  r  —  nrg^ 
somit : 

(67)  q  +  r  —  n^p'pn  =  —  n{rQ  +  qx*)  =  —  n{rQ*  +  qx). 
An  Stelle  von  (32)  erhalten  wir  also: 

(68)  qi»c'-'c)  =  r{Q--Q), 
und  an  Stelle  von  (33): 

(69)  l' '''.-'- 

wo  N  eine  ganze  Zahl  bezeichnet.    Die  Berechnung  der  Summe 
ff  -{-  js  gibt  hier: 


F.  Lindemanf] :  Du*  letÄte  Fermatsclie  Tbeorein* 


S21 


analog  zu  (33)  erhalten  wir  hieraus: 

und  daran  las^sen  sich  dieselben  Schlüsse  anknüpfen,  wie  oben 
an  die  entsprechende  Gleichung,  so  daß  wir  zu  dem  Ansätze: 

^-1  =:=  1  +  fix,  r^-»  ^  1  +  n^, 

berechtigt  sind.    Die  Bildung  der  Ausdrücke  ä:  —  y  und  x  —  b 
ergibt  jetzt: 


(70) 


(71) 
also: 


f^  —  r  ^  nrg^^Pnp'n^^q  —  nq)c  —  n^qx^^ 
f/*  —  q-^  nqx  ^p^p*n^  —  r  —  nrQ  — »**rß,, 


(72)   q  +  r  +  n{rQ^  qn)  -pnP'-n^  =  -ii'gxj  =^  -  n^TQ^. 

Die  Summe  y  +  i^  =  w^**"  'i*'"  gibt  hier: 
n'*- 1  p'^  =  qq^  ^  rr„  =  q  +  r  +  n (qx  +  fg)  +  n*(gKj+  r^J; 

wir  erhalten  demnach: 


(73) 


5  +  f  «  — «(gx  +  fß)  -n*(sx,  +  »'e,)  +  »*""*J»'' 


I 


=  — n(gx  +  rg)  —  n*gÄJ) +  «*;>!.  P'i 
und  folglich,  unter  Benutzung  von  (72): 

(74)  qx,  =  r^,  -  -  Pnp*  +  ««"-» J?^ 

wodurch  wir  zu  den  Gleichungen  (P  bezeichnet  eine  ganze  Zahl): 

(75)  H,=Prp\    &,  =  Pqp\    p„  — «^'•-»/«-^--P^r 
geführt  werden,  aus  denen  sich  sofort  die  folgenden  ergeben: 

2s  =  ti^"  - '  ji'*  +  g*«  +  r-  =  2  n***"  ^  j?'»*  —  2  w*  ^  r^'  P, 

(76)  2j^  =#''->'**  + 3" --  r*  =  2^  +  2n»5r/P, 
2  #  =  n^"-»  p'«  —  g*  +  f  =  2  r«  +  2  it^gr/  P, 

und    es    ist  klar,    dai   man    aus   diesen  Gleichiiugen   dieselben 
lüsse  ziehen  kann,   wie  oben  aus  den  Gleichungen  (42),  so 
man    zu  der  Annahme  p*  ^^  0   als  der  einzig   mdgliehen 


322         Sitzung  der  math.-phy».  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

geführt  wird;  bei  der  Durchführung  des  Beweises  würde  es  sich 
nur  darum  handeln,  in  den  Betrachtungen  von  §  5  und  §  6 
einige  Buchstaben  zu  vertauschen  und  Vorzeichen  zu  ändern; 
wir  können  deshalb  diese  Wiederholung  ersparen.  Es  folgt  so, 
da  y  und  e  positiv  vorausgesetzt  wurden,  auch  g  =  0,  r  =  0. 
Der  Fall  II)  kann  daher,  wenn  a;,  y,  z  positiv  voraus- 
gesetzt werden,  nicht  vorkommen. 

§  8.   Hilfsformeln  zur  Erledigung  des  Falles  III). 

Die  Erledigung  der  durch  die  Gleichungen  III)  bis  IIP) 
in  §  3  gegebenen  Möglichkeiten  werden  wir  in  §  10  auf  den 
folgenden  Satz  zurückführen,  bzw.  auf  die  zu  diesem  Satze 
fuhrenden  Formeln: 

Sind2>,  9^1  ^  drei  nicht  durch  n  teilbare  ganze  Zahlen^ 
und  besteht  zwischen  ihnen  und  einer  ungeraden  Prim- 
zahl n(=  2v  +  1)  die  Relation: 

(77)  jp"  —  g"  —  r**  ^E  0     mod.  n* 

(d.  h.  läßt  sich  von  drei  Wurzeln  der  Kongruenz  X""^  ^  1 
mod.  n^  eine  als  Summe  der  beiden  anderen  darstellen), 
so  bestehen  die  Kongruenzen: 

(77»)  g^  =  r^  =  (—  lyp"    mod.  n, 

ausgenommen  die  Fälle,  wo  q^r  oder  2>  ^^ — r  oder 
p^  — g  ist. 

Entsprechend  der  Kongruenz  (77)  setzen  wir:*) 

(78)  ^— 2"— r~=2an*     mod.  w^ 

wo  a  eine  ganze  Zahl  bezeichne,  die  zunächst  nicht  durch  n 
teilbar  sei.  Ersetzen  wir  nun  in  der  fundamentalen  Identität 
(12)  die  willkürlichen  Zahlen  x,  y  bzw.  durch  2?",  g**,  so  wird: 


^)  Daß  auf  der  rechten  Seite  von  (78)  eine  gerade  Zahl  2  a  einge- 
führt wurde,  ist  keine  Spezialisierung,  da  jede  ungerade  Zahl  durch  Hin- 
zufügen von  Vielfachen  von  n  zu  einer  geraden  gemacht  werden  kann 
und  sich  dadurch  die  rechte  Seite  von  (78)  nur  um  Vielfache  von  n' 
&ndem  würde. 


F.  Liiideniatui:  Da^  letzte  Färnjatscbe  Theorem, 


323 


(79)  /?*•*  —  g*** — (i/*  —  q''Y  =  £  iVi  j?"<'-  ngnii-u^^  ^y-ti+^^ 

nnä  dies  i.st  eine  identische  Gbichung*  Die  linke  Seifce  ist 
nach  dem  erweiterteu  Fer matschen  Safere  mitp'*  —  q^^ip'^  —  q'*f 
m  Bezug  auf  den  Modtil  w*  äquivalent,  also  nach  (78)  mit 
ptt — q^  —  r**  und  iomit  durch  n^  teilbar;  die  rechte  Seite  ent- 
hält den  Faktor  «,  da  nach  §  2  alle  Zahlen  Ni  durch  n  teilbar 
sind.     Setzen  wir  also: 


)) 


v+l 


ft  r  =  £  iV^/r^'-^>  V«^^"^)  ^Hin^2i-i-l)^ 


1=2 


SO   ist  T  eine   ganae  Zahl,    und  es  wird  die  rechte  Seite   von 
(79)  gleich  nr^r,  und  es  folgt: 

0  =  n  -  f"  '  T    mod,  n^, 
also: 

(81)  T— 0     mod.  n. 

Durch  Differentiation  der  Identität  (79)  nach  p«  entsteht 
die  Relation: 


H-i 


(82) 


=  £  K  (n  —  2 i  +  2)r f*-^J  g*»*^-^*  (>•  -  g«)«-2m 


r+l 


+  £  iV, (i "  i)p^it-^^^i^-n  Qj^  —  g")«-2^, 


»^2 


welche  ebenfalls  identisch  erfüllt  ist     Setzen  wir  also:*) 


r+l 


(83)  »I  Tj  =  £  JV((i  —  l)j>»«^-a)  g«t«-2)  ^(.i-äf+i), 


j._2 


WO  dann  T,  eine   gan2e  Zahl  bedeutet,   so  wird  in  Rücksicht 
auf  (77): 

(83*)  n  Cp"!"-^*  —  r  t"«))  =  »t  J-^  n  (g»r«-  21^^")  T,    mod.  «*. 


')  Die  hier  eingeföhrten  Zahlen  T  und  T,  werde«  apater  zum 
üaterschiede  von  andm-eti  äüatugen  Ztiblen  mit  T^  ufid  T|^  baseeichnet 
werden. 


324         Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

Die  linke  Seite  ist  wegen  der  Kongruenzen: 
jp«(«-i)  ^  gH(H-i)  =r  1     mod.  n* 

durch  n*  teilbar,  T  nach  (81)  durch  n;  es  wird  also: 

(84)  (r*»  -  21?")  Tj  =1  0     mod.  n^ 

denn  der  Faktor  g**  kann  der  Voraussetzung  nach  nicht  durch 
n  teilbar  sein.  Es  ist  also  Tj  durch  v?  teilbar,  ausge- 
nommen den  Fall,  wo  die  Zahl  r* — 2^?"  [^  —  (p"  +  5")] 
durch  n  teilbar  ist. 

Zu  weiteren  Resultaten  gelangen  wir,  indem  wir  auf  der 
linken  und  rechten  Seite  von  (82)  auch  die  dritte  Potenz  von 
n  berücksichtigen.  Wir  führen  drei  Zahlen  71,  x,  q  ein,  die 
durch  die  folgenden  Gleichungen  definiert  seien: 

(85)  i^-»  =  l  +  W7r,     5«-i  =  l+nx,     r«-i  =  l+Wß. 

Dann  wird  auf  der  linken  Seite  von  (82): 
^  [p~(n-i)  —  {j^  —  g~)~-»] 

(86)  =  w  (;>"("-i)  —  r"(--'>  +  2  a  n*  r«^"-«))    m^d.  n* 
=  n* (jr  —  ß  +  2a r«-2)  mod.  n*. 

Auf  der  rechten  Seite  von  (82)  ist: 

X;iV;(n-2iH-2)i?"(*-^)2"(^-'>(i?*  — ?")— 2.+1 

(87)  =1  £  JV;.(n  —  2 i  +  2) p~(<-^)  g*(*-')  [y*(~-2.+i) 

+  2an«(n  — 2iH-  1)  r^e»-««")] 

=  n«T  — 2n^2"ri4-2an»i?-g*i;     mod.  n*, 

wenn  T  wieder  durch  (80)  und  die  ganze  Zahl  T,  durch  die 
Gleichung : 

(88)  nT«=:LiV,(2i  — l)(2i  — 2)i>~(-2)(^(«-8)r-(--20 

i=2 

definiert  wird  (denn  das  für  i  =  v  +  1  entstehende  letzte  Glied 
hat  den  Faktor  n  —  2  i  +  1,  d.  h.  den  Faktor  Null).  Die  andere 
Summe  auf  der  rechten  Seite  von  (82)  ist  nach  (78): 


F*  Lindemänn:  Dna  let^t«  Fermatsche  Theofam.  325 


+  2o  n«  («  —  2  i  +  2)  r-t"-2'+'J] 
=  g»  r" '  »  i;  —  4  a  «« Tj  g"     mod.  »*, 


wenn : 


gesetzt  wird.     Wegen  der  Relation: 

(2  i  -  1)  (2  i  «^  2)  =  4  (i  —  1)*  +  2  (i  -  1) 
ist  aber  (da  iV^+i  =n  war): 
(88*)      ftrjr«=^4ni;+2nr,^2n»i'j?»<''-i>g"t''-i^ 

Es  wird  demnacli: 

-Hl 

=  « 3* r * Tj-h  2  a  11^ r  2^1  -  a «"  3*"  r^T,     mod.  n*. 

SeUen  wir  die  Werte  (86),  (87)  und  (89)  in  (82)  ein,  so 
ergibt  sich: 

{n—Q  +  2a  r"t"-2>)  li*  =  »  r  +  g«  (r"— 2 13")  (T^  -a  n*  T^) 
+  2a»*g**r,     mod,  »«, 

wobei  zu  beachten  ist,  dafi  nach  (81)  die  Zahl  T  durch  «,  und 
nach  (84)  das  Produkt: 

rch  »*  teilbar  ist. 

Äbnliche  Gleichungen  und  Kongruenzen  erbält  man,  indem 
man  die  Identität  (79)  nach  g**  differenziert  und  aoaloge  Ent- 
wicklungen anstellt.  Wenn  man  aber  die  so  entstehenden 
Eelationen  benutzen  wiU,   m  ergeben   sich  keine  brauchbaren 


(90) 


326        Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

Resultate,  wenn  man  nicht  zuvor  noch  eine  weitere  Potenz 
von  n  bei  der  Entwicklung  berücksichtigt. 

Zur  Vereinfachung  der  Rechnungen  ersetzen  wir  im 
folgenden  die  Kongruenz  (78)  durch  die  Gleichung: 
(91)  pn^qn_^H:^  2an\ 

In  Rücksicht  auf  die  späteren  Untersuchungen,  bei  denen 

die  Zahl  a  als  durch   eine  Potenz  von  n  teilbar  angenommen 

wird,  empfiehlt  es  sich,   statt  der  Zahlen  jt,  q  die  Zahlen  p,  r 

beizubehalten.     Die  Kongruenz  (90)  lautet  dann  (da  T^  durch 

n*  teilbar  ist  und  da  r* — 2p*'^  — (2"+  ^)  mod.  n*  ist): 

pniH-\)  _  y4»(»-i)  -4-  2  a  n* r**^»»-2) 
('92') 
^    ^        =nr  — g-(2"+^)(r,— an«r^    mod.  n^  ^) 

Hierbei  ist  vorausgesetzt,  daß  g^-^-p**  nicht  durch 
n  teilbar  sei,  denn  nur  dann  ist  nach  (84)  die  Zahl  T^ 
notwendig  durch  n*  teilbar.  Es  soll  demnach  im  fol- 
genden zunächst  angenommen  werden,  daß  keine  der 
drei  Zahlen  !>*•-[- g",  2>^*+ r*»,  q*"  —  r"  durch  n  teilbar  sei. 

Differenzieren  wir  die  Identität  (79)  nach  g^,  so  wird, 
analog  zu  (82): 

fl  [d^  _-  g»*)»»-l  — .  g" (»•-•)] 

=  —  S  JV,  (n  —  2  i  +  2)i?"(*-»)  g«('-J)  (p^  —  q^)  «-2«+i 
(93) 

+  S  JV;  (i  -  l)i?"<'-'>  g*(^-^)  (i>-  —  g»)— 2^+2, 

•=2 

Die  eckige  Klammer  der  linken  Seite  ist  hier: 

und  auf  der  rechten  Seite  die  erste  Summe  wieder  durch  (87) 
gegeben,  die  zweite  Summe  unterscheidet  sich  von  der  Summe 
(89)  nur  um  einen  Faktor;  sie  ist  also: 


*)  Hätten  wir  in  (91)  den  Faktor  von  n-  als  ungerade  Zahl  ange- 
nommen, 80  hätten  wir  hier  rechts  und  links  mit  2  multiplizieren  müssen  ; 
etwas  wesentliches  würde  dadurch  nicht  geftndert  werden. 


F.  Lindemann  r  Dot  lotete  Fennataclie  Theorem. 


S27 


so  daß  wir  erhalten: 

f*^*  — 1)  —  qnin-l)  —  2  a  ^2  ^«(«-2) 

(94)  ^-nT  +  p^{r--t2rKT,-an^  T^) 

In  allen  unseren  Rechnungen  kommen  die  Zahlen  q  und  r 
symmetrisch  vor;  in  Torstehenden  Fürmein  darf  daher  auch 
überall  q  mit  r  vertauscht  werden.  Bezeicliuen  wir  demnach 
mit  2",,  Ti^,  Tj^  die  Zahlen,  welche  aus  3',  1\,  T^  durch  diese 
Vertausch ung  entstehen,  d.  h.  setzen  wir: 

(95)  nT,  ^i;iV;|)^t^-nr*i-'i>3*'(*-2,+n 

1.+  1 

(}»6)  nri^=Eiv;(j  — i)i?"tf-f)|^ti-i!)^ii.-?.+i)^ 


(97)   «  T.g  =  D  iV; (2  i  —  1)  (2  i  —  2)|>-t'-^  r-f-^^  gnt-i-aA^ 

und  bezeichnen  dementsprechend  die  früher  eingeliihrten  Zahlen 
T,  Tj,  Tj  Jetzt  bzw,  mit  Tr*  ^ir*  ^2ri  so  bestehen  auch  die 
folgenden  beiden  Kongruenzen: 

^^  ^       =»rj  — r*(r*  +  |^)(r,g  — an*T3^)    mod.  n' 
und! 

(99) 

^         .= -rtr,  +  jJ"(j?''  +  r")(ri^  — an^To^)     mod.  »^ 

Multiplizieren   wir  die  Kongruenz  (92)  mit  p\   die  Kon* 
gruenz  (93)  mit  q^  und  bilden  die  Summe,  so  wird: 

j^^  _  gl-'  _  r«^  _  r^in^^)  (p«  _  2»)  +  2  a  ft» r« t"-^^  (p«  -  g") 
^  »  Tr  (p*  —  g**)     mod.  n^, 


(100) 


j^*  _  ^«ä  _  ^«tt  -^  14  y,  ^*.    ojod.  n^. 


23* 


328        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

Dasselbe  Resultat  erhält  man  auch  leicht  direkt  aus  (79); 
wie  es  nach  dem  Euler  sehen  Theoreme  über  homogene  Funk- 
tionen sein  muß.  Durch  Anwendung  der  Gleichung  (91)  auf 
die  Identität  (79)  und  Entwicklung  nach  Potenzen  von  n 
erhalten  wir  genauer: 

=  £ JV;i?"C^-'>?*^<-»)(r'*+  2an«)--2.+2     ^od.  n\ 

1  =  2 

oder: 

(100*)    ^        ^  *  '  ^  ^ 

^     ■  =2an»+nf"lV     mod.  n*. 

Ebenso  ist: 

(101)  ^'— 3~'  — r-'  =  2an>+ng»rg     mod.  n*, 
und  folglich: 

(101*)  f^Tr  =  q^Tg     raod.  n*. 

Dieselben  Rechnungen  lassen  sich  auch  durchführen,  indem 
man  von  der  zwischen  g"  und  r",  analog  zu  (79),  bestehenden 
Identität  ausgeht;  dieselbe  lautet: 

(102)  g-^+r~*~(g~-|-r")~= L  Ni{-iy-^  gn(rf-i),^(.-»(gn.^^)«-2.+2, 

•  =2 

Setzt  man  also,  analog  zu  (80): 
(102*)      nrp  =  £i\^,(— l)<-V^'"'^^^'"V^-""+'\ 

•=2 

SO  folgt  wieder: 

(102»>)  Tp=0    mod.  n. 

Die  Differentiation  der  Identität  (102)  nach  ^  ergibt: 

n  [gH(n-I)  _  (gr~  -I-  r»)H-l] 

=  i;iVrf(-l)*-*(n— 2i  + 2)  ?*(•-»)  ^('-»>(g*  +  r*»)--2«+» 

(103)  ll] 

+  X;2V..(-l)<-'(i-l)2"('-2)^(i-l)(^_J_^)»-2.  +  2 
1=2 

=  n^Tp+nr'*  d?"  —  2g*)  Ti,    mod.  n\ 


F.  Ljndemann;  Das  letzte  FennatÄche  TheoreuJ. 


329 


Wmn: 


r+r 


(104)  »Ti^  =  i;i^,(^l)'-i(i-l)g»'>'^)r"f'-2)j2-<--2'+'^ 

gesetzt  wird;  und  aus  (102)  folgte  analog  zu  (84); 

(105)  (j3ii_2g")  Tip  =  Q    moi  n\ 

Berileksichtigen  wir  auch  die  dritte  Potenz  von  n,  so  ist 
die  linke  Seite  von  (103): 

(106)  =  n  [g**i*-^>  ^j)^  ***"»)  —  2  a  w*|>'*^*»-^i]     mod.  n\ 
Auf  der  rechten  Seite  (103)  ist  die  erste  Sumnie: 

(107)  =  »^  T;  —  2 it  $"  r**  Tip  —  2a  n^  9"  r"  To^     mod,  n\ 
wenn,  analog  zu  (88): 

(108)  iir2„  =  SJVi(-l)''-H2i-l}(2i-2)5«^'-^^r-«*-2*j>«t«"S0, 

Die  zweite  Summe   auf  der   rechten  Seite  von  (103)  ist: 

(109)  =  fi  jj^  r*»  Ti  p  +  4  a  n^  Tg^  r*    mod.  n\ 

wo:  ,4.1 

Diese  Zahl  läßt  sich  auf  Tj^  mittels  der  z\x  (88')  analogen 
Relation: 

n T2pp^=  in  T^^  +  2n  Tip  ^  2n'' ri-'iy  q^^^'-'^f^^^-'^ 

zurückfuhren;  folglich  wird  der  Ausdruck  (109): 

(110)  ^np''r'*T|^  — 2att»r*T,,,+  art*p"f*r2|i    mod.  «V 

Durch  Einsetzen  der  Werte  (106),  (107)  und  (110)  in  die 
Identität  (103)  findet  man  (da  Tip  durch  n^  teilbar  ist); 

—  nTp—r" (q"*  —  r«)  {Ty ^  +  a «'  T^p)     nmL  n*. 
Durch  Vertauschung  70n  q  mit  r  ergibt  sich  ebenso: 

«  r,,  -f  y*-  (g*  -  I*)  (Tij,  +  a  II»  Ts^)     mod.  nK 


(un 


112) 


830        Sitxung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 


Durch  Anwendung  der  Gleichung  (91)  auf  die  Identität 
(102),   erhalten  wir  ferner  die  zu  (100*)   analoge  Kongruenz: 

(113)  p»»'  —  2"'  —  r"*  =  2  a  n'  —  n  T^p""     mod.  n*. 

Die  Kongruenz  (101*)  können  wir  demnach  in  der  folgen- 
den Form  erweitern;  es  ist: 

(114)  — jp"  Tp  =  g"  Tg  =  r«  IV     mod.  n*. 

Die  hier  aufgestellten  Kongruenzen  sind  sämtlich 
eine  Folge  der  Gleichung  (91),  unter  der  Voraussetzung, 
daß  keine  der  Zahlen  j/* -f- 2**,  p**+ ^»  ^^  —  ^  durch  n 
teilbar  sei. 

Um  die  Übersicht  zu  erleichtem,  wollen  wir  noch  folgende 
Bezeichnungen  einführen;  es  sei: 

{r  -  ^)  {Tip  +  an^  T2p)  =  n«  S„ 
(lU*)  (r"  +  P"")  (Ti,  -  an'  T^,)  =  n'8,, 

(r  +  P")  {Tir—an'  T2r)  =  n^Sr. 
Die  Kongruenzen  (92),  (94),  (98),  (99),  (111),  (112)  lauten 


dann  (mod.  h 
(11&)    jp"<'- 
(115*)    r"^— 
(115»>)  i>~^- 
(115«)    3-c«- 


(115^)    2»("- 

(115e)     y»(n- 

Multipliz 


): 


1) _  y.,.(n-i)  —  2 an» g» ^«-2)  =  _  nT,  +  nV^?» 

n_^»(»-i)  -2anV^'*''^^^       nTp  —  n^r^Sp, 

1)  _^«(«  -1)  _  2  anV^*"'^  =       «2:^  +  w^2" 'Sp. 

eren   wir   nun  (115)   mit  r",  (115**)   mit  g"  und 
bilden  die  Summe,  so  ergibt  sich: 

jp«»(»-i)(g»»  +•  r")  -  r«'—  g'*'+  2an*(r"^*»-'>  +  ^»•c«-  i) 

-=n(r~T,  +  (?«r,)--nV"(Sr  +  /S,)     mod.  n', 

oder,  da  g**  +  r"  =  ly**  —  2  a w*  ist: 

(116)         ;?"« —  g-*  -  r"'  H-  2  a  n»  =  n  (r^  T,  +  g-  T,) 

-  nV^'(Sr  +  Sj)     mod.  n^ 


F.  T.indematut:  Das  letsete  FermaUche  Theorem. 


831 


(117) 


Analog   erliiilt   man    aus  (115*)   und  (115**),    indem    man 
bzw.  mit  r*  und  i>"  multipliziert  und  die  Summe  bildet: 
,*'»2 _ IjiiS  __  g**<**-ii(r"  — j9*<)  ^  2aw*(r*^'*-'>H- j»**^^-^0 

1er: 

1^'  _  g«^  —  r***  +  San*  =  «(r^  Tr— jJ*  i;,) 

endlieb  analog  durch  Vertausehung  von  g  mit  r,  wobei  Sp  sein 
Zeichen  wechselt»  oder  direkt  aus  (115^)  und  (115^): 

(UH)         ^*'  "  ^^'  ~  ""'  +  2  <^^*  =  *»f?"  ^^  ^  ^*  ^'^ 
^  -nVr(Si-hSp)     mod.  »». 

In   Rücksicht    auf  (113)   lassen    sich   diese   letzten   Kon- 
gruenzen in  folgender  Form  schreiban: 

(119)  -  n* {S,  -  S.)r  r"  =  ^  n^S,  +  S,)rp- 

=z  _  ^n  gl»  ^  (S^  H-  Sr)    mod,  »», 

und  hieraus  leitet  man  die  folgende  Relation  ab: 

(120)  Spp*  =  Srf^  -  Sjg-»     mod,  n. 

Multiplizieren  wir  jetzt  die  Kongnionz  (115)  mit  r*,  (115*) 
mit  p*  und  bilden  die  Summe,   so  wird  unter  Benutzung  von 

(114)! 

=  n^q'^iS^p*'  —  Srf")  =  (r*  —!?*•)  (p»i*»->i  —  r"*«^n) 
mod.  «*, 
also  nach  (120)  und  (91),  oder  direkt  aus  (115»»)  und  (115*): 

(121)  ;j"C-iJ^f^^«-i)  =  tt'Sjj«     mod.  «»; 

ebenso  ist: 

(121»)  i?**"-^»^^«"-*)^»*^,^     mod.  n^ 

und,    indem   man  (115*)   niit   r%   (115*)   mit  g*  multipliziert* 
ergibt  sich  durch  Subtraktion; 

(121'')  3*  t"-i »  _  ;^  i»^  I )  :^  ._  n'  *%  p»     mod .  n^ 


(120*) 


332        Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

Vermöge  dieser  drei  Relationen  werden  die  Kongruenzen 
(115)  .  .  .  (115«)  auf  die  Relationen  (119)  und  (120)  reduziert. 

Die  von  uns  aufgestellten  Gleichungen  und  Kongruenzen 
sind  sämtlich  Folge  des  Bestehens  der  Gleichung  (91)  bzw.  der 
Kongruenz  (78).  Für  die  Anwendung,  welche  wir  im  Auge 
haben,  ist  es  wichtig,  die  Kongruenz  (77)  mit  der  Kongruenz: 

(122)  ^~«  —  g"'  —  r~«  =  0     mod.  n^ 

in  Verbindung   zu  bringen.     Es  fragt   sich,   ob   beide  Kon- 
gruenzen gleichzeitig  bestehen  können. 

Infolge  von  (122)  sind  nach  (100»),  bzw.  (101)  oder  (113) 
jetzt  die  Zahlen  T,,  Tg  und  Tp  durch  n*  teilbar.    Wir  setzen: 

(123)  i?«»  —  g-*  -  r"»  =  2  j'  n\ 
Dann  ist  nach  (113)  und  (114): 

(123*)     2yn^  =  2an'^'-p''Tp  =  2an^+r^Tr     mod.  n*. 

Alle  vorstehenden  Überlegungen  und  Rechnungen  können 
in  ganz  derselben  Weise  durchgeführt  werden,  wenn  man 
tiberall  p*%  q"*,  r*,  bzw.  durch  p*"^,  g^^  r"*  ersetzt.  Besteht  die 
Relation  (123),  d.  h.  wird  gleichzeitig  a  durch  yn  ersetzt,  so 
hat  man  offenbar  in  allen  vorstehenden  Kongruenzen  die  Potenz 
des  Moduls  um  eine  Einheit  zu  erhöhen.*)  Seien  also  Tr,  Ä 
die  Zahlen,  welche  aus  IV,  S,.  entstehen,  wenn  man  j?**',  g*»',  r"^ 
ftir  jp*,  g",  r**  einsetzt,  so  ist  z.  B.  analog  zu  (92),  wie  man 
mittels  der  erwähnten  Substitution  aus  (82)  findet: 

~nTr-gr'{p'^^  +  q*''){T\-~yn^T2)-^nTr-r'Srn^     mod.  n*. 

Gemäß  (83)  ist  hier  also  Tir=T{r  mod.  w^  und  somit 
auch  T'ir  durch  n*  teilbar.  Die  links  stehende  Differenz  ist 
durch  n'  teilbar  und  deshalb  folgt,  daß  T,'  auch  durch  n* 
teilbar  ist,  wie  es  wegen  der  Kongruenz  JV  ~  ^r  niod.  n*  selbst- 
verständlich war,  denn  nach  (123*)  ist  jetzt: 

(123»>)  T,  ^  0     mod.  n\ 


*)  Vgl.  auch  die  Rechnungen  im  folgenden  Parag^phen. 


F,  Lindemaaii:  Das  letzte  Fermatsche  Theoreni, 


333 


^     In  obiger  Kongruenz  können  wir  rechts  und  links  mit  n 
ffi^dieren  und  erhalten  dadurch: 

(123")  ji^l»*-!^  _!-«♦•->>  +  2}'»*r-*"-'*»  ^Tr  —  mf  S;    mod.  n\ 
Hierin  haben  nach  obigem  die  Zahlen  T'  folgende  Werte: 

(123")  nT'tr  =  li:  N,{i  —  l)/;'*^*-^ $-^w-ä> r^Hn-ii+n^ 

nTi.^i:  2^(2i  —  l)(2i--  2)r't'-^>3*'^*-2>r*^^«-^'\ 

und  es  ist  zu  setzen,  analog  zu  (114*): 

n^ S;  -  (?"*  +  i)«»)  {T\r-y «» Tir) . 

Da  Tir  durch  w*  teilbar  ist,  so  haben  wir  auch: 

(123*)        »^  S;  ^  (?"  +  p^)  (T;  r  —  J'  «*  Jir)     mod.  w*. 

Die   Zahlen    T*   lassen   sich    in    folgender  Weise   auf  die 
Zahlen  T  zurückführen.     Gemäß  (85)  ist: 

p^*  =  p«  (1  -f  n  nf  ^  !>•*  (1  ^-  »a  Ä  -^  n»  i-  jt*)     mod.  »* ; 

Sötten  wir  also  zur  Abkürzung: 

p ^  ,T  +  X  —  2 e ,     Q  =  Ji^  +  M^-2e\ 
rhalten  wir  aus  (123^); 

+  n^Q  — n^g  —  n^vQ'^l        mod.  n*» 

(1 230  ^n^^  —  n^Q  —  «» r  q^]        mod,  n\ 

-f  » V  —  *^  *»*  0  ^  2  n^  V  q"^]     mod.  »*, 
und  durch  Auflösung  dtr  Klanimern: 


836        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  Yom  7.  Dezember  1907. 

(123»)  S;  ^  0    mod.  n», 

und  somit  aus  (1230  und  (123<>): 

(123*)     T{r=n^{Y  —  <^)T2r  —  n^(P+nvQ)Tsr    mod.  n*, 

denn  für  TJr  und  T'sr  gilt  vermöge  einer  zu  (123^)  analogen 
Umformung  dieselbe  Relation  (123®),  wie  für  TJr;  setzen  wir 
hier  noch  den  Wert  von  T\r  aus  (123^)  ein,  so  wird: 

(123°)  Tir  =  —  n^{ji  +  x  —  2Q)Tsr    mod.  n», 

was  mit  (123**)  in  Übereinstimmung  ist.  Letztere  Relation  gibt 
uns  aber  mehr,  wenn  wir  sie  mit  den  Kongruenzen  (123®)  und 
(123*")  verbinden;  durch  Subtraktion  der  letzteren  voneinander 
erhalten  wir  nämlich  unter  Benutzung  von  (123»): 

n^S'r  =  (r  +  p*)lT[r—Tlr+an*Tor']     mod.n*, 

oder,  wenn  wir  den  Wert  der  Piflferenz  T\r  —  Tlr  aus  (123®) 
entnehmen : 

n^Sr  =  (^  + 1?")  [a  Tgr  —  (^  +  «  —  2  g)  Tar]  w»     mod.  n* 

und  wenn  wir  Sr  gemäß  (123  ^  durch  Sr  ausdrücken  und  so- 
dann Sr  mittels  (123^  und  (123°^)  auf  T,,,  und  T2r  zurück- 
führen : 

n{Tir  —  a  n»T2r)  +  n«  (jt  +  x  —  2  ß)  Tsr  =  a  n»  Tgr     mod.  w*. 

Der  Vergleich  mit  (123^)  ergibt  demnach: 

n^{n  +  x  —  2g)Tsr-^2an^T2r  —  Tir  ^     , 

_  mod.  n% 

und  hieraus  folgt,  daß  entweder  a  oder  T2r  durch  n  teil- 
bar sein  muß.  Es  läßt  sich  aber  zeigen,  daß  die  Zahl  Tor 
den  Faktor  n  nicht  enthalten  kann.  Aus  (115)  und  (115*) 
ergibt  sich  nämlich  durch  Subtraktion  (da  Tr  durch  n*  teil- 
bar ist): 

(ti  +  «  —  2  ^)  r"  +  4  a  ^  —  Sr  Cp"  +  ?")  *^     mod.  n; 
berücksichtigen  wir  also,  daß  nach  (88*): 


F.  Lindetnannr  Das  letzte  FennaUche  Tbeoreai.  337 

4  jrarr"  =  r,r     mod.  n 
ist,  so  finden  wir  aus  (123'); 

4  r i .  ^  «'  IW  [4  r  +  Sr  ip-  +  4")  /-]     mod,  n\ 
lind  durch  Vergleichung  mit  (123^): 

so  daü  in  der  Tat  T^r  nicht  darch  n  teilbar  sein  kann.    Somit 
erhalten  wir  das  für  uns  wichtige  R-esultat: 

(124)  a^O     mod.  n. 

Betrachten  wir  noch  den  hisher  susgeschlossenen 
Fallt  wo  g  —  r  durch  n  teilbar  ist.  Dann  reduziert  sich 
die  Kongruenz  (77)  auf: 

(125)  $^"  =  2^    mod.  ti». 

Ib  (84)  kann  dann  der  Faktor  r»»  —  2  j)»  (=  ^  —  2p^)  nicht 
durch  n  teilbar  sein;  es  folgt  also  Tir  ^  0  mod.  n  und  ebenso; 
Ti, ^0  mod.».     Aus  (125)  erhalten  wir  durch  Potenzieren: 

(125»)  2"-»  ^  1     mod.  nK 

Nur  für  Zahlen  t?,  die  dieser  Bedingung  genügen,  kann 
also  der  Fall  q~r  eintreten.  Eine  Bestätigung  dieses  Re- 
sultates geben  auch  unsere  allgem  einen  Summen  formein*  Die 
Gleichung  (82)  war  für  die  Größen  j/*  und  ^**  identisch  erfüllt; 
wir  dürfen  also  p"*  durch  2,  q"  durch  1  ersetzen;  das  gibt: 

«(2«-'-l)-i;jV,(»-2i  +  2)2'-*  +  EJV,(i-l)2'-« 

v^^^^  =ni;isr,2^-^-3i;jv,(t  -  1)2*-^ 

Machen  wir  andererseits  in  (98)  dieselbe  Substitution, 
so  wird: 


0  =  1;  iVi(i  -  1)  2^-^  —  £  N,in  —  2*  +  2)  2<-i 


oder: 
(126*) 


»2  iv;  2*-'  =  6  ^  J^,  (i  —  1)  2^-^- 


338        Sitzung  der  matii.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

Drücken  wir  so  die  erste  Summe  durch  die  zweite  aus, 
so  erhalten  wir  aus  (126): 

(126»>)  w  (2-  - 1  —  1)  =  3  2;  2Vi  (i  -  1)  2^-2^  ^) 

Ferner  ist  nach  (83)  in  unserem  Falle  (d.  h.  für  qz=Er): 

nT,^  =  g~C'-8)iJ2V;.(i- 1)2-2. 

Man  ersieht  hieraus,  daß  die  Bedingung  Ti  ^  ~  0  mod.  n* 
im  Falle  g  =  r  in  der  Tat  mit  der  Bedingung  (125*)  überein- 
stimmt. 

Analog  folgt  aus  (102),  wenn  man  g"  und  r"  durch  1  ersetzt: 

(127)  2  (1  —  2'-0  =  S  JV;  (—  l)»-i  2-"+2 

und  aus  (103)  erhält  man  dasselbe  Resultat.     Beiläufig  finden 
wir  also  die  Relation: 

w  L  JV.  (-  1)-^  2-2«+i  =  —  3  L  JV,  (i  —  1)  2^-2. 

Soll  im  Falle  q  =  r  mod.  n  auch  die  Bedingung  (122)  er- 
füllt sein,  so  ist: 

^»»2  ^  2  q**^    mod.  n^, 

während  sich  aus  (125)  durch  Potenzieren  ergibt: 

jp"«r^2»g~»     mod.  n^ 

Es  müßte  also  die  Bedingung: 

(127*)  2*-»  EI  1     mod.  n» 

erfüllt  sein.     Wir  fassen   das  Vorstehende  in  folgendem  Satze 
zusammen : 

Wenn  zugleich  mit  der  Kongruenz  (77)  auch  die 
Kongruenz  (122)  bestehen  soll  und  die  erstere  Kon- 
gruenz nur  für  den  Modul  n*  (also  nicht  für  n^)  gilt, 
so  ist  das  nur   möglich,   wenn   eine   der  Zahlen  j9+r, 


*)  Hieraus  folgt  beiläufig,  daß  die  Zahl  2»»  -  ^  —  1  für  jede  ungerade 
Zahl  »I  durch  3  teilbar  ist,  wie  man  auch  direkt  leicht  erkennt. 


F.  lind^m^iii  ^  Da*  letzte  FermutBehe  Theorein. 

^  +  **!  9 '^ '■^^^^^li  **  teilbar  ist  und  die  ungerAcle  Prim- 
xali]  n  der  Bödingung  (127*)  genügt*} 

§  9.    Erweiterung  der  in  §  8  aufgestellten  Hilfsformeln 
für  höhere  Potenzen  des  Moduls. 

Wir  haben  bisher  ausgeschlossen»  daü  die  Zahl  a  durch 
n  teilbar  sei.  Setzen  wir  jetzt,  entsprechend  dem  in  (125) 
gewütineuen  Resultate: 

geht  die  Gleichung  (91)  in  di^  folgende  über; 

(128)  p«  ^  g»  ^  r«  =  2ßn^^K 

Wir  buhen  nun  die  entsprechenden  Fragen  zu  untersuchen* 
Wir  gehen  zu  dt r  liektion  (82)  zurück;  die  linke  Seite  dersidbt^n 
wird  jetxt; 

(86)*     -  w  [/^  <"-  ^>  —  r*  ^•* '  ^  ^  +  2  jtf  11^+^  r*  t"  -*^]     mod.  m^+*, 

und  die  erste  Summe  der  rechten  Seite  von  (82): 

(87)*    -  »"  r^  -  2  «/•  3»  T| ,  +  2 ßn'-^p'  g*  T^,     mod.  n^^, 

femtr  die  zweite  Summe: 

so  dai  wir  aus  (82)  erhalten  (da  Jir  wieder  durch  n*  teil- 
bar ist): 


mr 


1)  Der  KU  Anikiifc  dimm  Pam^mpbon  auigaspi^cheiie  Satm  hatta 
iich  mir  alt  beiläuÜge  Fo^eran^  er^^ben^  et  teigt^  tich  iibfir,  dnfi  dw 
B«we]B  atüe  Lflcke  hiitie;  leider  kunute  icb  dea  aaHgesprochenen  Sut» 
»ichl  mehr  untt^rdrücken.  Er  wl  übrigen»  für  die  aiafacb«ten  FiUle 
rirhtig;  m  hut  lajiii  für  n^Ji  fT  _  gt  _  jT  _  q  ^öd.  7*  (aneh  mod.  7^) 
uad  2*  ^  1*  =  -  3*  -  I  med.  7,  and  fllr  «  =  13:  ßi«  —  8i»  -  II*»  _  0 
nM)4.  Ü»  (Mcb  mod*  lü")  und:  U«=  S«^  6*^  l  mod,  13;  fttr  «  =  it: 
|it  _  s|if  -^  tji»  —  0  mod-  19'  «Tid  i«  ^  »•  ^  -  6*  ^  —  l  mod.  19, 


tMl 


340         Sitzung  der  math.-phya.  Elasae  Yom  7.  Dezember  1907. 
ebenso  ergibt  sich  an  Stelle  von  (94): 

(94)* 

=  -nTr+p*'(p'  +  q^){Tir- ßn^-^^T2r)    mod.  n^+8. 

Ebenso  behalten  die  Kongruenzen  (98)  und  (99),  femer 
(111)  und  (112)  ihre  Gültigkeit,  wenn  man  nur  überall  a  durch 
ßn^  und  den  Modul  n*  durch  w^+*  ersetzt.  Die  Kongruenzen 
(100»)  und  (113)  werden: 

mod.  n^+^ 
=  2ßn^-^^  +  nTgq^ 

so  daß  auch  die  Kongruenzen  (114)  für  den  Modul  n^+*  gültig 
bleiben.  In  gleicher  Weise  lassen  sich  offenbar  alle  folgenden 
Betrachtungen  erweitern.     Nimmt  man  dann  eine  Gleichung: 

(123)*  1?-'  _  g««  _  y^2  ^  y^  n^  +  8 

hinzu,  so  ergibt  sich  durch  die  genau  entsprechenden  Schlüsse 
das  Resultat: 

(124)*  ^  =  0     mod.  n, 

und  damit  der  Satz: 

Sollen  also  die  Kongruenzen: 

pH  —  qtt  —  r*  ^  0     mod.  n^+^ 
und: 

-pn»  _  g»2  _  rn2  =  0     mod.  n^+^ 

gleichzeitig  bestehen,  so  muß  die  erstere  auch  für 
den  Modul  n^+^  gültig  sein,  oder  es  muß  eine  der 
Zahlen  p  +  q^  p  +  r,  q  —  r  durch  n  teilbar  sein. 


F.  Liodemaim:  Dns  letf^te  Fermatäühe  Theorem. 


S41 


§  10.    Der  Fall  III). 

Wir  kehren  nach  diesen  Vorbereitungen  zu  unserer  ur- 
sprünglichen Aufgabe  jiurück,  indem  wir  den  Fall  111)  unter- 
suchen.    Die  Gleichungen   (13),    (^13*)    und   (13^)    geben    hier: 

129) 

Nehmen  wir  zunächst  an,  es  sei  eine  der  Zahlen  2>,  q,  r 
durch  n  teilbar.  Es  sei  etwa  r  diese  Zahl.  In  der  ersten 
Gleichung  sind  dann  alle  Glieder  der  rechten  Seite»  nnt  Aus- 
nahme des  ersten,  durch  «^•*+^  teilbar,  die  linke  Seite  ist  durch 
ft  teilbar;  es  ist  folglich  auch  r^  durch  n  teilbar.  Dann  aber 
enthält  rJJ  den  Faktor  w**,  folglich  muß  auch  af  y*  durch  w"^^ 
^=n-'  teilbar  sein,  d,  h,  ^  oder  y  müßte  durch  n  teilbar  sein; 
das  aber  ist  unmöglich,  da  x,  y,  ^  zueinander  relativ  prini 
sein  sollen  und  da  s  =  r  -r^  jetzt  schon  den  Faktor  n  enthält. 

Wäre  umgekehrt  r„  durch  n  teilbar,  so  luüMe  wegen  der 
ersten  Gleichung  (12y)  auch  r  durch  n  teilbar  sein,  und  wir 
kommen  auf  die  soeben  diskutierte  Annahme  zurück. 

Im  Falle  III)  kann  also  keine  der  Zahlen  af,  y,  b 
und   keine  der  Zahlen  p,  q,  r  den  Faktor  n   enthalten. 

Infolgedessen  ergeben  sich  ans  den  Gleichungen  (129) 
sofort  die  Kongruenzen: 

also    auch     nach    dem    Fe r malischen    Satze    (nach    welchem 
p'^P  ist): 


(130)        Pn^r 


^=«»i-» 


3- =  «*"*. 


mod«  n 


und  hieraus: 

jp„  =  l,    qn^^h    Tn^l     mod-  «. 

1107.   aitsang«!».  d.  ttftth.'ph^a.  Kl. 


34 


342      Sitzung  der  math.-phy8.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 
Es  ist  aber  nach  III): 

x=ppn^^P,    y  =  qqn^q,     e  =  rrn:r    mod.  » 
und  durch  Potenzieren  erhält  man: 

oc^ziij^^    y^-.q''^     ^^r**     mod.  n^ 
also  aus  der  vorausgesetzten  Gleichung  (3): 

(131)  p^  :=^q**  -\-  r^     mod.  n*. 

Zufolge  der  Gleichungen  111)  isty  +  -8?  =i>**>  etc.,  folglich: 

y  -\-  z—:{x  —  z)  •\'  (x  —  y)    mod.  n^, 
oder: 

(131»)  x^y^z    mod.  n», 

also  auch,  da  die  rechte  Seite  gleich  p^  ist: 

x=ppn^^P^     mod.  n*, 
und  hieraus: 

Pn^^  P^~^     mod.  n^ 

Entsprechendes  erhält  man  aus  (131*)  für  q  und  r,  so  daü : 

Pn=I^~\     qn^q'''^     Vn^r*"'^     mod.  n^ 

Um  die  Zahlen  pn,  ^n,  ^n  bzw.  von  den  Zahlen ^'•"^  ff^'S 
r**"^  zu  unterscheiden,  müssen  wir  daher  auch  das  Quadrat 
von  n  berücksichtigen.     Wir  setzen  demnach: 

(132)  ^*»-»  =  1 -f- nji,     g*-»  =  l+nx,     r«-i  =  l+nß, 
folglich  gemäß  (130): 

/iQQN      Pn  =  l  +nji-\-n^7i^,     qn=l  -tnx  +  n\, 
rn  =  l  +  ng  +  n^  g^. 

Andererseits  ist  nach  den  Gleichungen  III*): 

2x  =  2ppn  =/>*•  f  (/»» +  r-  =  2p*'  —  (i?-  —  g"  —  r"), 

(134)    2y  =  2qq.,  =y'  +  ^«  —  r"  =  2^*»  +  (;/'  -  (/"  —  r*), 

2  -?  =  2  r r«  =!>»•  —  g»  +  r"  =  2 r"  +  (p«  —  3**  -  r«). 


F.  Lind««m.nii:  Bat  ietsste  Pernmtaclie  Theorem. 


343 


Die  Vergkichung  mit  (133)  t^rgibt; 

(134*)    i>«  -  qn  „r*"^  --  2pji^  n^  =  2  ^Xj  n«  =  2  r  ^^  n«, 

woraus  hervorgeht,  daß  jy"  -  5"  —  r**  durcli  n^  teilbar  ist,  wie 
es  schon  in  (131)  gefunden  wurde.     Wir  setzen  demnach: 

(135)  j?"  —  g"  —  I*  =  2  a  «*, 

wo  nun  «  eine  ganze  Zahl  bezeichnet,  die  durch  2h  3  und  r 
teilbar  sein  mufi;  und  dann  wird: 

(136)  x=2^  ~  a n\     li  =  ^j«  -f  a n\     i?  =  r"  +  a«*. 

Es  soll  gezeigt  werden,  d&&  die  Zahl  a  gleich  Null 
sein  muE 

Setzen  wir  diese  Werte  von  x^  p,  z  in  die  vorausgesetzte 
Gleichnog  (3)  ein,  so  ergibt  sich: 

0=-af— y—  -ff"==(i?"-"  a«*)"  "  {q*  +  «n*)"  —  (!•"  +  an^y 

alao,  da  jede  der  drei  Zahlen  ionerbalb  der  letzten  lUaminer 
uach  dem  erweiterten  Fertsftiscben  Sat^e  durch  1  ersetzt 
werden  darf: 

=  P*^  "  ff'  —  r^^  —  Ban*     mod.  nK 

£9  besteht  folglich  die  Kongruenss: 

(137)  |J^— g**  — f*»  =  3an*    mod.  n» 

neben  der  Gleichung  (135).  Nach  dem  Resultat  ?on  §  8  kann 
dies  nur  eintreten,  wenn  entweder  die  Zahl  a,  oder  eine  der 
Zahlen  /j  +  }♦  P  +  ^^  q  —  r  durch  n  teilbar  ist.  Letztere 
Möglichkeit  ist  aber  aussiusehliel^en,  wie  jetzt  noch 
zu  beweisen  ist.  Wenn  z*  B.  |>  +  g  den  Faktor  n  enthielte, 
d.  h*  wenn: 

(138)  p^  —  q     mod. » 

wäre,  so  erhielte  man  durch  Potenzieren: 

189)  p^^~t     mod.  n*. 

24* 


344         Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

Wir  knüpfen  zu  dem  Zwecke  wieder  an  unsere  allgemeinen 
Formeln  an.  Das  Bestehen  der  Kongruenzen  (92)  und  (94) 
wird  durch  unsere  jetzige  Annahme  nicht  gestört;  sie  verein- 
fachen sich  nur  dadurch,  daß  jetzt  das  Glied  an^TzQ^^ip^  +  3**) 
gestrichen  werden  kann;  die  Kongruenzen  (98),  (99),  (111)  und 

(112)  bleiben  vollkommen  ungeändert.  Auch  die  Kongruenzen 
(115),  ...  (115*)  bleiben  demnach  bestehen;  in  ihnen  kann 
nur  Sr  jetzt  durch  die  einfachere  Gleichung: 

(142)  n^Sr  =  —  (r«  —  2^)  Tu 

definiert  werden,  welche  an  Stelle  der  letzten  Gleichung  (114*) 
tritt;  im  übrigen  lauten  letztere  hier: 

n^S,  =  {p-  -  2r-)  (T,p  +  an^  T-zp), 

Eine  Änderung  erfahrt  hingegen  die  Kongruenz  (100*); 
sie  lautet  jetzt: 

(143)  jp"*  —  q*"^  —  r«''  =  2  a  w«  +  w  r*»  T,  —  4  a  n^p*"  3"  Ti  r    mod.  n^ 

während  die  Kongruenzen  (101)  und  (113)  unverändert  fort- 
bestehen.    An  Stelle  von  (114)  erhalten  wir  somit  jetzt: 

(144)  r»*  Tr  —  4  a  n'y  q*"  Ti  r  -  -  g"  Tg  -  z  -  i?"  Tp     mod.  n*. 

Die  Gültigkeit  der  aus  (115)  .  .  .  (115®)  abgeleiteten  Kon- 
gruenzen (116),  (117),  (118)  wird  nicht  gestört;  es  ist  nur  dort 
Sr  jetzt  durch  (142)  definiert.  An  Stelle  der  Kongruenz  (119) 
finden  wir  aus  (116)  und  (143): 

(145)  2  a  w'»  -  n  r«  Tr  —  «*  ^"  r»  {Sg  +  Sr)     mod.  n^ 

also  ein  mit  (119)  übereinstimmendes  Resultat.  Aus  (117)  er- 
gibt sich  ebenso: 

(146)  2  a  n*  -  w  r"  Tr  -  n^p""  r"  (Sr  —  Ä^)     mod.  n^ 

ebenfalls   in  Übereinstimmung   mit    (119);    endlich    aus  (118), 

(113)  und  (143): 

2an>  -  ng"  Tg  —  n^p^'q''  (Sp  +  Sg) 
(^^''^  =nr»Tr-4anV^*'^ir-wV»^"(S^  +  iS^)    mod.  nK 


F.  LinderöaJDJir  Da»  letzte  Fermatidie  Theorem, 


345 


Die  Kongruenzen  (119)  sind  also  jetzt  durch  (145),  (146) 
und  (147)  zu  ersetzen.  An  Stelle  ¥on  (120)  erhalten  wir  hier 
aus  (146)  lind  (147): 

4ag*r,,-hj?-S^+g"S, -r«S,-0     mod,  fi, 

dagegen  aus  (145)  und  (146): 

11*5^  +  q^S^  -  f»Sp3  0     mod,  n. 

Es  ist  folglich  jfVr  jetzt  durch  n  teilbar,  wie  auch 
1^8(125")  und  (1:^6^)  hervorgeht,  und  somit  ist  nach  (142) 
die  Zahl  6V  durch  n  teilbar.  Infolge  dieses  Resultates 
gelten  die  Kongruenzen  (119)  Yollständig  unverändert, 
und  ebenso  alle  anderen  früheren  Relationen,  insbesondere 
werden  die  Kongruenzen  (143)  und  (144)  jetzt  bzw.  mit  den 
entsprechenden  früheren  Kongruenzen  (100*)  und  (113)  identisch, 

Besteht  wieder  die  Relation  (123),  so  folgt  aus  (143)  wieder, 
daii  Tr  durch  n^  teilbar  ist,  somit  aus  (115): 

pmin-i}  _  f.n{H-i}  ^  2 a«*  -T  0     mod.  w\ 
ebenso  aus  (123**1: 

folglich: 

(147')  a  =  j^     mod*  », 

Dasselbe  Resultat  leitet  man  als  eine  Folge  des  Zusammen- 
beatehens  der  Relationen: 

p^  —qn  ^1*  =  2  a  M* 

r"  =  2 1^**  +  /?  n\       2*-*  ^  1     mod .  «^ 

leicht  direkt  ab.  Infolge  der  vorausgesetzten  Gleichung  (3) 
war  aber  nach  (137)  2)?  =  3a  mod,  n;  aus  (147*)  folgt  also 
wieder  das  Resultat:  o  i  -  0  mod.  n,  auf  dem  alles  folgende  beruht 

Auch  das  weitere  iiekursionsYerfahren  bleibt  im  wesent- 
lichen ungeändert. 

Aus  vorstehendem  geht  hervor,  daß  die  Fälle,  wo  eine 
der  Zahlen  p  +  ^h  V  *i-  f*%  !?  —  ^  durch  n  teilbar  ist,  von 


346        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

uns  nicht  weiter  berücksichtigt  zu  werden  brauchen; 
und  wir  kommen  zu  folgendem  Resultate: 

Infolge  der  Gleichung  a;**  =  y"  +  -8^  müssen  die  Kon- 
gruenzen: 

p»  — g»  — r"  =0     mod.  n^+2 

jp"'  —  j"'  —  r***  EE  0        „     n^+^ 

zunächst  für  A  =  0  bestehen ;  dann  gelten  sie  nach  unserem 
Hilfssatze  auch  für  A  =  1,  dann  für  A  =  2,  u.  s.  f.  Es  bleibt 
also  nur  die  Möglichkeit,  daß  die  Zahl  a,  welche  als  Faktor 
von  w^+2  bzw.  n^+^  auftritt,  wenn  man  die  Kongruenzen  als 
Gleichungen  schreibt,  gleich  Null  ist;  wo  wir  dann  aus  Glei- 
chung (135)  das  Resultat: 

(148)  |,H  —  g«  —  r«  =  0 

erhalten.     Mit   Rücksicht   auf  die   Gleichungen  (134)   können 

wir  sonach  folgenden  Satz  aussprechen: 

Sollen  also  drei  Zahlen  x,  y,  0  existieren,  deren 
keine  durch  n  teilbar  ist,  und  die  der  Gleichung: 

a;»  ^  yn  _  ^n  __  0 

genügen,   so  ist  jede  von   ihnen  gleich  der  n*®°  Potenz 

einer  anderen  Zahl;  und  zwischen  diesen  drei  anderen 

Zahlen  p,  q,  r  besteht  dieselbe  Relation: 

p^  —  q^  -  r"  =  0. 

Für  diese  Zahlen  p,  q,  r  gilt  also  dasselbe;  man  hat: 

und  es  ist: 

P'i  -  g7  —  rj»  =  0. 

Die  Zahlen  p^,  g,,  r,  sind  kleiner  als  die  Zahlen  p,  q,  r; 
letztere  kleiner  als  die  Zahlen  x,  y,  z.  So  wird  man  zu  immer 
kleineren  Zahlen  ^„  ^„  r,  fortschreiten,  bis  eine  dieser  Zahlen 
gleich  1    geworden    ist,    wo    dann    eine   Gleichung    der  Form: 

P»  =  ^^  -f  1 

bestehen  müßte,  die  offenbar  nur  möglich  ist,  wenn  P  =  1, 
Q  =  0  genommen  wird. 

Hiermit  ist  auch  der  Fall  HI)  als  unmöglich  nachgewiesen. 


F.  Lindemam: :  Das  letzte  Fertaattche  Theorem, 


347 


§  IL    Schlnsabemerkung 

Somit  ist  die  Uuniöglichkeit  dargetaD,  eine  Gleichung 

der  Form  (3),  d,  h.  eine  Glaicbung: 

a:**  =  y«  +  r* 

durch  ganze  Zahlen  x,  y,  ^  zu  befriedige»,  wenn  n 
eine  ungerade  PrimÄabl  bedeutet,  und  wenn  keine  der 
Zahlen  x,  ff,  ^  durch  n  teilbar  sein  soll  Der  Fall  aber, 
wo  eine  dieser  Zahlen  durch  n  teilbar  ist,  wurde  schon  oben 
(p.  297  ff.;  vgL  auch  unten  §  12)  erledigt. 

Da  nun  die  Unniöglicbkeit  des  Falles  n  =  4  von  Lame 
nachgewiesen  wurde,  kann  n  auch  keine  Potenz  von  2  sein;^) 
es   bleibt   also  in   der  Tat   nur  die   eine  M^iglichkeit  n  ^  2. 

Die  im  vorstehenden  herangezogenen  Hilfsmittel  sind 
durchaus  elementarer  Natur;  außer  dem  Fe r matschen  Satze 
der  Zahlentheorie  sind  nur  einfache  algebraische  Umformungen 
benutzt  worden.  Es  ist  daher  immerhin  möglich,  daß  Fermat 
bereits  im  Besitze  eines  Beweises  ftir  seine  Behauptung  ge- 
wesen ist,  denn  die  von  uns  benutzten  Hilfsmittel  sind  der 
binomische  Satz,  der  Fermat  sehe  Satz,  nach  welchem  p'*"'  -^  1 
mod,  »,  und  der  sogenannte  erweiterte  Permatsche  Satz, 

Das  gewonnene  Resultat  kann  man  auch  dahin  aussprechen, 

dali  die  Kurve: 

x^  —  ^«  ^^  ^^  ^  0 

außer  den  drei  Punkten  0,  1,  —  1;  1,  0,  1;  1^1,0  keinen 
weiteren  Punkt  mit  rationalen  Koordinaten  besitzt. 

Bedeutet  daher  l  eine  rationale  Zahl,  und  sclmeiden  wir 
die  Kurve  mit  der  geraden  Linie: 

(x  —  y)  —  kjg^O, 

welche  durch  den  Punkt  1,1,0  hindurchgeht,  so  kann  die 
resultierende  Gleichung  nicht  durch  rationale  Werte  erfüllt 
werden.     Es  ergibt  sich  aber  durch  Elimination  von  zi 


^  ¥gL  hieTfür  aurh  (ien  Schluß  det  eben  zitierten  Werkes   von 
Hubert. 


348  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

oder  nach  Division  mit  x  —  y,  wenn  noch : 

y 

gesetzt  wird: 

Ist  die  ganze  Zahl  n  größer  als  2,  so  kann  demnach  diese 
Qleichung  nicht  durch  rationale  Werte  von  t  und  A  erfüllt 
werden,  ausgenommen  die  Werte  ^=1,  A  =  0  und  ^=0, 
A  =  +  1,  oder  —  1,  je  nachdem  die  Zahl  n  ungerade  oder  ge- 
rade ist. 

§  12.   Nachtrag  zu  §  7.  —  Erläuterung  der  allgemeinen 
Schlüsse  an  dem  Falle  n  =  6. 

Die  oben  angewandte  Schlußweise  möge  hier  noch  an  dem 
Beispiele  n  =  5  erläutert  werden. 

Durch  Vergleich  der  rechten  Seite  von  (58*)*  mit  (57*)* 
erhalten  wir: 

*i9  +  2n  ;.,  +  rj(?— 2  +  ^  (n-1)  (n  -  2)rJ(2— 2 

=  —  2  ri  Jii     mod.  w. 

Wir  können  hier  die  Entwicklung  sogleich  weiter  ver- 
folgen, wenn  wir  in  (58*^)*  gemäß  (58**)*  setzen: 

(;.;— 7i;)»  =  (r,~2iirO^(?2— 4; 
dann  wird: 

(jii  —  xi)  ?  =  —  2  n  +  2  w  ri 

+  n^+>  [1^,9+ 2r,«,  +  rJ(2n-l)»(?-2+f(«-l)(w-2)r? 9-2] 

mod.  ii*^+', 
also  nach  (57*)*: 

(A)    ^,q=  -2r,(7r,  +  x0  -rj(2n-l)»(2«-2~|(n-l)  (n-2)  (^-^rj 

mod.  w^+^ 

Die  Zahl  i?»  in  (58)*  ist  hierdurch  bis  auf  Vielfache  von 
tt^+'  bestimmt;  wir  haben  demnach  zu  setzen: 


CD) 


(E) 


F.  Lindemann:  Das  letstte  Fermate  che  Theorem*  349 

(B)        p  —  q  =  ^n^-^'  n  +  n  *i«'^+«  +  n  ö;  it*^+S 

und  nun  #1  zu  suchen.    Durch  Poteazieren  finden  wir,  analog 
m  (58»)*: 

^f^^r^  nr^'  ö.  +  Q)  r-'  ^  +  (3)  81^«»^+«^-' 

und  hierin  ist: 

8^  ^  2f?*  +  '  r^  +  rj  ^,  n''^+3  +  r,  ^i  ti*^+*. 

Andererseits  ist  analog  zu  (57)*,  gemätä  (60*)*: 

1?«  —  9*  -^  2n^+^*,  [1  +  f  n^+ '  (M  4-  xr)  +  n^^+2  ji[  «!] 

oder  wenn  wir  die  Relation  (B)  zur  Umformung  benutzen,  und 
beiderseits  mit  r^n^^~^^  dividieren: 

-»-fi^+4(fi-l)(n-2)4rJr-«+w*^+si(n-l)(ii-2)(n-3)2fJ9«-* 

oder,  analog  zu  (58*)*: 

(X|  -  jTi)  ?  =  2ri  -  2firi g"" ' 
-n^+i[^,g+2n«,f(>.;-^;)*3+|(ii^l)(rt-2)rtf?"^T 

-if\(n-l)in-2)(n-S)q^-^    mod.  f»«^+^ 

Hierin  ist  (n\  —-x\)^  gemä^  (68^)*  durch  die  Zahlen  fp  g,  *,, 
n\^H'i  auszudrücken.  Einen  anderen  Wert  für  K^—Tt^  finden 
wir,  indem  vyir  in  (E)  die  linke  Seite  durch: 

p-q  +  n^~^  (pn^ ~q^i)  —  2»^  + ' r,  -h  n^+ '  q  {jt^  —  x,} 
+  11«^+'^  2r^  JT,  +  »«^+»  fj  ^j     mod.  fi^^+* 

teen,  wobei  ssur  Umformung  die  Kongruenz  (58)*  benutzt 
wurde:  wir  erb  alten  rlann  aus  (E),  nach  Division  mit  n^+V, 
analog  zu  (ö7»)*: 


(F) 


350        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

(Q)  ^  (""^  "'^^^  =  -  2r,  +  2nr,  -  2n^+'  r,  n,  -  n^^+s  ^^  ^^ 
^   '^      +n^+2.2£rj(jr;  +  xi)  +  n2^+8.2r,7i;;^;       mod.  n8^+3. 

Macht  man  in  (F)  die  angedeutete  Substitution,  nämlich: 

—  2n(n-l)n^+Jg*— >[i>i  +  2x;H2n?"-2 

+  i(w—l)(w  — 2)r;g*— 2_2:^;;,j]     mod.  n^^+2 

und  ersetzt  noch  (^"""^  durch  1  +  n^+^ ;«,,  so  stimmt  die  rechte 
Seite  von  (F)  mit  der  rechten  Seite  von  (6)  bis  auf  die  Glieder 
mit  dem  Faktor  w-^+2  überein  (denn  so  war  &^  bestimmt);  die 
Vergleichung  der  letzteren  gibt  also  eine  Bestimmung  von  ^[ 
bis  auf  Vielfache  von  w^'*"^ 

Sodann  hätten  wir  die  Kongruenz  (60*)  zu  erweitem.   Wir 
setzen  demnach: 

(H)       pqR=p^q^  +  w^a+s  .  ^  .  rj^?"-»  q^-^  +  n^^+ß  17,. 
In  der  Gleichung: 

a;»'y''  =  [^p^q^  -|-  £•  (p»»  —  q^)  —  z^Y 

ist  nach  der  auf  Seite  317  für  r«  abgeleiteten  Relation: 
^  =  7/^+2 rj;»'(j''  +  n3^+-^vrj;?''-ig»'-^     mod.  w*^+®; 

also  folgt: 

y^y^^p^^'q''''  +  n2^+*  .i/-rJ(jpg)2''+'»(''-'), 

+  w*^+8  [''"j  r}(i?g)^''+"(''-2)      mod.  n«^+i«, 
und  nach  (30)*: 

+  w»^+«  (2)  ^(i^g)-""'     mod.  n«^+i'\ 
und  somit: 
r^rzipgiZ  ._ /)'•  5"  + n2^+3.y.y.;^.-i^.-i«^4A+6.y«.yj 0,^)2.-2 

W  f     ^4;.  +  7  /  ''  \*^i'«^V-2       ^r^;K      ^«A+9 


+  n*^  +  7r^]i1(i>g)''-2     mod.  n« 


F.  Lindemtinn:  Das  letzte  Fermatsche  Theorem.  SSI 

Durch  den  Vergleich  mit  (H)  ist  dann  rj^  bestimmt: 

(K)     n^^-y'fif^-^q^-'^  +  nf'^filf-^r''  moä.n^'-^K 

Für  die  Differenz  i***  —  q'*  finden  wir  hieraus: 
/?-  —  ^  ^  2n^^-p^^r^  +  2n*^+^'  i'  -  li j?*-^  q''-^ 

(L)  -  2n^^+^'  r^^  r?(i;g)^-*+  2ijSA+o  (l^UpgY^" 

niod.  tr^  +  ^^ 

Nach  (B)  dürfen  wir,  unter  Einführung  einer  noch  unbe- 
kannten Zahl  t^r,  setzen: 

und  durch  Potenzieren  ergibt  sich  hieraus: 

p^^q'^  =  ne.r-'+{^)mr-'  +  (^)oiq--^ 

wo  Ö^,  ö|  durch  obige  Gleichungen  (D)  definiert  sind,  wahrend 
B^  die  rechte  Seite  von  (M)  bezeichnet  Entwickelt  nmn  die 
rechte  Seite  toh  (y)  nach  Potenzen  von  it,  so  stimmen  alle 
Glieder  bis  zu  demjenigen  mit  dem  Paktor  ti^^+^  einschliefalich 
mit  den  entsprechenden  Gliedern  von  (L)  bzw,  den  schon  in 
der  Kongruenz  (C)  so  weit  schon  berechneten  Gliedern  über- 
ein; der  Faktor  von  n^^+^  auf  der  rechten  Seite  von  n  ent- 
hält in  ß^  die  unbekannte  Zahl  «?J,  während  diese  Zahl  auf 
der  rechten  Seite  von  (L)  nicht  vorkommt;  dadurch  ergibt 
eich  eine  Bestimmung  dieser  Zahl  bis  auf  Vielfache  der  Zabl 
»*+^  Ist  n>^,  so  enthält  der  Faktor  i**^+*  auf  der  rechten 
Seite  von  (N)  auch  das  (llied: 


(N) 


',(;)-"■■ 


Wenn  aber  n  =  5  ist,  so   ^ibt  dies  Glied  einen  Beitrag 
/um  Fiikirjr   von   n^^+^,   der  durch  die  Kongruenz  (V)  schon 


352        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

bestimmt  ist,  und  deshalb  keine  nachträgliche  Korrektur  erfahren 
kann.  Im  Falle  w  =  5  ist  also  die  Kongruenz  (N)  mit  den 
Kongruenzen  (C)  oder  (L)  nur  verträglich,  wenn  r^  den  Faktor 
n  enthält;  es  folgt  also  für  n  =  5:  r^  =  0  mod.  n,  q.  e.  d. 

Bei  dem  letzten  Schlüsse  hatten  wir  unsere  obige  allge- 
meine Regel  etwas  vereinfacht,  indem  wir  die  Kongruenzen  (L) 
und  (N)  direkt  miteinander  verglichen,  ohne  ihre  Differenz 
explizite  zu  bilden,  ohne  also  auf  Bildung  der  Differenz  (jIj  —  ;«j)2 
zurückzugehen;  in  ähnlicher  Weise  wird  man  allgemein  ver- 
fahren können. 


Verbesserungen. 

Seite  322.    Für  den  zu  Beginn  von  §  8  ausgesprochenen  Satze 
vgl.  die  Anmerkung  auf  Seite  339. 
,      323.    Z.  10  v.o.:  Lies  ^äquivalent**  statt  ^gleich**. 


353 


Zur  Ekktronentheorie  IL 

Von  F.  LiedemaDn. 

In  meiner  letzten  Mitteilung  (oben  S,  197  ff»)  hatte  ich 
gesagt,  dfiü  die  dort  definierte  Funktion  (/?x  nicht  der  partieUen 
Diiferentialgleichung  genügt,  der  sie  nach  Herrn  Sommerfeld 
genügen  sollte.    Letzterer  machte  darauf  aufmerksam,  daß  der 

Beweis  nicht  korrekt  sei,  da  in  der  Gleichung  für  -~  (oben 

S,  203)  auf  der  rechten  Seite  ein  Glied  fehlt.    Trotzdem  bleibt 

aber  die  angeführte  Behauptung  richtig.  Die  Funktion  tpm 
nämlich  hatte  ich  durch  die  in  Gleichimg  (18),  S.  198  definierte 
Funktion  r/  ß  ersetzt,  wo  ü  eine  grotse  Konstante  bedeutet,  um 
80  die  Rechnungen  zu  vereinfachen;  wenn  die  betreffende  par- 
tielle Gleichung  von  der  Funktion  ipu  nicht  befriedigt  wird, 
so  war  dies  um  so  weniger  von  der  Funktion  q^m  zu  erwarten. 
Aber  nicht  umgekehrt;  es  ist  Dämlich  die  in  ^j«?  unter  dem 
Integrakeichen  stehende  Funktion  iS  (die  den  Chaiatter  eines 
Diskontinuitätsfaktors  hat)  gleich  Null,  wenn  die  Integrations- 
variable T  eine  gewisse  Grenze  Q  überschreitet,  die  selbst  eine 
Funktion  von  a?,  y,  s  und  t  ist,  so  da§  identisch: 

gesetzt  werden  darf,  und  zwar  tritt  dies  (nach  den  in  den 
Gleichungen  (3),  (4)  und  (5),  S.  183  gemachten  Angaben)  ein, 
sobald  SJ  durch  die  Gleichung: 


^mmm 


354         Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

als  Funktion  von  a:,  y,  z  und  i  definiert  wird,  wobei  die  Be- 
deutung von  JBo  oben  auf  Seite  205  angegeben  ist.  Durch 
diesen  Umstand  (den  ich  in  meiner  Abhandlung  ,,Über  die 
Bewegung  der  Elektronen**  wiederholt  hervorgehoben  habe), 
werden  die  folgenden  Untersuchungen  bedingt. 

Vor  Eingehen  auf  die  weiteren  Entwicklungen  sei  hier 
noch  folgende  Bemerkung  gestattet:  Oben  in  §  4  hatte  ich 
angegeben,  daß  Herr  Sommerfeld  eine  Formel  von  mir,  die 
für  cx>  a  abgeleitet  war,  für  CT<a  benutzt  habe;  sein  Ver- 
fahren kann  aber  auch  durch  Benutzung  einer  für  CT<a  von 
mir  aufgestellten  Formel  erklärt  werden.  Das  wesentliche  ist, 
daß  keine  dieser  Formeln  auf  den  zu  behandelnden  Fall  paßt, 
da  die  Wurzeln  t\  t", .  .  .  nicht  passen.  Das  sagt  aber  nichts 
gegen  meine  späteren  Folgerungen,  da  von  diesen  Formeln 
(die  durchaus  nicht  beanspruchen,  alle  Fälle  zu  umfassen) 
nirgends  Gebrauch  gemacht  wird.  Wo  ich  mich  auf  sie 
beziehe,  wird  nicht  der  Wert  des  betreffenden  Integrals,  sondern 
nur  der  Wert  der  unter  dem  Integralzeichen  stehenden  Funktion 
benutzt,  wie  das  z.  B.  Seite  261  (unten)  meiner  Abhandlung 
ausdrücklich  bemerkt  wird. 

Wir  haben  jetzt  die  auf  Seite  202  S.  oben  für  fi  =  const 
angestellten  Rechnungen  unter  der  Annahme  zu  wiederholen, 
daß  Ü  eine  Funktion  von  t  sei,  indem  wir  zunächst  die 
Tatsache,  daß  ß  auch  von  x,  y,  z  abhängt,  außer  acht 
lassen.     Es  war: 

Q 

q=  rg-vC<-')8incSTdr 

0 

gesetzt,  wo  t/'  durch  Gleichung  (34),  S.  203  definiert  war;  dann 
finden  wir: 

^  =  -smc.ß..-v(--)(^l-^J 
+  C5  \e'''*'^*~'^  cosincsidT, 

0 

und  weiter: 


F.  Lindenuinn ;  Zuf  Elektron entWorie  11, 


355 


—  CS  -cosincs  Ji^'    .7    1 1  ~'j7  )a~ *■<'-"• 


+  sin  CS ß-Ä-v»» -Ol 


rf«ß 


=  V '  {'  -  ß)  sin  CS  Ö  •  e-  V'<'-fl)  A  —  ^^V 


—  cscosm  es: 


+  sin  €sQ  -  e- vMt-ß) .  _____  ^  p^e^vW  —  ^s^!»  ^_ 
Durch  die  Substitution: 

kehren  wir  zu  der  ursprünglich  zu  betrachtenden,  in  (32)  de- 
finierten Funktion  Fsj  zurück  und  finden  für  sie  die  folgende 
Differentialgleichung  zweiter  Ordnung: 


(-'^' 


—  c*  cosin  C5 


H^-my-" 


+  e — ^^  --^    ^^^  +^^ 

f  die  früheren  Bezeichnungen  benutzt  sind  (Tgl.  oben  S.  199  ff.), 
Teiter  wurde; 

gesetzt;  utid  dann  genügte  (fh  derjenigen  Differentialgleichung, 
welche  aus  der  obigen  Gleichung  (37),  S.  204  entsteht»  wenB 
man  die  rechte  Seite  durch  den  Ausdruck: 


356        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

ersetzt  und  auch  die  linke  Seite  entsprechend  umformt;  dabei 
sind  (Pj,  (Pj,  0g  die  betreflFenden  Faktoren  aus  der  rechten 
Seite  der  vorhergehenden  Gleichung,  nämlich: 

<f)^  =  y'(^_fl)?^5_^e.5*lb,      0,  =  c.cosinc5fl.6*"«*^ 
-.        sinc^fl    .«.. 

Da  aber  die  durch  obige  Gleichung  (41)  definierte  Funk- 
tion fi  im  allgemeinen  auch  von  x,  y,  z  abhängt,  so  wird  da- 
durch die  Umformung  der  linken  Seite  von  (37)  wesentlich 
beeinflußt.  Diese  linke  Seite  entstand  aus  der  linken  Seite 
von  (19),  wenn  man  dort  9?  durch  9?'  ersetzte.  Jetzt  wird  ge- 
mäß (24),  wo  F  eine  Funktion  von  t  und  Q  bedeutet: 


"P*      ^R^A  1  TP  .   dFdß] 

^      [    dt'^dQdxdt'^'dü^dx  dt  '^düdtdx] 


dxdt 

+ 

Bezeichnen   wir  also  die  linke  Seite  von  (25)  mit  Dt(ph' 

SO  wird: 

(41»>)  D(ph  =  (Dt<ph  +  Dxys(ph)  ^^*', 

WO  nun: 


F.  Lindemann:  Zur  Elektronentheorie  11. 


357 


(41')    -SSd,1p,^+2c»»S4||+c«J»13} 

-^';f,*•.|-^:'^h-.|f^^-c?)•]■ 

und  hierin  ist  nacb  (31): 


(41'*) 


Da  f^  durch  die  Gleichung: 

t 


definiert  war,  so  ist: 
(41«) 


|||=U.(.-ß). 


Bei  unserer  ersten  Voraussetzung  über  den  Anfangszu- 
stand  war  ür  ^  0  für  negative  Argumente;  es  ist  deshalb  zu 
beachten,  daß  der  Ausdruck  (41*)  nur  so  lange  von  Null  ver- 
schieden ist,  als  t  größer  ab  Ü  bleibt. 

Ferner  ist: 

-^r^,  =  -  sin  e?s  ß  ^  e*^"^"^    iSJcx^,  (t)  =  -^,^  i  S h  D,(f), 
diidt        S  B  SJ 

Unter  Einführung  dieser  Werte  und  Bezeich- 
Dungsweisen  lautet  die  für  fg  zu  erfüllende  partielle 

Differentialgleichung: 

(410  1^19  9  + D^M>9ü^<^^* 

Ersetzt  man  hierin  F  durch  unsere  Funktion  (Sl),  so  ist 
durch  die  Funktion  (24),  d,  h,  durch: 


858         Sitzung  der  matb.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 
die  Gleichung: 

befriedigt.     Es  müßte  also  zwischen  den  Funktionen  F 
und  Ü  die  Relation: 


(4i^)i>.,.^b=-c0.(i-^^^)Vc0.[i-(^3fy; 


identisch  erfüllt  sein,  wenn  cp'a  eine  Lösung  der  ver- 
langten Gleichung  (410  sein  soll.  Das  ist  aber  im  allge- 
meinen nicht  der  Fall,  wie  das  Beispiel  der  Bewegung  mit 
konstanter  Geschwindigkeit  in  Richtung  der  X-Achse  zeigt. 
Hier  ist: 

f  =  t;T,     ^  =  0,     C  =  0,     B'^^ix  +  ^y+y^+z^ 

also  nach  (41®): 

und  somit  (für  Q<t)\ 

rilh  o  -  ^^  —  ^^  4-  l/  "^  —_a'~7{ac^vxf 

wo  r*t=  ic*  +  y^  +  '^*-  Es  wird  also  die  rechte  Seite  von  (41^) 
gleich  (indem  der  Wert  von  t/''  (^  —  ^^)  aus  (33)  und  (34)  ent- 
nommen wird): 

—  c(^j4-  ^2)  =  —  ce**"^  [ikv +  ccosm  t?5ßj 

für  KQ 
und: 

=  —  c^e-**«^^cosinc5ß      für  ^>0, 

denn  t)x  (^  —  ß)  ist,  wie  schon  oben  hervorgehoben,  bei  unserer 
ersten  Voraussetzung  über  den  Anfangszustand  gleich  Null, 
wenn  t  —  Q  negativ  wird.  Die  linke  Seite  von  (4P)  dagegen 
wird: 


F.  Liti<lemunn :  Zur  E3ektrooenUie«rie  II. 


359 


Uüd  hier  ist  einzusetzen: 


a*F 


_,  ^tftlktü 


—7-—  =  —  «'*•''  *  srn  e^  fi  •  *t?, 
ick 


cosin  € s fl  -h  —  e***^  «in  t^Ü^v    fnr  t  <  Q 


dÜ^  's 

^c*e'f*'öcoimcsii     für  t>Q. 

Damit  x,  B.  der  Faktor  von  cosin  csÜ  beiderseits  überein- 
^4iinint,  niütjt'ün  wir  tilsa  haben: 


_^gifctij 


=  ^*^''"ß~)'^*^*"  c*), 


und  diese  Bedingung  ist  offenbar  nicht  t^r füllt 

Allerdings  kommt  es  fllr  das  achlietiiiche  Ilesultat  nicht 
auf  die  Oleichung  (41/)  für  f/'  an»  sondern  auf  die  ursprüng- 
liche Gleichung  (17)  für  7,  die  rückwiirts  aus  (41^)  zu  bilden, 
ist:  es  wäre  möglich,  diiLi  sich  die  störunden  Glieder  bei  dieaer 
Umformung  heruiisheben.  Um  die  letztere  vorzunehui^^n,  multi- 
pliiEiercn  wir  in  (48«)  beiderseits  mit  dem  Integrale  1\  das  durch 
(28)  deäniert  war,  und  integt  ieren  nach  l\  L  m  über  den  ganzen 
Riium,  indem  wir  Ptdarkoordinntim  ^,  6^,  *P  oinfübren,  so  daü 
das  Raumelenient  gleich: 

sUmedsdBdV 
wird,  wobei; 

(41»^)  Skix  +  S^)  =  fi;»^  cosin  0 

«u  mizen  ist  {vgl,  oben  S.  205).  Links  erhalkn  wir  dann 
f^TQ  statt  Ditf'u,  wo  wieder  f^u  durch  GUichung  (18)^  Seite  198 
definiert  »ei;  dabei  soll  Di^a  denjenigen  Ausdruck  be- 
zeichnen, wi«lcher  aus  i>^i/  entsteht,  wenn  man  in  den 
Differeatiation«'!!    tmch^^g^g  die  Grutäe  Q  aU   unab-j 

28* 


360         Sitzung  der  math.-phys.  EHasse  vom  7.  Dezember  1907. 

hängig   von   diesen  Koordinaten   betrachtet,   und  D(pQ 
ist  durch  die  linke  Seite  von  Gleichung  (19)  definiert: 

Es  ist  also: 

(41*)  D(PÜ  =  {BtCpü  +  Dxy,  (fü), 

wo  Dxyt(pü  bedeutet,  daß  bei  der  Differentiation  Q  als  unab- 
hängig von  t  zu  denken  ist. 

Auf  der  rechten  Seite  von  (41«)  haben  wir  die  folgenden 
Integrale  auszuwerten: 

(42)  Jo=((j^^''P<iJ^d^<^^  =  Q     fiir  r<a 

=  0     für  r  >  a, 
wie  aus  obiger  Gleichung  (20)  sofort  hervorgeht,  ferner: 

(43)  ... 

_  jsm^  ^^J_| (e.s*(x+lo))  p sin© döjrf  !P 

0  0  0 

oder  nach  (36): 

0  0 

Dieses  Integral  J^  ist  oben  (S.  206)  bereits  berechnet; 
der  dort  angegebene  Wert  ist  aber  auf  den  hier  in  Betracht 
kommenden  Fall,  wo  zwischen  cfi,  Rq  und  a  die  obige  Glei- 
chung (41),  nämlich: 

erfüllt   sein   soll,    nicht   ohne    weiteres    anzuwenden.      Weiter 
haben  wir  das  Integral: 


F.  Lindemann:  Zur  Elektronentheorie  IL  361 

CO  ,  '-^ 

'ic\        3f(?    rsinas - ascosinas      .        ^,    f  .»..«.«««  •    -r^jz:* 
'     4:7i*av  5  J 

0  0 

OD 

3ec      rsinas — a5cosina5       .        ^     .    t^       -i 

=  -.    o    Q  T^  I  ~ —  —9 cosin CS U 'Sin MQS'ds, 

2jt^a^Rf^J  s^ 

0 

Auch  dieses  schon  oben  a.  a.  0.  behandelte  Integral  muß 
für  den  Fall,  daß  die  Gleichung  (41)  besteht,  von  neuem  aus- 
gewertet werden.     Endlich  haben  wir: 

J^=jjje'^^'0^Pdkdldm 
/i/.x         3£     fsinas  — ascosinas  .       ^^    C  .p.-^«m«  •    i^ji^ 

(46)  =^--^ ^—       -      smCSÜds      e'^oscoemögm  Q^Q 

0  0 

00 

3£        fsinas — ascosina^   .        ^   .    t>     ^ 

0 
OflFenbar  ist: 

wenn  /S^,  wieder  das  in  §  4  meiner  ersten  Abhandlung  ein- 
gehend behandelte  Integral  bezeichnet,  falls  man  dort  a,  /?,  y 
(wobei  a> ß>y)  bzw.  durch  c ß,  JB^,  a  ersetzt.  Nach  Glei- 
chung (40)  a.  a.  0.^)  hat  S^  hier  den  Wert  ^ ßy]  also  ist: 

(47)  J,=    ^' 


»       4jra«' 


')  Es  ist  nämlich  dort  die  rechte  Seite: 

=  -  feC''!  +  i\-6\-2a(s^  +  »^  -  a,)) 

wenn  ^1  =  a  +  ^  —  j',  ^2  =  «  —  /^  +  y,  ^4  =  «  +"  /^  +  y  gesetzt  wird,  also 
gleich:  -^ßy. 


S62        Sitzang  der  math.-phyg.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

Nach  Einführung  dieser  Integrale  finden  wir  fQr  (pß  durch 
die  angegebenen  Prozesse  die  Relation: 

3«c    (PQ 


J,+ 


ina^  dt*  ' 


(48)  J),<po=CJ,+c{l-^yj,-c[l-(^^y 

WO  Jq   durch   obige   Gleichung  (42)    gegeben   ist,   und    wo  Jj 
und  e/g  nun  noch  ausgewertet  werden  müssen. 

Führen  wir  in  (43)  die  Integration  nach  0  aus,  so  wird: 

OD 

—  Se  dRf.  C^iuas-ascosmas,  .   ^      ^        -    ^  \  -       r^-, 
'^*"2^a^^S^fiJ 7^ {sinR,s-R,scosmR,s)smcsQds 

(49)  ^      '       ^ 

wo  ij,  ig,  ig,  L^  folgende  Integrale  bedeuten.     Es  ist: 

00       ^ 

' sin  a 5 sin  Russin  es Ü 


'^-'P 


ds; 


dieses  Integral  wurde  in  §  4  meiner  ersten  Abhandlung  (in 
den  Denkschriften  der  Akademie)  mit  Jq  bezeichnet;  ersetzt 
man  die  dort  (in  den  Gleichungen  auf  Seite  247)  vorkommenden 
Größen  a(=)8  +  y)i  ßi  y  bzw.  durch  cfi,  Ä^,  a,  so  wird: 

(50)  L,  =  \ßy  =  \aE,. 


Fem  er  haben  wir: 

CO 

'cosinas  •  sin  Rt,s  •  sin  csQ 


'"'i 


0 


ds. 


Nach  Gleichung  (38),  Seite  246  der  genannten  Abhandlung 
ist  dies  Integral  gleich: 


n 


wenn  die  Größen  bi  durch  die  Gleichungen: 

^i  =  a4-  R^  —  cQ,     d^  =  a  —  R^+cQ 


F*  Lindemann:  Zur  Elektronen theorie  IL 


363 


definiert  werden»  und  ^ ,  ^=  +  l  oder  =^  —  1  ist,  je  nachdem 
i,>Ü  oder  <0  ist:  in  unserem  Falle  ist  9^  =  0,  d,>0,  d^>0^ 
A^<Q;  ako : 


(51) 


i,=  -  8  [(a--R;+cÖ)-(«+Ü<»+«ß)+(e-iJi,-cfi)] 


n 


7t 


Das  Integral: 

OD 

^=1 


sin  a s  -  coöin  Ef^s-smesü  ^ 


wird  durch  dieselbe  Formel   gewonnen,    wenn   man  a  und  R^ 
vertauscht;  d.  h.  es  ist: 

(52)  L,^~^(ß^-^a-eQ)  =  ja. 

Das  letzte  Glied  von  (49)  endlich  enthält  das  Integral: 


00 


codn  aS'  cosin  R^^  *  ^i^  ^^^ 


d$ 


ds 


der  Wert  ist  unmittelbar  durch  den  Dirichletschen  Diskon- 
tinuitätsfaktor gegeben  j   das  erste  Glied  der  rechten  Seite  ist 

wegen  der  Gleichung  a  +  B^=  cü  gleich  -^,  und  das  zweite 

ßlied  hat,  da  cß  =  ö+  Rq>  R^—  a  ist,   den  Wert    -;   wir 
haben  demnach: 


(53) 


SetMD  wir  die  gefundenen  Werte  (50),  (51).  (52),  (•'iH)  in 
(4U)  ein,  so  ergibt  sieb: 


^ 


364        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

(54)  ^ 

Endlich  kommen  wir  zum  Integrale  e/j,  das  durch  (45) 
definiert  war;  die  möglichen  Werte  desselben  sind  oben  auf 
Seite  207  zusammengestellt;  der  hier  auftretende  Grenzfall 
((jß==a4-jRo)  ist  aber  dort  nicht  berücksichtigt;  wir  hatten 
indessen : 

—  aP,ia,R^  +  cii)-a  P,  (o,  R,  —  c  ß)], 

und  hier  bezeichneten  P  und  P,  zwei  Integrale,  die  durch  die 
Gleichungen : 


P{a, 

-ß)  =  Pia,ß)  =  ^ß 

für 

a>ß, 

n 
=  2° 

a<ß, 

n 

n 
"2 

ß 

a  =  ß, 

i*.(a, 

-/9)  =  P,(a,Ä  =  0 

a>ß, 

n 

a  =  ß, 

n 
~2 

a<ß 

bestimmt  waren.     Wir  erhalten  demnach: 


'^»  =  4;.»a»iij2°-2"-2''  +  4"J 


(55) 


3e       c 


9  X? 
M  Hier  und  im  folgenden  ist  natürlich  der  Differentialquotieiit  ^  ^ 

rein  formal  zu  bilden,   d.  h.  ohne  daß  dabei  die  Relation  cß  =  i^o+<* 
berücksichtigt  würde. 


F.  Lindemann^  Zur  Elektronentheorie  IL 


365 


also   gleich    dem    aritUrae tischen   Mittel  zwischen   den   obigeD 
Werten  (40)  und  (40^),  Seite  208. 

Unter  Benutzung  der  in  (54)  und  (55)  aufgestellteu  Werte 
von  Jy  und  /,  erhalten  wir  aus  (48)  die  folgende  partielle 
Relation,  welche  aber  zufolge  der  Bedeutung  von  Di^pq  nicht 
als  Diflerentialgleichung  autgefaßt  werden  kann: 


(56) 


+ 


16 


Tia^M^i        {dtj  J  ^  4jia*  rff»  * 


*J^  durch  g  oder  durch  Null  zu  ersetzen  ist,  je  nachdem 
es  sich  um  einen  Punkt  innerhalb  oder  außerhalb  des  Elektrons 
handelt. 

Dieser  Gleichung  genügt  die  Funktion; 


wenn  man  Q  als  eine  Funktion  von  l  (nicht  als  Funk- 
tion -vöuJ^.p,^)  betrachtet,  welche  durch  obige  Glei- 
ehung  (41)  definiert  ist;  Gleichung  (56)  besteht  folglich 
auch  für  das  Integral: 


da  dasselbe  mit  ^q  vollkommen  identisch  ist. 

Gemäi  (4P)  hätten  wir  auch  Dx^t^a  in  entsprechender 
Weise  umzuformeo,  d,  h*  mit  Pc^*'  zu  multiplizieren  und 
nach  1%  h  m  über  den  ganzen  Raum  zu  integrierten,  Nach  (41") 
sind  dabei  folgende  Integrale  zu  bilden.     Zunächst: 


366         Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

=  0^3  4-     °ach  (28)  und  (29),  Seite  201:') 

wenn  S  das  Integral  bezeichnet,  dessen  Werte  oben  in  (3),  (4) 
und  (5)  angegeben  sind,  falls  man  dort  t  durch  ß,  R  durch  jB^ 
ersetzt;  und  zwar  hat  man,  da  hier  cQ — RQ  =  a  ist: 

und  zwar  sowohl  aus  (3),  als  aus  (5).  Nach  (4P)  ist  ferner 
zu  bilden: 

Jix  =  (((^'^"  ■  *  *  IS  '  ^  *  dkdldm. 

Auf  dasselbe  wird    man    durch    DiflFerentiation    des   Inte- 
grals (57*)  geführt.     Wir  haben: 

^^^'^  2^0^  di  \RJ 

00 

.  _      .       Zec^      psinas— ascosinas    .    ^  .        ^    ,    afl 


Das  hier  rechts  an  zweiter  Stelle  stehende  Integral  ist 
aber  mit  dem  oben  auf  Seite  (205)  behandelten  Integrale  J^ 
identisch;  wir  erhalten  also: 


(57«)  i'^-  =  m.-(p)-^2, 

^  27i^a^  dx\RJ 

In    unserem  Falle  {cQ  =  R-)-{-a)  war  S=0;  somit  wird: 


aß 

dX 


*)  Daselbst  ist  in  der  Gleichung,  welche  (29)  vorangeht,  der  Buch- 
stabe X  im  Exponenten  von  e  durch  x  -|-  ^o  '^u  ersetzen. 


F.  Lindemanü:  Zur  Elektronentheorie  II. 


367 


ncMib  (55): 


(58) 


J*.= 


—  See»»  afl 


Femer  ist  auf  der  rechten  Seite  von  (41')  zu  bilden: 
3*^ 


(59) 


^HSS'^'-nm^'^'^^^*' 


=« K/4.B,+  /i,o.  +  J*.v.)  =  T^ra^T:;:  »« W- 


le^to'Äo    9* 


Endlich  kommt  es  noch  auf  folgendes  Integral  an: 


(60) 


-T^i^T    9lo_  r    ,        See»       »3/3  9Ib 


wobei   das   oben   im  Anschlüsse   an  (41*')  Gesagte   zu   berück- 
sichtigen  ist;   luer  baben  wir: 

/,  =  c^j  j^pskix^h)  eosin  CS  DP'  djcäldm 
==  ö   a~«  I ^cosmcsÜ'ds  I  e**%=™***%ii©t;0  I  dir 


0 


2  a*  a 


sm  a^  —  as  cmmas 


>" 


cosin  c  Ä  fl  ■  sin  iJ(j  s  •  ds. 


Hechts   steht  das  in  (45)   eingeführte  und  in  (55)  auBge- 
' wertete  Integral  J^i   es  wird  also: 


(61) 


J, 


3fC« 


ST?    """iß 


See* 


,afl3{. 


16no>Jio^l6;ia»if,     SxdQ' 

Durch  Einsetzen  der  hier  berechneten  Werte  fUr  die  Inte- 
le  Jy  J^t,  'Jy  iTf  erhalten  wir  aus  (41*): 

See» 


(«2^  a^.ro« 


iena*R^ 


h'^)'-<m^Ai-'\ 


368         Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

Da  nun  nach  (41*)  D(pQ  sich  aus  den  Termen  Dtq>Q  und 
Dxy»  (fQ  zusammensetzt,  diese  einzelnen  Ausdrücke  aber  durch 
(56)  und  (62)  gegeben  sind,  so  erhalten  wir  folgendes  Resultat: 

Wird  ü  durch  die  Gleichung  (41)  als  Funktion 
von  X,  y,  z   und  t  definiert,   so    genügt   die   Funktion: 

00  ö 

z-,^.  3fc       fsinas  — a5cosina5 psini?5   .  , 

(63)        ^^  =  _  J_--_^3-      _J_^-_smc5rdx 


der  folgenden  partiellen  Differentialgleichung: 


^--- D^,,  =  ^_  j;,  +  ^^  ^(^1-- j 


+ 

wo  e/jj  im  Innern  des  Elektrons  durch  ß,  außerhalb  desselben 
durch  Null  zu  ersetzen  ist.  Man  kann  die  rechte  Seite  noch 
weiter  ausführen,  indem  man  den  Differentialquotient  von  jB^ 
nach  Q  auswertet,  es  ist: 

denn  diese  Differentiation  war  rein  formal  (d.  h.  ohne  Rück- 
sicht auf  die  Gleichung  (41))  auszuführen.  Ferner  ist,  da  Q 
durch  (41)  definiert  wird: 

aa;        a^r  B.^     ' 

woraus     ""  zu    berechnen  ist;    der   zweite    Differentialquotient 

a^ 

von  ü  nach  t  enthält  die  derivierten  Funktionen  0,(0,  0^(0, 
üi(0;  schon  hieraus  geht  hervor,  daß  sich  die  rechte  Seite  von 


F.  Lindemattj];  Zd 


nentbeorie  IT, 


369 


(64)  nicht  identisch  auf  das  erste  Glied  (J,,)  reduzieren  kann* 
Die  zuletzt  angeiührten  Gleichungen  vereinfachen  sich  wesent- 
lich, wenn  Ü>i  ist,  denn  dann  ist,  gemäü  der  oben  im  An- 
schlüsse an  Gleichung  (41'*}  gematbten  Bemerkung,  Pi(^-i2)  =  0. 

Wir  wollen  jetzt  in  den  vorstehenden  Rechnungen  die 
Punktion  Q  durch  eine  beliebig«^  Funktion  m  von  x^  y,  m^  i 
ersetzen,  also  durch  eine  Funktion,  die  nicht  durch  die  Glei- 
chung (41)  dehniert  wird.  Die  Gleichungen  (410t  (41^),  (41^) 
bleiben  dann  unverändert  gültig,  wenn  man  in  ihnen  Q  durch  m 
ersetzt. 

Die  über  die  Funktionen  *^j,  0^,  0^  zu  erstreckenden 
Integrale  haben  jetzt  andere  Werte  ak  früher.  Nach  obiger 
Gleichung  (39),  Seite  206  und  nach  Gleichung  (43)  ist: 

'~       16>  a^m  acu'^ 

wo  ^  =  (^  +  f,y  +  (^  +  r/,r  +  {r  +  Coy  nach  (36)  von  m 
abhängt     Dagegen  wird; 

J^  =  0, 

wenn  sich  aus  den  genannten  drei  Strecken  kein  Dreieck 
bilden  läJät. 

Für  das  Integral  Jj  haben  wir  die  obigen  Gleichungen 
(40),  {iO%  {4rO^)  anzuwenden.  Dils  Integral  J^  ist  durch  (46') 
bestimmt,  wo  für  Sq  der  Wert  aus  den  früheren  Gleichungen 
(3),  (4),  (5),  Seite  183  einzusetzen  ist  Es  ist  femer  J*,  ge- 
mäß (57^)  leicht  zu  berechnen,  indem  man  den  Wert  von  S 
aus  den  Gleichungen  (3),  (4)  und  (5)  einsetzt 

Nach  (59)  wird  also: 


/,= 


-•Ä(|)- 


T    O         90 


^>  Man  findet  diesen  Wert  auch  nach  der  in  (49)  gegebenen  Zer- 
legung mittels  der  Intejrrale  i-i,  Xj,  X|,  L^^  wenn  wan  dieselben  nach 
den  Formeln  muiner  früheren  Äbluiridlung  ohne  Rücksieht  auf  die  Re- 
latioö  c  O  =  ö  -(-  /?<>  auswertet,  Die  Annfthme  /i*<j  -|-  a  =  c  £?  (—  ö  g>)  gibt 
danit  dua  Doppelte  dea  oben  in  (öi)  beautÄten  Wertet. 


iferifa 


370        Sitzang  der  math.-phjs.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

wo  wieder  für  S  die  drei  verschiedenen  Möglichkeiten  zu  be- 
rücksichtigen sind;  endlich  nach  (60): 

Mit  Hilfe  dieser  Formeln  findet  man  leicht  für 
die  Funktion  (pan  wo  o)  eine  willkürliche  Funktion 
von  x^  y,  z  und  t  bezeichnet,  eine  zu  (64)  analoge 
Differentialgleichung,  in  der  aber  die  Koeffizienten 
der  verschiedenen  partiellen  Differentialquotienten 
von  0)  jetzt  andere  Werte  haben,  als  früher,  wo  Ü  an 
Stelle  von  co  stand.  Die  nähere  Ausführung  der  Rechnung 
bietet  kaum  Interesse;  für  unseren  obigen  Fall:  w  =^t  -{- 1^^  er- 
halten wir  die  ursprüngliche  Differentialgleichung  wieder: 

(66)  2)9?<+/o  =  c«e7o, 

wo  nach  (42) :  t/^  =  ^  für  r  <  a  und  e/^  =  0  für  r  >  a  zu  setzen  ist. 
Besonderes  Interesse  verdient  der  dritte  Fall,  wo  sämt- 
liche Integrale  «/,,  Jj,  .  .  .  J^  gleich  Null  werden.  Dann 
hätten  wir  eine  Lösung  der  DiflFerentialgleichung  (66)  gefunden, 
welche  eine  willkürliche  Funktion  o)  der  vier  Variabein  x^y^z.t 
enthält,  was  eine  Unmöglichkeit  involviert.  Dies  wird  durch 
die  Gleichung: 


Jsinas  —  «scosina^  ,    fsinii 


^mcST  dr 


J,     fsmas  —  as  cosm  as   .     ^^     . 
(IT  \  3      —       s\n  KssincsTds 

0  0 

aufgeklärt. 

Wir  wissen,  dali  im  dritten  Falle  (wo  das  Dreieck  dadurch 
unmöglich  wird,  daü  ii  zu  klein  ist)  die  Gleichung  besteht 
(indem  cd  >  UY 

Im  dritten  Falle  dürfen  daher  die  Differential- 
quotienten   von    9'a>    nicht    rein     formal    so    gebildet 


R  Lindemitnnf  Zur  Klektronenthrori^  Ih 


mi 


worden,  wie  es  obüii  geschiih»  sondtira  <^w  ist  tatsäch- 
lich für  diesen  Fall  (d.  h.  für  to>Il^  +  a)  von  der  wül- 
kürUcheii  Funktion  ganz  unnbhtirigig  und  enthält 
nur  die  durch  (41)  definierte  Funktion  Q^  so  da^  hier 
die  Funktion  (fu^^u,  der  obigen  Üleichung  (64),  und 
nicht  der  Oleiehung  (66)  genUgt. 

Diese  Überlegung  ist  insbesondere  auf  die  spi^zielle  Funk- 
tion 9ff+(So  iitiw^'tidbiir,  welche  den  Entwicklungen  meiner  beiden 
größeren  Abhandlungen  zu  Grunde  Ug: 

Auch  das  Integral  (29),  d.h.: 


genügt   für  i  i- i^>  Q  nieht  der   Gleichung  (66),   son- 
dern der  Gleiehung  (64), 

Es  kunnti"  jt^tzt  scheinen,  nh  ah  duniit  ein  Teil  meiner 
früheren  Untersuch ungen  hinfällig  würde*  Dem  ist  aber  nicht 
so,  aondern  durch  die  Integrutiou  Über  das  Innere  deü  Elektron« 
(nach  <len  Vjiriabeln  x,  ^^  s)  wird  diese  ücheinbare  Störung 
wieder  aufge hoben* 

Die  Gleichung  (42)  stellt  eine  Kugel  dar,  deren  Mittel- 
punkt an  der  Stelle  —S^^t  — %,  — C^  liegt,  und  deren  lind iug 
gleich  c  Q  --a  ist;  wir  nehmen  t^  =  ü  an  (wie  bei  meiner 
, ersten  Vorausset?'.ung  über  den  AnfangssEustand*).  Für  unsere 
jetzige  Annahme  ist  in^=i  für  t  ^  <,  denn  die  untere  Grenze 
der  betreffenden  Integrale  kann  gleich  Null  genommen  werden, 
wenn  i  >  il  ist  (vgl,  die  obige  im  Anschlüsse  an  (41*)  ge- 
machte Bemerkung),  Betrachten  wir  zunächst  die  Kugel  mit 
dem  fiitdius  ct^a,  so  hat  diese  demnach  deni^lben  Mittel- 
punkt wie  die  ICugel  mit  dem  Radius  cQ  —  a^  aber  sie  hat 
gWiüeren  liadiun;  ferner  kommen  für  Unterlichtgeschwin- 
digkeit nach  meinen  allgemeinen  Entwicklungen  nur  solcho 
Werte  von  i  in  Betracht,  für  die  i<Zt'  inU  wenn  t'  durch  die 
Gleichung: 
(66*)  H*      ^^^{Th^t-^-a 


372        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

bestimmt  wird,  und  für  die  dann: 

(66^)  ct  —  a<T+a 

ist.  Für  t==t'  berührt  die  Kugel  mit  dem  Radius  cf  —  a 
gerade  das  Elektron  so,  daiä  sie  dasselbe  ganz  umschließt;  für 
t<C^'  schneidet  also  die  Kugel  mit  dem  Radius  et  —  a  das 
Elektron  und  teilt  es  in  zwei  Teile  :^)  in  dem  einen  liegen 
Punkte  a:,  y,  -8^,  für  welche  die  durch  (41)  bestimmte  Funktion 
ü  kleiner  als  t  wird  (in  dem  anderen  würde  sich  Ü>  t  er- 
geben, so  daß  hier  keine  Schwierigkeit  für  uns  eintritt;  hier 
ist  aber  der  Mittelpunkt  der  Kugel  mit  Q  veränderlich). 

Bei  Berechnung  der  Kraftkomponenten,  d.  h.  der  Integrale: 

(67)        P,  =  r  1  j— ^  dxdydz     (und  der  analogen  Py,  P,), 

ist  ursprünglich  zuerst  nach  t  zwischen  0  und  Q  zu  inte- 
grieren, und  dann  nach  a;,  y,  z  über  das  Innere  des  Elektrons, 
wobei  Q  eine  Funktion  von  x,  y,  z  (und  t)  ist.  Wird  nun  die 
Integrationsordnung  vertauscht  und  die  Integration  nach  t 
zuletzt  ausgeführt,  so  wird  die  obere  Grenze  Ü  durch  den 
größten  Wert  zu  ersetzen  sein,  den  sie  im  Innern  des  be- 
treflFenden  Kugelteiles  (des  Elektrons,  wo  Q<t)  annimmt; 
dieser  Wert  aber  ist  der  Definition  nach  gerade  der  Wert 
ii  =  t  Wir  haben  also  in  dem  einen  Teile  der  das  Elektron 
darstellenden  Kugel  (wo  ß  >  ^  ist): 

t  t 

0  0 

und  in  dem  anderen  Teile  (wo  ß  <  ^): 


»)  Dies  gilt  für  Q<t<t' ;  für  t  =  V  berührt  die  Kugel  mit  dem 
Radius  et'  —  a  das  Elektron  gerade  und  für  t  >  t'  schneidet  sie  dasselbe 
nicht  mehr,  so  dass  dann  in  der  ganzen  Kugel  des  Elektrons  Q  <  t  ist. 
Ist  die  Geschwindigkeit  nicht  konstant,  so  können  sich  diese  Verhältnisse 
im  Laufe  der  Bewegung  natürlich  mehrmals  ändern. 


F.  Lindemattn:  'luv  Elektronentheorie  II. 


373 


U  t 

0  0 

Im  ganzen  Innern  des  Elektrons  gilt  also  für  die 
Komponente  P,  dieselbe  Formel,  wenn  die  Iti  tegration 
nach  r  zuletzt  ausgeführt  wird;  und  dies  ist  diejenige 
Porinel,  die  in  meinen  Abhandlungen  der  Berechnung  der 
Kräfte  211  Grunde  gelegt  wurde.  Hier  könnte  es  scheinen,  als 
ob  die  Berechnung  der  Kräfte  in  dieser  Weise  unzulässig  sei» 
da  in  Gleichung  (69)  eine  Potentialfunktion  benutEt  ward,  die 
der  definierenden  Differentialgleichung  nicht  genügt  (wegen 
der  oberen  Grenze  Q  statt  0* 

Um  dies  aufzuklären,  müssen  wir  auf  die  ursprüngliche 
Bedeutung  der  zu  Grunde  liegenden  Differentialgleichung  (66) 
oder   in    ursprünglichen  Koordinaten  ^',  i/\  j-'  der  Gleichung: 

9V  s/9*?^    _L^*^    _L^'9A  ^  4.,  ^ 


--0 


r>  a 


zurückgehen.  Ihr  Integral  gibt  das  Potential  für  die  Wirkung 
eines  Körpers  auf  einen  Punkt  x^  y,  ^  während  einer  gewisse!. 
Zeitdauer;  der  wirkende  Körper  ist  für  unser  Problem  das 
bewegte  Elektron  in  seinen  früheren  Lagen.  Ist  nun  t  <  Ü, 
m  setzt  sich  diese  Wirkung  aus  den  einzelnen  Wirkungen  zu- 
sammen, die  in  der  Zeit  von  t  =^  t  bis  r  ^=  0  (die  Zeit  t  wird 
rückwärts  gerechnet)  sich  summiert  haben,  und  zwar  für  jeden 
Punkt  x^  y^  M  \m  Innern  des  bewegten  Elektrons;  die  Lösung 
der  Differentialgleichung  erscheint  deshalb  als  ein  zwischen 
den  Grenzen  ir  ^  0  und  t  =  ^  genommenes  bestimmtes  Integral 
mit  der  Integrationsvariabein  r.  Ist  aber  i  >  ß,  so  wird  das 
Elektron  durch  die  Kugel  mit  dem  Radius  ci  —  ö  in  der  oben 
besprochenen  Weise  in  zwei  Teile  zerlegt;  in  dem  einen  gilt 
die  vorstehende  Überlegung  unverändert,  in  dem  anderen  (mit 
der  Bedingung  ct>  Q)  kommen  bei  Unterlichtgeschwindigkeit 
nur  die  Wirkungen  zur  Geltung,  w^elche  in  der  Zeit  von  t  =  0 
bis  I  ^^  ü  von  den  früheren  Lagen  des  Elektrons  ausgegangen 


374        Sitzung  der  math.-phjs.  E[las8e  vom  7.  Dezember  1907. 

sind;  die  später  ausgegangenen  Wirkungen  (eigentlich,  da  t 
rückwärts  gemessen  wird:  die  früher  ausgegangenen  Wir- 
kungen) sind  schon  mit  Lichtgeschwindigkeit  über  das  Elektron 
hinweggeeilt.  Hier  kommt  also  für  Berechnung  des  Potentials 
nicht  die  Variable  t  zur  Messung  der  für  die  Punkte  x,  y,  ^ 
wirksamen  Zeit  in  Betracht;  infolgedessen  kann  über- 
haupt nicht  verlangt  werden,  daß  für  diese  Punkte 
X,  y,  z  das  zugehörige  Potential  <^  der  partiellen  Glei- 
chung (66)  genüge,  und  deshalb  ist  es  hier  erlaubt,  mit  der 
Potentialfunktion  (69)  zu  rechnen,  wie  ich  es  in  meinen  Ab- 
handlungen getan  habe.  Wir  können  das  Resultat  dieser 
Überlegung  in  folgender  Weise  aussprechen: 

Man  lege  um  den  Punkt,  in  welchem  sich  der 
Mittelpunkt  des  Elektrons  zur  Zeit  t  =  t  (d.  h.  zu  Be- 
ginn der  Bewegung)  befand,  eine  Kugel  mit  dem 
Radius  et  —  a;  liegt  der  Punkt  x^y^z  innerhalb  dieser 
Kugel,  so  gilt  für  ihn  die  Potentialfunktion  9>/,  welche 
der  partiellen  Differentialgleichung  (66)  genügt;  liegt 
aber  der  Punkt  x,  y,  z  außerhalb  jener  Kugel,  so  ist 
die  Potentialfunktion  cpu  anzuwenden,  welche  der  ge- 
nannten Differentialgleichung  nicht  genügt.  Dies  gilt 
zunächst^)  für  die  Bewegung  mit  Unterlichtgeschwindigkeit 
(CT>  T)  bei  der  „ersten  Annahme  über  den  Anfangszustand". 
Man  kann  dasselbe  auch  folgendermaßen  aussprechen: 

In  (69)  bedeutet  t  die  Dauer  der  Bewegung  (und  kommt 
deshalb  in  R  vor  zur  Bestimmung  der  jeweiligen  Lage  des 
Punktes  x^  y,  r),  ü  die  Zeit,  w^ährend  welcher  die  früheren 
Lagen    des   Elektrons   auf   den    bewegten    Punkt  x^  y,  z   einen 


M  Für  die  , zweite  Annahme  über  den  Anfangszustand*  ist  leicht 
eine  entsprechende  Überlegung  anzustellen.  —  Für  Überlichtgeschwindig- 
keit ist  stets  CT<^T,  also  c^<2V  =  /.  andererseits  a-\-H'^T;  folglich 
kann  die  Gleichung  c  Ü  =  a-\-l{Q  nur  Lösungen  zulassen,  die  der  Bedingung 
Ü^  t  genügen  und  somit  nicht  in  Betracht  kommen.  Hier  aber  kann 
die  Gleichung  c  Q  =  Jt^)  —  a  Lösungen  besitzen,  die  zu  analogen  Über- 
legungen Veranlassung  geben ,  wie  sie  im  Texte  für  c  r  >  T  angestellt 
wurden. 


F.  Iiimlemaimt  Z\iv  Elektfonentheorie  IL 


375 


lud  ausüben:  fallen  bdde  Zeiten  stussinmeti,  so  gilt  i\^ 
|iartielle  Diüereritialgleichung  (00);  fallün  sin  nicht  zusammen, 
m  kann  die  Potentialfunkttoti  durch  dits%  Gleichuug  nicht 
^inehr  definiert  werden. 

Der  Unterschied  der  von  riiir  angewanrUen  Methode  gegen 
die  sonst  Obhehe  Methode  besteht  also  darin,  data  Ton  A  bräham. 
Sommerfeld  und  atideren  die  Funktion  ^^  für  alle  Werte 
von  i  zu  Grunde  gelegt  wird»  wlihrend  diejä  nur  fllr  t>  Q  ge- 
stattet ist  Hieraus  folgt  aber  nichts  dalä  die  mit  der 
Funktion  ^n^fpm  in  üblicher  Weise  gewonnenen  Re- 
sultate wenigstens  für  den  stationären  Zustand  mit 
den  unseren  übereinstimmen  müläten,  wie  wir  weiterhin 
zeigen  werden.  Von  den  genannten  Forschem  wird  nämliefa 
richtig  7^j.*  =  <?^*  gesetzt,  dann  ist  also: 

'S 


(70) 


Nun  wird  aber  weiter  die  rechte  Seit«  durch: 


(70) 


Hmn)'"'" 


£t,  während  sie  (da  die  obere  Grenze  oc   eigentlich  durch  Ü 
[zu  ersetzen  ist)  für  t<Q  gleich    der   rechten  Seite  von  (09) 
zu  setzen  ist,  und  nur  für  ^  >  ^*  gleich: 


Hnui)'"'"- 


t*  die   kleinste    , brauchbare^  Wuneel   der  obigen   Glei^ 
chung  (66^)  bezeichnet. 

Bei  Sommerfeld  wird  der  Ausdruck  (70)  durch  die  An- 
nahme tf^  ^  OD  gewonnen,  was  deshalb  nicht  gestattet  ist,  weil 

26* 


äk 


376         Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

diese  Annahme  bei  der  ganzen  Ableitung  der  Formeln  ausge- 
schlossen werden  mufste  und  somit  nicht  nachträglich  einge- 
führt werden  kann  (vgl.  oben  S.  197).  Wenn  man  sicher 
gehen  will,  müssen  zuerst  alle  Berechnungen  für  ein  endliches 
t^  ausgefühi-t  und  dann  der  Grenzübergang  ^o^^^  gemacht 
werden ;  letzterer  wird  bei  stationärer  Bewegung  indessen  ganz 
überflüssig,  weil  hier  die  Bewegung  schon  nach  endlicher  Zeit 
stationär  geworden  ist  (vgl.  meine  zweite  Abhandlung). 

Bei  Abraham  wird  die  Funktion  </'<-f-/o  nicht  aus  dem 
Grunde  durch  die  Funktion  99»  ersetzt,  weil  letztere  ebenfalls 
als  Lösung  der  Gleichung  (57^)  aufzufassen  sei,  sondern  des- 
halb, weil  die  Annahme  ^^  ==  00  der  Vorstellung  entspricht, 
daä  der  Beginn  der  Bewegung  unendlich  weit  zurückliege. 
Diese  Überlegung  wäre  berechtigt,  wenn  der  Funktion  9?  eine 
direkte  physikalische  Bedeutung  zukäme;  tatsächlich  ist  sie 
aber  nur  eine  mathematische  Hilfsgröße;  physikalische  Bedeu- 
tung haben  nur  die  vorhandenen  Geschwindigkeiten  und  Be- 
schleunigungen, also  die  Kräfte.  Man  muß  deshalb  zuerst 
diese  Kräfte  für  einen  endlichen  Wert  von  t^  berechnen  und 
dann  den  Fall  betrachten,  daß  die  Kräfte  seit  unendlich  langer 
Zeit  wirken,  d.  h.  dann  ^^  =  00  werden  lassen,  wie  ich  es  in 
meinen  Abhandlungen  getan  habe.  Aus  der  Potentialtheorie 
ruhender  Körper  ist  man  gewohnt,  das  Potential  selbst  als 
eine  physikalische  Größe  zu  behandeln  und  mit  ihm  selbst- 
ständig zu  operieren;  im  hier  vorliegenden  Falle  aber  stößt 
man  auf  einen  Widerspruch,  wenn  man  so  verfahrt  (und  das 
scheint  mir  von  prinzipiellem  Interesse  zu  sein),  denn  das  an- 
dere, unter  allen  Umständen  richtige  Verfahren  (bei  dem  man 
erst  mich  Berechnung  der  Kräfte  ^^  gleich  unendlich  werden 
läßt)  führt,  wie  ich  gezeigt  habe,  auf  andere  Resultate. 

In  der  Tat  ergab  die  bisherige  Methode  für  die  magne- 
tische und  elektrische  Kraft  einzeln  den  Wert  Null  bei  statio- 
närer Bewegung,  während  sich  bei  mir  (vgl.  die  zweite  Ab- 
han<llung)  nur  ihre  Summe  gleich  Null  ergab;  ferner  hatte 
man  z.  B.  ein  Unendlichwerden  der  Kraft  beim  Übergänge 
von  Unter-  zu  Überlichtgeschwindigkeit  gefunden,  während  sich 


F.  LindemBjm:  Zur  Elektronentheorie  11. 


377 


dieser  Übergang  nach  meiner  Untersuchung  ohne  Schwierigkeit 
vollzielit.  Von  Wichtigkeit  ist  es  auch»  daü  die  übliche  Me- 
thode, die  sieh  des  sogenannten  Heavisid eschen  Ellipsoids 
bedient  (und  die  eben  zum  Nullwerden  der  elektrischen  und 
magnetischen  Kraft  je  für  sich  führt),  als  nicht  zulässig  er- 
scheint Schwierigkeiten  ergaben  sich  ferner  bei  dem  Versuche 
einer  elektrodynamischen  Begründung  der  Mechanik. 

In  §  16  meiner  ersten  Abhandlung  hatte  ich  die  Formeln 
so  zusammengestellt,  daß  der  Unterschied  meiner  Resultate 
gegen  die  Sommerfeldschen  leicht  zu  Übersehen  war;  er  be- 
stand, abgesehen  von  der  Wahl  der  oberen  Grenze  t  (die  so- 
eben besprochen  wurde),  in  der  Vertauschung  gewisser  Diffe- 
rentiationen und  Integrationen;  insofern  es  sich  hier  um  die 
Differentiation  nach  x^  y,  ^  handelte,  ist  wegen  der  Stetigkeit 
der  unter  den  Integrationszeichen  stehenden  Funktion  innerhalb 
der  ganzen  Kugel  (denn  S  ist  dort  stetig,  und  erst  die  Diffe- 
rentialquotient^n  von  S  sind  unstetig)  die  Vertauschung  der 
Differentiationen  nach  x  und  f  in  der  Tat  erlaubt:  meine 
obigen  Rechnungen  (oben  §  6,  S,  193)  wurden  dies  Resultat 
auch  ergeben»  wenn  man  sie  weiter  durchführte,  d,  h<  die  ver- 
schiedenen Glieder  d  Ut  aus  den  einzelnen  Teilgebieten  der 
Kugel  addierte.  — 

Die  obige  Überlegung  ist  natürlich  nur  so  lange  anwendbar, 
wie  das  Elektron  von  der  Kugel  mit  dem  Radius  et  —  a  ge- 
troffen wird;  für  i  =  t\  wo  letzterer  Wert  wieder  durch  (66*) 
definiert  ist*  tritt  Berührung  ein,  und  f\ir  f  >  t*  ist  die 
Differentialgleichung  an  keiner  Stelle  im  Innern  des 
Elektron  durch  die  Funktion  <p  befriedigt;  nur  bei 
konstanter  Geschwindigkeit^  wo  t  von  f  und  von  x,  y,  ä  nn- 
abhängig  ist,  tritt  dies  noch  ein*  Für  t  >  t  haben  wir  dann 
den  stationären  Zustand- 

Für  diesen  letzteren  mUfäten  sonach  meine  Resultate  mit 
denen  von  Sommerfeld  übereinstimmen:  der  Grund,  weshalb 
dias  nicht  der  Fall  ist,  muß  also  in  der  mathematischen  Durch- 
führung liegen.  Schon  anf  Seite  327  meiner  erst*?n  Abhandlung 
habe  tch    darauf  hingewiesen,  litiü  bei  der  Sommerfeldscheu 


378     Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

Auswertung  der  betreffenden  dreifachen  Integrale  eine  Ver- 
tauschung zweier  Integrationen  vorgenommen  wird,  die  nicht 
ohne  weiteres  gestattet  ist.  Diese  Vertauschung  ergibt  sich 
nun  bei  näherer  Betrachtung  als  nicht  erlaubt.  Es  handelt 
sich  um  das  Integral  (vgl.  a.  a.  0.,  S.  326): 
i'  v 

0  0 

wenn  die  dreifache  Integration  über  das  Innere  des  Elektrons 
erstreckt  wird,  und  wenn  S  wieder  die  obige  Bedeutung  hat, 
so  daiä: 


Jsmas  —  ascosinas    .  ,  sm  Rs 

u  • 3 sm C5T  •  a5,     wo  M  =  — ^— . 

0 

zu  setzen  ist.  Das  Integral  P«  gibt  die  Komponente  der 
elektrischen  Kraft  in  Richtung  der  x- Achse.  Es  ist  also  das 
dreifache  Integral: 

auszuwerten,  wo  sich  die  Integration  über  das  ganze  Innere 
des  Elektrons  erstreckt.  Nach  der  von  Herrn  Sommerfeld 
angewandten  Methode  wäre: 

OD 

iir       fj    r  r  fsiniZssinas  — ascosina«   .  ,     ,     , 

|<K  =  I  a5 1  I  j-p—  —    3     -    -     smcsT'dxdydz 

(71) 

wo  nun  Q  das  folgende  Integral  bezeichnet: 

oc 

,.       f/sina5- a5cosina5\*   .  .    ^     ds 

0 

Nehmen  wir  z.  B.  an,  die  hier  vorkommende  Variable  t 
genüge  der  Bedingung  t°  <  t  <  r',  wo  t°  und  t'  bzw.  durch 
die  Gleichungen: 


F.  Linde  mann :  Zur  Elektronentheorie  IJ.  379 

ßT  +  T=^2ö     und     €t  —  T=2a 

Iniert  sein  sollen  (also  dieselbe  Bedeutung  haben,  wie  in 
meinen  irülieren  Abhanclluugen),  so  ist  nach  Herrn  Hüniiuer- 
feld  (Göttinger  Nacli richten,  1904,  8,  392): 

Behandelt  man  dagegen  das  Integral  W  nach  meiner 
direkten  Methode,  so  ist  zu  beaehten,  daß  die  Ungleichung 
r^  <  T  <  i'  meiner  ^dritten  Lage**  ontspricht  (?gL  S*  262  und  274 
meiner  ersten  Abhandlung),  welche  durch  Figur  4  (vgl.  oben 
S.  188)  charakterisiert  war.  In  dem  (kleineren)  horizontal 
chraffierten  Teile  des  Ek^ktrons  ist  IKicr  —  a^  und  somit 
S  =  0;  nur  der  andere,  vertikal  schralliorte  Teil  liefert  daher 
einen  Beitrag  zum  Integral,  und  hier  ist  (bei  Unterlichtge- 
schwindigkeit); 

CT  -  a<M<T  i^a<CT  +  a, 
also  S  durch  obige  Gleichung  (3),  Seite  183  gegeben,  folglich : 

oder  bei  Benutzung  von  Polarkoordinatea  (vgL  S.  274  meiner 
ersten  Abhandlung): 

W  =  "Ljji  la^  _ (c f  ~  MY]  d  RJ sin  Bd  ßfd  W, 


wo; 
somit: 


2ijrcosiii01=Ä^  +  r~a\ 

T  +  fl 


oder,  wenn  g  —  et  -—  R  +  a  gesetzt  wird; 


380        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 
2a 

cx-T 

und  dieser  Wert  ist  von  dem  obigen,  wie  er  sich  aus 
(71)  und  (72)  ergibt  vollständig  verschieden.  Die  Ver- 
tauschung der  räumlichen  Integration  nach  x^  y,  z  mit  der 
Integration  nach  der  Variabein  s  zwischen  den  Grenzen  s  =  0 
und  s  =  00  ist  daher  nicht  gestattet.  Hierin  liegt  ein  wesent- 
licher Grund  für  die  Verschiedenheit  meiner  Resultate  von  den 
früheren. 

Da  die  Sommerfeldschen  Formel  jede  Bewegung  (nicht 
nur  die  stationäre)  umfassen  sollen*),  indem  man  z.B.  bei 
beliebiger  endlicher  Anfangszeit  die  Geschwindigkeit  vor  dieser 
Zeit  durch  Null  ersetzt,  so  kommen  außerdem  die  oben  im 
Anschlüsse  an  Gleichung  (70)  gemachten  Bemerkungen  in 
Betracht. 


*)  Vgl.  die  Abhandlung  von  Sommerfeld  in  Jahrgang  1905  der 
Göttinger  Nachrichten.  —  Ich  erwähne  dies  besonders,  da  Herr  Schott 
in  einer  soeben  erscheinenden  Abhandlung  (Annalen  der  Physik,  vierte 
Folge  Bd.  25,  S.  80)  die  Ansicht  vertritt,  daß  die  Sommerfeldschen 
Resultate  für  das  Anfangsstadium  keine  Gültigkeit  beanspruchen.  Die 
von  Herrn  Schott  in  anderer  Hinsicht  ausgesprochenen  Bedenken  (ins- 
besondere in  Bezug  auf  Unstetigkeiten  der  Geschwindigkeit  und  in  Bezug 
auf  meine  Berechnung  der  Masse)  halte  ich  nicht  für  zutreffend,  wenn- 
gleich diese  Fragen  noch  genauerer  Erörterung  bedürfen ;  bei  Fortsetzung 
meiner  Arbeit  werde  ich  darauf  zurückkommen. 

[Zusatz  vom  1.  Febr.  1908.] 


381 


Magnetische  Ortsbestimmungen  in  Bayern. 

3.  Mitteilung* 
Von  J,  B.  MeaserscIiQittt. 

Die  vorliegenden  magnetisch &u  Ortshestimraiingen  schließen 
sieh  an  die  früheren^)  unniiitelhar  an  nnd  enthalten  bereits 
die  Anlange  der  in  Aussicht  genommenen  Detailnntersuchungen. 
Die  Hebungen  sind  mit  dem  nämlichen  Instrumente  und  in 
der  gleichen  Weise  ausgefiihrt  und  reduziert  worden,  wie  dies 
in  der  zweiten  Mitteilung  eingehend    beschrieben   worden    ist 

Die  Genauigkeit  der  Deklination  und  Inklination  ist  auf 
±  r,  die  der  Horizontalintensitat  auf  ±  10  y  anzunehmen. 

Die  Beobachtungen  im  Feld  sind  nach  den  Registrierungen 
der  magnetischen  Elemente  in  München  auf  den  Aniang  des 
Jahres  1905  reduziert  Durch  die  Errichtung  einer  neuen 
Linie  der  elektrischen  Trambahn  von  der  Mas-Josephbrücke 
in  Bogenhausen  isaraufwärfe  ist  eine  weitere  Verschlechterung 
des  magnetischen  Feldes  am  Observatorium  eingetreten,  be- 
sonder» seitdem  die  Geleise  über  die  Brücke  bis  zum  Herzog- 
park (Montgelasstraße)  geführt  wurden,  obwohl  der  Endpunkt 
dieser  Strecke  noch  650  m  nach  Westen  von  dem  Stand- 
punkt der  magnetischen  Registrierinstrumente  entfernt  bleibt. 
Es  mußten  daher  die  Äulzeicknungen  der  maguetischen  Wage 


0  Meieerdehniiti^  J.  B.,  MagnetiacbeOrtabeiriimQioDgeii  in  Bn^ern. 
iiew  Benchte  Bd,  XXXV,  Heft  l,  S,69— 83,  l%ö  und  Bd.  KXXVl,  Heft  3, 
3.  M5-fi7l>.  am,  mit  einer  Karte. 


384        Sitzung  der  math.-ph7s.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 


Nr. 

Ort 

Breite 

Länge 
östl.  von 
Greenw. 

Meeres- 
höhe 

^05.0 

^05.0 

1 

Kirchheimbolanden 

49039'  53" 

8»  0'  19" 

320  m 

11056.'2 

0.19  599 

2  '  Kusel 

32  12 

7  24  33 

280 

12  14.7 

19  750 

8'  Frankenthal 

31  49 

8  21  24 

95 

11  39.7 

19  807 

4  i  Weißenheim  a.  Bg. 

80    6 

8    9  31 

265 

11  40.5 

19  753 

6    LandBtuhl 

25  16 

7  33  52 

240 

12     6.1 

19  773 

6 '  Neustadt  a.  H. 

20  34 

8    8  80 

220 

11  54.6 

19  811 

7  i  Homburg  i.  Pf. 

19  16 

7  20  41 

300 

12  82.9 

19  813 

8;!  St.  Ingbert 

16    0 

7     6     0 

150 

12  21.8 

19  828 

9  !  Landau  i.  Pf. 

12  14 

8     6  53 

150 

11  59.3 

19  910 

10    Ludwigstadt 

50  29  27 

11  23  21 

485 

19  567 

11 

Mellrichstadt 

25  27 

10  18  39 

275 

— 

— 

12 

Oberkotzau 

16  18 

11  56  22 

570 

— 

— 

13  i  Kronach 

14  20 

11  20  18 

310 

10  26.1 

19  626 

14  '  Mittelsinn 

11  25 

9  87  12 

200 

— 

— 

15;  Ebenhausen 

7  58 

10     7  57 

300 

— 

— 

16    Oberredwitz 

0  22 

12     4  52 

535 

— 

— 

17 

Weiden 

49  40  26 

12     9     3 

400 

— 

19  952 

18     Ochsenfurt 

39  45 

10     4  22 

195 

— 

— 

19     Rothenburg  o.  T. 

22  87 

10  11  30 

425 

— 

— 

20    Fürth  i.  W. 

1       18  16 

12  51     8 

395 

9  42.2 

20  175 

21     Roth  a.  S. 

;       15     2 

11     5  58 

350 

10  28.8 

20  082 

22     Gunzenhausen 

7  21 

10  45  23 

450 

— 

—    . 

23     Regenstauf 

7  12 

12     8    0 

350 

9  57.2 

20  185 

24,;  Waldmennach 

!        8     4 

12  42  57 

470 

9  38.2 

20  247 

26 1;  Wülzburg 

,         1  30 

11     0  24 

630 

10  27.2 

20  137 

26    Abbach 

48  55  10 

11  59  54 

355 

10     3.0 

20  253 

27 1  Bogen 

54  46 

12  40  53 

315 

9  41.5 

20  280 

28     Abensberg 

48  49 

11  50  36 

365 

10     6.4 

20  289 

29     Donauwörth 

43  34 

10  46  52 

430 

— 

— 

30    Osterhofen  a.  D. 

42    0 

13     1   15 

315 

9  26.9 

20  418 

31     Hauzenberg 

88  56 

13  37  19 

520 

8  59.1 

20  423 

32     Wolnzach 

36  20 

11  34  56 

400 

10  14.1 

20  357 

33    Neustift 

34     3  !l3  23  26 

320 

9  23.3 

20  488 

84  i  Höhenstatt 

29  56    13  19  12 

360 

9  26.1 

20  503 

35  1  Langweid  a.  L. 

29  15 

10  50  50 

450 

10  33.9 

20  378 

86 

•  Burlafingen 

1      24  30 

10    5     5 

460 

10  45.8 

20  401 

J,  B,  Me«ier«chmitt:  MagDetiidae  Ortsbeatinimungeii,  385 

Tabelle  IL 


^0^0 

^m^^ 

^m,Q 

^05.0 

'''"00,0 

Lamoiit 

Ätlaa 

ß4*54:8 

0.19  175 

—QM  Qh\oäI   865 

0,46  296 



104  0 

l 

84  43  J 

19  301 

-  04  189 

41  842 

46  269 

— 

102  0 

2 

U  47.4 

19  897 

-    04  0O4 

42  073 

46  502 

— 

107  0 

3 

64  4a.o 

19  345 

—  03  997 

41  789 

46  222 

— 

107WI  4 

64  4f  0 

19  334 

-  04  145 

41  831 

46  269 

— 

106  W '  5 

64  1B.5 

19  383 

-  04  080 

41  165 

45  685 

1  140 

107  W  6 

64  dlM 

19  337 

-  04  302 

41  706 

46  092 

I  99 

105  W   7 

64  SS  J 

19  368 

-    04  245 

41  693 

46  168 

— 

108  W  8 

64  27.6 

19  475 

—    04  135 

41  667 

46  179 

— 

110  W|  9 

6$  7.8 

— 



42  210 

46  524 

— 

7W  10 

65  7,8 

— 

— 

— 

— 

5W  11 

64  49.7 

— 

^ 

— 

— 

— 

8Wl  12 

64  mi 

19  301 

-  03  555 

49  078 

46  430 

— 

uw'ia 

65  6.1 

— 

^- 

— 

— 

10  0 

,14 

64  67.5 

-^ 

-^ 

«. 

^ 

110 

|l5 

64  3BM 

— 

— 

— 

— 

— 

22  W 

116 

64  22,6 

— 

— 

41  599 

46  176 

IT  180 

SOW  17 

64  32,8 

— 

^ 

_ 

— 

— 

20  0  1, 18 

64  17.G 

— 

— 

— 

— 

I  161 

32  0  1 19 

64  4.7 

19  886 

-  03  400 

41  508 

46  151 

„ 

43  0  20 

64  9.4 

19  746 

-  m  653 

41  461 

46  069 

l  160,  11  149 

40  0  '  21 

64  4.4 

^ 

— 

— 

— ■  , 

1  87 

45  0  '  22 

63  58,7 

W   681 

-  03  489 

41  345 

46  010 

— 

48W,  23 

69  56.6 

19  961 

-  OS  389 

41  408 

46  093 

— 

49  0  24 

64  4.2 

19  799 

~  03  652 

41  404 

46  042 

— 

46  W  25 

63  4B.3 

19  94^ 

^  03  534 

41  169 

45  861 

— 

48  W  26 

63  49J 

19  991 

-  03  414 

41  270 

45  983 

- 

49  W  27 

6S  46,7 

19  974 

—  03  5B3 

41  193 

45  918 

II  23 

54  0  28 

63  52.4 

19  939 

"*  03  722 

41  144 

— 

l  74 

52  0  29 

63  34.ß 

20  136 

-  03  351 

41  080 

46  871 

— 

57  W  30 

63  m5 

20  181 

03  191 

40  935 

45  751 

— 

66W  31 

63  37.4 

20  051 

-  03  Ö20 

41  087 

45  863 

— 

62  W  32 

63  3L3 

20  213 

-  03  342 

41  132 

45  952 

— 

65  0  33 

63  30.6 

20  225 

-  03  HOl 

41  320 

46  127 

65  0  34 

63  37.5 

20  032 

—    03  736 

41  096 

45  871 

61  W  35 

63  S3.6 

20  042 

-  03  810 

41  024 

45  816 

1  IBS  Ulm 

67  W 

36 

386        Sitzung^  der  math.-phy8.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 


Nr. 

-.J 

Ort 

Breite 

Länge 
östl.  von 
Greenw. 

Meeres- 
höhe 

^05.0 

^05.0 

37 

Pferaee 

48022'   0" 

10^51' 57" 

480  m 





38  „  Mühldorf 

14  44 

12  31     1 

410 

— 

— 

39 

!  München 

8  47 

11  36  32 

530 

10°  7.'3 

0  20  653 

40 

1  Grafrath 

7  43 

11     9  48 

570 

10  24.0 

20  577 

41 

Planegg 

6  30 

11  24  44 

550 

— 

20  595 

42 

Haar 

6  30 

11  44    9 

540 

10    9.0 

20  585 

43 

Fasangarten 

5  18 

11  36  17 

544 

10  10.8 

20  599 

44 

Söcking 

47  59  56 

11  19  45 

630 

10  20.2 

20  638 

45 

Holzkirchen 

52  52 

11  41  42 

690 

— 

— 

46 

Kaufbeuern 

52  47 

10  37     9 

700 

— 

— 

47 

Rosenheim 

51  28 

12    8  44 

460 

1      — 

20  732 

48 

Hasperting 

49  46 

12  36  30 

640 

9  36.6 

20  725 

49 

Adelholzen 

49  35 

12  36  36 

590 

9  38.7 

20  719 

50 

Bemhaupten 

49  20 

12  38  58 

600 

'    9  40.9 

20  739 

51 

!  Seeshaupt 

49     9 

11  17     8 

600 

— 

20  714 

52 

Bernau 

48  44 

12  22  49 

540 

9  50.6 

20  740 

53    Marquartstein 

45  37 

12  27  39 

540 

9  43.0 

20  772 

54     Ruhpolding 

45  26 

12  39     2 

660 

9  35.5 

20  774 

55  ;  Immenstadt 

33  48 

10  13  25 

750 

— 

20  759 

56 

Füssen 

34  19 

10  42     7 

800 

— 

— 

57 

Oberstaufen 

33  23 

10     1  42 

800 

10  49.7 

1 

20  754 

den   oder   bei  denen   infolge  schlechter  Witterungsverhältnisse 
nicht  alle  drei  Elemente  beobachtet  werden  konnten. 

Auf  den  Stationen  Weißenheim  a.  Bg.  und  Wülzburg  ist 
bereits  zweimal  gemessen  worden.     Es  folgt  daraus: 
für  Weißenheim  am  Berg: 

Dl»ü5  Hl90b  «/l905 

1903  110  41.'1  0.19  757  640  39.'9 

1906  39.9  749  44.2 


Mittel 
für  Wülzburg: 

1903 
1906 

11   40.5 
10  27.2 

0.19  753 

0.20  129 
0  20  145 

64  42.0 

64     3.1 
64     5.4 

Mittel 


10  27.2 


0.20  137 


64     4.2 


J.  B.  Mesiersehmitt:  Ma^netiflabe  Ortabestimmangeo,  387 

Tabelle  H  {Fortsetzung). 


•'^05.0 

^Oft.0 

^<»3.fv 

^1*5.0 

^o&o 

Lamont 

Top.  ^ 

68*>2a'9 

^ 

___ 

^-\ 

„_ 

I  52 

69  W  37 

63  19.9 

— 

— 

— 

— 

IT  HO 

72W  86 

77  0  139 

68  10.5 

0.20  3a  1 

-U.03  630 

OM   841 

0  45  767 

I  135 

m  113 

20  239 

—  03  715 

40  910 

45  794 

— 

76  0 

40 

m   18.0 

— 

— 

40  B()2 

45  706 

- 

77  W 

41 

— 

20  2GS 

-  03  628 

10  707 

45  616 

— 

77  0 

42 

m  16.0 

20  276 

-  03  641 

40  868 

45  766 

77  0 

43 

m  to.5 

20  303 

-  03  703 

40  812 

46  733 

— 

82  0 

44 

m   62 

— 

— 

— 

J  m,  U  84 

83  0 

46 

63  T.2 

— 

— 

— 

1  106 

81  0 

46 

M    LI 

— 

_ 

40  780 

45  667 

i  im,  n  148 

840 

47 

— 

20  434 

—  03  460 

40  783 

45  677 

— 

86W 

46 

«8  IJ 

20  427 

—  03  471 

40  714 

4Ö  682 

— 

86W 

49 

63  0.6 

20  444 

-    03  488 

40  717 

45  695 

— 

8öW 

60 

63  BA 

.  *= 

— 

40  717 

45  765 

— 

82  0 

61 

62  69.1 

20  436 

—  08  646 

40  677 

45  669 

II  36 

84  0 

62 

66  6^.8 

20  474 

—  03  506 

40  645 

45  646 

— 

93  W 

63 

m   67,2 

m   484 

-    03  401 

40  669 

45  686 

— 

93W 

64 

02  6a.2 

— 

— 

40  642 

— 

1  102 

880 

66 

62  63.2 

— 

— 

—  1 

^ 

l   81 

89  0 

66 

m   57.7 

20  385 

-  03  800 

40  66G 

46  655 

— 

660 

67 

Dabei  ist  ?:u  bemerken,  dai  die  ersten  Messungen  im  Jahre 
1903  inifc  einem  anderen  Instrumente  (siehe  erste  Mittüilung) 
aufgeführt  wurden.  In  Wulzburg  wurde  19U6  genau  um  gleichen 
Orte  beobachtet»  in  Weisen  heim  nmüte  wegen  der  Kulturen 
um  HO  m  südlicher  aulgestellt  werden. 

In  Weiden  wurde  die  Inklination  zweimal  gemessen. 
1903  wurde  mit  dem  Te^idorpfscben  Theodoliten  (Nr.  1769) 
J=64^22;5  und  1904  mit  dem  Bambergsehen  Inklinatorium 
(Nr*  G817)  </^  64**  2218  in  guter  Obereinstimmung  gefunden. 

In  Kronaeh  wurde  noch  an  einem  zweiten  Ort:  50"  14'23''N.B,, 
1 1®  19'  25"  ö.  G.  die  Ilorixoritalintensitiit  if  =  0,19640  bestimmt 
Her  letztere  Ort  dürfte  w*;gen   der    in    der  Nähe   befindlichen 


388        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 


J  B 

A  H 

Nr. 

Ort 

1905 

1850 

Diff. 

1905 

1850 

Diff. 

Diff. 

1 

Kirchheimbolanden !  +!<>  48.'9  [+1056'] 

—  r 

1 
-1054[-  900]  -  154 

-    64, 

2 

Kusel 

+2      7.4'[-f2  16] 

-    9 

—  903  -  [900] 

-      3 

+    87 

3 

Frankenthal 

+1    82.4  [+1  41]—    9    ' 

-  846  -  [860] 

+    14 

-f-104 

4 

Weißenheim  a.  Bg. 

+1    33.2 

[+1  50] 

—    7    ' 

—  900 

~  [850] 

-    50:+   40,1 

6  !  Landstuhl 

-+-1    58.8 

[+2    9] 

-  10 

-  880 

-  [850]  ~    30'  +    6d! 

6  1  Neustadt  a.  H. 

+1    47.3 

+  1  62.1 

-    4.8 

-  842 

-  822 

—   20+70 
-24+66 

7 '  Homburg  i.  Pf. 

4-2    26.6 

+2  15.7 

-h    9.9 

—  840 

—  816 

8   St.  Ingbert 

+2    14.6 

[+2  19'] 

-    4   ' 

-  825 

-[800] 

—    26  +    64 

9  i  Landau  i.  Pf. 

+1    62.0 

[+1  63] 

—    1 

-  743 

-  [660] 

-    73 

+    17 

10  '  Ludwigstadt 

— 

[+     24] 

—    ' 

-1086 

[-  990] 

-    96 

—      6 

11|  Mellrichstadt 

■       — 

[+    56] 

[-1020: 

— 

—      1 

12  { Oberkotzau 

__ 

[+      4] 

[-  900] 

— 

— 

13 

:  Eronach 

+      18.8 

[+    261 

-    7    1 

-1027 

[-  916: 

—  112 

—    22 

14 

!  Mittelsinn 

— 

[+     79] 

—    ! 

— 

[-  990] 

— 

— 

15 

Ebenhausen 

[+    59] 

— 

— 

[-  940] 

— 

— 

16 

1  Oberred  witz 

[~       2] 

—    . 

— 

[-   760] 

— 

— 

17 

'  Weiden 

— 

[~       6] 

—    j 

—  701 

-  604 

—   97 

—      7 

18  j  Ochsenfurt 

— 

[+    57] 

—     ; 

— 

[-  740] 

— 

— 

19    Rothenburg  o.  T. 

— 

+  50.4 

— 

— 

—  601 

— 

— 

20 1  Fürth  i.  W. 

-      25.1 

[-    30] 

+    5 

-   478 

[-  400] 

-    78 

+    12 

21    Roth  a.  S. 

+      21.5 

[+    22] 

0 

~  571 

-   472 

-    99 

—      ^ 

22    Gunzenhausen 

— 

+  34.4 

— 

— 

—  469       - 

— 

23    Regenstauf 

-      10.1 

[-     10] 

0 

-  468 

—  380    -    80^  +    1(^ 

24   Waldmennach 

-      29.1 

[-    22] 

—    7 

-  406 

[-  350]|  -    56 

+    34! 

25    Wülzburg 

4-      18.1^ 

[+    25] 

-    6   , 

-  616 

[-  415]   -  101 
-  [300]l  -  100 

-    11 

26    Abbach 

4.3 

[-       9] 

-    5 

-  400 

-  m 

27    Bogen                        | 

—      26.8 

[-    25] 

-    1 

-  373 

-  [250]'  -  123 

28    Abensberg 

-       0.9 

-     0.9 

0.0 

-  364 

—  248    —  116 

—  26: 

29  ;  Donauwörth 

— 

+  26.6 

~ 

- 

-  305 

— 

-    :| 

30    Osterhofen  a.  D. 

-      40.4 

[-     36]-    4 

-   240 

-[60] 

-  180 

31    Hauzenberg 

-      68.2 

l-    60]-    8 

-  221 

-[10]      -21lj  — 121 

32   Wolnzach 

+       6.8 

[+    18]i-ll 

-  278 

-[240]'—    38+    52 

33   Neustift 

-      44.0 

[        50];-    6 

-  165 

+  [10]  '■  -  175  -    8^ 

34    Höhenstadt 

-      41.2 

[        60]|-    9 

-  150 

+  [30]     -  180  —    90 

36   Langweid  a.  L. 

+      26.6 

[+    22]+    5    ; 

-  276 

-  [190],  -  186|  —    95 

36 

1 

Burlafingen 

+     38.5 

[+     46] 

-^1 

-  252 

-[200] 

-    52 

-    88 

J.  B,  ] 

UeMenchmitt:  Magaetitche  OrtsbeatimiJ^HJP        389 

1 

■ 

1 

Tabelle  111. 

1 

AJ                            1 

1906 

■ 

i 

Nr. 

1905 

18Ö0          Diff. 

-  7  &  J 

ä  X        äY        ä  Z        AF   \ 

+  i^u:b 

[+1M8'! 

—   4 

+  a  il  -um 

+  424 

+  1024    +  469 

1 

+  1 

33.4 

[+1 

41] 

-   8 

-    l     1  -1031 

+  559 

H-iooi 

+  602' 

2 

+  1 

36J 

t+l 

40) 

-    3 

+    4 

-  934 

+  374 

+  1232 

+  735! 

3 

1 

+  1 

3L5 

t+l 

41] 

-   9 

~    2 

-  966 

H-  367 

+  949  'i  +  455 

4 

■ 

+  1 

31.5 

[+1 

35] 

-   * 

+   3    1 

-  997 

+  515 

+  990  1  +  602 

5 

■ 

+  1 

8.0 

+  1 

27.6 

—  19.6 

—  12.6 

—  948 

+  456 

+  324 

-     82 

6 

1 

+  1 

21.4 

+  1 

39.2 

-    7.8 

-   0.8 

-  994 

+  672 

+  865 

H-  326 

7 

■ 

+  1 

23.6 

[+1 

29] 

-    6 

+   2     ^  -  963  1 

+  615 

+  652 

+  401 

S 

+  1 

IIA 

(+1 

ÜO] 

-    3 

4-  4 

—  656 

+  506 

+  826 

+  412 

9 

■ 

+  i 

57.3 

[+1 

48] 

+   9 

+    1,5 

— 

— 

— 

10 

+  i 

57,3 

[+1 

66] 

+    1 

^  6.5 : 

— 

— 

— 

— 

U 

+  1 

39.2 

[+1 

31] 

+    8 

+  äs! 

— 

— 

— 

— 

12 

1 

+  1 

49.2 

[+1 

35] 

+  14 

+   6,5, 

-1030 

-    76 

+  1237 

+  663 

13 

+  1 

ms 

I+» 

60] 

-f  6 

-   1.&' 

— 

— 

— 

— 

14 

^ 

+  1 

47*0 

[+1 

44] 

+   3 

-    4.5 

— 

— 

— 

— 

15 

■ 

+  1 

28.3 

t+1 

2Ü] 

+  e 

+   0.5 

— 

— 

- 

— 

16 

+  1 

12.1 

+  1 

6.0 

+    6,1 

-    L4 

— 

— 

— 

+  758 

17 

+  1 

22.3 

[+1 

17] 

+    5 

-   2.5 

— 

— 

— 

-^ 

18 

+  1 

7.1 

+  1 

2.6 

+    4.6 

-   2.9 

— 

— 

— 

_ 

19 

+  0 

54.2 

HO 

41] 

+  13 

+    &.5«i—  445 

—  230 

+  6Ö7 

+  384 

20 

+ 

58J 

+ 

&6.5 

+    3.4 

—    4.1  '  -  585 

+     23 

+  620 

+  302 

21 

+ 

63.9 

+ 

47.7 

+   6.2 

-    1.31,      - 

— 

— 

— 

22 

+ 

48J 

[+ 

40] 

+   6 

-h    0.5,1  -  450 

-  141 

+  504 

+  243 

23 

■ 

+ 

4a  i 

[+' 

30] 

+  16 

-h    8.5  1  -  370 

—  241 

+  567 

+  326 

24 

+ 

53.7 

[+ 

611 

+   3 

—    4^  '  -  532 

+     22 

+  563 

+  275 

25 

1 

1 

+ 

37.8 

[+ 

31] 

+    7 

-   0.5  1  -  389 

-     96 

+  328 

+  114 

26 

■ 

+ 

S9.3 

t+ 

25] 

+  14 

+    6.5  1  —  340 

-  216 

+  429 

+  216 

27 

■ 

+ 

3(1.2 

+ 

8ä.3 

+    3.9 

-    3.6    -  357 

-     67 

+  362 

+  161 

,  28 

■ 

+ 
4 

41.9 

+ 

33.4 

+  8.5 

+    1.0 

-  392 

+    92 

-h  303 

- 

29 

■ 

24.1 

i+ 

9] 

1-15 

+    7.5 

-  m 

-  297 

+  239 

+  104 

30 

■ 

,  + 

ie.o 

[- 

8] 

+  26 

+  18.5 

-  ISO 

-  439 

+    94 

\^     16 

31 

■ 

+ 

26J 

r+ 

21] 

+   6 

-    1,5 !  -  280 

-    10 

+  246 

!+    96 

32 

■ 

+ 

20.8 

[- 

10] 

+  11 

+    3.5  l-  118 

-  288 

+  291 

+   186 

33 

■ 

+ 

2G.1 

i  (- 

10] 

+  16 

+    8.5  I  -  106 

-  269 

+  479 

^  360 

|34 

J 

■ 

+ 

27.0 

,  (+ 

20] 

+    7 

—    0.5 

-  299 

+  toa 

+  256 

+  104 

135 

^ 

1 

+ 

23.1 

+ 

[23] 

1         ' 

—    7.5 

-   289 

+  160 

+  183 

+     49^1  36 

j 

h 

im  BiUmif  ifei.  d.  mftlk*pliriL  Kl                                                         27  M^^^H 

1 

ö^U        Sitzung  der 

math.-pl 

lys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

^  D                                      AH                      1 

Nr. 

Ort 

! 

1905     1     1850 

Diff.      1905       1850 

Diff^  rs^  1 

37   Pfersee 

__ 

+  21.1' 

~r '  ^ 

-156 

38   Mahldorf 

1       — 

-24.5 



—     9 





39 

München 

0.0 

0.0 

0.0        0 

0 

0 

+  90 

40 

Grafrath 

4-     16.7 

[+14    ] 

+  3'     -    76 

[~   40] 

-    36 

+  54 

41 

Planegg 

— 

[+    6    ] 

-       -    68 

[        0] 

-    68 

+  32 

42 

Haar 

+        1.7 

[-   4    ] 

+  6-68 

[+   30] 

-    98 

~    8 

48 

Fasangarten 

+       3.6 

[       0    ] 

+  4   |.  -    64 

[+    16] 

-   69 

-21 

44 

Söcking 

+      12.9 

[+    9    ] 

+  4      -    16i  [+  40] 

-    65 

+  36 

46 

Holzkirchen 

— 

—    4.0 

—      '     — 

+  110 



—     1 
1 

46 

Eaufbeuren 

— 

+  33.6 

—          — 

+   29 

— 



47 

Rosenheim 

— 

-  26.7 

-     '+    79 

+  152 

-    73 

+  17 

48 

Hasperting 

-      30.7 

[-34    ] 

+  3     4-    72 

[+200] 

—  128 

—  88 

49 

Adelholzen 

-      28.6 

[-34    ] 

+  6+66 

[+200] 

-134 

—  44  ; 

60 

Bemhaupten 

-      26.4 

[-34    ] 

+  8+86 

[+200] 

—  114 

-24  i 

61 

Seeshaupt 

— 

[+    8    ] 

-       —    61 

[+110] 

—   49 

+  41 

62 

Bernau 
Marquartstein 

-      16.7 

[-31    ] 

+14     +   87 

[+190] 

—  103 

-18 

68 

-      24  3 

[-33    ] 

+  9      +119 

[+210] 

-    91 

—    1 

64 

Ruhpolding               1 

-      31.8 

[-35    ] 

+  3      +121 

+  230 

-109 

-19 

55  1  Immenstadt 

— 

+  38  4 

-       +    97 

+  157 

-    60 

+  30  i 

66 

Füssen 

1 

— 

+  22.0 

—          — 

+  184 

— 

!■ 

57 

Oberstaufen             ! 

-f      42.4 

[+41    ] 

-  1    .+  101 

[+130] 

-    29 

+  61  .' 

Gebäulichkeiten  vielleicht  lokal  gestört  sein,  weshalb  er  auch 
verlassen  und  ein  zweiter,  besser  gelegener  aufgesucht  wurde. 
Bildet  man,  wie  früher,  wieder  die  Unterschiede  der  auf 
den  Stationen  erhaltenen  Elemente  gegen  die  Basisstation 
Itfünchen,  so  erhält  man  die  Tabelle  III,  worin  die  Differenzen 
der  Deklination  {A  D\  der  Horizontalintensität  (/J  H)  in  Ein- 
heiten der  5.  Dezimalstelle  (C.  G.  S.)  und  der  Inklination  (/4J) 
im  Sinne:  „Feldbeobachtungen  minus  IVIüuchener  Wert*  ge- 
nommen sind.  Zum  Vergleich  sind  wieder  die  von  Lamont 
für  1850  gefundenen  Unterschiede  beigefügt.  Die  eingeklam- 
merten Zahlen  sind  seinem  Atlas  (Itfagnetische  Karten.  IMünchen 
1854)  entnommen,  die  übrigen  seinen  Veröffentlichungen:  „Ma- 
gnetische Ortsbestimmungen  in  Bayern."  München  1854  und  1856. 


1 

^^V           J,  ß.  MeiBefscbDQitt:  Magnetisehe  Ort^beitimtnutigen.           391          ^H 

r 

Tabelle  Hl  (Fortaetzung).          ^1 

A  J 

1&05 

- 

Nr, 

1906 

1850 

Diff. 

Ditf. 

dX 

A  Y 

A  Z 

AI' 

+    18.'4 

+     16.4^ 

+    3.0 

-    4.6 





__ 

.^_ 

87 

+       ».4 

—      8.5 

+  12.9 

+   5.4 

— 

— 

— 

—       ! 

SB 

0 

0 

0.0 

-    7  5 

ö 

0 

0 

0 

39 

+       7.4 

f+      3     ] 

+    4 

-    3,ö 

-   n 

+    85 

+    69 

+    27 

40 

+       2.5 

[-       1     ] 

+    4 

-    3.5 

— 



--     39 

-    61 

41 

—  . 

[-       B     ] 

— 

— 

-    68 

-      2 

-  134 

"  156 

42 

+      4.5 

[-       11 

+   6 

-    2.5 

-     56 

+     11 

+  m 

1 

43 

fe 

1             0.0 

[-      4     1 

+    4 

— 

-     28 

+     73 

-     20 

"     34 

44 

—      4.8 

—     16.2 

+  12 

+   4.5 

— 

— 

— 

— 

45 

—      S3 

-     IQA 

+    T 

-    0.5 

— 

— 

— 

— 

46 

k 

-      9.4 

—     15.9 

+    6 

—    1.5 

— 

— 

— 

-    80 

47 

— 

[-     18    ] 

— 

+  103 

—  170 

-  im 

-    90 

46 

-      8.8 

[-    18    ] 

+    ^ 

+    hb 

+    96 

—  159 

-  127 

-    85 

49 

—     10.0 

[-    19    ] 

+   1* 

+    1.6 

+  113 

-  142 

-  124 

-     72 

50 

H 

-       5.4 

[-     12     ] 

i-    7 

-    05 

— 

— 

-     43 

-   ia 

51 

H 

—     1L4 

[-    19    ] 

+    8 

+   0,5 

+  104 

—    84 

—  im 

—  108 

52 

H 

-     UJ 

[-    21     ] 

+    6 

-    L5 

+  143 

-  124 

-  im 

"  121 

53 

H 

-   la.B 

[-    23    ] 

+  10 

+    2.5 

+  153 

—  169 

-   1B2 

-     81 

54 

H 

-     113 

-     13J 

+    l 

—   6.5 

— 

— 

-  199 

-      "  55              1 

H  1 

1   —     17.3 

-     19.1 

+   2 

—   6.51 

— 

^ 

„ 

-      156              1 

1 

—     l-i.8 

t-    e  1 

—    5 

—  12.5i 

i 

+    64 

+  2ü9 

-  176 

-  112  1  57             J 

■ 

Die  Differenzen  zwischeo  den  beiden  BeobacbtuDgsreihen         ^| 

H 

sind  jeweüeE   in   der  dritten  Eolumno   eingetragen.     Für  die        ^| 

H 

Deklination  ergibt  sich  darau!^^  wie  in  den  früheren  Veröffent-         ^| 

1 

Heilungen,    für   das   rechtsrheinische    Bayern    kein    konstanter         ^| 

H 

Unterschied,     Fiir   die   Pfalz    dagegen  weichen   im   Mittel   die         ^H 

H 

Werfce    um    — 417    ab.     Da    aber    nur    2  Stationen,    nämlich         ^H 

H 

Neustadt  a*  H,  und  Homburg,  identisch  sind,    welche  überdies         ^| 

1 

entgegengesetzte  Vorzeichen  aufweisen,    während   die    Übrigen        ^H 

H 

Werte  nur  den  magnetischen  Karten  entnommen  sind,  so  läßt         ^H 

H 

sich  daraus  kein  sicherer  Schluß  ziehen,  insbesondere  wenn  man        ^H 

■ 

berücksichtigt,  daß  Laraont  nur  an  7  Stationen  in  der  Pfal?  '^•'^       ^^M 

■ 

Deklination  maß  und  daher  die  magnetischen  Kurven  in                     ^H 

1 

stark  gestörten  Gebiete  nur  angenähert  richtig  uiehen  1 

1                                                                                             aT 

392        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 


Es  bietet  sich  aber  noch  ein  zweiter  Vergleich  mit  den 
1855/56  durch  G.  von  Neumayer  ausgeführten  magnetischen 
Ortsbestimmungen .  ^) 

Prof.  von  Neumayer  hatte  für  seine  Vermessung  in  Franken- 
thal eine  magnetische  Station  errichtet,  welcher  Ort  noch  zu- 
gänglich ist,  weshalb  ich  daselbst  auch  meine  Messungen  aus- 
führen konnte;  nur  stellte  ich  wegen  der  jetzt  dort  in  der 
Nähe  vorbeifQhrenden  Lokalbahn  das  Instrument  etwa  20  Meter 
südlicher  auf. 

In  Eirchheimbolanden  konnte  ich  den  nämlichen  Stations- 
punkt wie  Prof.  von  Neumayer  benutzen;  in  Neustadt  a.  H.  da- 
gegen mußte  ich  etwa  50  Meter  westlich  davon  aufstellen.  Ein 
Vergleich  der  drei  Stationen  ergibt  die  nachfolgende  Tabelle 
(Differenzen  gegen  München  für  Prof.  Neumayer  (N)  und 
mir  (M)). 


Sf.n.finn 

A  D 

AH 

AJ 

N      1       M 

Diff.  i     N    \     M 

Diff.! 

N 

M 

Diflf 

Eirchheim- 
bolanden '  4-1«  4019  +1®  48.'9 

—  8.9 

'            1 
-1067-1054 

-13 

+10  48.'6 

+  10  44'.3 

+  4. 

Prankenthal  +1    57.6,+ 1    32.4 

+25.2 

-  860  —  846 

—14+1    28.8 

+1    35.9 

—  8. 

Neustadt  a.H.' 

+1    42.0, +  1    47.3 

—  5.3 

-  810  —  842 

i 

+.. 

+  1    34.9 

+1      8.0 

+26. 

Dabei  wurden  die  magnetischen  Elemente  in  München  für 
1856,0  nach  der  ,,  Beilage  zu  den  monatlichen  Sendungen  der 
Münchener  Sternwarte*  1872  Nr.  11  im  Mittel  aus  1855  und 
1856  angenommen  und  zwar: 

2)=150  8:6;    5=0,19660;        J=64Mi:5, 

woraus : 

X=0,19267;    r=- 0,05214;   Z=0,42209  und  i^=0,46691 

folgen. 


*)G.  vonNeumayer,  Eine  erdmagnetische  Vermessung  der  baye- 
rischen Rheinpfalz  1855/56.  Mitteilungen  der  Polichia,  Nr.  21,  LXII.  Jahrg.» 
1906.    Bad  Dürkheim  1905. 


J.  B,  Mesaerschmitt:  Maj^netieche  Ortsbestimmunß'en, 


393 


Die  Differenzen  sind  mit  Ausnabmo  von  d  D  in  Franken thal 
und  AJ  in  Neustadt  niclit  groiä  und  können  zwanglos  am  der 
Veränderung  der  säkularen  Variationen  erklärt  werden*  Die 
Inklination  in  Neustadt  ist  bei  meiner  Messung  unsicher,  da 
die  Nadeln  schon  während  der  Beobachtungen  auffallende  Ab- 
weichungeu  zeigten,  deren  üi-^ache  nicht  aufgeklllrt  werden 
konnte.  Bei  der  Deklination  in  Frankenthal  konnten  vielleicht 
Lokalstörungeu  vorhanden  sein^  da  jetzt  nahe  eine  Bahn  vor* 
beifiihrt  und  autaerdem  anch  größere  Fabriken  und  Häuser  in 
der  Nähe  sind. 

Da  somit  die  rbeinpfalzischen  Messungen  von  Neumayer 
und  von  Lumont  recht  wohl  mit  den  meinigen  verträglich  sind, 
^so  erscheint  m  angebracht»  sie  hier  in  der  gleichen  Reduktions- 
weise zusammengestellt,  mitzuteilen. 

Fllr  die  Beobachtungen  von  Neumayer  (Tabelle  IV,  A) 
mußten  nur  die  Differenzen  gebildet  werden,  f\ir  diejenigen 
von  Lamont  (Tabelle  IV,  B)  muteten  dagegen  erst  die  geo- 
graphischen Koordinaten  aus  den  Soldnerschen  Koordinaten 
berechnet  werden,  während  die  Differenzen  gegen  München 
bereits  vorlagen. 

Von  der  Berechnung  der  rechtwinkligen  Koordinaten  X,  Y^Z 
[und  der  Totalintensität  wurde  abgesehen,  da  diese  sich  nicht 
ohne  weiteres  auf  die  gleiche  Epoche  reduzieren  lassen.  Da 
aber  die  vorliegenden  Beobachtungen  wieder  zeigen,  da&  die 
früheren  magnetischen  Beobachtungen  in  allen  Teilen  gute 
Resultate  enthalten,  so  dürfte  eine  Bearbeitung  derselben  wohl 
der  Mühe  lohnen. 

Wie  bereits  früher  (2.  Mitteilung)  erwähnt,  besteht  in  der 
HoriEontalintensität  zwischen  den  Lamontscben  und  den  neueren 
Beobachtungen  ein  konstanter  Unterschied  von  90  y  und  in  der 
Inklination  von  7^5;  in  der  Deklination  ist  keiner  vorhanden. 
Diese  Werte  sind  für  das  rechtsrheinische  Bayern  auch  hier 
wieder  bestätigt  worden.  Für  die  Kheinpfalx  hingegen  mula 
für  die  Horizontalintensität  eine  kleinere  Korrektion,  nämlich 
41  }\  angenommen  werden:  tn  Inklination  ist  die  Abweichung 
7'  und  in  Deklination  417,    Freilich  beruhen  dabei  die  meisten 


^m 


394        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 


Zahlen  auf  den  aus  den  Lamontschen  magnetischen  Karten 
interpolierten  Werten,  haben  also  nicht  die  gleiche  Genauigkeit, 
wie  die  zuerst  angegebenen  Differenzen. 


Tabelle  IV. 


Ort 


Ebemburg 
Obermoschel 
Bayerfeld 
Odenbacb  a.  Glan 
Kirch  heimbolanden 
Rockenhausen 
Donnersberg 
Göllheim 
Wolfstein 
Morsch 
Frankenthal 
Weisenheim  a.  S. 
Kais^rsluutem 
Brück  en  -Oh  mb  aeb 
GrimineldiEgea 
Neustadt  a,  H, 
Hittelbeibach  1 
2 
Brennender  Berg^) 
Berghausen 
Edenkoben 
Mechtersheim 
Zweibrücken  1 
.  2 

Birsingen 
Pirmasens 
Dietrichingen 
Klingenmünster  1 
2 
Langenkandel 
Rumbach 


490  48/3 
43.5 
il.9 
41.7 
39.9 
39.0 
37.6 
36.2 
35.2 
33.1 
31.8 
31.3 
27.2 
25.6 
22.3 
20.9 
20.6 
20.5 
17 
17.7 
16.7 
16.3 
15.8 
14.4 
13.7 
11.2 
11.1 
9.0 
8.7 
5.6 
5.0 


Länge 
östl.  von 
Greenw. 

A. 

7"  50/1 

7  47.0 
48.0 
39.0 

0.3 
49.7 
55.8 

3.1 
36.3 

8  21.4 
8  214 
8  14.5 

7  45.4 
21.8 

9.3 

8.7 

15.6 

15.3 

2 

8  24.9 
8  7.2 
8  29.0 

7  21.9 
23.2 
12.1 
37.9 
25.8 

1.5 
1.0 

8  13.7 
7  47.9 


J  B 


+  1032.'2 

-  973 

+  1  53.4 

-  1048 

+  1  49.9 

-  966 

+(3  54.3) 

-  985 

1  +  1  40.9 

-  1067 

+  1  43.9 

-  947 

-f  1  40.2 

-  947 

'  4- 1  34.3 

-  955 

:+i  36.2 

-  922 

+ 1  47.6 

-  841 

+  1  57.6 

—  860 

+  1  37.3 

—  878 

!+l  17.3 

—  901 

+  1  29.8 

-  886 

i+1  41.5 

-  842 

+  1  42.0 

-  810 

+  1  46.8 

-  1013 

+  1  45.9 

— 



—  232 

-h  1  48.9 

-  759 

+  1  49  0 

—  764 

+  1  37.6 

—  731 

+  1  14.5 

—  827 

1  +  2  32.2 

-  832 

+  1  26.6 

-  828 

-f-  1  37.3 

-  821 

4-  1  53.9 

-  778 

+  1  53.9 

-  688 

+  2  9.1 

—  721 

+  1  42.8 

-  621 

1  +  1  24.2 

-  887 

+  1045'.  7 

-hl  50.4 
-hl  48.9 
+ 1  48.6 
H-  1  46.2 


-fl 

+  1 


41.4 
43.3 


+  1  28.8 
+  1  83.9 
+  1  33.1 
+  1  44.8 
+  1  35.8 
+  1  34.9 

—  +1  29.6 


+  1 

29.6 

+  1 

27.9 

+  1 

33.9 

+  1 

306 

+  1 

30.2 

+  1 

20.3 

4-  1  26.4 

+  1 

17.8 

+  1  31.1 

*)  Bei  Dudweiler. 


J.  B.  Meaaerachmidt:  Magnetücli^  Ortsbfiätitfiiiiungeu.  395 

Täbtll©  IV  (Fortaebung). 


Ort 


Breite 


Länge 
östL  von 
Greenw. 


ä  D 


AH 


AJ 


Ltmterecken 
St.  Julieti 

Ludwigali&fuQ 

Matinbeim 

Kaieerglautern 


Pinnaieui 
Neustadt  a^  H. 
Homburg 
Spejer 
Annwfiler 
l^mgenkundel  A 


490  41'  1'* 

703g-   0./1 

1       - 

-  900 

,     miß 

7  2t     3  ^ 

— 

-  874 

29    4 

6  26  56  t 

+  1039/8 

-  826 

— 

— 

+ 1  41.0 

-  8521 

i|        27  57 

7  45  29 

+  2     L6 

— 

^7  10 

7  45  23 

+  2    2.5 

—  823 

2158 

7  3ü  38 

+  2    5.2 

-  796   1 

2134 

8    8  19 

+  1  52.1 

—  822 

1916 

7  20  45 

+  2  15.7 

—  816 

17  &5 

8  24  48 

+  1  41.7 

-  706 

12/2 

7  58,2     1 

"^ 

-  630 

4'57" 

8  IV   r||-fl  51.7 

-  611    1 

1         456 

8  10     l 

+  1  52.5 

-  621 

+  1M3.'6 
+  1  4L6 
+ 1  35.6 


+  1 
+  1 
+  1 
+  1 
+  1 
+  1 

+  1 
+  1 


30.5 
3L8 
3S.8 
29.5 
27.e 
29.2 
2K3 
23.3 
9J 


Zum  Schluß  möge  noch  die  Vergleichung  der  beobachteten 
rechtwinkligen  Koordinaten  mit  den  theoretischen  Weiien  in 
Tabelle  V  gegeben  werden.  Dabei  wählte  ich,  wie  frtlher,  das 
von  Ad.  Schmidt  berechnet©  System,  das  sich  auf  das  Jahr 
1885,0  bezieht.  Für  das  rechtsrheinische  Bayern  konnte  hier- 
ITir  die  bereits  früher  berechnete  Tabelle  wieder  verwendet 
werden,  während  fiir  die  Hbeinpfalz  eine  neue  Tabelle  der 
X,  T,  Z  angelegt  wurde,  iu  welcher  die  Intervalle  in  Lange 
und  Breite  von  10'  2U  10'  fortschreiten,  so  da£  die  Inter- 
polation ziemlich  einfach  wurde. 

Es  mag  noch  daran  erinnert  werden,  da&  die  DiÖerenzen, 
im  Sinne  , Beobachtung  minus  Rechnung''  gebildet  sind  und 
die  beidei-seitigen  Zahlen  sich  auf  zweierlei  Epochen,  nämlich 
1885,U  und  1905,0  beziehen,  wa-s  aber  in  dem  vorliegenden 
Falle  ohne  Bedeutung  ist.  Im  Übrigen  kann  auf  das  in  der 
früheren  Mitteilung  Gesagte  verwiesen  werden. 

1)  Siehe  Lamont  Bd.  I,  Seite  126  and  ^Magnet  Bcohacbtiingen 
1SI3,  44  und  45\ 


^^m 


396         Sitzung  der  math.-phys.  Klaase  vom  7.  Dezember  1907. 


Länge 

Nr. 

Ort 

Breite 

östl.  von 
Greenw. 

^B 

^R 

1 

Kirchbeimbolanden 

490  39.'9 

8»  0/3 

0.19  175 

0.18  625 

2 

Eusel 

32.2 

7  24.6 

19  301 

18  599 

3 

Frankentbai 

31.8 

8  21.6 

19  397 

18  734 

4 

Weißenbeim  a.  Bg. 

30.1 

8    9.5   1 

19  345 

18  710    ■ 

5 

Landstubl 

25.3 

7  33.9 

19  334 

18  665    i 

6 

Neustadt  a.  H. 

20.6 

8     8.5 

19  383 

18  772     1 

7 

;  Homburg  i.  Pf. 

19.3 

7  20.7 

19  337 

18  672 

8 

St.  Ingbei-t 

16.0 

7     6.0    ' 

19  368 

18  668 

9 

Landau  i.  Pf. 

12.2 

8     6.9   1 

19  475 

18  823 

10 

Ludwigstadt 

50  29.5 

11  23.3 

— 

18  717     j 

11 

Mellricbstadt 

25.5 

10  18.7 

— 

18  614 

12 

Oberkotzau 

16.3 

11  56.4 

i        - 

18  872 

18 

Eronacb 

14.3 

11  20.2 

19  301 

18  814 

14 

Mittelsinn 

11.4 

9  37.2 

— 

18  621 

16 

'  Ebenhausen 

8.0 

10     8.0 

— 

18  708 

16 

Oberredwitz 

1          0.4 

12     4.9 

— 

18  957     1 

17 

Bayreuth 

49  57.0 

11  37.2 

— 

18  963     ! 

18 

Weiden 

40.4 

12     9.1 

— 

19  143  : 

19 

Ochsenfurt 

39.8 

10     4.4 

— 

18  888 

20 

Burgfambach 

29.6 

10  55.7 

— 

19  058    ' 

21 

Rothenburg  o.  T. 

22.6 

10  11.5 

— 

19  019 

22 

Fürth  i.  W. 

18.3 

12  51.1 

1       19  886 

19  386 

23 

Roth  a.  S. 

15.0 

11     6.0 

19  746 

19  184 

24 

Gunzenhausen 

7.4 

10  45.4 

— 

19  184     , 

25 

Regenstauf 

7.2 

12     8.0 

19  881 

19  366 

26 

Waldmennach 

3.1 

12  43.0 

19  961 

19  464 

27  !  Wülzburg 

28  ]  Abbacch 

1.5 

11     0.4 

19  799 

19  270    : 

;  48  55.2 

11  59.9 

19  942 

19  431 

29  \   Bogen 

54.8 

1    12  40.9 

19  991 

19  518     1 

30  i  Wasserzell 

52.6 

i    11     9.4 

— 

19  345 

31      A})ensberg 

48.8 

11  50.6 

19  974 

19  456 

32  1   Donauwörth 

43.1 

10  47.5 

i       19  939 

19  305 

33      Osterhofen  a.  D. 

!        42.0 

;    13     1.3 

1       20  136 

19  647 

34      Hauzenberg 

i        38.9 

.    13  37.2 

20  181 

19  743 

35      Wolnzach 

36.3 

1    11  34.9 

20  051 

19  510 

36 

Neustift 

!        34.1 

!    13  23.4 

20  213 

19  759 

J.  6.  Measenehmitti  Magiieti»clie  Ortsbeatimmungen. 


397 


Tabelle  V. 


^B 

^'^ 

^B 

Z, 

^B-^M 

rB-y, 

^B-^E 

Sr, 

-0,04  054 

-0.04  640 

0.41  865 

0,42  514 

+  55or 

+  4863^ 

—  649!' 

1 

-  04  isa 

-  04  661 

41  842 

42  489 

+  702 

+  472 

-  647 

g 

—  04  004 

—  04  4ö0i 

42  073 

42  429 

+  6ß3 

H-476 

—    356 

3 

—  03  997 

—  04  519 

41  789 

42  421 

+  636 

+  522 

—  632 

4 

—  04  145 

-  04  638 

41  831 

42  404 

-h669 

+  493 

-  573 

5 

—  04  066 

—  04  532 

41  165 

42  340 

;+6ii 

+  446 

-  1176 

ö 

—  04  302 

—  04  B84 

41  706 

42  366 

+  665 

+  382 

-  660 

1  7 

-^  04  245 

-  04  733 

4t  693 

42  345 

+  700 

+  488 

—  652 

'  8 

—  04  135 

-  04  54(3 

41  667 

42  266 '1  +  652 

+  411 

^    599  :  9 

— 

—  03  815 

42  210 

42  818 

— 

—  , 

—  608  '  10 

— 

-  04  068 

— 

42  819 

^ 

— 

-  i;n 

— 

-  03  721 

— 

42  686 

— 

— 

—   'l  12 

—  03  55B 

-  03  872 

42  078 

42  690 

+  487 

+  317 

-  612 

13 

— 

04  20ß 

— 

42  721 

— 

— 

^- 

U 

— 

—  04  109 

— 

42  674 

— 

— 

— 

15 

— 

—  03  743 

— 

42  609 

— 

^ 

— 

16 

- 

-  03  835 

41  909 

42  531 

•  — 

^ 

^  622 

17 

~  03  749 

41  605 

42  370 

— 

— 

-  765 

18 

— 

-  04  149, 

— 

42  431 

— 

— 

-   |19 

— 

-    03  996 

41  492 

42  311 

— 

— 

—  819 

j20 

— 

-  (»4  141 

— 

42  274 

— 

— 

— 

(21 

—  03  4c)0 

-  03  673 

41  509 

42  156 

+  500 

+  273 

-  646 

122 

—  03  653 

-  03  977 

41  461 

42  185 

+  562 

+  324 

-  724 

,  23 

— 

-  04  051 

— 

42  118 

-* 

— 

— 

i24 

-  03  489 

-  03  790 

41  345 

43  072 

+  515 

+  301 

-  727 

1  25 

—  OS  389 

-  03  680 

41  408 

42  016+497 

+  29i 

*  608 

26 

—  03  652 

-  04  010 

41  404 

42  057  1  -h  529 

+  358 

-  653 

1  27 

—  03  634 

—  03  626 

41  169 

41  965*  -h  511 

+  292 

—  796 

28 

—  03  414 

—  03  763 

41  270 

41  941 

i-473 

+  349 

-  071  1  29 

*- 

-    03  990 

41  241 

41  970 

— 

— 

—  729  i  SO 

—  03  563 

-  03  863 

1  41  193 

41  921 

+  518 

+  300 

-  728 

31 

—  03  722 

-  03  mn 

41  144 

41  895 

+  574 

+  274 

—  751 

32 

—  03  351 

—  03  645 

41  060 

11  8151+489 

+  294 

-  735 

33 

-  03  191 

-  03  634 

40  935 

41  767  +  438 

+  343 

-  832 

i  34 

—  03  620 

-  03  im 

41  087 

41  805  4-  541 

+  307 

-  718 

35 

|—  03  342 

—    03  552 

1  41  132 

41  728 

,  +  454 
1 

+  210 

-  596 

36 

401 


Über  die  Konvergenz  der  Jacobi-Kettenalgorithmen 
mit  komplexen  Elementen, 


Von  OBkiir  Perron, 


Das  Studitim  des  Kettenbruches 


+ 


ist  gleichbedeutend  mit  dem  Studium  der  dreigliedrigen  liuearen 
Kekursionstbrmel : 

A^^2  =  GyÄy  +  K  ^r  +  1  {V  =  0,    1,   2,   .   *   .  od). 

Denn  aus  dieser  berechnen  sich  sukzes-sive  sowohl  die  Zähler 
als  die  Nenner  der  Näherungsbrilche,  wenn  man  nur  von  ge- 
eigneten Anfangswerten  A^^  A^  ausgeht*  Mau  kann  dabei 
TOD  der  formalen  Bildungsweise  des  Kettenbruches  überhaupt 
absehen  und  die  gauae  Theorie  auf  die  Rekursiousformel  gründen. 
Ebenso  ist  die  Theorie  des  Jaco bischen  Kettenbruch- 
algorithmus  nichts  anderes  als  eine  Theorie  der  (i*  +  2)  -  glied- 
rigen  llekursionsformel: 

Wie  nun  bei  den  unendlichen  Kettenbrtlchen  die  Frage  nach 
der  Konvergenz  das  Hauptproblem  darstellt,  so  steht  auch  bei 
der  Jacob i sehen  Verallgeraeinerung  ein  analoges  KonvergeBz- 
problem  im  Vordergrund  (was  allerdings  Jacobi  selbst,  der 
von  dem  ganzen  Algorithmus  blo^  die  formale  Seite  ins  Auge 


Jmi£m 


402        Sitzung  der  math.-phy8.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

faßte,  gar  nicht  bemerkt  zu  haben  scheint).  Ich  habe  in  meiner 
Habilitationsschrift*)  für  den  Fall  reeller  positiver  a[r\  die  noch 
gewissen  einschränkenden  Ungleichungen  genügen,  die  Kon- 
vergenz festgestellt  und  die  gleiche  Frage  außerdem  für  perio- 
dische Algorithmen  auch  im  Fall  komplexer  a[r^  vollständig 
erledigt.  In  der  gegenwärtigen  Arbeit  will  ich  nun  auch  be- 
liebige komplexe  ajr^  in  Betracht  ziehen  und  für  diesen  Fall 
eine  Reihe  von  Konvergenzkriterien  aufstellen.  Für  n  =  1, 
d.  h.  für  die  Kettenbrüche,  ergeben  sich  daraus  insbesondere 
auch  das  Fundamentaltheorem  des  Herrn  Pringsheim,  wo- 
nach der  obige  Kettenbruch  allemal  konvergiert,  wenn  durch- 
weg I  6v  I  ^  1  +  I  »y  I  ist,  späterhin  (§  4)  aber  auch  einige  neue 
Kriterien. 

Sind  die  Teilzähler  und  -nenner  des  Kettenbruches  ganze 
rationale  (positive  oder  negative)  Zahlen,  so  besagt  ein  Satz  von 
Legendre,  daß  der  Kettenbruch,  wenn  durchweg  |6v|>l+|avj 
ist,  abgesehen  von  einem  leicht  angebbaren  Ausnahmsfall,  stets 
einen  irrationalen  Wert  hat.  Mit  Hilfe  dieses  Satzes  ergibt 
sich  bekanntlich  aus  dem  Lambertschen  Kettenbruch  für  die 
Exponentialfunktion  die  Irrationalität  der  Zahlen  e,  e",  n  u.  a.  m. 
Der  Legendresche  Irrationalitätssatz  gestattet  nun  eine  Aus- 
dehnung auf  den  Jacobischen  Algorithmus,  woraus  dann  ganz 
entsprechend  gefolgert  werden  kann,  daß  zwischen  gewissen 
Transzendenten  keine  lineare  Relation  mit  rationalen  Koeffi- 
zienten besteht  (§  9).  Bei  dieser  Gelegenheit  leite  ich  dann 
nicht  nur  das  genaue  Analogon  zum  Lambertschen  Ketten- 
bruch her,  sondern  gebe  gleichzeitig  noch  viel  allgemeinere  Ent- 
wicklungen an,  welche  der  bekannten  Kettenbruchdarstellung 
für  den  Quotienten  zweier  Besselschen  Funktionen  entsprechen. 
Weitere  funktionentheoretische  Anwendungen  gedenke  ich  an 
anderer  Stelle  zu  veröffentlichen. 


^)  Grundlagen    für   eine    Theorie    des   Ja co bischen    Kettenbnich- 
algorithmus  (Math.  Annal.  64  (1907),  pag.  1—76). 


0.  Perron:  Über  die  Jaeobi- Kette oalgorithmoii. 


403 


§1^ 
Definitionen  und  fornrale  Entwicklungen. 

Sei  n  eine  natürliche  Zahl»  deren  Wert  wir  im  Laufe  der 
Untersuchung  unverändert  iesfchalten,  und 

unendlich  viele  ganz  beliebige  (reeUe  oder  komplexe)  Zahlen, 
Wir  knten  daraus  eine  unbej^renzte  Folge  von  Zahlen  Ä^*"^  her 
yermittels  der  rekurrenten  Formel: 

(»-=.0,    1,2,    ...00), 

wobei  ein  beliebiges  System  von  Anfangswerten  A^^\  A^^\  . . .  Ä^**^ 
zum  Ausgang  gewählt  werden  mag.  Geht  raan  von  irgend- 
welchen anderen  Anfangswerten  aus,  die  ssum  Unterschied  etwa 
mit  Äf\  -4J'\  ,  ..  jäj"*  bezeiclinet  sein  mögen,  so  liefert  die 
Hekursionsforniel  auch  eine  andere  unendüche  Zahlenfolge,  deren 
Individuen  wir  entsprechend  durch  A^^  bezeichnen  wollen.  Die 
unendlich  vit?len  Möglichkeiten  für  die  Anfangswerte  liefern 
so  unendlich  viele  Zahlenfolgen,  die  wir  durch  Suffixe  unter- 
scheiden.   Wir  nennen  dann  mehrere  solche  Zahlenlblgen 

Voneinander  unabhängig,  wenn  keine  Relation  der  Form 

mit  von  v  unabhängigen,  nicht  sämtlich  verschwindenden 
Koeffizienten  7,  besteht  Unter  all  den  betrachteten  Zahlen- 
folgen sind  dann  nur  n  -[-  l  voneinander  unabhängige,  die 
»her  auf  mannigfache  Weise  ausgewählt  werden  können;  und 
aus  irgend  n  -f  1  unabhängigen  läßt  sich  jede  andere  linear 
zusammensetzen. 

Denn  man  wähle  n  +  1  verschiedene  Systeme  von  Anfangs- 
werten 


4:04        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 


Ä^^^  Ä^^^  .  .  .  -4<~) 


derart,  dai^  die  Determinante  |  J.^*^  |  ^  0  ist,  und  bilde  daraus 
die  w  +  1  Zahlenfolgen : 

^M   ^M    .  .  .  ^M     (v  =  0,  1,  ...00), 

welche  offenbar  im  obigen  Sinne  voneinander  unabhängig  sind. 
Ist  dann  Ä^^\  Ä^^\  ,  .  .  Ä^**^   ein    ganz   beliebiges  System   von 
Anfangs  werten,   so  kann  man  n  -j-  1    Zahlen  y^,  y^  .  .  .  yn  so 
bestimmen,  daß 
^W  =  y^^(;')  +  yj^(v)-|.  ...  +y^j.(|')     für     v  =  0,l,...n 

wird.  Aus  der  Rekursionsformel  folgt  dann  sukzessive,  daß  die- 
selbe Gleichung  auch  für  v  =  w  -[-  1,  w  +  2  u.  s.  w.  besteht. 
Also  läßt  sich  J.^")  linear  aus  A^^^\  Ä^^\  .  .  .  Ä^^^  zusammensetzen 
mit  von  v  unabhängigen  Koeffizienten. 

Für   die  n  +  1    voneinander   unabhängigen  Zahlenfolgen 
wählt  man  am  einfachsten  diejenigen  mit  den  Anfangswerten: 

bei  welchen  ja  die  Bedingung,  daß  die  Determinante  i  A^l*^  \  4=  0 
sein  soll,  erfüllt  ist.  Der  Kürze  halber  will  ich  mich  nun  der 
folgenden  Ausdrucksweise  bedienen: 

Definition  I.    Das  System  der  linearen  Rekursions- 
formeln 

^(^+«+1)  =  a^y)  ^W  -L  «(v)  Jiir  +  i)  4-  ...  4-  a^y)  Ji(y+n) 

(i  =  0,  l,...n;  r  =  0,  1,  2,  ...00) 
mit  den  Anfangswerten 

(2)  ^».-{Jf^".;^    (i.*  =  0,l,...«) 


0.  Perron:  Über  die  Jacob i^Ktjtteiialgorithmen. 


405 


hei&t  eine  Jacobi-Eette  oder  einfach  Kette  ^i^"^  Ordnung. 
Die  Zahlen  u^^  heüäen  die  Elemente  der  Kette. 
Jede  Wahl  von  unendlich  vielen  Zahlen 

bestimmt  hlenacli  eine  Kette  «**•*  Ordnung,  Die  Theorie  der 
Ketten  erster  Ordnung  ist  identisch  mit  der  Theorie  der  Ketten- 
brüche. 

Aus  den  die  Zahlen  Ä^^^  definierenden  Rekurdonsformelo 
schließt  man  genau  wie  bei  den  Kette n b rilcb en : 


(3) 


^H^J^+i). 


,  A^^^ 


Afy^  A^^'K  . .  A^^'*^ 


=  i—iy^afat^K  .  .  ai^-^K') 


Zur  Aufstellung  der  weiteren  Formeln  ist  es  zweckmäfäig,  die 
Elemente  a*^*  nicht  als  numeriscb  gegebene  Zahl  werte,  sondern 
zunächst  als  irgendwelche  Unbestimmte  oder  Variable  anzu- 
sehen. Die  ^JT*  berechnen  sich  dann  aus  den  Rekursionsformeln 
als  ganze  rationale  Funktionen  der  a^^*K  Wenn  man  in  der 
Funktion  A[*^  die  oberen  Indices  aller  auftretenden  a^^'^  um 
eine  Zahl  l  erhobt ,  so  soll  der  entstehende  Ausdruck  mit  Aj^'l 
bezeichnet  werden;  danach  ist  insbesondere  auch  A\'^\^  mit  A^*"^ 
gleichbedentend.  Für  die  jIJ*"*  gelten  nach  ihrer  Detinition  die  zu 
(1)  analogen  Uekursionsformeln : 

(1  =  0,1»..,«;  »^  =  0,  1,2,  ...00), 

und  die  Anfangs  werte  sind  wieder: 


{*) 


_^  ^    (j,  i  =  0,  1,  .  .  .  «). 


Hieraus  folgt  unschwer  die  wichtige  Beziehung: 


l)  f'ör  1^  ==  0  i«t  die  rechte  Seite  durch  1  m  ert-etien. 
•007*  iiuufitittr.  d.  räftUi.-pbjL  EL  2H 


406        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

(6)  Ä^;-^^^  =  Ä^j^Ä^^^  +  Ä^:\Äf+')  H +  ^J;\4^+"); 

denn  einerseits  ist  dies  für  v  =  0,  1, .  .  .  n  evident;  anderseits 
geht  aber  aus  (1)  und  (4)  hervor,  daß,  wenn  die  Formel  (6)  für 
n  + 1  aufeinander  folgende  Werte  von  v  gilt,  sie  auch  für  den 
nächstfolgenden  Wert  richtig  ist.  Damit  ist  ihre  Allgemein- 
gültigkeit erwiesen. 

Man   merke    insbesondere   die  aus  (1)  und  (4)   für  v  =  0 
hervorgehenden  Formeln: 

(7)  4"+»)  =  af,     4"+i)  =  a(^». 
Femer  folgt  aus  (6)  für  k  =  l: 

^(v^i)  ^  ^(.)^^  ^  ^  ^(v)^  ^(0,     (i  =  1,  2,  .  . .  n), 

oder  auch,  wenn  v  —  1  an  Stelle  von  v  gesetzt  wird : 
^(.)  =  a(0)^(.-n  +  ^(.-i)     (i=l,2,...n). 

Erhöht  man  hier  wieder  die  oberen  Indices   aller  a^^  um 
eine  Zahl  A,  so  folgt  allgemeiner: 

(^)  A{y)   _  ^(A)    J(v-l) 

Aus  der  Art,  wie  wir  Ä^?'\  aus  A^^^  entstehen  ließen,  folgt, 
daß  in  A^^\  nur  solche  a^'^  auftreten  können,  bei  denen  /i  ^  A 
ist ;  es  ist  also  A^^\  unabhängig  von  allen  a^''^  für  fx<X.  Ins- 
besondere ist  daher  J-Irj"^)  unabhängig  von  a^^\  also  gewiß 
von  ag^^  Aus  (8)  folgt  somit,  daß  auch 
A^;;\  4(;), .  . .  ^(;) 

von  aJJ^^  ganz  unabhängig  sind,  während  dagegen  A^^^  das 
Produkt  aus  aj^^^  in  einen  von  a^^^  unabhängigen  Faktor  ist. 
Ebenso  sind  dann  auch 

>4(v)         J(v)  J(v) 

-^l.A»  -^2,A»  •  •  •  ^n,k 

unabhängig  von  a^^\  während  A!^\  das  Produkt  aus  a^^^  in 
einen  von  a^^^  freien  Faktor  ist. 


0,  PerroQ ;  Ülier  rite  Jacobi-Kettenalgöritlunen. 


407 


Das  eingangs  erwähnte  KonrergeuÄproblem  knüpft  sich 
nun  nn  die  folgende 

Deflaition  II«  Sind  die  Elemente  aj^>  einer  Eette 
als  bestimmte  numerisclie  Zahlen  vorgegeben,  soheiföt 

die  Kette  konvergent,  wenn  die  Quotienten  ^i,^*  "t^-j  i^iit 

u 
wachsenden!  r  gegen  bestimmte  endliche  Grenzwerte 

konvergieren: 


am  Um  -^  =  d^>      öt^)  Um  ^^  =  a^  a<ü)  Hm  -^  =  atö> 


<» 


welche  dann  das  Wertesystem  der  Ketts  genannt  werden. 
Andernfalls  heiit  die  Kette  divergent.') 

Die  Konvergenz  erfordert  hienach»  daß»  zum  mindesten 
von  einer  gewissen  Stelle  vP^v*  ab^  durchweg  jif[*  i:  0  ist; 
dagegen  soll  es  nicht  ausgeschlossen  sein,  daß  itir  eine  end- 
liche Anzahl  von  t*-Werten  gleichwohl  Ä^^^O  ist 

Nach  den  vorigen  Bemerkungen  ist  das  Wertesystem  der 
Kette  (welches  natilrlich  blofi  im  Fall  der  Konvergenz  existiert) 
unabhängig  von  af^^  und  wegen  (8)  kann  man  statt  der  obigen 
Gleichungen  auch  schreiben: 

AY^  A^>  Jiw 


Um 


=  aR 


lim 3„  =  am 


Diese  Schreibweise  hat  vor  der  ersten  den  Vorzug,  daü  sie 
auch  für  ag*^  ^  0  ihren  Sinn  behält,  während  zuvor  filr  diesen 
Fall  aUe  Nenner  den  Wert  Null  hatten.  Indessen  wollen  wir 
filr  die  gegenwartige  Arbeit  gleich  jetzt  ein  für  allemal 
festsetzen,  das«  öJJ^^  +  0  ist;  ebenso  a^^^  4: 0  für  alle  v. 
Man  kann  infolgedessen  an  der  eisten  Schreibweise  festhalten; 
außerdem  ist  zu  beachten,  daß  jetzt  auch  die  Determinante  (3) 
stfclä  von  Null  verschieden  ist,  was  Mr  spätere  Untersuchungen 
Ton  Wichtigkeit  sein  wird. 

^)  Ein  iiiölieher  Konvergenxbegriif  ftueli  bei  Herrn   Pincherle; 

Contrihyto  alla  generali  zzazioBe  delle  frazioni  cQtitiuiie,  Memorie  deila 
E.  Accademiu  delle  seien  ze  deir  Istituto  tij  Bologna,  «er,  V,  t*  IV  (1S94^ 

p.  im-zm 

28* 


408        Sitzung  der  math.-pbys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 


Aus  den  Formeln  (8)  folgt: 
^M  Air-'} 

die  Konvergenz  der  Kette  ist  daher  auch  gleichbedeutend  mit 
der  Existenz  der  Grenzwerte: 


lim 


Ä^\ 


lim 


Ä^rK 


!•  n  —  I,  1 


Da  diese  Brüche  von  a^^\  af\  .  .  .  a^^^  nicht  abhängen  (nach 
pag.  406  unten),  so  schließen  wir,  daß  Konvergenz  und  Diver- 
genz der  Kette  durch  die  Zahlen  a^^\  a^^\  .  .  .  a^J'^  nicht  be- 
einflußt werden  können.  Erst  das  Verhalten  von  a|.*')  für  v  >  1 
kommt  dabei  in  Frage. 

Den   Zusammenhang   der    Kette   mit    ihrem  Wertesystem 
deuten  wir  symbolisch  an  durch  die  Formel: 


(10) 


a(0),  a(^),  a(2),  a^  .  . 
af ,  o('),  af\  aW  .  . 


l(0) 


a(0) 


l(0) 


=  «,=o<o)lim-.;), 

r  =  00  A 1 


«(0),  ad),  a(2),  o(s»  .  .  . 
Danach  wird  insbesondere  für  Ketten  erster  Ordnung  (w=l): 

0  '       Ü  '      0 

«("',  a('),  af  . 

also  das  Symbol 

-<),  a('),  «('')  .  . 

gleichbedeutend  mit  dem  unendlichen  Kettenbruch 


<>  + 


(I  I 
I  o(" 


+ 


+ 


+ 


Übrigens  soll  das  Zeichen  auf  der  linken  Seite  von  (10) 
überhaupt  als  Symbol  für  die  Kette  gebraucht  werden,  ohne 
Rücksicht   auf  Konvergenz    oder   Divergenz.     Eine  Gleichung 


0.  Perron:   Über  die  Jacobi-Kettenalgorithmeo, 


409 


fler  Form  (10)  hat  dano  allerdings  bloß  einen  Sinn,  wenn  Am 
Wertesystem  der  Kette  existiert i  also  nur^  wemi  die  Konvergenz 
festeteht;  bei  Divergenz  hat  das  KefctensymboU  ebenso  wie  ein 
Kettenbrucli  lediglich  formale  Bedeutung,  An  Stelle  des  aus- 
führlichtjn  Kettensjmboles  (10)  soll  gelegentlich  aach  abkürzend 

oder 


oder 


P  =  t 


aW  a^i),  eiWl 
a^^K  at;>,  at;'^ 


etc. 


f  =  t 


geschrieben  werden. 

Wir  betrachten  jetzt  die  beiden  Ketten  n^^  Ordnung: 


<\  «1 


ni  «m 


0  »  "0  '  *  *  * 
«i«),  a\'\  af\  .  .  . 

«r.  «i".  <"•  ■  •  ■. 


und 


1,  «<„".  »f ,  •  .  . 
0.  <'.  «<»'. . . . 


Ist  eine  von  diesen  konvergent,  so  ist  es  auch  die  andere,  da 
ja  die  KooFergenz  durch  a^"^  nicht  beeinflußt  wird.  Bezeichnet 
man  dann  das  Wertesjstem  der  ersten  Kette  wieder  mit 
üfK  .  *  .  fi*^^',  das  der  zweiten  mit  ßf,  .  .  .  ßf,  so  ist  wegen  (8*): 

Die  zweite  der  obigen  Ketten  geht  nun  aber  aus  der  ersten 
dadurch  hervor,  daß 

af^  =  1 ,  «('»  =  af  =  ^  ^  -  -  «(;^  =  0 

gesetzt  wird,  während  alle  andern  Elemente  unverändert  bleiben. 
Hsin  erhalt  also  entsprechend,   da  A^\^  ^^\'\f  * 
ajf\  a^^\  ,  ,  -  a^^^  gar  nicht  abhangen, 


von 


^(D) 


und  folglich  auch: 


„(0,  ^  ^(0)  ^  ßWl 


Dies   wichtige   Resultat   wird   für  Ketten    erster  Ordnung 
rivial»    sobald   man    die  Kette   in  Form   eines  Kettenbruches 


410        Sitzung  der  math.-phys.  Blasse  vom  7.  Dezember  1907. 


schreibt.     Es  besagt  dann  nämlich  nichts  weiter,   als  daß   der 
Eettenbruch 


<•  + 

-  + 

-  + 

die  Summe  ist  von 

a^,"'  und  dem  Kettenbruch 

jaO) 

-  +  • 

■  +  - 

<> 

■   +   •••• 

Femer   untersuchen  wir  die  beiden  Ketten  n'*^  Ordnung: 


r  o«'»  n 


»—1 


und 


y  =  0 


-n+1 


«(") 


-l^v^.-l 


v  =  0 


wobei  Qy  =  l  ist  für  v<0,  während  die  Qy  für  v>0  ganz 
beliebige,  aber  von  Null  verschiedene  Zahlen  bedeuten  sollen. 
Zur  ersten  dieser  beiden  Ketten  gehören  die  Rekursionsformeln 
(1),  während  die  entsprechenden  zur  zweiten  Kette  gehörigen 
Formeln  lauten: 

+  •  •  •  +  »<'!.,  6.  Qr-,  ^'+"-"  +  o':>  Q,  -B<r+«), 
wobei  die  Anfangs  werte  wieder 

^,.       f  1  für  i  =  Ä;     ..  ,        _    -  . 

sind.  Hieraus  folgt  nun  sogleich  durch  den  Schluß  von  v  auf 
v+l: 

ßr+n+l)  ^Q^^^_Q^  ^(-+-i-  n       (v  =  0,  1,  .  .  .  OO), 

und  folglich  auch: 

/       J.(v+«+i)\  ^.-+"+1) 


0  / 


«0    Po-^T+mT)' 


0.  Petron:  Über  die  Jacobi-KettenalgoriUunen. 


411 


I 


sobald  nur  ^IJ^'+^i-^^il:  0  ist.  Läßt  man  v  über  üIIg  Grenzen 
wacbsen,  so  besagt  dies:  Wenn  von  den  obigen  beiden  Ketten 
die  eine  konvergent  ist,  so  ist  es  auch  die  andere,  und  das 
Wertesysteni  der  zweiten  Kette  Lst  das  ^,i-fache  des  Werte- 
systema  der  ersten,  Ist  speziell  g^^^l,  so  beiüen  die  beiden 
Ketten  äquivalent,  in  Zeichen: 


r«ri 

« 

"5" 

CsJ 

M 

.p  =  0 

=  •>  — II 


V  M  .  ''>o>'' 


^  *■=(» 


und  wir  erhalten  den  Satz: 

Zwei  äquivalente  Ketten  sind  stets  gleichzeitig 
konvergent   oder   divergent   und   haben    im   Fall    der 

Konvergenz  das  gleiche  Wertesystem. 

Sind  die  Elemente  aj")  einer  Kette  sämtlich  rationale  Zahlen, 
80  kann  man  offenbar  durch  geeignete  Wahl  der  Multiplika- 
toren g^  eine  äquivalente  Kette  finden,  deren  Elemente,  wenig- 
stens von  der  zweiten  Kolonne  ab,  siuntlich  ganze  Zahlen  sind, 

Herr  Pringsheim*)  nennt  einen  Kefctenbruch  unbedingt 
konvergent,  wenn  er  nach  Weglassung  einer  beliebigen  Anzahl 
von  Anfangsgliedern  konvergent  bleibt.  Im  Anschluß  hieran 
defilieren   wir: 

Definition  III,     Die  Kette  f»**^  Ordnung 

»r.  «r.  öf  •  •  J 


leißt  unbedingt  konvergent,  wenn  die  Ketten 


(1  =  0,  1,  2,  .  •  .od) 


*)  Dlter  die  Konvcr^eti:^  nnendlu^her  Keitenbrüelie.    Diese  Sitmugs- 
bürkht*^   Bd,  28  (1898),  pjtg.  295-324. 


412        Ssixang  der  iruiih.-pbji.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

üftmtlich  konvergent  8ind.  Finden  sich  dagegen  eine 
odor  mehrere  divergente  unter  fliesen  Ketten,  so  heißt 
die  Kette  (wenn  sie  Überhaupt  konvergiert)  nur  be- 
dingt konvergent. 

Kine    unbedingt  konvergente  Kette    ist  also  dadurch  aus- 
gezeichnet, daU  für  alle  l  die  Grenzwerte 

••-»"^■o.A  »'  =  »-^^u 

oxiMÜeren;  dieHo  sind  offenbar  von  öJ^'^^  unabhängig,  wie  ja  auch 
n^P  von  «{,"*  unubhiingig  war.  Offenbar  kann  auch  die  unbe- 
dingte Konvergenz  durch  die  Zahlen  a{"\  af^,  .  .  .  aj^^^  nicht 
beeintluUt  werden. 

AuH  den  (Ueichungen  (9)  erhält  man: 

(11)    ,i<^>     '-^  -«  (|i^>  -f.     •-'•^+^  ). 

'V..A  '    «,A+1  \A  —  U,    1,   .-,   .   .   .  OD/ 

Hei  unbedingter  Konvergenz  nähert  sich  die  linke  Seite  in  (11) 
mit  waohsendiMU  r   dem  endlichen  Grenzwert  «J*^:    daher   muß 

insbesondeiv  (^ftlr  i  —  H  auch     Z,)!,/  *^i^*^"   endlichen  Grenz- 

wert  haben;  da  dieser  aber  offenbar  gleich  — ; — -  ist,  so  folget 
n;,*^^M  0.  d.  h.: 


d«gx^pM\  kann  sehr  wohl  ei'^'^  =  0  sein.    Lfilit  man  nun  in  (11> 
r  ut\bogtvnrl   wachsen»  so  folgt: 


Ou>s  jsl   cle;ohlH\i tutend  mit  dem  Gleichunjrssvstem : 


0.  Panron;  Über  die  Jäeobi-Kettenalgonthmeii»  413 

ö<i>  a^y  ötj> 

«  n  m 

(12)  a,f  af  af. 

m  u  n 

welches  in  meiner  Halnlitationsschrift  zum  Ausgangspunkt  der 
Untersuchung  gewählt  war;  nur  war  dort  durchweg  ajj' =  L 
Es  empfiehlt  sich,  statt  der  Größen  aj.*^*  gewisse  homo- 
[gene  Großen  einzuführen,  nämlich: 

^_r     :^_^      /r  =  l,2,,.,n\ 

imbei  iEJj'^^I^O  ist,  und  die  Zahlen  s[^K  :£f\  .  .  .  arjf*  nur  bis  auf 
einen  willkürlichen  Proportion alitätsfaktor  bestimmt  sind  {der 
natürlich  mit  X  variieren  darf).  Nach  geeigneter  Festsetzung 
der  willkürlichen  Faktoren  gewinnt  man  aus  (12)  das  folgende 
homogene  Gleichungssysteni; 

<"^  =  <'L, +  <'<'* 

(13)  4'«  =  iCjf3_,+a(;)a;«,^) 

%  «—1     '        n       m 


Dieses  stimmt  der  Form  nach  überein  mit  einem  System 
linearer  Substitutionen,  durch  weiche  die  xp  sukzessive  in  x^\ 
afp^  etc.  transformiert  werden*  Will  man  durch  Zusammen- 
setzung der  Substitutionen  die  jf^'^  direkt  in  d^^^  transformieren, 
sa  geschieht  das  durch  die  Formeln 

(1  =  0,  l....fiX 


414        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 


(14«) 


wie  durch  den  Schluß  von  k  auf  k  +  1  ohne  weiteres  bestätigt 
wird,  nachdem  die  Formel  flir  A  =  0  ja  evident  ist.  Erhöht 
man  in  einer  der  Gleichungen  (13)  die  oberen  Indices  der 
af*\  af^^  um  eine  Zahl  /^,  so  kommt  wieder  eine  Gleichung 
des  Systems  (13)  zum  Vorschein.  Man  darf  also  auch  in  (14) 
diese  Operation  ausführen  und  erhält  dann: 

(i=0,  1,  ...  n). 
Da  x^^^  4=  0  ist,  so  folgt  aus  (14),  indem  man  wieder  zur 
inhomogenen  Bezeichnung  zurückkehrt: 

aco)  =  a*"  — ? ?— ! i i ! * ? I ? !L 

(15)      •■        ^  J.{f)a(^)  +  J.^+i)aJ^)+^^>i+'^)af/)H f- -4^^"^^^ a|,^) 

(i  =  l,2,...n;  A  =  0,l,...oo). 

Diese  Formel  wurde  abgeleitet  unter  der  Voraussetzung 
unbedingter  Konvergenz;  bei  nur  bedingter  Konvergenz  sind 
ja  die  zur  Herleitung  sukzessive  benutzten  Zahlen  a^^\  aj.^^  . .  ., 
die  als  gewisse  Grenzwerte  definiert  sind,  gar  nicht  immer 
vorhanden.^)  Es  ist  aber  von  größter  Wichtigkeit,  daß  trotz- 
dem der  folgende  Satz  gilt: 

Lemma:   Wenn  die  Kette: 

wo  A  ein  bestimmter  Index  A^l  ist,  konvergiert,  und 
ihr  Wertesystem  mit  af\  .  .  .  a^^  bezeichnet  wird,  so 
ist  die  Kette 

■<'.  <\  c  •  • 

konvergent  oder  divergent,  je  nachdem  die  Größe 


^)  Dagegen  ist  die  Einführung  der  homogenen  Größen  xf^  für  den 
Beweis  der  Formel  (15)  unwesentlich;  diese  wird  vielmehr  auch  direkt 
durch  vollständige  Induktion  gewonnen. 


0.  Ptärran :  Über  die  JacoUi-Kettentlgorithmen* 


415 


von  Null  verschieden  oder  gleich  Null  ist  DasWertß- 
system  der  Kette  ist  im  KonTergenssfall  gegeben  durch 
die  Formel; 

Man  beachte,  daß  hier  nirgends  von  nn bedingter  Kon- 
vergenz die  Rede  ist.  Es  kann  sehr  wohl  vorkommen,  daß 
die  in  dem  Satz  auttretenden  Ketten  beide  konvergieren,  wäh- 
rend dagegen 


ttir  0<v<^  divergiert.  Zum  Beweis  des  Satzes  beachte  man, 
dai  nach  unseren  Voraussetzungen  die  Grenzwerte 

existieren,  und  data  also  für  genügend  grolae  v  stets  ^J^^^^  :^  0  ist* 
Daher  folgt  aus  Formel  (6): 

Hultipli^iert  man  mit  af^  und  läßt  dann  v  unbegrenzt  wachsen, 
so  nähern  sich  die  einzelnen  Terme  der  rechten  Seite  bestimmten 
endlichen  Grenzwerten.  Gleiches  gilt  also  auch  von  der  linken 
Seite,  und  zwar  ist: 

(16)    af  lim    ^  ^^    =  Af  af  f  Af-^'^  uf  +  ■  -  +  Af^^^  ^\ 

insbesondere  für  i  =  0: 

(171    af  lim  -j—  =  Af  af  +  ^+»  af  ^.  . . .  +  ^u+-, «.« 


418       Sitzang  der  math.-ph js.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

Die  Voraussetzungen  sind  hier  offenbar  wieder  derartige, 
daß  aus  der  einmal  bewiesenen  Konvergenz  auch  sogleich  die 
unbedingte  Konvergenz  gefolgert  werden  kann.  Da  femer 
die  Zahlen  af^  die  Konvergenz  nicht  beeinflussen,  so  können 
wir  beim  Beweis  des  Theorems  annehmen,  daß  die  Bedingungen 
auch  für  v  =  0  erfüllt  sind;   also: 

*K^|-K|-KI l«lrLil^*    (für  v  =  0,  1,  2, . .  .00). 

Dabei  bedeute  #  vorläufig  eine  Zahl,  die  ^  1  ist.  Tritt  in  den 
Gleichungen  (9)  v  —  X  an  Stelle  von  A,  so  folgt,  wenn  i  der 
Beihe  nach  gleich  n,  n  —  1, ...  1  gesetzt  wird: 

|-^f,,A      \fCA^n   -^n.A+1       I         l-^n-l,A+ll' 
I    J(y-A)Kl^a)        J(y_A-l)|     I     I    J(r-A-l)   1 

I^Cv-A)   KlaU)       J(y-A-l)|     I     I    J(v-A-.l)  I 


Die  erste  dieser  Ungleichungen  multiplizieren  wir  mit  i? 
und  subtrahieren  davon  die  n  übrigen;  dann  folgt: 

>o»l<1~l<'l-KI «L^DI^I.'irH^r"! 

>  •»  •  U-iL^rlr"!  -  ( ^Jcr|7"l  + 1^1:47"! + •  •  •  + 1  ^Mfr+N'i)- 

Hier  bedeuten  y,  x  irgendwelche  Zahlen  der  Reihe  0, 1,  2, . . .; 
nur  muia  natürlich  v  >  i  +  1  sein,  damit  keine  negativen  oberen 
Indices  vorkommen.     Setzt  man  zur  Abkürzung: 

so  besagt  die  letzte  Ungleichung: 


0.  Perron :  Über  die  Jaeobi  Kettenalgorithraen, 


419 


Daher  nimnii:  die  Größe  ^rj  mit  wachsendem  l  niemab  zu; 
es  ist  also  auch,  wenn  v>n  vorausgesetsst  wird, 

oder  ausführlich  geschriebeu: 

5:  ^  1  <-;_„ .  -  (KU !  + 1  ^n- 1  +  •  •  •  + 1  ^n,  .,-J) 

Somit  ist  allgemeio: 

(18)  d|^W|^,9  +  |^W|  +  l^ri  +  -  +  Ml:l..t     (fllrv>«)i 

ebenso,  wenn  man  die  oberen  Indices  aller  a^*^  um  l  erhöht» 
wobei  ja  die  Voraussetzungen   des  Theorems  erhalten  bleiben: 

(19)  ,^\A^\\>»-l-\A^^,\i^\A^^,l^  {mry>n). 

'  Aus  (18)  ergibt   sich   einmal,  dai  |iij^^|^l  ist,  sodann 

aber  vor  allem,  daß  die  Quotienten 

absolut  genommen  unter  einer  von  v  unabhängigen  endlichen 
Schranke  bleiben,  nämlich  alle  kleiner  als  t%  Daraus  folgt 
bekanntlich,  da&  es  eine  gewisse  unendliche  Auswahl 
von  wachsenden  i'-Werten  gibt:  r,,  r^,  v^,  .  .  ,  derart, 
da£  die  Grenzwerte 


(20) 


lim^^, 


lim 


,  . .  .  lim 


existieren,  und  zwar  sind  sie  absolut  ^  »^» 

Dabei   ist   aber  der   erste  dieser  Grenzwerte  sicher  auch 
Ton  Null  verschieden.     Denn  aus  (19)  ergibt   sich    auch,    dat 

\Ä^:\  >l  ist,  und  daß  1-^1'^'  <§  bleibt  fiir  alle  v>n;  also 

insbesondere  für  i  =  1,  i  =  ti  —  1 : 


420         Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 


n  -1. 1 


<&. 


Anderseits  erhält  man  aus  (8)  fUr  i  =  n: 
und 


1 A'^"^  1 

=  :a(,0M<,';7'>|>| 

«n 

>0. 

ch  Division: 

£ 

«(0) 

+ 

1 

+  |a«")| 

und  folglich,  indem  man  die  reziproken  Werte  nimmt: 


lim 


^• 


''.^ 


A':'' 


i«ri 


l«2'M  +  * 


>  0,  w.  z.  b.  w. 


Von  den  Zahlen  (20)  kann  man  daher  die  n  —  1  letzten 
durch  die  erste  dividieren,  und  findet  so,  daß  die  folgenden 
Grenzwerte  existieren: 


A^'' 


(0) 


(21)  <Mim-^=al0),  ...a^^oiin,     ;'^ 

und  daß  insbesondere  auch  a5J^^4^0  ist. 

Wir  beweisen  nun  durch  vollständige  Induktion,  daß  ganz 
allgemein  auch  die  Grenzwerte 


Ä':'r'' 


^(v-;.) 


=  ^U) 


(22)      <•)  lim  -^-.^  =  af,  .  .  .  a|;)  lim  -^^  =  a^ 

existieren  und  daß  a^^^  4=  0  ist.  Für  X  =  0  ist  dies  nämlich 
soeben  bewiesen  worden.  Nehmen  wir  daher  an,  die  Behaup- 
tung sei  für  einen  bestimmten  Wert  von  A  richtig,  so  folgt 
aus  Formel  (11),  wenn  dort  v,  —  k  an  Stelle  von  v  tritt. 


A. 


ö,  ;i 


VA+i 


0,  Perron:  Olwr  die  Jacobi-KettenalgorUbmoii. 


121 


(23) 


um\  durch   Übergang  zur  Grenze  s^oo: 
af  ^  aj^i  +  Um  ^^^^r, 
El*  existieren  also  die  Grenzwerte: 

-^1    t  ■  1 


lim 


'Oyl  +  l 


lim 


'^i.x+i 


(i  =  1,  2»  - .  .  n). 


deren  erster  sicli  analog  wie  oben  als  von  Null  verschieden 
ei-weist')  Man  kann  also  die  n  —  l  letzten  durch  ihn  divi- 
diereti,  und  dadurch  ergibt  dcli  die  Existenz  der  folgenden 
Grenzwerte ; 

deren  letzter  gewiß  von  Null  verschieden  ist* 

Diese  unterscheiden  sich  von  (22)  lediglich  dadurch,  daß 
A  +  1  ati  Stelle  vou  X  steht,  so  data  die  Grenzwerte  (22)  in 
der  Tat  für  beliebiges  X  existieren. 

Nachdem  dies  feststeht^  gilt  auch  die  daraus  abgeleitete 
Gleichung  (23),  aus  welcher  dann  folgt: 


(24) 


H  % 


Für  A  =  0,  1,  2,  ,  .  ,  00  stimmen  diese  Gleichungen  formal 
genau  Uberein  mit  dem  System  (12),  und  auch  jetzt  ergibt 
sich  daher  genau  me  früher  (durch  den  Schluß  von  k  auf  A  +  1): 


qS^>  =  a^{^ 


^'  ^{f»af +  ^+»>€ii^>-h 


^A^-^mam- 


*)  Der  Beweis  entsteht  natürlich  aus  S^m  früher  gegebenen  einfach 
Fdaditfcfa,  dnü  man  die  oberen  Indioei  aller  a^'  um  die  ^bl  i*t^3  erbuht. 


422        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 
Setzt  man  daher  zur  Abkürzung: 

(25)  ag»  ^f  -  «CO)  Ä^  =  Äf)     Q  =  J-  2.  •  •  •  ^)  , 

so  kommt: 

(26)  oW  iZj«  +  aW  fl|H')  +  af  fil^+«)  + [-  a^  H\>-+n)  =  0. 

Hier  brauchen  wir  nun  eine  wichtige  Ungleichung,  welcher 
die  Zahlen  af^  genügen.  Man  erhält  sie  aus  (19),  indem  man 
rechter  Hand  den  Summanden  ^  wegläßt,  und  dann  die  ganze 
Ungleichung  durch  j  Ä^\  1  dividiert  und  mit  1  aj,^'  j  multipliziert ; 
es  ergibt  sich  so: 


* 


aw 


>KI  + 


(••) 


,t« 


4L 


+  •••  + 


Setzt  man  hier  v  =  v^  —  k  und  läßt  5  ins  unendliche  wachsen, 
so  kommt  nach  den  Definitionsgleichungen  (22): 


(27) 


*l«nN^KN  +  KV  +  l«^^'H l-K-il 

(A  =  0,  1,  .  .  .  00), 


welches  die  gesuchte  Ungleichung  ist.     Man  bemerke  bei  dieser 
Gelegenheit  auch: 


(28) 


\af)^af\  +  \a^^-af^\+  ...  +\a^^)  -  a^^)\  <:^^ 


(A  =  0,  1,   .  .  .  00); 
denn  die  linke  Seite  ist  nach  (24)  gleich: 

also  nach  (27)  in  der  Tat  <  i^. 

Da  I  a^^^  j  >  0  ist,  so  folgt  aus  Gleichung  (26): 

löa)^Ul|     1     'a(A)£fa  +  l)     -f   ...   .^|«(A)        rfU  +  n-n 
|Sl^  +  "M  <  -  '1 L__I \ ! 1 LJLhJ ! 


Bezeichnet  man  daher  die  größte  der  n  Zahlen 


0.  PcrrODt  Oher  die  .lapobi-KeUenalgoritbmen 


423 


mit  JfJ*',  so  ergibt  sieh; 


|ifu+.t|<. 


|oE(^'l  +  l«t"l  + 


\m+»-ni 


+  !«^. 


lal^M 


JtfJ^', 


und  daher  mit  Kücksicht  auf  (27): 

(29)  I HW  +  "'  I  ^  i!>  i^J*'  ^  Mf\ 

Es  ist  daher  auch  Jf^^*^"  ^üf}^*;  somit  nehmen  die 
Zahlen  Mf^  mit  wachsendem  l  monoton  ab;  sie  und 
folglich  auch  die  Zahlen  \H^*\  bleiben  also  unter  einer 
Ton  il  unabhängigen  ächranke. 

Soweit  ergab  sich  dies  alles  unter  der  Annahme  #  ^  1. 
Von  jetzt  ab  sei  aber  i?  <  1,     Dann  ist  wegen  (29): 

I  ifw  +ii+n  I  <  #  Jif (i+i)  <  #  Jif «1 


Es  ist  also  auch  die  gröSte  der  n  Zahlen 

höd^ten»  gleich  ^Mf\  d.  h.: 

Durch  wiederholte  Anwendung   dieser  Ungleichung   folgt 
dann  auch: 

(30)  JtfJ^+^-igrJlff, 

also  gewi§  wegen  i?  <  1 : 

Da   aber  die  Zahlen  Mf^   mit  wachsendem   X   monoton   ab- 
nehmen, so  ergibt  sich  hieraus: 

und  folglich  auch: 

29' 


424        Sitzung  der  math.-ph;8.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

lim  Hf  =  0. 

Nach  der  Definition  von  Hf^  (Gleichung  (25))  besagt  dies  aber: 
(31)  lim  (a^^>  Äf^  —  a(' )  A[^^)  -=  0. 

A  =  OD 

Nun   ist  für  v>n  wegen  Ungleichung  (19):  |4J^''\|>  1; 


also: 


|4^)|  =  |af  ^|,^7'V>|a[;^>l     (für  X>n  +  l). 


,Ä)}\  liegt  also  über  einer  von  k  unabhängigen  positiven  Zahl; 
daher  kann  man  die  Formel  (31)  durch  A\f^  dividieren  und 
erhält  so: 

Somit  konvergieren  die  Zahlen  a^^^  — ^^  mit  wachsendem  k 

gegen  die  endlichen  Grenzwerte  af\  und  damit  ist  unser 
Theorem  vollständig  bewiesen. 

Die   übrigen   in  dieser  Untersuchung   erlangten  Resultate 
fassen  wir  zusammen  in: 

Theorem  III.     Wenn    für   r>0   durchweg  die   Un- 
gleichung 

H'\  +  ,<'i  +  •  •  •  +  i«i''L,l<*(l<"i-i) 

gilt,  wo  1?  eine  positive  Zahl  kleiner  als  1  bedeutet, 
so  genügt  das  Wertesystem  der  nach  Theorem  II  kon- 
vergenten Kette 


M'^^    /tCO    a(2) 


«CO 


fl^'^^    a\^^     a^-^ 

den  zwei  Ungleichungen: 

^;«i;'M>laS'>   4  laf'i  +  iaf   +  •  •  •  +  la^OL,   , 
I  a'"'  -  <" ;  -f  I  af  -  a^'  !+•••+!  «*;'  —  of  <{); 
und  außerdem  gilt  die  Beziehung: 


0,  Perron:  Übet  die  Jacobi-KeitenalgontUmeii. 
lim  (öf  Jf »  —  af^  Ai-^)  ^  0, 


425 


wobei   die   Zahlen  ^J*^*   verroittels   der  Formeln    (1)  (2) 
au8  den  Elementen  a^^  gebildet  sind. 

Diese  letzte  Formel  besagt,  da  im  allgemeinen  \A^J^\  mit 
r   ins  Unendliche   wachsen    wird,^)    daß   die  Annäherung   der 

Brüche   a^"^  -r^   an    ihren  Grenzwert  a*    eine   verhältnismäßig 

rasche  ist. 

Durch  das  Theorem  III  erhielt  man  auch  eine  Verschärfung 
des  Satzes  V  und  IblgUch  auch  VI  meiner  Habilitationsschrift 
(a»  a.  0»  pag.  24,  2B\  indem  dort  an  Stelle  von 


■ 

«IT» 

der  kleinere  Bruch 

2  -f  af  +  ow  H 

+<-t 

„w 

1 

ja  sogar 

1 

1  +  i?  +  oW 

+ «r + 

--■+<u 

a'y» 


treten  darf,'*)  Ich  will  diese  Gelegenlieit  benutzen,  um  für 
den  so  modifizierten  Satz  V  noch  einen  Beweis  mitzuteilen, 
der  viel  einfacher  ist^  als  er  aus  dem  Vorstehenden  entnommen 
werden  kann.  Wir  setzen  also  voraus,  (lau  iTlr  alle  r,  die  eine 
Zahl  I*'  übersteigen, 


it»^i 


<^<1 


*)  NSJaeres  darüber  Hiebe  im  nlchsten  Paragraphen. 

*)  Nur  für  H=^  l  »\iid  die  beiden  letzten  Brücbe  nicht  kleiner  n.1»  der 
isni^  Jedooh  iit  dieser  Fall  ohnehin  ititeresselaaj  da  für  die  re|;eliuil&igen 
l£ettenbrüche  ja  immer  die  sehr  viel   mehr  ak  Satz  V  engende  Fehler^ 


formd  gilt: 


ZI „P 


^  jtos* 


426        Sitzung  der  math.-phys.  KiBMe  vom  7.  Dezember  1907. 

ist.     Der  a.  a.  0.,  pag.  24  gegebene  Beweis  bleibt  dann  voll- 
kommen in  Kraft,  sobald  wir  zeigen  können,  daß  für  r  >  r'  auch 

^  = -^öö  ^  ^ 

1       aj"^ 
wird.     Nun  sind   a.  a.  0.   die   Zahlen   -rr,   -r\  echte  Brüche, 

n  n 

also  gewiß  Ay  <  n.     Anderseits  ist  auch  für  v>v': 


1  aj^-t-*^  ai^" 


a(-+i) 
< !? 

Also  durch  leichte  Reduktion: 

n 

<-H-J 

Setzt    man    diese    Ungleichung    für    eine    Reihe    aufeinander- 
folgender »'-Werte  an,   so   erhält   man   durch  Multiplikation: 

;   _^<  _    _  ^'•+JL~'*_ 

a^'^a^'+i'  .  .  .  a*''+''-'> 

n       n  *   '   *      n 

Der   hier   auftretende  Nenner    ist   aber   unter  Benutzung   von 
Formel  (7)  meiner  Hiibilitutionsschrift  gleich: 


0*  Perron:  Über  die  JÄüobj-Eetteualgörithmeö,  427 

wichst  also  bei  festbleibendem  i-  mit  x  ins  Unentiliche.    Daher 
folgt  Ji,  —  i><0  oder  A.  ^  »?  iür  r  >  v';  w.  z,  b.  w. 


^3. 

Untersuchung  Rir  i^  =  L 

Indem  %vir  zum  eigentlichen  Gegenstand  dieser  Arbeit  zu- 
rückkehren, soll  jetzt  untersucht  werden,  inwieweit  bei  den 
Theoremeo  II  und  HI  des  vorigen  Paragraphen  auch  der  Wert 
§  ^='  1  zulässig  ist.     Wir  setzen  daher  jetzt 

(32)    |a{;^|+K>t+-^+,<lJ^ICI-l     fürv5>0 
forraua    Wie  pag.  i2*d  gezeigt  wurde,  bleiben  dann  die  Zahlen 

ahsolut  unter  einer  von  A  unabhängigen  Schranke,  da  ja  bei 
der  Ableitung  dieser  Tatsache  der  Wert  ö  =  1  ausdrücklich 
zugelassen  war.     Wenn  sich  nun  sogar 

lim  Hf  =  0 

herausstellt,  so  ergibt  sich  die  Konvergenz  wörtlich  wie  im 
vorigen  Paragraphen»  Wenn  aber  diese  Grenzbeziehung  nicht 
erweisbar  ist,  so  findet  gleichwohl  Konvergenz  statt,  sobald  nur 


*)  Ea  ist  vielloiclit  nicht  fiberflüsjrig,  darauf  auftnerkmm  zu  mticheo, 
hier  das  Aufh-eten  der  Zahlen  af^  durchaus  nicht  schon  die  Kon- 
verg^itK  voraiiasetzt-  Die  aj^'*  sind  lediglich  dar  eh  die  Gleiehungen  (21) 
dekaliert,  nicht  etwa  wi<9  in  §  1  durch; 


^f'^af  lim 


Ar 


Dnh  diese  lotete  Be^iehutiK  tattijlchlieh  »tatthat,    und  somit  die  Kette 
konv«rgieri,  bleibt  stets  OegeuBttind  einea  eigeaen  Beweiaei. 


428        Sitzung  der  matb.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

lim|^W|=oo 

l  =  ai 

wird;   denn  da  H^^''  endlich  bleibt,  so  folgt  dann: 

lim  -.  i-,  =0;    d.  h.  lim    of  _  •    —  af    =  0, 

wodurch  wieder  die  Konvergenz  evident  wird. 

Wir  wollen  daher  zuvörderst  das  Wachstum  der  Zahlen 
I  A^l^^  I  unter  der  Annahme  (32)  untersuchen.  Als  erstes  Resultat 
beweisen  wir,  daß  die  Ä\^^  \  von  X  =  l  ab  mit  k  monoton 
wachsen,  d.  h.  es  gilt  die  Ungleichung: 

|^(;i+^)|>|^^^>|     (>1>1). 

Die  Behauptung  ist  evident  für  A  =  1,  2,  .  .  .  »;  ihre  All- 
gemeingültigkeit ergibt  sich  durch  vollständige  Induktion.  An- 
genommen numlich,  es  sei  bereits  bewiesen: 

was  jedenfalls   für  /  =  1  zutriflft.     Es  ist  dann  mit  Rücksicht 
auf  Voraussetzung  (32): 

>  rt^^\4V'  +  "'  —  irt^''  —IV -4^*-^"  ^'  . 

Also  auch,  wenn  man  beiderseits    -l'.^"^"^    subtrahiert: 

Ks  u^l^rt  hitTuus     -i    "^ ■"*"'*'   >   A'^^"   .  womit  die  Behauptung 
vollstänitisr  orwifv.*r.  ist. 

Wir  k."»nnrii  a'HT  jetzt  das  Wachstum  -it-r  A  '  r.«xh  ge- 
nauer bostimmii:.  Denn  naohl^m  das  luor.vtoiit-  Waohstum 
t\ir  i  >  1  festsT'^st'llt  ist,  best<*ht  auch  die  s^^-hen  dArar*s  ai*- 
g^loiwte  Ungleichung 


O,  Perron:  Über  die  Jacobi  Ketten algorithtnen .  429 

{ja+i»+n(_|^^+.)I^(|aU)|_l)(l^^+.>|_|^ 

für  ^  >  1  zu  Recht.  Aus  dieser  folgt  dann,  indem  man  sie 
für  A  ^  1,  2,  •  *  .  A  anwendet: 

|^H»+'>|-K^+«|>lafl(tot;>|-l)(K«|-l)...(I<i|-l): 

und  hieraus  endlich: 

l^*-*+'M>i<|  +  |<'Kl<M-i)+l«ri(K'l-i)C«'^'.-i) 

+  ---+i«ri(K"i-i)(i'»!ri-i)---{i«sfM-i). 

Wenn  daher  die  unendliche  Reiho 

(|atiiI_I)  +  (|otJ) !-!)(!««)  1-1) 

+  (l«i.''l-i)(l<M-i)(Kl-i)f--' 

divergiert,  so  ist  gewiß; 

lim  I  Jtj^+^+J^j^Qü, 

und  daher  nach  den  Erörterungen  zu  Beginn  dieses  Paragraphen 
die  Kette  konvergent.  Um  auch  die  unbedingte  Konvergenz 
behaupten  zu  können,  werden  wir  verlangen  müssen,  daß 
unsere  Bedingungen  erhalten  bleiben,  wenn  man  darin  die 
oberen  Indices  aller  a^^  um  eine  beliebige  Zahl  k  vermehrt; 
dann  sind  nämlich  auch  für  die  Ketten 


(33) 


(A  =  l,2,..,x) 


die  gleichen  Konvergenxbedingungen  erfülll  Diese  Forderung 
Ui  aber  schon  von  selbst  befriedigL  Denn  wenn  man  in  der 
lUube  (33)  die  oberen  Indices  aller  ^|^''^  um  X  erhöht,  so  ent- 
steht eine  ß«ihe,  die  ans  (33)  oflenbar  auch  durch  Weglassung 
der  ersten  l  Glieder  und  Unterdrückung  eines  allen  Gliedern 
Ijemeinsamen  Faktors  gewonnen  werden  kann,  die  also  eben- 
falhs  divergent  ist.     Wir  erhalten  also: 


480       Sitzung  der  math.-phys.  EHasse  vom  7.  Dezember  1907. 

Theorem  IV.     Wenn   für  v  >  1   durchweg  die  Un- 
gleichung 

H'\  +  l«ri  +  •  •  •  +  laS'LJ^K^i  -1 

gilt/)  und  wenn  außerdem  die  unendliche  Reihe 

(l«;."l-i)  +  (l«!."l-i)(l«<f'l-i) 

+  C|aCi)|-l)(|a(«|-l)(|aP'>|-l)  +  ..- 
divergiert,  so  ist  die  Kette 

a(0),  a^i)   a(2),  .  . 

unbedingt  konvergent. 

Man  bemerke,  daß  die  einfacher  gebaute  Reihe 
(34)  |aO)!  +  K'o,f>\-\-  i<>af  a<3)|  -f  .  .  . 

infolge  der  geforderten  Ungleichungen  kleinere  Glieder  hat  als 
die  vorige.  Die  Kette  ist  daher  a  fortiori  unbedingt  konver- 
gent, wenn  die  Reihe  (34)  divergiert.  Dies  trifft  insbesondere 
in  dem  wichtigen  Fall,  wenn  alle  a^^  =  1  sind,  stets  zu. 

Wir  wenden  uns  jetzt  zu  der  zweiten  Möglichkeit,  daß  die 
Reihe  (29)  konvergiert.     Dann  kann  gleichwohl  lim  jAJj'-^   =  oo 

sein,  und  in  diesem  Fall  ist  die  Kette  sicher  wieder  konver- 
gent. Andernfalls  aber  nähern  sich  die  Zahlen  |  A]^-"^  ,  da  sie 
von  A  =  1  ab  mit  X  monoton  wachsen,  einem  bestimmten  end- 
lichen Grenzwerte: 

der  von  keinem  \  A\P\{k>  1)  an  Größe  übertroffen  wird,  also 
wegen  ^,\**+'^  =  aJ^J^^  4^  0  jedenfalls  größer  als  Null  ist.  Nach 
den  auch  für  ^  =  1  gültigen  Gleichungen  (21)  in  §  2  hat  man: 


1)  Daß  wir  beim  Beweis  auch  für  r  •=  0  diese  Unp^leichiini,^  voraus- 
gesetzt hatten,  schadet    natürlich  wieder  so  wenig  wie  bei  Tti<.'oreui  11. 


0.  Perron:  Über  die  Jacobi-Eettenalgoritbmen.  431 

und  da  jetzt  |  •^[,''*' |  ;^  ^  ist,  so  folgt  hieraus: 
lim  (oW  Af^  —  a»)  ^(•'.')  =  0. 

«  =  00 

Oder  auch   unter  Anwendung  der  früheren   Bezeichnung: 

lim  m-B)  =  0, 

«=« 

und  daher  jedenfalls: 

(35)  lim|^J^)|=0. 

Ä=ao 

Außerdem  ist  auf  pag.  423  gezeigt,  daß   |  flj^  +  *^|  nicht 
größer  ist  als  die  größte  der  Zahlen: 

Nehmen  wir  daher  zuerst  den  Fall  n  =  1,  so  besagt  dies  (da 
dann  auch  für  i  nur  der  Wert  1  Bedeutung  hat): 

Die  Zahlen  '  H^^^  |  nehmen  also  mit  wachsendem  X  monoton 
ab,  und  haben  anderseits  nach  (35)  den  unteren  Limes  Null; 
sie  nähern  sich  daher  schlechtweg  der  Grenze  Null,  also: 

lim  {a^^^  Af^  —  ajö>  A^^')  =  0. 
Dividiert  man  dies  durch  lim  |  i4{j^^  [  =  4  >  0,  so  kommt: 

X=QO 

Das  besagt  aber,  daß  die  Kette  konvergiert.  Bei  Ketten  erster 
Ordnung  findet  also  auch  für  t>  =  1  stets  Konvergenz  statt, 
ob  der  Grenzwert  lim    A^^^\   unendlich  oder  endlich   ist.     Wir 

erhalten  damit  das  Fundamentalkriterium  des  Herrn  Prings- 
heim: 


432        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  19ü7. 


<"l         o?^'         afi"! 
Der  Kettenbruch  «(u)  +  _?_l  +  _^  +  _1^  +  . .  . 

ist  unbedingt   konvergent,    wenn   für  r^l   durchweg 
l<M^K^|  — 1  ist. 

Nachdem  die  Ketten  erster  Ordnung  hiemit  vollständig 
erledigt  sind,  wollen  wir  von  jetzt  ab  ausdrücklich  n  >  1  vor- 
aussetzen.    Dann  gilt  folgendes: 

Theorem  V.  Wenn  für  r^l  durchweg  die  Un- 
gleichung 

i<'i  +  i«ri  +  ---  +  i«irLj<i«ri-i 

gilt,  und  wenn  außerdem  für  alle  v  von  einer  gewissen 
Stelle  v>v'  ab 

l"'o  i~l^i   1^  ^  '    «-1'^  2(n— 1) 

ist,   wo   O  eine   positive  Zahl   kleiner  als  1  bedeutet: 
dann  ist  die  Kette  w  p>  1)*«''  Ordnung 

0   '      ü  '      0   ' 

a^^\  a^'\  a(2),  .  . 

unbedingt  konvergent. 

Offenbar  genügt  es  wieder,  die  Konvergenz  schlechthin 
zu  beweisen,  die  dann  sicher  eine  unbedingte  ist.  Auch  be- 
deutet es  wie  früher  keine  Beschränkung  der  Allgemeinheit, 
wenn  wir  die  erste  Ungleichung  des  Theorems  auch  für  v  =  0 
als  erfüllt  voraussetzen  und  uns  damit  auf  den  Boden  unserer 
früheren  Untersuchungen  stellen.  Wenn  sich  dann  lim  |  A^J^  \  =  oo 

y  =  x 

oder  lim  ÄJ*'^  =  0  herausstellt,  so  folgt  daraus,  wie  wir  wissen, 

sogleich   die   Konvergenz   der   Kette.     Wir    wollen    daher    im 
Gegenteil  voraussetzen,   man  habe  gleichzeitig: 


(«) 
iß) 


V  =  OD 


0*  Perrons    Üher  die  Jaüobi-Kettemil^orithmen. 


433 


letzteres  wenigsttsos  für  einen  der  Werte  i  =  1,  2,  -  .  ,  n.    Wir 
wollen    zeigen,    da^  diese   beiden  Annahmen   nicht   zusanimen 
mit  den  Bedingungen  des  Theorems  bestehen  können. 
Von  den  tt  Zahlen 

i^ri*  i^r^»*! ,^r-'M 

Miiä  wenigstens  eine  >  }j4  sein,  Denn  wären  sie  alle  <ICi» 
wa  ii<t]i  ist,  so  würde  die  Zahl  \H*f^^\^  welche  ja  nach 
'pag*  423  hüchs^tens  gleich  der  größten  der  obigen  fi  Zahlen 
ist,  ebenfalls  <Ci  sein.  Durch  Wiederholung  des  gleichen 
Schlusses  fo]gi  dann  sükzessivei  daß  auch  die  Zahlen 

Uy^n^i)^^    |if;-+"+->K    lifr+"'^^*|i  ■- 

tamtlich  ^Ci"<>/i   ^^^^^l^    ^^^^   ^^^  Annahme   (/?)   widerstreitet. 
Br/.eichnet  man   daher  die  absolut  größte  der  n  Zahlen: 

oder^  ftüLs  mehrere  den  absolut  größten  Betrag  haben,  eine 
beliebige  foii  diesen,  mit  GY\  so  ist  wegen  [  A^j"^  \  <  A  auch 
für  alle  v>0: 

(37)  I  er  1^1- 

Ferner  folgt  aus  den  Annahmen  (a),  {ß)i 
und  daher  fllr  alle  genügend  gto&en  Werte  Ton  v,   etwa  fttr 


(38) 


'      0 


7'  +  « 


<     .1 


iv>K). 


wo  c  eine  beliebig  kleine  positive  Zahl  bedeuten  darf. 

Nach  diesen  Vorbereitungen  setzen  wir  zur  Abkürzung: 


at''> 


434        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 


Es   ist  dann,   wie  man   sofort  aus  Formel  (1)  entnimmt: 

iw  +  i(.)  +  . ..  +  ;(.)  =  !, 

Nun  ist  aber  nach  der  Definition  von  H^''^  (Formel  (25)): 

jiiy)  Sir) 

sodaß    sich   die   letzte  Gleichung   nach  Multiplikation  mit  al^^*^ 
auch  folgendermaßen  schreiben  läßt: 

J3(v+n+l) 

a(0)  4-  _! 

Hier  hebt  sich  af^  auf  der  linken  Seite  gegen 

auf  der  rechten  Seite.    Subtrahiert  man  dann  noch  beiderseits 
die  Zahl     /„ .   t,  so  kommt: 


0 


5^(»'  +  n-^l)  J^v  +  n) 


=  7(v)  _• L  .  .  .  _4_  m     _* L  (IM  _  i\  _*■ 

0      Air)   ^^  n^  «'n-l     j(v-f.n— 1)     •     V  «  "^/     ^(»-4-«)» 

-^0  ^0  "^0 

woraus  weiter  unter  Berücksichtigung  von  Ungleichung  (38)  folgt : 


0  0 


(39)    < 


0     ^(v)        '  ^ 


//■(v-f-n-l)|  I  jy(v+n)| 

0  '         I  0  I 


<(i?ri+'^S'^i+"-+'e,i+i^<:'-ii)^-, 

sobald  nur  v  >  ^  ist. 


0.  Perron:  Über  die  Jacobi-Kettenalgorithmen.  435 

Da  I  Ä^J^  I  von  v  =  1  ab  mit  v  monoton  wächst,  so  folgt 
aus  der  Definitionsgleichung  von  Z^"^ : '  l^^^  \  <  aj'^  | .  Also  mit 
Rücksicht  auf  die  Bedingungen  des  Theorems  V: 

iri+uri  +  ••  •  +  ;ej^i<:  4-i«i"i  +  •••  +  ;oirL,i 

ebenso  auch: 

n  0       '1        '  '       n  —  1  I 


-2{n-l) 
Daher  geht  Ungleichung  (39)  über  in: 


(für  V  >  v'). 


(™"{^3- 


Man  hat  also,  sobald  v  eine  gewisse  Grenze  v'  erreicht  oder 
übersteigt: 

I     '.      _      •    I  <- __r__  Zi..'-      (v>v')' 


daher  auch: 


l,li.+-...        A[r,^     n-l     ^ 


Da  die  rechten  Seiten  in  all  diesen  Ungleichungen  sämtlich 
nicht  grölier  als  (^       .-  -  sind,  so  erhält  man  insbesondere  auch: 


436        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 


ffj^)  — 


<e- 


(für  r>0, 


wo  6rj*'^  wieder  die  gleiche  Bedeutung  hat  wie  pag.  433  Mitte. 
Nun  hat  aber  nach  (35)  \II^^^\  den  unteren  Limes  0;  man 
kann  also  v  (>  v")  derart  auswählen,  daß  auch 


<e 

ist;   für  solche  Werte  von  v  folgt  dann: 

1             •^o 

A 

Da  aber  0  <  1  und  e  beliebig  klein  ist ,  so  widerspricht  dies 
der  für  alle  v  gültigen  Ungleichung  (37).  Daraus  schließen  wir, 
daß  die  Annahmen  (a),  (ß)  nicht  beide  zugleich  mit  den  Be- 
dingungen des  Theorems  V  verträglich  sind.  Wir  müssen 
daher  mindestens  eine  der  zwei  Annahmen  (a),  (ß)  als  irrtüm- 
lich fallen  lassen;  dann  konvergiert  aber  die  Kette.  W.  z.b.  w. 
Weiter  ist  noch  folgendes  von  Interesse.  Die  in  Theorem  III 
behaupteten  Ungleichungen 


(40) 


d!a«')|>|af  !+<•);  + 1-  \a 

n    I  -^=   10''  II'  •      I      : 


(0) 


-1  I' 


|aCO)  — ay^>|  +  \af^  —  afy.  -] ^\a^0)  _aiO)\<:^ 


bleiben  nach  ihrer  Herleitung  auch  für  i^  =  l  bestehen  (sofern 
dann  die  Kette  überhaupt  konvergiert).  Dagegen  ist  die  Be- 
ziehung 

lim  (aj;^^  ^(»'^  —  a;o>  ^(->)  =  0 

V  =  00 

nicht  mehr  allgemein  richtig,  wie  schon  das  Beispiel  der  Kette 
erster  Ordnung 

M, -1, -1, -1, .. 

2,       2,       2,       2,.. 


beweist.     Bei  diesem  ist  nämlich,  wie  leicht  zu  sehen: 


0.  Perron:  Über  die  Jacobi-Kettenalgorithmen.  437 

o§»=l;     ^w=v  — 1;     ^w  =  v      (v>l) 

Also  hat  man: 

und   die   linke  Seite   kann    daher   nicht    den   Grenzwert   Null 
haben.  ^) 

Einige  Bemerkungen  knüpfen  sich  noch  an  den  Fall,  daß 

*  ==  1 ;     lim  I Ä^^^  I  =  ^  =  endlich 

ist,  und  die  Kette  trotzdem  konvergiert.  Dann  ist  nämlich  stets: 
lim  (ag>MJ»'>  -  aJ^M^^O  =  0, 

y  z  00 

da  ja  diese  Beziehung  jetzt  nichts  weiter  aussagt  als: 


Jünfo}0)^r_a(0)j  =  0, 


d.  h.  als  die  Konvergenz. 

Außerdem  gestattet  aber  jetzt  die  erste  Ungleichung  (40) 
eine  erhebliche  Verschärfung.  Denn  wenn  man  die  Ungleichung 
(18)  durch  |  A^^^  dividiert  und  mit  a{['*  multipliziert,  so  erhält 
man  durch   Übergang  zur  Grenze  r  =  oo: 

worin  die  gesuchte  Verschärfung  ausgesprochen  ist.     Man  er- 
hält daraus  speziell  für  »7=1: 

')  Auch  nioht  doii  unteren  Limes  0.  Dies  steht  nicht  im  Wider- 
spruch mit  Un^'lcichung  (35),  da  diese  nur  unter  der  Voraussetzung 
,lim    A\^^  ,  =  endlich'  abgeleitet  wurde. 

1907.  Sitzungsb.  d   math.-phys.  Kl.  SO 


438         Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

Diese  ÜDgleichung  gilt  auch  dann,  wenn  die  Konvergenz 
der  Kette  noch  gar  nicht  feststeht,  und  die  Zahlen  af^  dem- 
gemäß nur  durch  die  Gleichungen  (21)  definiert  sind.^)  Sie 
kann  dann  unter  Umständen  sogar  zur  nachträglichen  Fest- 
stellung der  Konvergenz  dienlich  sein,  wie  die  folgenden  Be- 
trachtungen lehren. 

Zunächst   folgt   aus   der  Endlichkeit   von  lim  ^^''^l  auch 

die  von  lim  |  Ä^\  |,  und  daraus  dann  sukzessive  die  Endlichkeit 
von  lim  |  A^\  | ,     lim  |  Ä\^\  \ ,  etc. 

Denn  nach  Formel  (8)  hat  man: 

Daher  auch: 

aber  auf  der  rechten  Seite  bleibt  hier  mit  wachsendem  v  alles 
endlich,  also  bleibt  es  auch  die  linke  Seite,  w.  z.  b.  w.  Wir 
setzen  demgemäß: 

lim  I  Ä^^\  I  =  A,. 
Analog  zu  (41)  ist  dann  auch: 


U      ,  MIX 


wobei  die  Zahlen  a[/^  natürlich  durch  die  Gleichungen  (22)  zu 

*)  Der   Beweis  bleibt  der  gleiche;   nur  muß   beim  Grenzübergang 
natürlich  v  auf  die  Werte  v,  beschränkt  werden. 


0.  Perron:  Über  die  .lacobi^Kett^snalgoritbmen. 


439 


defiaieren   sind.      Hieraus  folgt  nun   unter    Beibehaltung   der 
Bezeichnung  und  Schlußweise  von  pag.  423: 


|£ri^+"M< 


Wie  damals,    können  wir   daraus  auch  jetzt   die    Konvergenz 

1  <  I 
Iblgern,  sobald  t-^X)-^  ^^^^  einer  von  l  unabhängigen  posi- 
tiven Zahl  ü  bleibt;  alsdann  ist  nämlich  wieder 
,HJ'+*>|^*JKi^       (tf  =  l  -ti<l); 

und  der  weitere  Beweis  bleibt  wörtlich  der  gleiche  wie  pag.  423  f. 
Ob  nun  diese  Forderung 


\<\ 


>a 


erfElUt  ist,  dürfte  im  allgemeinen  schwer  zu  entscheiden  sein» 
In  einem  Fall  ist  sie  aber  stets  erfüllt, ^  nämlich  hei  peri- 
odischen Ketten.  Wir  nennen  eine  Kette  A-gliedrig  peri- 
odisch, wenn  von  einem  gewissen  Wert  r  ab  stets 

ist.     Alsdann  ist  offenbar  auch: 


Baher  kommt  für 


i<'i 


überhaupt  nnr   eine  endliche  Anzahl 


verschiedener  Werte  in  Betracht;   also  bleibt 


Ai 


>e. 


Ajj  eine  von  X  unabhüngige  positive  Zahl  bedeutet.    Aiiljerdem 
aber  aus  der  auch  für  ö  =  1  gültigen  ünglüiehung  (28) : 


«m'-<'1^1' 


so« 


riH 


440        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 
Und  hieraus  wieder: 

l«i^'i<i<M  +  i- 

Wegen  der  Periodizität  bleibt  |  a^^^  \  unter  einer  von  X  unab- 
hängigen Schranke  ü,  und  folglich  a^^^\<.R  -^  l.^)  Daher 
ist  auch: 

\<\  ^_^  . 

dieser  Quotient  bleibt  also  über  einer  von  k  unabhängigen 
positiven  Zahl,  w.  z.  b.  w.    Wir  erhalten  demnach: 

Theorem  VI.  Wenn  bei  einer  periodischen  Kette 
für  v>l  durchweg  die  Ungleichung 

KN  +  i«l^M  +  •  •  •  +  Kii  i  .<:  KM  - 1 

statthat,  so  ist  sie  unbedingt  konvergent. 

Eigentlich  ist  das  Theorem  ja  soeben  bloß  unter  der 
Voraussetzung    , lim  | -i^**^  =  endlich *"    bewiesen  worden;   aber 

V^  OD 

im  entgegengesetzten  Fall  ist  die  Kette  ja  ohnedies  immer 
konvergent. 

*)  Es  wäre  falsch,  aus  der  Periodizität  etwa  schließen  zu  wollen, 
daß  a^*^^^  =  a^^^  ist,  so  daß  für  aj^^  überhaupt  bloß  eine  endliche  An- 
zahl verschiedener  Werte  in  Betracht  käme.  Ein  solcher  Schluß  würde 
die  Konvergenz  bereits  voraus^setzen.  Denn  nach  den  Definitionsglei- 
chungen (22)  ist: 

(v,-r) 

(a)  «r-<Mim      "•-     , 

(ß)  „;  +  ^>  =  ,,i^+*>  lin,     "'  ^  +  *_.  =  ,0)  li^  _  "-1   _     , 

^0,  v-f-fc  -^0,  r 

letzteres  wegen  der  Periodizität.  Bevor  aber  die  Konvergenz  der  Kette 
bekannt  ist.  kann  die  Gleichheit  der  Grenzwerte  in  (a)  und  iß)  auf  keine 
Weise  gefolgert  werden,  weil  die  Zahlen  >•,  —  v  mit  wachsendem  s  im 
allgemeinen  eine  i^'anz  andere  Wertereihe  durchlaufen  werden  wie  die 
Zahlen  r.  —  r  —  k.  • 


0.  Perroü:  Ober  die  Jm<ihi4 


441 


Weikres  vermag  ich  über  den  Fall  S  =s  1  nicht  auszu- 
en.  Vermutlich  ist  in  Theorem  11  ilberliaupt  der  Wert 
#==1  ohne  NebenbeditigungeD  zulässig.  Wenn  ich  diese 
Vermutung  auch  nicht  durch  einen  Beweis  bestätigen  kann, 
so  gelang  es  mir  doch  anderseits  auch  nicht,  eine  erweiB- 
lieh  divergente  Kette  ausfindig  zu  machen,  bei  der  für  f^l 
durchweg 

i»r  I  +  i«rf  +  •■•  +  i»i:iii^  wi  -1 

Die    Entscheidung    dieser    Frage    scheint    mit    großen 
ciwierigkeiten  verknüpft  zu  sein. 


§4. 
Weitere  Konvergenzkriterien. 

In  §  1  wurde  gezeigt,  daß  zwei  äquivalente  Ketten  ent- 
weder beide  konvergent  oder  beide  divergent  mni.  Kine  Kette 
ist  daher  auch  immer  dann  konvergent,  wenn  eine  daxu  äqui- 
valente existiert,  deren  Elemente  die  Bedingungen  eines  der 
Theoreme  I,  11,  IV,  V,  VI  erfüllen*  Von  diesem  Gedanken  aus- 
gehend, hat  Herr  Pringsheim  für  die  Kettenbrilche  aus  seinem 
Fandamen talsatz  eine  Reihe  weiterer  Konvergenzkriterien  ab- 
geleitet,') In  ähnlicher  Weise  kann  man  auch  für  Ketten 
ft^"  Ordnung  vorgehen;  doch  sind  die  so  gewonnenen  Kriterien 
für  n  >  1  von  komplizierter  Bauart  und  dürften  nur  geringes 
Interesse  beanspruchen.  Erfolgreicher  gestaltet  sich  die  nach- 
stehende Methode,  welche  auch  fiir  KettenlirUche  zu  neuen 
Resultaten  führt«  die  sich  aus  den  bisher  bekannten  kaum 
dÜrfTten  ableiten  laswen. 

In  der  die  Kette  n*"^  Ordnung 


(42) 


<\  "i".  «f. 


H  A.  a,  0.  und:  Über  einige  KonvergenÄkriterieii  für  Kettenbrücbe 
mit  komplexem  Gliedern.    Diese  SitÄUiig«beriohti%  Bd,  35  (1905),  pftg.  359 

,  hh  ddo. 


442         Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

definierenden  Rekursionsformel 

(1)      ^cv+n+i)  =3  a^y)A^;^  +  aj^>  ^|r+^)+ h  aj;>  ^^•'+-> 

ersetzen  wir  r  durch  r  +  l?    ^s  kommt: 

(1')  ^(•'+••+2)  =  a^»'+i)^(r+^>  +  a^''+^)^(r+2)  -I 1-  a^»'+n  j^Ci'-H+i). 

Wenn    man    nun  Gleichung  (1)   mit   einer   beliebigen  Zahl  d^ 
multipliziert  und  dann  von  (1')  subtrahiert,  so  erhält  man: 

(43)  ^|r+"+2)  =  ftw  A[-)  +  6C-)  ^c.'+i)  +  . . .  +  ¥;}^^  ^J-+"+i), 
wobei  zur  Abkürzung 

<+,''  —  aj')  <J,  =  6(')      (i  =  1,  2,  .  .  .  n) 

gesetzt   wurde.     Neben   der   Kette    (42)    betrachten   wir    nun 
auch  noch  die  Kette  (n  -f-  1)'«''  Ordnung: 

(44) 


ft(0)  WD  U2) 

deren  Rekursionsformeln  folgende  sind: 

•  0         •        '        *  •  '       n-f-1        • 

(i=0,  1,  ...«+1;    r  =  0,  1,  ...00); 

(  1  für  i  =  Ä;  , 

^'=\0füri:1:fc      (^*  =  0,1,  ...n  +  1). 

Damit  die  Forderung  M''^  +  0  für  alle  v  erfüllt  ist,  werden 
wir  dy  -fz  0  voraussetzen. 

Jede  Zahlenfolge,  welche  der  gleichen  Rekursionsformel 
genügt,  wie  die  liY\  laut  sich  nach  den  Erörterungen  zu 
Beginn  des  §  1  linear  durch  B\l'\  1^^''\  . . .  -Bj^*\  ,  ausdrücken. 
Wegen  Formel  (43)  kann  man  daher  insbesondere  den  Ansatz 
machen: 


0.  Perron:  über  die  JHCobi-Kettenal«;oritfamen. 


443 


.wobei  die  Koeffizienten  }\k  von  v  unabhängig  sind*  Man  be- 
rechnet sie  sehr  einfach,  indem  man  für  i'  gewisse  Spezial werte 
ein^setzt;   so  folgt  fiir  p  ^=  ti 

Sodann  für  »^  +  i  und  r  ^n: 

0  =  ?-.>: 
endlich  für  v  =  «  -|-  1 : 

Setzt   man   die   so   berechneten  Werte   yi^u  oben    ein,   so 
kommt: 

Hieraue  folgt  endlich  auch: 


n). 


=  <» 


,(0)-      ^     -LflCO)f,P_' 


MO) 


^0 


Weon  nun  die  Kette  (44)  konvergiert,  so  bezeichnen  wir  ihr 
Wertesjstem  mit  ßf^^  ß^^^^  * . .  ßf],  ,  und  erhalten  aus  der  letzten 
Gleichung,  wenn  f  unbegrenzt  wächst: 

'JL^A^         'l^  +  af^ß^,        -^  +  ß^,' 

Daher  konvergiert  auch  die  Kette  (42),  sobald  nur  der 
Nenner  ^^^^  -  d^^  von  Null  verschieden  ist.  Man  hat  bei 
dieaer  Betrachtung  den  Vorteil,  daß  die  Zahlen  (5^,  abgesehen 
von  der  Einschränkung  (5^+0,  ganz  willkürlich  sind,  Hobald 
es  gelingt,   sie  derart  zu  wählen,   dai  die  Kette  (44)  konver- 


444        Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

giert,  und  zugleich  ß\^\i  4=  d^  wird,   dann   konvergiert  allemal 
auch  die  Kette  (42). 

Nach  Theorem  II  ist  nun  die  Kette  (44)  unbedingt  kon- 
vergent, wenn  für  v  ^  1  durchweg  die  Ungleichung 

|ft?N  +  r  i  +  •  •  •  +  i^ir'i  <  ^(  »irVii-i)' 

das  heißt: 

K^  !  +  !<+"  -  <«5J  +  loS'+^-^'MJ  +  .  •  • 

besteht,  wo  t><  1  ist.     Damit    aber  die   Kette   (42)   ebenfalls 
konvergiert,  muß  außerdem  noch  die  Zusatzbedingung 

erfüllt  sein,    welche   sich   in    folgender  Weise  umformen   läßt. 
Wegen    der    unbedingten    Konvergenz    der   Kette   (44) 
folgt,  wenn  man  eine  stets  gebrauchte,  auf  die  Kette  (42)  be- 
zügliche Bezeichnung  sinngemäß  auf  die  Kette  (44)  überträgt: 

t}'Mim^=/^»>       (i=l,2,...n  +  l), 

,^  =  00-0  0.1 

und  auch: 

sodaß  sich  die  obige  Zusatzbedingung  in  die  Form  setzen  läßt: 

Pn-\-\ 

oder : 

^  n-fl 

Nun  ergibt    sich    aber,    wenn    man  Theorem  III    auf  die 
Kette  (w  -f-  IV**"  Ordnung 

ho\      hf.       l^^\      .. 

*;:V:-  ^v '')?;:' •••J 


0.  Perron :  Über  die  Jacobi-KetteitJilgoritlimtjn, 
anwendet»  die  Ungleichung: 

»  ß'iiW^-i^o'l  +  iJS'i"!  +  l^^"i  +  •  •  •  +  l/9i"|: 

äko  mich  insbesondere: 


445 


<^. 


mit  ÄusschJüJa  der  Gleichheit,  da  jii  \h\l^\>0  ist  Demnach 
ist  die  Bedingung  (45)  gewiß  erfiült,  wenn  wir  |  aj^**  |  >  ^  for- 
dern. Dies  führt  zu  dem  folgenden  sehr  allgemeinen  Ki'i- 
teriura: 

Theorem  VIL  Wenn  sich  unendlich  viele  von 
Kuli  verschiedene  Zahlen  dy  bestimmen  lassen,  der- 
art, daß  für  r^l  durchweg  die  Ungleichung 

bestellt,  wo  &  tjine  positive  Zahl  kleiner  als  1  be- 
deutet, und  wenn  außerdem 

b)  I  a^^^  I  >  & 

ist,  so  ist  die  Kette  n^^  Ordnung 

M^^    ö'^^    a^^         1 


,(01 


xMl 


x(2) 


kosTergent    Sie  ist  sogar  unbedingt  konvergent^  wenn 
die  Ungleichung 

c)  \a^:^^^ 

für  jedes  v>l  besteht* 

Der  letzte  Teil  des  Theorems  ergibt  sich  offenbar  wieder 
aus  dem  Umstand,  dai  die  Bedingungen  erhalten  bleiben, 
wenn  die  oberen  Indices  aller  a^*^  um  eine  beliebige  Zahl  X  er- 
höht werden.     Wir  machen  zu  dem  Theorem  noch  folgenden 

Zusatz.  In  Theorem  VU  dürfen  die  Zahlen  Ö^  auch 
alle  oder  ssura  Teil  gleich  Kuli  sein.    Wenn  aberÄ,  =  0 


(tti^tfif 


44r6        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

ist,  so  ist  in  der  Bedingung  b)  das  Gleichheitszeichen 
auszuschließen.  Ebenso  ist  in  der  Bedingung  c)  das 
Gleichheitszeichen  bei  allen  denjenigen  v- Werten  aus- 
zuschließen, für  welche  iy  =  0  ist. 

Der  Beweis   ist  folgender:   Infolge  der  Bedingung  a)   des 
Theorems  ist: 

la^'+n  +  a  I  — 1>0. 

Würde  hier  einmal  Gleichheit  stattfinden,  so  müßte  auch  jeder 
Term  auf  der  linken  Seite  von  a)  verschwinden,  also  insbe- 
sondere: 

was  aber  wegen  a^^fO,  a^*'+^>4:0  nicht  möglich  ist.  Es  ist 
also: 

a;;+»)  +  (5J  -  1  >  0, 

und  folglich  kann  man  statt  Ungleichung  a)  auch  schreiben: 

Wird  diese  Ungleichung  für  gewisse  r- Werte  nur  durch  die 
Wahl  ir  =  0  erfüllt,  so  kann  der  links  stehende  Ausdruck, 
wenn  dy  sich  hinreichend  wenig  von  Null  unterscheidet,  wegen 
der  Stetigkeit  jedenfalls  nur  um  beliebig  wenig  die  Zahl  * 
übertreflFen.     Man  kann  daher  der  Ungleichung 

-^f^^TU^i -*+* 

durch  lauter  von  Null  verschiedene  d.  Genüge  leisten,  wie  klein 
auch  die  positive  Zahl  e  gewählt  wird.  Nimmt  man  insbe- 
sondere auch  f  <  1  —  t>.  so  wird  eben  nach  Theorem  ^^I  Kon- 
vergenz stattfinden,  wenn  noch  n'^'  >  ?^  -f"  ^  i^*-  P»  ^^^r  ^ 
beliebig  klein  gewählt  werden  kann,  so  ist  diese  Beilingung 
gleichbedeutend  mit : 


O.  PerroB:  Über  die  Jucobi^Kattenalgonibinen. 


447 


unter  Ausschluß  der  Gleichheit.  Damit  ist  der  Zusatz  bewiesen, 
soweit  er  sich  auf  Konvergenz  schlechthin  bezieht.  Die  un- 
bedingte Konvergenz  ergibt  sich  dann  natürlich  durch  die 
frühere  Schlußweise. 

Durch  spezielle  Wahl  der  d^  erhält  man  aus  dem  Theorem  VII 
mit  obigem  Zusatz  beliebig  viele  Spezialkriterien,  von  denen 
ich  wenigstens  eines  anführen  will.  Setzt  man  nämlich  durch- 
weg d^  =^  0,  so  folgt,  wenn  man  noch  v  —  1  an  Stelle  von  v 
schreibt : 

Theorem  VIIL  Wenn  für  v^2  durchweg  die  Un- 
gleichung 

l<  I  +  !<*  I  +  -■  + ' <i, I  ^ ^(i<^  1  -  I) 

gilt,  wo  ö  eine  positive  Zahl  kleiner  als  1  bedeutet, 
und  wenn  außerdem  |a^'^|>i9  ist,  so  ist  die  Kette 

«r.  <".  «f.  •  • 

unbedingt  konvergent 

Die  zur  unbedingten  Konvergenz  noch  erlbrderlichen 
Bedingungen  |  ajj''  |  >  #  für  r  >  1  brauchen  nämlich  hier  nicht 
mehr  eigens  verlangt  zu  werden,  da  aus  der  ersten  Unglei- 
chung des  Theorems  sowieso  schon  |  «J^^*  |  >  1  folgt.  Durch 
das  Theorem  VIII  werden  die  Bedingungen  von  Theorem  II 
um  ein  weniges  reduziert,  indem  statt  der  Forderung 

K"i  +  l«ri+ +  ie,i<'nid-i) 

nur  die    viel   weniger  verlangende  ,|a^'i|>#*  erhoben  wird. 
Wendet    man    die    Ergehnisse    dieses    Paragraphen    mm 

speziell  auf  Ketten  erster  Ordnung  an,  so  erhält  man: 
Eorollar:  Der  Kettenbruch 


d^>  + 


"0    1 


+ 


laf 


[am 


448         Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

ist  unbedingt  konvergent,  wenn  es  gewisse  Zahlen  d^ 
gibt,  derart,  daß  für  v>  1  durchweg  die  zwei  Unglei- 
chungen 

gelten,  wo  d^  eine  positive  Zahl  kleiner  als  1  bedeutet. 
Sollte  die  erste  Ungleichung  für  gewisse  r-Werte  etwa 
nur  durch  die  Wahl  3^  =  0  zu  befriedigen  sein,  so  ist 
in  der  zweiten  Ungleichung  für  diese  r-Werte  das 
Gleichheitszeichen  zu  unterdrücken. 

Unter  den  Spezialfällen,  die  sich  durch  besondere  Wahl 
der  Zahlen  dy  ergeben,  seien  die  folgenden  vier  hervorgehoben : 

I  <'  i  >  ^• 
3)  (5,  =  1 :     I o«,'^  I  +  ; <+"  -  ai')   <  »> (j  a<-  +  ')  +  1  j  -  1) , 

I  «r  I  >  ^• 

4)  (^  =  - 1:  ! <  1  + 1 <+"  +  <' I  <«>  (!«r+" - 1  !-i). 

.  ow  I  >  ^. 

Der  erste  dieser  vier  Fälle  entspricht  dem  Theorem  VIII. 
Er  laut  sich  übrigens  auch  auf  etwas  einfachere  Weise  aus 
den  Theoremen  II  und  III  ableiten  und  bleibt  noch  richtig 
für  1^  =  1,  in  welchem  Fall  ihn  Herr  Pringsheim  bewiesen 
hat.^)  Indes  ist  zu  beachten,  daß  der  Satz  für  t><  1  nicht 
durch  den  gleichen  Satz  für  i^  =  1  entbehrlich  wird,  wie  dies 
bei  Theorem  II  offenbar  der  Fall  wäre;  denn  ftlr  ?^  <  1  lautet 

M  Die  Fordeninjx  (i\'^  >  i>  für  »•>:>  ist  wie  bei  Theorem  VIII 
wieder  von  selbst  erfüllt. 

*'  In  der  auf  pii«;.  441  zitierten  Arbeit.  Seite  3G4:  die  I^edin*niiigen 
sind  dort  sojjur  noch  etwas  reduziert. 


0,  Pemra;  Über  die  Jacobi-Kettenalgoritbmeii. 


449 


die  zweite  der  geforderten  Ungleichungen  nur  1  aj*^  j  >  i^,  aber 
nicht    a5^^j>L 

Ferner  ist  es  wohl  nicht  überflüssig  zu  bemerken,  daö 
die  absolute  Willkürlichkeit  der  d^  die  unbedingte  Konvergenz 
nicht  nur  dann  garantiert,  wenn  für  alle  i'(>l)  die  Bedin- 
gung 1)  oder  für  alle  j'(>1)  die  Bedingung  2)  oder  sonst  eine 
«rfUllt  ist  Es  genügt  vielmehr,  wenn  für  jeden  einzelnen 
Wert  von  i'(>l)  irgend  einer  von  diesen  Bedingungen  genügt 
wird^  etwa  iUr  gerade  v  der  Bedingung  1),  für  ungerade  v 
der  Bedingung  2)  oder  3)* 

§  5. 
Ausdehnung  des  Legendreschen  Irrationalitätssatzes. 

Wir  wollen  jetzt  den  Legendreschen  Irrationalitätssatz 
auf  die  Kette  n^"  Ordnung 


a^ö>   at^>   öi^ 


Qf 


a««) 


(46) 

[af,  aO\  fl^,  .  .  .J 

übertragen.  Zu  dem  Zweck  setzen  wir  die  Elemente  a^^^  als 
gftnze  rationale  Zahlen  voraus  und  selbstverständlich  wieder 
ö^*>4;0.  Es  sind  dann  auch  die  A^^  ganze  rationale  Zahlen, 
Wenn    nun   auläerdera    für  v  ^  0   durchweg    die   Ungleichung 

(47)  |ai;'i  +  |ari+... +  !«';'., i<t?(i<M-l).    »<1 
besteht,  wenn  also  die  Elemente  den  Bedingungen  des  Theorem  111 
genügen,   so  ist  die  Kette   konvergent,    und   wir   wollen  jetstt 
zeigen,  dafa  eine  Beziehung  der  Form 

(48)  P, a«rt  +  P,  af>  +  P^af  +  •  ■  - -\-  P^ai«»  =  0 

mit  rationalen,  nicht  sämtlich  verschwindenden  Koeffizienten 
Fi  nicht  bestehen  kann.') 


^  Der  Gleichutig  (48)  hltte  nxan  natürlich  ebensogut  die  Form 

geben  könne«,  dji  ja  nf^  rational  ht  Nur  der  Symmetrie  halber  Imbei* 
wir  dem  P^^  den  Fiikt^r  «fj**  betgegeben. 


^^ 


450        Sitaung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

Angenommen,  es  bestünde  eine  solche  Relation,  so  kann 
man  die  Pi  von  vornherein  als  ganze  Zahlen  annehmen, 
indem  man  eventuell  mit  dem  Generalnenner  multipliziert. 
Wir  multiplizieren  dann  die  als  richtig  angenommene  Glei- 
chung (48)  mit  J.J'^  und  erhalten: 

n 

Addiert  man  beiderseits  die  Größe  ^P^.a^^^  J.jr\  so  kommt: 

1=1 

<  i;  ^i  ^T  =  £  ^i «'  ^T  -  «1'^  ^'o')' 

1=0  i=l 

Hier  steht  nun  auf  der  linken  Seite  eine  ganze  Zahl; 
auf  der  rechten  aber  nähern  sich  nach  Theorem  III  alle  n  Sum- 
manden mit  wachsendem  v  der  Grenze  Null.  Von  einer  ge- 
wissen Stelle  r  >  ^  ab  muß  daher  die  rechte  Seite  und  folglich 
auch  die  ihr  gleiche  linke  Seite  jedenfalls  absolut  kleiner  als 
1  werden;  aber  dann  kann  sie  als  ganze  Zahl  nur  gleich  Null 
sein.     Wir  bekommen  also  für  v^  N: 

n 

»  =  o  •     ' 
Setzt  man  hier  der  Reihe  nach  v  =^  N,  N-i-  1,  .  .  .  iV+  n, 
so    erhält   man    ein    System   von    n  +  1    linearen    homogenen 
Gleichungen  mit  der  Determinante: 


(49) 


I   -^0  '    -^1  »    •  •  •    -^« 


I        0  ♦        1  »    •  •  •    -*-^„ 

welche  wegen  Formel  (3)  von  Null  verschieden  ist.  Es  folgt  also: 
Py  =  P,  =  .  .  .  =  P„  =  0;     w.  z.  b.  w. 

Übrigens  braucht  die  Ungleichung  (47)  nicht  für  alle 
Werte  von  v  erfüllt  zu  sein,  sondern  bloß  von  einer  gewissen 
Stelle  v>  N  ab.     Denn  jedenfalls  ist  dann  die  Kette 


0.  Ferron;  Über  die  Jiicobi-Kettenalgoritbtüeö. 


451 


a^^^' 


konvergent,  und  nach  dem  soeben  Bewiesenen  ist  eine  Be- 
ziehung der  Form 

(50)  <;>,  «tf '  +  ^,  a\«^  ^...+Q^  af  >  =  0 

mit  rationalen  nicht  sämtlich  verschwindenden  Koeffizienten 
Q^  nicht  möglich.     Es  ist  daher  insbesondere  auch: 

denn  andernfalls  hätte  man: 

was  dem  Nichtversch winden  der  Determinante  (49)  widerstreitet. 
Nach  dem  Lemma  auf  pag.  414  ist  daher  die  Kette  (46)  eben- 
falls koHTergent,  und  zwar  hat  man: 

Oleichuug  (48)  ist  daher  gleichbedeutend  mit  der  folgenden: 
oder,   was  dasselbe  ist, 


i  =  Q 


i^ii 


Dies  ist  aber  eine  Gleichung  der  Form  (50)  und  ist  daher  nur 
möglich,  wenn  sämtliche  Koeffizienten  verschwinden;  also: 

Aber  die  Determinante  dieses  Gleich ungssystems  ist  wie  vorhin 
von  Null  verschieden:  also  folgt  auch  jetzt  notwendig: 

p,  =  Pi  =  .  .  .  =  P,  =  0. 


452       Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 


Wir  sprechen  dieses  Resultat  aus  in 

Theorem  IX.  Wenn  die  Elemente  aj''^  ganze  ratio- 
nale Zahlen  sind,  welche  von  einer  gewissen  Stelle 
v^^ab  die  Ungleichung 

K^l  +  Kl  +  •  •  •  +  KL.i  <*(l«ir'l-i) 

erfüllen,    wo   d^   eine  positive  Zahl  kleiner   als   1    be- 
deutet, so  ist  die  Kette 


(46) 


aW,  aÜK  ai^\ 
a(o),  a('),  a(2), 


af 


r,(0) 


unbedingt  konvergent,  und  ihr  Wertesystem  genügt 
keiner  Relation  der  Form 

P,  <)  +  P,  aCO)  +  P^  a(0)  +  .  .  .  +  p^  a«»)  =  0 

mit  rationalen,  nicht  sämtlich  verschwindenden  Ko- 
effizienten P|. 

Denn  daß  die  Konvergenz  der  Kette  auch  eine  unbedingte 
ist,  ergibt  sich  wieder  durch  den  gleichen  Schluß  wie  immer. 
Ganz  die  gleiche  Analyse  führt  zu  dem  folgenden  etwas  all- 
gemeineren 

Theorem  X.  Wenn  die  Elemente  ajr»  ganze  Zahlen 
eines  imaginären  quadratischen  Körpers  sind  und  von 
einer  gewissen  Stelle  v>N  &h  der  Ungleichung 

Kl -f  KM  +  •  •  •  +  l<'L,.<:^n;aL"l-i).   *<  1 

Genüge  leisten,  «o  ist  die  Kette  (46)  unbedingt  kon- 
vergent und  ihr  Wertesystem  genügt  keiner  Relation 
der  Form 

P„<"+P,af+...  +  P„aifl  =  0, 

WO  die  Koeffizienten  P,  Zahlen  des  betreffenden  qua- 
dratischen Körpers  sind,  welche  nicht  sämtlich  ver- 
schwinden. 

Zu  beachten  ist  bei  diesen  Theoremen  namentlich,  daß 
ganz  im  Gegensatz  zu  Theorem  II  die  geforderte  Ungleichung 


O.  Perron:  Über  die  Jacobi-KettönaJgoritbmeö, 


453 


nur  für  i-  >  -ST  zu  gelten  braucht    ¥llr  Kettenbrtlch©  speasiali- 
siert  lauten  diese  Sätze: 


Wenn    die    Teilzähler 
brnehes 


und    -nenner    des    Ketten- 


af-\- 


+ 


^^H^  I 


+ 


K' 


+ 


ganze  rationale  Zahlen  sind  und  von  einer  gewissen 
Stelle  V  >  A'^  ab  der  Ungleichung 

i<M<^(i«ri-i)   o^<i) 

Genüge  leisten,  so  ist  der  Kettenbruch  unbedingt  kon- 
vergent und  hat  einen  irrationalen  Wert 

Wenn  unter  sonst  gleichen  Bedingungen  die  aj*'^ 
[anze  Zahlen  eines  imaginären  quadratischen  Körpers 
iind,  so  ist  der  Kettenbruch  ebenfalls  unbedingt  kon- 
vergent, stellt  aber  niemals  eine  Zahl  desselben  qua- 
dratischen Körpers  dar. 

In  den  Sätzen  dieses  Paragraphen  ist  der  Wert  t5  ===  1 
nicht  zulässig,  obwohl  nach  Theorem  IV'  die  Konvergenz  der 
betreSeuden  Ketten  bestehen  bleibt  (wenigstens,  wenn  die  ge- 
forderte Ungleichung  schon  von  y=l  ab  erfüllt  ist).  Schon  die 
Kettenbrüche  lehren  dies.  Denn  der  Legen  dresche  Irrationali- 
tätssatz wird  zwar  immer  für  0  =  1  ausgesprochen,  erleidet 
aber  dann  auch   eine  Ausnahme,  indem  der  Kettenbruch 


den  Wert  1  hat,  also  rational  ist  Es  ist  dies  im  wesentlichen 
der  einzige  AusnahmefalL  Man  vergleiche  darüber  §  4  der 
auf  pag-  411  zitierten  Arbeit  des  Herrn  Pringsheim* 


l%m.  B\tmm§ßh.  4  iB*iä.-ihh7«.  Ei 


U 


454        Sitzung  der  math.-phjB.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 


§6. 
Analogon  zu  dem  reellen  Kettenbruoh 


Unter  den  reellen  Kettenbrüchen,  die  nach  dem  Prings- 
heimschen  Fundamentalkriterium  unbedingt  konvergent  sind, 
bieten  bekanntlich  die  von  der  Form 


\c,+  l  \c,  +  l         \€,  +  l 


(Ci>0) 


ein  besonderes  Interesse  dar,  und  sie  nehmen  namentlich,  wenn 
die  Reihe 

divergiert,  eine  gewisse  Ausnahmestellung  ein,  die  auch  am 
Schluß  des  vorigen  Paragraphen  hervorgetreten  ist.  Der  Wert 
eines  solchen  Kettenbruches  ist  immer  gleich  1,  während  er 
bei  Konvergenz  der  obigen  Reihe  kleiner  als  1  ist.  Der  Ver- 
such, unter  den  Ketten  w*®*"  Ordnung,  die  dem  Theorem  IE  ge- 
nügen, ein  Analogon  zu  obigem  Kettenbruch  zu  finden,  muß 
schon  daran  scheitern,  daß  dort  die  Zulässigkeit  des  Wertes 
1?  =  1  nicht  allgemein  erwiesen  werden  konnte.  Indessen  gibt 
es  doch  Ketten  n^'  Ordnung,  die  den  Bedingungen  von 
Theorem  II  zwar  nicht  genügen ,  auch  nicht  für  i?  =  1 ,  die 
aber  doch  unbedingt  konvergent  und  dem  obigen  Kettenbruch 
sehr  verwandt  sind. 

Wir  betrachten  die  Kette  n*®^  Ordnung: 


(51) 


—  c^ 


Cl. 


c». 


-   ^0+  1,     —  C, +  1,     —  Cj-f  1, 


-Co+1, 


c,  +  1, 
c,+  l, 


c,+  l, 


in  deren  (v  -\- 1)**'  Kolonne  zuerst  eine  Zahl  —  c„  dann  (n  —  1) 
mal  die  Zahl  —  c,.  +  1,  endlich  einmal  c,  -}-  1  auftritt.     Wir 


0.  Perron:  Über  die  Jncobi-Kettenalgorithmen, 


455 


wolliB  Eucächst  unabhängig  von  der  Konvergenzfrage  die 
formale  Seite  dieser  Kette  studieren  und  erst  später  den 
Zahlen  Cr  ye wisse  Einschränkungen  auferlegen.  Die  die  Kette 
(51)  definierenden  Itekursionsformeln  lauten: 

(ii.+iiH-n  =  —  c  C^r^  +  il—€)  (3/+!^  H 

m        -f  (1-0  ci'+"-"  +  (1+0^1'+"' 

(t  =  0,  1,  .  ..n;    v  =  0,  1.  ..  .»). 
(53)  <^**'=jj^-^*    (i,Ä  =  0,l....«). 

Die  erste  dieser  Gleichungen  kann  auch  io  der  Form  ge- 
schrieben werden: 

qv+fi+n  _  qi'+ii>  _  qr+ü-i)  _  _  —  or^^y 
=  e^  (CV'+»i  —  q''+»-ij  —  q»'+«  *^>  _  * q*»), 

wo  nun  die  Klammer  rechts  ebenso  gebildet  ist,  wie  die  linke 
Seite,  nur  daß  *'  —  1  an  Stelle  von  v  steht.  Setzt  man  also 
diese  Formel  für  v  ==  0,  1,  ,  *  .  r  an  und  multipliziert,  so  kommt: 

wobei  offenbar  nach  Formel  (53) 


„       j^  1  für  i  =  0,  1, 


.  n  -1 


ist.     Hieraus   folgt    nun    für   abnehmende    Werte   von    v    das 
System  von  Gleichungen: 

q.+«+n_qv+M_q.+«^t) a;-^^^=c^€,...€E^\t^_^ 

q*+*i)-q*'+»-n„q-+«-s}^..._q-we^jö^,..(?^^^£. 


q-+i)_  q«)_q— 1) _  qt»  =  c^,i;^ 

»o_qii-n«q»»-t) Cf^  =  E^ 


31* 


456        Sitzung  der  math.-ph7B.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

Wir  multiplizieren  diese  Gleichungen  der  Reihe  nach  mit  den 
beigesetzten  Faktoren  hx  und  addieren  sie  dann;  dabei  sollen 
die  Tcx  so  gewählt  werden,  daß  im  Endresultat  links  die  Terme 

herausfallen,  während  C^^+^-f^^  den  Koeffizienten  1  erhält.  Dies 
wird  ofifenbar  dann  und  nur  dann  erreicht,  wenn  wir  die 
Zahlen  kx  durch  die  Rekursionsformel 

(54)  ky=ky-l     +    ky^2    4"      '     *     "      4"    K  -  n 

berechnen,  ausgehend  von  den  Anfangswerten: 

(55)  Äo  =  0,  *i  =  0,   .  .  .  i,«2  =  0,  kn-i  =  1.*) 

Führt  man  nun  besagte  Multiplikation  und  Addition  aus, 
so  kommt: 

Hier  sind  aber  die  negativen  Terme  der  linken  Seite  nach  (53)  für 
i  =  n  alle  gleich  Null;  für  i^m  ist  genau  einer  von  Null 
verschieden,  nämlich  derjenige,  welcher  C^*^  enthält.  Man 
findet  daher  schließlich,  noch  mit  Benutzung  der  oben  ange- 
gebenen Werte  von  JE?,: 

+  (Än-K  +  *«-fv-i  H h  A:«+r-.)    (i  =  0, 1,  -..  n-1). 

Die  Zahlen  CJ**^  sind  damit  explizit  berechnet,  sobald  die  k^ 
als  bekannt  angesehen  werden.  Setzt  man  v  -  w  an  Stelle 
von  V,  und  führt  noch  die  Abkürzungen 


1)  Für  n  =  1   ist  durchweg  kj^  =  1   zu   setzen.     Für  n  >  1   wichst 
offenbar  ä*.  monoton  mit  X  ins  Unendliche. 


0.  Perron:  Über  die  Jacobi-Eetten&tgoritbmen. 


457 


h-i 


Äv-I 


K-\ 


(56) 


ein/)  so  gehen  die  letzten  Formelii  Über  in: 

(57)   q'+'>  =  -ft,g^  +  i,p,^  (i  =  i,2,...«-i) 

Also  scblieUlich  durch  Division: 


(58) 


^*,  4  ^v 


«, 


(»=1,2,...»-  1), 


"0(7^,+ n 


Von  jetzt  ab  seien  die  c^  reelle  positive  Zahlen»  In 
diesem  Fall  können  wir  das  Verhalten  von  P^,  i  und  Q^  für 
unendlich  wachsende  v  aufs  genaueste  bestJniineD  und  daraus 
die  Konvergenz  der  Kette  folgern*  Um  uns  vor  allem  über 
das  Wachstum  der  Zahlen  i^  zu  orientieren,  von  welchen  ja 
P^^i  und  Qr  abhängen,  gehen  wir  aus  von  der  algebraischen 
Gleichung  n^^^  Grades: 

deren  Wurzeln  ^p  ^._,,  •  ■  -  9„  seien.    Diese  Gleichung  hat  die 

folgenden  bemerkenswerten  Eigenschaften,  deren  Beweis  wir, 
um  hier  den  Gang  der  Untersuchung  nicht  zu  unterbrechen, 
erst  in  §  8  nachtragen  werden  * 

1.  Die  Gleichung  /(^)  =  0  hat  eine  und  nur  eine 
positive  Wurzel  q^i  diese  liegt  zwischen  1  und  2, 
während  alle  anderen  Wurzeln  absolut  kleiner  als  1  sind. 


I 


H  Dmbei  setaen  wir  »'  >  w  —  l  voraua,  damit  die  Nenner  ^^ :{:  0  sind ; 
wir  werden  tpfiter  v  ins  Unendliche  wacbsen  lassen. 


458        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

2.  Die  Gleichung  f(x)  =  0  ist  im  Bereich  der  ra 
tionalen  Zahlen  irreduzibel,  daher  insbesondere  ihr< 
Wurzeln  ^j,  ^g»  •  •  •  Qn   ^^^^    voneinander    verschieden 

Wir  behaupten  nun,  es  ist: 

(59)  K  =  i7.Q:, 

wo  die  Koeffizienten  y^  von  v  unabhängig  sind.  Denn  forden 
man  diese  Gleichung  zunächst  für  v  =  0,  1,  .  .  .  n  —  1,  s( 
hat  man  n  lineare  Gleichungen  mit  nicht  verschwindende] 
Determinante  für  die  n  Unbekannten  y^,  ^'2'  •  •  •  ^n»  ^^®  hieratu 
eindeutig  berechnet  werden  können.  Da  aber  anderseits  g 
eine  Wurzel  von  f{x)  ist,  so  ist  Ql~*^  f(Q^)  =  0,  oder,  was  das- 
selbe sagt: 

Der  gleichen  Rekursionsformel,  wie  sie  hier  für  die  Zahler 
Ql  gegeben  ist,  genügen  aber  nach  (54)  auch  die  Zahlen  ky 
Daraus  folgt,  daß  die  Formel  (59)  für  einen  gegebenen  Wert  1 
richtig  ist,  sobald  sie  für  die  n  vorhergehenden  r -Werte  be- 
steht. Sie  gilt  aber  für  v  =  0,  1,  ...  w  —  1,  und  folglicl 
auch  für  alle  größeren  v.  Zu  bemerken  ist  noch,  dals  du 
Koeffizienten  ^j,  j'g»  •  •  •  "/n  ^^^^  "^^^  Null  verschieden  sind.  Dem 
offenbar  sind  sie  wegen  der  Irreduzibilität  von  f{x)  konju- 
gierte algebraische  Zahlen,  die  bzw.  den  Körpern  vor 
^1»  ög,  ...  g^  angehören;  wenn  daher  eine  gleich  Null  wäre 
so  wären  sie  alle  gleich  Null,  was  nicht  angeht. 

Da  ^1  >"  1,  sonst  aber  |  ^^  |  <  1  ist,  so  folgt  aus  (59): 

(60)  lim^'  =  y, +0, 

v=Qo  g^ 

oder  auch,  was  dasselbe  sagt: 

lim    l~\  =7,  ^  0. 
Folglich  durch  Division  der  zwei  letzten  Gleichungen: 


/ 


0.  Perron;  Ober  die  Jacobi-Kettenalffontbmen 


459 


(61) 


,.    K-%      1 

lim  -j-  =  — . 


Hieraus  erhalt  man  auch  noeh  etwas  allgemeiner: 

(62)  lim  J-*  =  Lm  -^r-  ^ —  •  •  •  £ =»  -j . 

Aus   der   zweiten   Definitionsgleichung    (56)   folgt    daher 
sofort : 

(63)  hm  P^,,  ^  1  +  -  +    ■    +  ^^  =  —  ^< — ^ 

Schwieriger  ist  der  Grenzwert  ?on  Qy  zu  bestimmen»    Wir 
müssen  da  zwei  Fälle  unterscheiden: 
L   Die  Reihe 


(64) 


sei  divergent»     Dann  ist,    weil  oi  und  alle  c,,  k^  positiv  sind: 

Vv  =  1  +  ^0 -^ h  Co äi  -jT 1  *"  +  CqCi*  -  'Cy-t,  —jT— 

wo  l  eine  beliebige  Zahl  zwischen  1  und  v  —  «  +  1  bedeuten 
kann.  Wir  wählen  jetzt  A  willkürlich,  aber  fest,  während  r 
unbegrenzt  wachsen  soll  Dann  nähert  sich  die  rechte  Seite 
von  (65)  dem  Grenzwert 


und  es  folgt  daher  aus  (65): 

lim  Q.^K,, 


CöCi 


€?X-1 


el 


Da  dies  einerseits  für  jeden  endlichen  Index  X  gilt,  da 
anderseits  aber  wegen  der  vorausgesetzten  Divergenz  der  Reihe 
(64)  Kl  mit  l  über  alle  Grenzen  wächst,  so  folgt: 


460        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

lim  Qv  =  cx). 

Geht  man  daher  in  den  Formeln  (58)  zur  Grenze  v  =  oo  über, 
so  ergeben  sich  die  folgenden  Grenzwerte: 

—  Cohm-^  =  —Co       (i  =  1,  2,  .  .  .  w—  1), 

—  Co  lim  77^)  =+  CO. 

In  diesem  Falle  konvergiert  also  die  Kette  (51)  und  zwar,  wie 
wieder  leicht  zu  sehen,  unbedingt. 

Wir  wenden  uns  jetzt  zu  dem  Fall: 

IL  Die  Reihe  (64)  sei  konvergent  und  habe  den  Wert  K. 
Es  ist  dann: 

(66)        ir=i  +  -  +  -^  +  -^  +  ...>i. 

k 

Multipliziert  man  jetzt  den  Ausdruck  Qy  in  (56)  mit   -~ 

und  ersetzt  dann  alle  vorkommenden  Jcx  durch  ihren  in  Formel 
(59)  angegebenen  Wert,  so  erhält  man: 

^l  ^l    «=l  ^l    S=l  ^1      8=1 

,     CqCi  .  .  .  Cy  —  n  ^^  ^  _  1 

+  •■•  +  - — -r —  Ly.er 

oder  auch,  indem  man  in  der  rechts  stehenden  Summe  den 
Term  für  5=  1  abtrennt: 

(67) 


O.  Perron:  IVber  die  Jaüöbi-Kettenalgorithtnen. 


461 


Hier  hat  nun  auf  der  rechten  Seite  das  Glied  außerhalb  df^s 
Sunimenzeichens  offenbar  für  v  ^=  oo  den  Grenzwert  }\  K.  Von 
den  n — 1  Gliedern  unter  dem  Summenzeichen  aber  wollen 
wir  beweisen»  daß  jedes  einzelne  den  Grenzwert  0  bat*  Für 
5^=2,  3,  .  .  ,  n  ist  nämlich  I^*|<1;  also: 


1 


»i-M 


<ktv!:S^ 


^  l+g^,4g^,+    "  +  C:^g^-»CA-l   Jc^C.'-Cj     C^C.'C^^t  Cf,€^'ür-n\ 

el  \  er'        er^  / 

Babei  ist  wieder  l  eine  beliebige  Zahl  zwischen  1  ond  r— n+  1. 
Wählt  man  X  hinreichcGd  groiä*  so  ist  die  Klammergröfie  als 
Best  einer  konvergenten  Reihe  beliebig  klein,  und  wenn  nmn 
bei  Festhaltung  diese«  Wertes  A  nachtrüglicb  v  unbegrenzt 
wachsen  lalat,  so  wird  auch  der  Bruch 

1  +  gp  +  ^^0^1 (-  gfl  <?,  ■  ■  *  g;i-i 

beliebig  klein»     Hieraus  ergibt  sich  aber  in  der  Tat: 

1 

Um  -  (qI  +  g^^;- '  +  g^ g, gl-''-\ h c,,c,  ^-^Cr-n ^r ')  ^  ** 

(s  =  2,  3,  . . .  »), 
and  folgUcb  nach  Formel  (67)  für  die  Grenze  v  =  oci: 

Endlich  folgt  hieraus  mit  Rücksicht  auf  (60); 

lim  Q,  =  K, 


462        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 


Führt  man  die  gewonnenen  Resultate  nun  wieder  in  die 
Formeln  (58)  ein,  indem  man  dort  zur  Grenze  v  =  oo  über- 
geht, so  kommt: 

1  +  gl  -i \rQ\ 


—  Co  lim  j^  =  —  (?o 

v=ao  ^Q 


Q\ 


K 


(i  =  1,  2, 


l  —  K 
n-1), 


Da  nach  (66)  K>1  ist,  so  ist  der  hier  auftretende  Nenner 
von  Null  verschieden;  daher  ist  auch  im  gegenwärtigen  Fall 
die  Kette  konvergent,  und  zwar  wieder,  wie  man  leicht  er- 
kennt, unbedingt  konvergent.  Die  Zusammenfassung  dieser 
verschiedenen  Resultate  führt  nun  zu 

Theorem  XL  Wenn  c^,  c,,  c^,  .  .  .  eine  unbegrenzte 
Folge  wesentlich  positiver  Zahlen  sind,  so  ist  die 
Kette  n^^  Ordnung: 


—  c^ 


—  Cr 


—  Co  +  1,   -  c,  +  1,  —  Cj  +  1, 


iv(0) 

Kl 

\7r 


v(0) 


—  Co  +  1,   —  Cj  +  1,    —  Cjj  -f  1,  .  . 

in  deren  (v  +  l)***"  Kolonne  zuerst  ein  Element  — c^, 
sodann  (n — l)mal  das  Element  — Cy-\-l,  endlich  ein- 
mal Cy  +  1  auftritt,  unbedingt  konvergent.  Ihr  Werte- 
system ist: 

(i  =  1,  2,  .  .  .  n  —  1), 


v(^')  = 


oder  aber: 

i  +  e.  +  ei+ 


^-        K-1' 


+e\-KQ\ 


Q\iK-\) 


(i  =  l,2,-..n-l). 


0,  Perron:  Ober  die  iTacobt-Kettenalgohtlunen. 
je  nachdem  die  Eethe 


463 


1  +  ?  +  ^  + 


et 


,  + 


diTergiert  oder  gegen  den  Wert  Ä' konvergiert    Dabei 
bedeutet  ^i  die  positive  Wurzel  der  Gleichung: 

35^  — x*-^  — 3f*^^  —  ' X —  1  =  0. 


§7. 
Ausdehnung  der  letzten  Untersuchung  auf  komplexe  Elemente. 

Die  Entwicklungen  des  vorigen  Paragraphen  bleiben,  so- 
weit sie  sich  auf  den  Fall  der  Konvergenz  der  Reihe  (64)  be- 
ziehen, mit  geringen  Änderungen  noch  gültig,  wenn  die  a^ 
beliebige  komplexe  von  Null  verschiedene  Zahlen  sind.  Doch 
muß  dann  die  absolute  Konvergenz  der  Reihe  (64)  gefordert 
werden  (früher  waren  ihre  Glieder  alle  positiv,  die  Konvergenz 
also  von  selbst  eine  absolute). 

Sei  also  die  Reihe 


(64) 


i  +  r  +  -9  + 


^0^1  _i_  ^a^t'^t 


Qi 


9\ 


+ 


absolut  konvergent  und  ihre  Summe  gleich  Ä".  Wenn  dann 
Qr  nnä  P^^i  wieder  ihre  frühere,  durch  die  Definitionsglei- 
chungen (56)  festgesetzte  Bedeutung  haben,  so  bleiben  die 
Formeln  (58)  bestehen,  und  aulaerdem  ist  auch  jetzt  nach  (63); 


lim  P^^  t  = 


9\ 


(»  =  1,2,  ...«-1), 


da  ja  Pr^i  gar  nicht  von  den  Zahlen  Cx  abhängt.     Es  kommt 
also  nur  noch  darauf  an,  zu  zeigen,  daJä  auch  wieder 

Um  Q.  =  K 

ist.     Das  wird   ganx   ähnlich  wie   früher  erreicht,   indem   wir 
beweisen,  dala  die  unter  dem  Summenzeicben  stehenden  Glieder 


464        Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

in  der  auch  jetzt  gültigen  Formel  (67)  mit  wachsendem  v  der 
Grenze  Null  zustreben.  In  der  Tat  ist  jetzt  für  5  =  2,  3,  ...  n 
analog  zu  der  Analyse  auf  pag.  461 : 


Q 


<^  (1  +  kol  +  koCi  H —  +  !coC,  •  •  •  c—  I) 

/|CoC,  ...ca|        |c„c,  ...Cü+il  •     •  fi    \ 

+  i""ef+~~  +       V^ "^  ■  ■  ■  '°        j- 

Wegen  der  absoluten  Konvergenz   der  Reihe  (64)  können  wir 
hieraus  wieder  wie  früher  schließen: 

li™  h  (!?r + <'oer' + <'o<'.  er-- + •  •  • + co^,  •  •  •  c,.„  er') = o. 

Wenn  man  also  in  Formel  (67)  zur  Grenze  r  =  oo  übergeht, 
so  kommt  wieder: 

lim  ~  Qr  =  y^  Z, 

und  folglich  auch: 

lim  Qr  =  K. 

Läßt  man  daher  endlich  auch  in  den  Formeln  (58)  v  wieder 
unbegrenzt  wachsen,  so  ergibt  sich: 

!_+(>,  +  -  +  ?{_ 


'0 


Diese   Resultate   sind   die   gleichen    wie   die   des  Torigen 
Paragraphen.    Jedoch    ist  jetzt   die   Bedingung  K^\   nicht 


0*  Perron  i  Übwr  die  Jacobi-KetteaaJ^oritUmen. 


46S 


ohne  weiteres  erfiiüt;  die  Formeln  zeigen  aber,  daß  die  Kette 
koavergiert  oder  divergiert,  je  na<!hdem  -ff  4=  1  otier  Ä^  =  1 
ist.  Übrigens  ist  die  Konvergenz  für  JC  ^  1  nicht  immer  eine 
unbedingte.     Betrachtet  man  nümlich  die  Kette: 


(68) 


so  ist  diese  Ton  gleicher  Bauart  wie  die  Kette  (51),    aber    an 
Stelle  der  Reihe  (64)  tritt  jetzt  die  folgende: 

welche  offenbar  auch  absolut  konFergiert  und  den  Wert 


^0*^1 


hat.     Die  Kette  (68)  wird  daber  nur  dann  konvergieren,  wenn 
dieser  lieihenwert  ebenfalls  von  1  verschieden  ist,  d.  h,  wenn 


K:^l  +  ^^'^  + 


Ci)  €1 


Ca-I 


u\ 


ist.  Bei  unbedingter  Konvergenz  der  Kette  (51)  muÜ  daher 
diese  Ungleichung  für  alle  endlichen  A  >  1  erfüllt  sein.  Wir 
erhalten  also: 

Theorem  XII,  Wenn  unter  Beibehaltung  der  Be- 
zeichnung von  Theorem  XI  die  Cy  beliebige  komplexe 
Zahlen  {Cr^O)  sind,   und   wenn   die   unendliche   Reihe 


1  +  ^  +  --^^ 


+ 


9,         Q;  e? 

absolut  kontergiert,  so  ist  die  Kette  divergent  oder 
konvergent,  je  nachdem  der  Wert  K  dieser  Reihe 
gleich  1  oder  von  1  verschieden  ist;  das  Wertesjstem 
der  Kette  ist  im   letzteren    Fall   das  gleiche   wie   bei 


4:66        Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

Theorem  XI.     Die  Konvergenz  ist  eine  bloß  bedingte 
oder  unbedingte,  je  nachdem  unter  den  Zahlen 

F    _  1    -L    ^<^-L    ^^^  -1.  ^    CpCi  ,,,Cx-i       ,j  ___  1     o  ^Njx 

A^=  1  +  --+  -I2-+---  + -X (X=l,2, --.oo)») 

mindestens  eine  gleich  K  ist  oder  nicht. 

Noch  weit  vollständiger  können  wir  das  Verhalten  der 
Kette  im  Fall  n  =  1,  also  für  Kettenbrüche,  bestinmien.  Dann 
ist  nämlich  nach  (58): 

wobei  aber,  da  jetzt  alle  ky  den  Wert  1  haben,  einfach 

Qy  =  1  +  Co  +  Co  Ci  +  •  '  '  -{-  Co  Ci  '  '  '  Cy  -\ 

zu  setzen  ist. 

Hieraus  kann  ohne  Schwierigkeit  folgendes  (im  wesent- 
lichen ja  bekannte)  Resultat  entnommen  werden: 

Die  Kette  erster  Ordnung 

oder,  was  dasselbe  ist,  der  Kettenbruch 

,    .  _      Ji f«__      ___     _Js  J 

'o-ti  i^^^i  .^^-^1  l^^.^.l 

zeigt  folgendes  Verhalten: 

1.  Wenn  die  unendliche  Reihe 

1  +  ^0  +  ^0^1  +  ^0^!^«+  •  •  • 
konvergiert    und    ihr  Wert  K  von  1   verschieden   ist, 
so  konvergiert  der  Kettenbruch  gegen  den  Wert 

M  Die  Klammer  (/.  =  1,  2, . . .  a )  bedeutet  natürlich  wie  seither  immer, 
daß  in  A';.  der  Index  A  alle  endlichen  Zahlen  durchlaufen  soll;  da- 
gegen ist  der  Grenzwert  lim  Kk  nicht  inbegriffen;  dieser  wäre  ja  nach 

Definition  gleich  K. 


0*  Perron  r  Über  die  Jacobi-Kettanalgoriibmea.  467 

K-V 

die  Konvergenz  ist  eine  blolä  bedingte  oder  unbe- 
dingte! j©  nachdem  von  den  Zahlen 

1  +  ^ü  +  ^0  ^i  H i-%<^i'-h-\     (^  =  1'  ^'  3,  -  ■  *  Go) 

eine  gleich  K  ist  oder  nichfc. 

2.  Wenn  die  obige  Reihe  gegt-n  den  Wert  1  kon- 
vergiert, so  ist  der  Kettenbruch  divergent 

3.  Wenn  die  selbe  Reihe  derart  divergiert,  daß 
die  absolut  genommene  Summe  ihrer  v  ersten  Glieder 
für  wachsende  v  den  Grenzwert  oo  hat,  so  konvergiert 
der  Kettenbruch  gegen  den  Wert  c^,  und  zwar  unbe- 
dingt 

4.  Wenn  die  selbe  Reihe  derart  divergiert,  daß 
die  absolut  genommene  Summe  ihrer  v  ersten  Glieder 
doch  für  unendlich  viele  f-Werte  unter  einer  end- 
lichen Schranke  bleibt,  so  divergiert  der  Kettenbruch. 

Diese  vier  Möglichkeiten  bilden  eine  vollständige  Disjunk- 
tion» sodaß  das  Verhalten  des  Kettenbruches  jederzeit  ans 
dem  Verhalten  der  unendlichen  Reihe 

abgelesen  werden  kann*  Sind  epexiell  die  €„  reelle  positive 
Zahlen,  so  können  bloß  der  erste  und  dritte  Fall  eintreten, 
sodaß  in  Übereiniitimmung  mit  Theorem  XI  und  mit  dem  Frings- 
heioischen  Fundamentalkriterium  der  Kettenbruch  jetzt  inamer 
konvergiert. 

§8. 
Hiirssatz  über  eine  besondere  algebraische  Gleichung. 

Es  sollen  jetzt  die  in  den  zwei  letzten  Paragraphen  be- 
nutzten Eigenschaften  der  Gleichung 

nachtr^Ueh  bewiesen  werden.   Wir  betrachten  zü  dem  Zweck 


468         Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

gleich  die  folgende  Gleichung,  welche  die  vorige  als  Spezialfall 
umfaßt: 

f(x)^^  a^  —  a^x^"^  —  a^af*'-^  —  •  •  •  — an-i^:  — a«  =  0, 

wobei  die  a,   beliebige  positive  Zahlen  sind,    die   den  Unglei- 
chungen 

ttj  ^  a,  >  «3  ^  •  •  •  ^  ttn  >  0 
genügen. 

Nach  der  Descartesschen  Zeichenregel  hsLtf(x)  eine 
und  nur  eine  (einfache)  positive  Wurzel  ^,.  Es  ist  dann  das 
Polynom  f{x)  teilbar  durch  x  —  q^,  und  man  kann  daher  den 
Ansatz  machen: 

(69)    -^- ix-l)  =  a:~  — ».a;«-'— 6-a:— 2 6,_,ir-6^. 

x—  Q^ 

Zur  Berechnung  der  Koeffizienten  6,  findet  man,    indem    man 
mit  dem  Nenner  x  —  q^  ausmultipliziert,  die  Formeln 

Q^  6„  =  ttn 
^l^_l  — 6~  =  ««_,— «n 


Da  hier  nach  Voraussetzung  a»  >  0,  im  übrigen  aber  die  rechts 
auftretenden  Differenzen  wenigstens  >;  0  sind,  und  da  außerdem 
auch  Q^  positiv  ist,  so  lehren  diese  Formeln    der  Reihe  nach: 

6n>0,    6n-i>0,   .  .  .  62>0,    6i>0. 

Die  hi  sind  also  alle  positiv;    außerdem  ist  ihre  Summe 

wie  sich  ohne  weiteres  aus  (69)  für  a;  =  1  ergibt. 

Wir  beweisen  nun:  Die  von  ^j  verschiedenen  Wur- 
zeln von  f{x)  sind  alle  absolut  kleiner  als  1.  Ange- 
nommen nämlich,  es  sei  o^  eine  von  q^  verschiedene  Wurzel, 
und  man  habe  !^j|>l.  Dann  ist  q^  auch  Wurzel  des  Poly- 
noms (69),  und  folglich: 


O,  Perron:  Ober  dif  Jscaln-Kettenalgoritbineii. 


4m 


I  e^  = 


f\e^-'  +  hs\ 


m-ü 


+  ---\-K.,e,  +  K 


<ii  e, I"-'  +  *.  I e. i:-'+  ■••  +  6-. ,  e,  I  -i-  fe. «) 


1  «-1 


Dies  besagt  aber  |^g|<l,  was  der  Voraassetzuog  \q^'>1  wider- 
spricht; diese  ist  also  unzulässig,  und  daher  gewiii  |^j|<l; 
\v.  z,  b.  w. 

Wir  nehmen    nuzi    weiter   die   Koeffizienten  a,  als   ganze 
rationale  Zahlen  an.     Dann  ist: 

Aö|  +  l)-:>(«i+l)'*-«i[K+l)""'+(a|+l)'»-M---+(a^ 

Also  liegt  die  positive  Wurzel  zwischen  1  und  a,  4^  U  während 
nach  obigem  dit»  anderen  Wurzeln  absolut  kleiner  als  1  sind. 
Daraus  folgt  aber  auch  sofort  die  Irreduzibilitat  des  Poly- 
noms f(x)  im  Bereich  der  rationalen  Zahlen;  denn  wäre  es 
reduzibelt  so  hätte  es  wenigstens  einen  Faktor 

mit  ganzzabligen  *)  Koeffizienten^  dessen  sämtliche  Wurzeln 
absolut  <  1  sind,  während  doch  ihr  Produkt  gleich  ±  ^4,  also 
absolut  >  1  ist.  Die  in  den  Paragraphen  6  und  7  benutzten 
Eigeni^cliaften   des  Polynoms  f(j^)   sind    hiemit   alle  bewie^n. 


§  9, 
Anwendungen. 
Um  jetzt   eine   kleine  Anwendung  der  entwickelten  Kon- 
vergenzBätze  zu  geben,  setzen  wir: 


(70) 


^M-iri^u^s)riv+s)sV 


^  unter  Auanchluß  der  Gleicbheii,  weil  §j  ak  eine  von  o,   ver* 
achiedene  Wurzel  nicht  positiv  tein  kaoti 

^)  Nach  einem  bekannten  Satx  von  Gaui. 
tt<k7,  Sllxuogsb.  d.  iiiAUi.'ph7L  EL  32 


470        Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

wobei  u,  V  irgendwelche  konstante  komplexe  Zahlen  sind, 
während  js  eine  komplexe  Variable  ist.  Es  ist  dann  (f  (u,  v) 
eine  ganze  transzendente  Funktion  von  js. 

Man  verifiziert  nun  leicht  die  beiden  Funktionalgleichungen : 

(a)  (p(u,v)  —  U(p(u  +  1,  r)  =  £r99  (m  +  2,  t;  + 1), 

(b)  (p  (m,  v)  —v(p{u,  v  +  1)  =  ^9?  (m  +  1,  f?  +  2). 

Schreibt  man  in  (b)  m  +  1  an  Stelle  von  m,  multipliziert 
sodann  mit  u  und  addiert  die  entstehende  Gleichung  zu  (a), 
so  folgt: 

(c)  9?(M,t;)-wt?9y(M+l,t;-|-l)  =  ;8r9!?(M+2,t;H-l)+M;gr9?(M+2,t>+-2). 

Schreibt  man  femer  in  (b)  m  +  2  an  Stelle  von  m,  und  v  +  1 
an  Stelle  von  t;,  so  kommt: 

(d)  9)(M  +  2,t;+l)-(t;+l)9?(M+2,t;+2)  =  ^9?(M+3,f;+3). 

Multipliziert  man  endlich  diese  Gleichung  mit  z  und  addiert 
sie  dann  zu  (c),  so  fallt  99(«<+2,  v  +  1)  heraus,  und  man 
erhält  schließlich  als  Endresultat: 

/yjN    9^(w,v)  =  wt;99(w  +  l,t;  +  l)  +  (w  +  t;  +  l)^<^(w+2,v+2) 

Wir  führen  jetzt  die  ganzen  transzendenten  Funktionen 
von  z  ein: 

(72)  *,  {z)  =  ^    __—-_-^— ------     (v  =  0, 1, . ..  00). 

Es  ist  dann  offenbar: 

0r(z)  =  (p(u  +  v,v+  v), 

und  daher  erhält  man,  wenn  man  in  (71)  ti  -(-  v,  v  +  v  an 
Stelle  von  m,  v  setzt,  die  Rekursionsformel : 

(73)  *^^^^  ^  (w+>')(t^+v)  0,+i(^)  +  ^(w  +  r  +  2v+l)<P^2(^) 
Schreibt  man  jetzt  zur  Abkürzung: 


0.  Perion:  über  die  jAoobi-Kettenulgorithmen.  471 

(74)    *'  =  aW,    *(«-f-D+2v-l)  =  at'>,    («+»•)  (»+>')  =  oW, 

^^^^  *,(«)=  i^'^      (.  =  0,1,...  00), 

so  resultiert  aus  dieser  Bezeicbnongsweise  im  Yerein  mit  (73) 
dftS  Gleichungssjstem : 

(v  =  0,l,...oo). 


(76) 


Dieses  stimmt  formal  genau  mit  dem  System  (13)  überein 
(für  »=2)  und  gibt  daher  Veranlassuug  zum  Studium  der 
Kette  zweiter  Ordnung; 


(77) 


0   '      0  '       0    ' 


af\  oi'\  af ,  .  .  . 
a^^    «tn    flts) 

Aus  (76)  erhält  man  auch  wieder  (ygl  (14),  (14  a)): 

(78)   ^^'  =  Af  4^>  +  Af^'^  sf^  +  Af^^^  a^/>      (i  =  0,  1,  2), 

(78*)  a^)  =  4a)^a:{/+^*i  +  ^u+i»j:(A+^^^  (i  =  0,  1,  2), 

wobei  die  A  natürlich  durch  die  bekannten  Rekursionsformeln 
(filr  n^  2)  aus  den  durch  die  Formeln  (74)  definierten  Größen 
aj"*  gebildet  sind.  Dagegen  darf  aus  dem  Gleichungssjstem  (76) 
allein  natürlich  nicht  geschlossen  werden,  daß  die  Kette  (77) 
konvergiert,  oder  gar,  daß  ihr  Wertesystem  wie  in  §  1  gleich 


wire.*)    Doch  wollen  wir  dies  jetzt  tatsächlich  beweisen. 


<)  Durch  diese  Scblulweiae  ließe  »ich  geradeaa  beweisen,  duß  jede 
Kette  ein  willkürlich  ?urgügehenee  Werteajitem  bat.  Vgl.  §  2  der 
folgenden  Mitteilang  dt*a  VerfEsaers;  Über  die  Kettenbrucheotwicklung 
de«  Quotienten  zweier  Besselichen  Funktionell. 

a2* 


472         Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

Wir  beschränken  zu  diesem  Zweck  die  Variable  z  in  der 
komplexen  Zahlenebene  auf  das  Innere  und  die  Peripherie  eiues 
Kreises  mit  dem  Nullpunkt  als  Mittelpunkt  und  von  beliebig 
großem  Uadius  72;  also: 

(79)  \e\<^ß\ 

den  Nullpunkt   selbst   schließen   wir    aus,    damit   die   stets    zu 
machende  Annahme  (i^^^  \  0  erfüllt  ist;    also: 

(80)  i-^i^o. 

unter  diesen  Einschränkungen  folgt  aus  der  Definitionsgleichung 
(72),  wenn  v>;w|,  v>it;|  ist: 

I      * 


|,T',(m+'')  (w+i'+l)  •  •  •  (m+v-HS  -1)  («H-v)(«>4-v+l) . . .  (r+r+Ä-l)  s\ 

Ji»  Ä 

^^^,  (v  —  !«  )*(v—   t;|)«s! 

Dieser  Ausdruck    nähert  sich  für  unbegrenzt  wachsende  v  der 
Grenze  0;   also  folgt: 

(81)  lim  r(M  +  r)  l\v  +  v)  0,  {£)  =  1. 

Stützt    man  hier  >•  +  1  an  Stelle  von  v   und   dividiert  die  ent- 
stehende Gleichung  durch  (81),  so  kommt: 

(82)  ^j^/«+vHr+v)0.^.(^')_l 

Daher  ist  x^V  =  ^,  (r)  für  genügend  große  Werte  von  v 
gewiü  von  Null  versohiedeu,  und  man  erhält  als  erstes  wich- 
tiges IfeMiltat: 

^S:n  lm/^  =  .-Mi.«  V  V^  =0. 

Ferner  ist  nach  den  Dofinitionsgleiohungi^n  (75): 


0.  Perron:  Ober  die  Jni;obi-Kettenalgorithitien. 


473 


^-  =  ^(»  +  «  +  2y  -  1)  'P,+  ,(*)  +  jfl  0,+,(g) 


*3 


*v(^> 


Hieraus  folgt  dann  unter  BerUcksichtigUDg  von  (82),  (83)  das 
ts weite  wichtige  Resultat: 


(84) 


lim^,  =  0. 


Wegen  \w\<.E  folgt  aus  deo  DefiEitfonsgleichungen  (74) 

für  v>\u\,  v>]v\\ 

\i^'\^m.    aH|<iJ(|«l+|ü|+2r-lX 

Daher  gibt  es  eine  nur  von  i?,  nicht  aber  vom  speziellen 
Wert^  abbringende  Zahl  N,  derart,  dalä  für  v^N  durchweg 

\af\^\af\^\{\af\-\) 

ist.  Dann  nehmen  aber  nach  den  Entwicklungen  zu  Beginn 
des  §  3  die  Zahlen  i  ^^^  \  von  »•  =  1  ah  mit  wachsenden]  v 
monoton  zu,  und  die  Kette 

(85)  a'J^i,   oV*+",  af +«',  .  .  . 

^af\   af+",  ot.*+«    ..._ 

erfüllt  die  Voraussetzungen  der  Theoreme  tl  und  IIT  (mit 
)'>=  J).  Sie  ist  also  unbedingt  konTergfnt,  und,  wenn  ihr  Werte- 
system mit  a\''\  a^^'  bezeichnet  wird,  so  ist  (Tbeoreni  111): 

Nun  ist  nach  der  Definition  des  Wertesystems  einer  Kette 
(pag.  407): 

(87) 


474        Sitzung  der  matk-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 


Da  also  diese  Grenzwerte  existieren,  und  nach  (86)  über- 
dies a^^^  =^  0  ist,  so  ist  für  hinreichend  große  Werte  von  X 
gewiß  auch: 

Femer  wurde  bereits  hervorgehoben,  daß  dann  auch  üs^^^  ^  0 
ist,  sodaß  man  aus  (78*)  {\Xr  jll  =  N  und  für  hinreichend  große 
X  erhält: 


(88) 


a^*> 


I.  A  U  1^  I,  iV  1  1^    -1 


(i  =  0,  2). 

Der  Wert  i  =  1  ist  hier  aber  nicht  ohne  weiteres  zu- 
lässig, da  wir  nicht  wissen,  ob  der  dann  auftretende  Nenner 
-45^+^^  ebenfalls  von  Null  verschieden  ist. 

Da  die  Größen  l-^^^^j^l    mit   v   monoton  wachsen,    so   ist: 


(89) 


<1; 


^0,  A' 


^0,  .V 


.<   1. 


Wählt  man  jetzt  in  Formel  (88)  für  i  den  Wert  0  und  läßt 
dann  X  unbegrenzt  wachsen,  so  folgt  unter  Berücksichtigung 
von  (83),  (84),  (89): 

Daher  ist  notwendig  x^f^  +  0,  und  außerdem: 
(90)  lim  4'+^^  Ä^^p^  =  x^^^  *  0. 

A=  OD 

Um  in  Gleichung  (88)  denselben  Prozeß  auch  filr  i  =  2 
ausführen  zu  können,  setze  man  in  der  zweiten  Gleichung  (87) 
an  Stelle  von  A  zuerst  A  -f  1,  sodann  A  +  2,  und  dividiere 
die  zwei  entstehenden  Gleichungen  durcheinander,  was  wegen 
a?/^>  ^  0  erlaubt  ist.     Es  kommt  so: 


^2,N      ,  ^0,  N_  ^ 


lim  ja4-2) 

'^  =  '^^2.A' 


4^4-2) 


0.  Perron:  Über  die  Jitcobi-Ketteniilgorithmen. 
Mit  Rücksicht  auf  (89)  folgt  daher: 


475 


lim 


<  1;    also  auch;    liio 


^t.') 


Infolgedessen  kann  jetzt  auch  f üt  i  =  2  aus  (88)   geschlossen 
werden: 


Um 


^P 


-=L 


Es  ist  also  auch  j^P  ^  0,   und  außerdem 

(91)  lim  ^^-'^J  ^tAHH2>  =  :^m  4. 0. 

Dividiert  man  jetzt  (91)  durch  (90),  so  kommt: 

oder  auch  mit  Rücksicht  auf  die  zweite  Gleichung  (B7): 


(92) 


c4^>  = 


Tim . 


"1 


Da  die  Kette  (85)  unbedingt  konvergiert,  so  setzen  wir: 
ajf+i»,  af+^\  af/'-f^),  " 

^tj^+i)   (|<Jir+2)^  a<^i''+^\ 
und  erhalten  natürlich  (vgl,  (12)  pag.  413): 

Analog  zu  Formel  (92)  finden  wir  jetzt  aber  auch: 
2        —"0        a:(J<^+i>' 


*)  Übrigea«  kann  man  leicM  beweisen,  düß  aueh  |^jf]  mit  x 
monoton  w&chat,  wodurch  die  obigen  Bettuch tungen  swh  etwas  ver* 
etnfAcben  werden. 


476       Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 
und  folglich: 

letzteres  nach  (76)  für  v  =  N,  Mit  (92)  zusammen  besagt 
dies  aber,  da&  das  Wertesystem  der  konvergenten  Kette  (85) 
kein  anderes  ist  als: 

Jetzt  ist  es  nicht  mehr  schwer,  das  Analoge  auch  für  die 
Kette  (77)  nachzuweisen.  Nach  dem  Lemma  auf  pag.  414  wird 
diese  nämlich  konvergent  oder  divergent  sein,  je  nachdem  der 
A.usdruck 

von  Null  verschieden  oder  gleich  Null  ist;  und  ihr  Werte- 
system ist  im  Konvergenzfall: 

Nach  unseren  Resultaten  ist  aber  für  i  =  0,  1,2: 

I  0         •  I  I  •  I  2 

=  ^S^,  ^^  (nach  Formel  (78)). 

Die  Kette  (77)  wird  daher  konvergieren  oder  divergieren,  je 
nachdem  jr|;'^  von  Null  verschieden  oder  gleich  Null  ist,  und 
ihr  Wertosystem  ist  im  ersten  Fall: 

0  0 

Nun  ist  nach  Formel  (7ö)  .r\"^  = -:- 0j  (-:),  also  eine  ganze 
transzendente  Funktion  von  j,  und  hat  als  solche  nur  eine 
endliche  Anzahl  von  Nullstellen  im  liebiet    *  </f.  Schlieft  man 


0.  Perron  i  Über  die  Jacobi-KettenÄigorithnieTi, 


477 


diese  nachträglich  nach  aus,  so  ist  demnach  die  Kette  (77) 
konvergent,  und  wenn  mun  tvir  aY\  aff^  die  in  (74),  (75)  an- 
gegebenen Werte  einsetzt»  so  erhalt  man  die  Formel: 


■  =  n 


oder  auch  (rgl.  pag.  409): 

1,  ^» 

0,  ^  {«  4-  w  +  2  >•  -  1) 
0,  („  +  v)  («-}-•.) 


»=i 


«t;. 


Da  der  Radius  Ä  des  Kreises,  innerhalb  dessen  die  Variable  ^ 
gelegen  sein  sollte,  beliebig  grola  gewiililt  werden  kann,  so  gilt 
diese  Formel  für  jeden  endlichen  Wert  von  r,  welcher  nicht 
Nullstelle  der  Funktion  fPj  (jr)  ist.  Mau  darf  nachträglich 
sogar  den  seither  ausgeschlo^enen  Wert  ^  =  0  wieder  zulassen, 
da  unschwer  die  Formel 

1.  0 

0,  0 
.0,  (u  +  r)  (v  +  y)U^i 

£U  bestätigen  ist,*)     Wir  bekommen  demnach: 

Theoram  XHL  Bedeuten  «,  v  zwei  beliebige  Kon- 
stante, und  *  eine  komplexe  Variable,  so  gilt  die  Be- 
sjehung: 

ri.  - 

0,  ((*  +  r)(y+»') 


'  =  1 


—  UV 


*)  Bei  dieser  Kette  ist  xkämlieJi  für  »'>3  durchweg; 
<^-0.  ^^  =  0,  ^^^+0, 

d«uin  allerdifig^  vorauifresetsEt  w^rdeii  mnü^  dnH  weder  i«  novh  v 
M  fieg"dtive  gaii£e  ZaJil  i^t. 


478        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 


für  alle  endlichen  Werte  von  e^  ausgenommen  die 
Nullstellen  der  Funktion  ^^iß)'^  für  diese  divergiert 
die  Kette.  Dabei  bedeuten  *oW»  *i  C-^)»  *«(^)  ^i® 
ganzen  transzendenten  Funktionen: 


*.(i^)  =  S 


(v  =  0,  1,  2). 


Übrigens  ist  die  obige  Kette  nicht  immer  unbedingt 
konvergent;  dies  ist  offenbar  nur  dann  der  Fall,  wenn  wir 
von  e  die  Nullstellen  aller  Funktionen  ^^  (^r)  (v  =  1,  2,  . . .  oo) 
ausschließen.  Führt  man  die  analoge  Entwicklung  für  Ketten 
erster  Ordnung  durch,  so  gelangt  man  zu  einer  Formel,  welche 
im  wesentlichen  mit  der  bekannten^)  Kettenbruchdarstellung  für 
den  Quotienten  zweier  Be sseischen  Funktionen  übereinstimmt. 

Wir  wählen  jetzt  für  m,  t;,  z  speziell  rationale  Werte: 

e 


—v  " 


l  '=!*»• 


WO  e,  f,  g,  h  ganze  Zahlen  sind.  Dann  sind  die  Elemente  der 
in  Theorem  XIII  auftretenden  Kette  sämtlich  rationale  Zahlen. 
Es  gibt  daher  eine  äquivalente  Kette  mit  lauter  ganzzahligen 
Elementen,  nämlich: 


0, 


».(^')a+') 


oo 


1,  .7^  ^*A^  ff'h' 

0,  g{e+f+hl    gh\e+f+Shl    gh\e-\-f-^(:2v-l)h) 
0,  (^-hW+A).    {e+2h)(f+2h\    {e  +  vh)(f+vh) 


Diese  letzte  Kette  erfüllt  nun  aber  die  Voraussetzungen 
von   Theorem  IX.     Daraus    folgt   erstens,    daß    sie    unbedingt 

*)  In  der  Literatur  übrigens  meist  ohne  ausreichenden  Beweis. 
Vpl.  die  folgende  Mitteilung  des  Verfassers:  Über  die  Kettenbruchent- 
wirklung  des  Quotienten  zweier  Bessel sehen  Funktionen. 


O*  Perron:  Über  die  Jar^obi-Kettenalgorithuieu. 


479 


konrergieii;,  daher  kann  der  Wert  **  =  j^  keine  Nullstelle  von 

0^  (s)  sein,  weil  sonst  nach  Theorem  XIII  die  Kette  diver- 
gieren   müläte.     Zweitens   folgt   aber   auch    aus   Theorem  IX, 

daß  keine  Elelation  der  Form 

^0  -h  ^i^   a>,  (^)  ^  ^»  \0,  t^)      '*7       ^ 

mit  rationalen,  nicht  sämtlich  verschwindenden  Koeffizienten  P 
bestehen  kann;  oder,  was  dasselbe  sagt,  da  ü,  v^  iT  rational 
sind:  keine  Relation  der  Form 

mit  rationalen,  nicht  sämtlich  verschwindenden  Koeffizienten  Qt. 
Dies  Resultat  läßt  sich  folgen  dermaßen  formulieren  t 

Theorem  XIV,  Wenn  *o(^),  *j(^),  0^{^)  die  gleichen 

ganzen  transzendenten  Funktionen  sind  wie  in  Theorem 
XIll,  und  wenn  die  dabei  auftretenden  Konstanten  ü»  i; 
rationale  Werte  haben,  so  kann  die  Gleichung 

für  rationale  Q^,  Q^,  ^,,  #  nicht  bestehen,  es  sei  denn, 
daß  Qa^  Qi=^  Qt^^O  ist-  Insbesondere  haben  also  die 
Funktionen  0q{^%  ^iW»  ^ti^)  keine  rationalen  Null- 
stellen. 

Besonderes  Interesse  bietet  die  Annahme; 


Settt  man  dann  noch  ^ 
Reduktion: 


=(!)■• 


so  findet  man   nach  leichter 


ö  *« = £  ^  =  U«''+ ^^' + 6-= '), 


f  3 


480        Sitzung  der  matb.-phys.  EUiue  vom  7.  Dezember  1907. 


wo  e  eine  primitive  dritte  Einheitswurzel  bedeutet,  und   q  = 
r{l)r{%)  ist.      Aus  Theorem  XIII  folgt  daher: 


1, 


I 


729 


f* 


o,a+v)(i+v) 


81e^''+eC> +c»e''^"       81  ^ 
9  e-'  +  cC«  +  e»e''^"      9" 


Hieraufwenden  wir  zur  Beseitigung  der  Nenner  die  auf  pag.  410 
betrachtete  Transformation  an  mit  ß^  =  81,  er  =  9(v^l), 
wodurch  das  Wertesystem  das  g,(=  81)- fache  wird.  Dann 
kommt : 


81,  f«,  9c^  c« 

0,  54 C»,  12  t',  6vC' 

0,   4-5,    7-8,  (l+3r)(2+3r) 


ap«2C 


18. 


Statt  des  Elementes  a^^  =  81  darf  natürlich  auch  nachträglich 
wieder  1  geschrieben  werden,  da  ja  das  Wertesystem  einer 
Kette  von  af"^  nicht  abhängt.  Endlich  kann  man  die  rechts 
stehenden  Glieder  2  C'  und  18  als  a^-'\  aj*^  unter  die  Kette 
bringen  (vgl.  pag.  409)  und  erhält  so: 


1, 


c^ 


9:«, 


2:\  54  C',   \2:\  6rC> 
18,    4.5,     7.8,  (1+3 r) (2+3  r). 


e^  +  ^^^  +  e^'-^ 


o:* 


e>'  +  fe*-*^  +  E^e^^' 


bruch  für 


Diese  Formel  ist  das  Äquivalent  zum  Lambert  sehen  Ketten- 

Wie    man    aus    diesem    mit    Hilfe    des 

e-  —  c~- 

Legend  re sehen    Irrationalität^satzes    die    Irrationalität    von 

C^  —  €- 

wir  jetzt,  unter  Anwendung  von  Theorem  XIV,  daß  zwischen 
den  drei  Zahlen 


also  von  e^   für   rationale  C  ersehlielat,    so  schließen 


O*  Perron  i  Über  die  Jaeobi-Ketteual^orithmen,  481 

wenn  C  rational  und  von  Null  verschieden  ist,  eine  Reiatian 
der  Form 

mit  rationalen  Koeffizienten  Qt  nicht  bestehen  kann,  aul^er 
€S  ist  f^i  =  <3g  ^  <ifä  ^  0;  insbi*sondere  sind  oj^  m^^  m^  niemals 
gleich  NuJL  Wenn  auch  dies  Kasultat  nicht  Anspimch  auf 
Neuheit  erbeben  kann,  weil  es  in  dem  viel  allgemeineren 
Linde  mann  sehen  Satz  Über  die  Zahl  e  enthalten  ist,  so  bietet 
doch  die  Herleitung  hinreichend  Interesse  und  zeigt  die  An- 
wendbarkeit der  Jacobiketten  auf  derartige  Fragen. 

Die  Untersuchungen  dieses  Paragraphen  lassen  sich  auf 
Ketten  beliebiger  w*"  Ordnung  ausdehnen  und  liefern  dann 
insbesondere  auch  das  Resultat,  daÜ  zwischen  den  n  -f  1  Zahlen 

mi  ^  ih  +  e'^^  +  e^'V*^  + h  «"'  e*"^^       (i  =-  0,  1  -  -  .  ft), 

wo  C  (t  Ö)  rational,  und  e  eine  primitive  (r^H- 1)**  Einheitswurzel 

ist,  eine  Relation  X!  Qi  ^i  =  0  ^t  rationalen,  nicht  sämtlich 
ersch windenden  Koeffizienten  Qi  nicht  bestehen  kann.  Indes 
werden   diese  Untersuchungen    fdr  w>2    schon  äußerst    koni- 

plissiert;    Ich  werde   aber   an  anderer  Stelle  von   einem   neuen 

Gesichtspunkt  auf  die  Frage  zurüekkommen. 


482        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 


Inhalt. 

Seit« 

Einleitung 401 

§  1.  Definitionen  und  formale  Entwicklungen 408 

§  2.  Konvergenz  för  positive  aj"^  und  für 

i«n+i«n+-+ie.i£*(i»r,-o  • .  «6 

§  3.  Untersuchung  für  ^  =  1 427 

§  4.  Weitere  Konvergenzkriterien 441 

§  5.  Ausdehnung  des  Legen  dreschen  Irrationalitätssatzes       .    .  449 
§  6.  Analogon  zu  dem  reellen  Kettenbruch 

\C0+l          ki  +  1           |C,  +  1                         ....  «4 

§  7.  Ausdehnung  der  letzten  Untersuchung  auf  komplexe  Elemente  468 

§  8.  Hilfssatz  über  eine  besondere  algebraische  Gleichung    .    .    .  467 

§  9.  Anwendungen 469 


Theoreme. 

Seite  Seite 

1 416  VIII 447 

II 417  IX 462 

III 424  X 452 

IV 430  XI 462 

V 432  XII 465 

VI 440  XIII 477 

VII 445  XIV 479 


483 


Über  die  Kettenbruchentwicklimg  des  ftuotientea 
zweier  Besselschen  Funktionen. 

Von  Ostar  F6rroiii 

Die    Besselaclie    Funktion   definiere    ich   durch    die    be- 
ständig konvergente  Potenzreihe: 


0) 


wobei  der  Index  A  auch  einen  beliebigen  komplexen  Zahlwert 
haben  darf.     Speziell  ist: 


(2) 


-^tC*)™!/ —  sin^r,    J_,(«)  =  l/— cos*. 


Aus  unserer  Definition  ergibt  sich  leicht  die  bekannte  Be- 
ziehung: 

(3)  J*_ ,  (^)  =  ^  /*  (*)  -  Jk+i  (A 

Mit  dieser  DiSerenzengleichung  hängt  auch  die  Kettenbnich- 
entwicklung  fiir  den  Quotienten  zweier  Besselschen  Funktionen 
zusamnien : 


w 


Jm~i  (e)  ^  2A 


1 


2(A4-1)      |2(*-i-2)      [2(t  +  3) 


484        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

Diese  Formel  ist  so  zu  verstehen,  daß  der  unendliche  Ketten- 
bruch für  jeden  endlichen  von  Null  verschiedenen  Wert  von  jer, 
welcher  nicht  Nullstelle   der   Funktion  Jh{^)  ist,    konvergiert 

und  den  Wert     '^~J^  -—    hat.     Für  die  Nullstellen  von  Jh  (js) 

dagegen  ist  der  Kettenbruch  eigentlich  divergent,  d.  h.  die 
reziproken  Werte  seiner  aufeinander  folgenden  Näherungsbrüche 
konvergieren  gegen  Null.*)  Statt  (4)  kann,  indem  man  beider- 
seits den  reziproken  Wert  nimmt  und  dann  den  Kettenbruch 
durch  einen  äquivalenten  ersetzt,  auch  geschrieben  werden: 


Ju^M     |2A       |2(A+1)       |2(A  +  2)       |2(A  +  3) 

Diese  Entwicklung  hat  nun  auch  für  js  =  0  ihren  Sinn,  und 
die  eigentliche  Divergenz  tritt  jetzt  natürlich  für  die  Null- 
stellen von  Jh-\{2)  ein.  Für  A=  erhält  man  speziell  den 
Lambertschen  Kettenbruch: 

*    I  *»   I  ^2   I  *«   I 

(5)  tg^  = 


1  I  3  I  5  I  7 

Für  diese  Formeln  finden  sich  in  der  Literatur  neben 
wenigen  einwandfreien  auch  eine  Anzahl  ganz  unzulänglicher 
Beweise.  Insbesondere  ist  zu  konstatieren,  daß,  obwohl  Formel 
(4)  sehr  alt  ist,  doch  erst  im  Jahre  1895  ein  Beweis  für  sie 
erbracht  worden  ist,  der  allen  Anforderungen  mathematischer 
Strenge  genügt.  Ich  will  daher,  ehe  ich  selbst  einen  neuen 
einfachen  Beweis  hier  mitteile,  zunächst  einige  kurze  Bemer- 
kungen über  die  bisherigen  Beweisarten  vorausschicken. 

Eine  Formel,  welche  sich  von  (4)  nur  durch  die  Bezeich- 


*)  Diese  Terminologie  weicht  von  der  üblichen  etwas  ab.  ,Der 
Kettenbruch  divergiert  schlechthin  oder  im  wesentlichen  nach  od*  w&re 
die  Ausdrucks  weise  des  Herrn  Pringsheim,  während  in  der  Sprache 
von  Stolz  und  Gmeiner  (Einleitung  in  die  Funktionentheorie,  XL  Ab- 
schnitt) der  Divergenzcharakter  des  Kettenbruches  überhaupt  nicht  aus- 
gedrückt werden  kann.  Übrigens  teilt  mir  Herr  Pringsheim  mit,  daß 
er  in  Vorlesungen  ebenfalls  die  Terminologie  des  Textes  bevorzugt  habe. 


O,  Perron:  Über  die  Kettenbrachen twicklung  eto. 


485 


nungswöise  unterscheidet,  dürfte  zum  erstenmal  im  Jahr  1737 
in  der  Literatur  vorkommen,  und  zwar  in  einer  Arbeit  von 
Eulen*)  Dieser  «teilt  sich  nämlich  dort  in  §  31  die  Aufgabe, 
den  Wert  des  nnendiichen  Kettenbruches 


s  =  a  -[- 


l 


+ 


+ 


1 


+ 


1(1 +n)a    '    \(l+2n)a   *    |(l  +  3n)flt 

zu  berechnen,    und  er  bildet  zu   diesem  Zweck   die  Reihe  der 

Näherungsbrüche : 

(l+n)(lH-2fi)g^-K2  +  2n)a 
(l+n)(l+2n)a»+l 

worauf  er  in  §  32  in  deutscher  Übersetzung  also  fortfährt: 
,Wenn  diese  Brüche  weiter  fortgesetzt  werden,  erkennt  man 
leicht  ihr  Bild ungsgesetz;  aus  diesem  folgt  dann,  daß  der  ud- 
endlJche  Bruch,  nachdem  man  JCähler  und  Nenner  durch  das 
erste  Olied  des  Nenners  dividiert  hat,  den  Wert  erhält: 


a     (1  4  «)o*-f  1 
1'        (l-fn)o     ' 


(H- 


1 


-  + 


1 


1 


M-tto    l-2-l(H-«)«»a»    1.2.3.1(l  +  n)(l+2»)n»a 


i+' 


1 


1 


1 


l-(l+n>ia»    l-2-(l+nXI+2n)n»o*    l-2.3-tl+n)(l+2«Xl+3n)»»«« 

welchem  also  s  gleich  ist.  *    Die  Gleichheit  dieses  Bruches  mit 
kdem  obigen  Ketten  bruch  besagt  aber  in  der  Tat  nichts  anderes 
als  Formel  (4);   man  braucht  nur 

2h  1 

ru  setzen,  um  vollständige  Übereinstimmung  zu  haben.  Indes 
hat  Euler  zweifellos  unter  a  und  n  bloi  reelle  positive,  viel- 
leicht bloß  natürliche  Zahlen  verstehen  wollen.  Aber  auch 
bei  dieser  Einschränkung  ist  seine  Darstellung  durchaus  noch 
^jkein  exakter  Beweis.    Denn  selbst  wenn  Euler  das  recht  kora- 


^  De   rratitionibus  continuiB.     Comnientarii  Äeadexniae  FetropoU- 
liuiae,  toroe  IX,  1737. 


1907,  »f  lEongib.  iL  Jiuth.*^n.  ILL 


33 


486        Sitzung  der  niath.-phjs.  Blasse  vom  7.  Dezember  1907. 

plizierte  Bildungsgesetz  der  Näherungsbrüche  wirklich  erkannt 
haben  sollte  und  nicht  bloß  durch  eine  unvollständige  Induktion 
erraten,  so  ließe  doch  sein  unvermittelter  Übergang  vom  End- 
lichen zum  Unendlichen  nach  heutigen  BegriflFeu  noch  viel  zu 
wünschen  übrig. 

Gewissermaßen  den  umgekehrten  Weg  wie  Euler  verfolgt 
Legendre  in  der  vierten  Note  seiner  „Elements  de  g^om^trie". 
Während  nämlich  Euler  von  dem  Kettenbruch  ausgeht  und 
diesen  durch  den  Quotienten  zweier  Reihen  ausdrückt,  geht 
Legendre  umgekehrt  von  den  Reihen  aus  und  endet  bei  dem 
Kettenbruch.  Seine  noch  viel  weniger  befriedigende  Darstellung 
findet  sich  fast  ohne  Änderung  auch  in  Herrn  Bachmanns 
, Vorlesungen  über  die  Natur  der  Irrationalzahlen"  (Leipzig 
1892). 

Setzt  man  mit  Legendre-Bachmanu : 

1  1         y*  1  y® 

9? W  =  1  +  -  y^  +  J(7+  1)  1^2  "*"  J(^+T) ("^"+2") r2^  "^  ' "' 

so  ist  offenbar: 

und  entsprechend  der  Formel  (3)  hat  man  jetzt: 

<p{z)  =  ,p(^  +  1)  +  _J'*_^  ^^ criz  +  2). 

Führt  mau  dann  die  Abkürzung 

ein,  so  geht  die  vorige  Formel  über  in: 

Indem  dann  im  Nenner  auch  wieder 

v^--  +  ^^  =  .4l/vu  +  2, 

gesetzt  wi'rden  kann  etc.,  soll  hieraus  ohne  weiteres  der  un- 
endliche Kettenbrucb 


O.  Perron :   Über  die  E«fcten brachen t Wicklung  etc. 


487 


^^  '       ,  Ä     ^  ! «  +  1 


^  |*+2 


hervorgehen^  welcher  im  wesentlichen  mit  (4')  gleich  bedeutend 
ist.  Aber  diese  reia  formale  Behaüdlung  entspricht  den  Anforde- 
rungen mathematischer  Strenge  nui'  sehr  wenig,  und  wir  werden 
im  nächsten  Paragraphen  sogar  sehen,  wie  man  durch  einen 
derartigen  Schluß  mit  Leiclitigkeit  beweisen  kann,  data  jeder 
Kettenbruch  einer  beliebig  angenommenen  Zahl  gleich  ist. 

Die  Legeudresche  ^/-Funktion  findet  sich  auch  in  einem 
Aufsatz  von  Stern^^)  der  indes  den  unendlichen  Ketten brnch 
nur  unter  der  auHdrückhcheii  Voraussetzung  gelten  läM,  »daö 
raan  das  weggelassene  Glied  ohne  Nachteil  für  das  Hesultat 
vernachlässigen  darf*.  Da  aber  Stern  nicht  untersucht,  ob 
oder  wann  diese  Voraussetzung  erflSUt  ist,  kommt  seine  Dar- 
stellung hier  eigentlich  nicht  in  Betracht  Nur  den  Spezialfall 
des  Lambertschen  Kettenbruches  glaubte  er  vollständig  er- 
ledigen zu  können;  doch  ist  sein  diesbezüglicher  Bew^eis  noch 
in  mehr  als  einer  Hinsicht  mangelhaft/*) 

Der  gleiche  Fehler  wie  bei  Legendre- Bachmann  findet 
sich  bei  Bessel,')  der  indas  nur  ganzzahlige  Indices  betrachtet* 
.ledoch  gewinnt  seine  Darstellnng  dadurch  erhöhte  Bedeutung^ 
daJä  die  dabei  auftretenden  unendlichen  Ueihen  als  selbständige 
Transzendenten  in  die  Analjsis  eingeführt  sind,  und  daher  hier 
zum  erstenmal  ein  zu  (4*)  äquivalenter  Kettenbruch  in  Ver- 
bindung mit  dem  Besselschen  Funktionszeichen  ./  erscheint» 
Bessel  schreibt  die  Formel  (3j  in  der  Gestalt: 


^  Theorie  der  Ketten  brücke  und  ihre  Anwendung.  Grelles  Journal 
mr  Mathematik,  Bd,  U  (1834), 

*)  Bekanntlich  bat  Lambert  selbst  diesen  Special  fall  schnn  17tS7 
«ehr  viel  besser  behandelt,  worüber  der  Aufsatz  des  Herrn  Pring»- 
heiiD  zu  vergleichen  ist:  Über  die  ersten  Beweise  der  Irrationa  Vi  tat  von 
*  und  JT.     Diese  Sittongs berichte,  Bd.  28,  1898. 

')  Untersuchungen  de»  Teils  der  planetaHichen  Störungen,  welcher 
au«  der  Bewe^nf  dör  Sonne  entateht,  8  IL  Mathematiache  Abhand- 
lungen der  Abidemie  der  Wiaaenschaflten  zu  Berlin,  1824. 


88» 


488        Sitzung  der  math.-phys.  ELlaMe  vom  7.  Dezember  1907. 

z 


2  h   Me) 

indem    er    dann    im    Nenner    für      >  '  ;      wieder  den  ent- 
sprechenden  Wert 


Jk{z)         .  _  __f Jk+ije) 

2A+2J*+,(^) 

substituiert  und  in  der  gleichen  Weise   unbegrenzt  fortföhrt, 
schließt  Bessel  unbedenklich: 

e  «»I  SS*  \ 


2h\  _    2h{2h-\-2)\  _    (2A+2)(2A-|-4)i 
=  I  1  !  1  I  1  ■        •••• 

Dies  ist  also  ganz  der  gleiche  Fehler  wie  bei  Legendre. 
Übrigens  benutzt  Bessel  die  Zähler  und  Nenner  der  Näherungs- 
brüche  dieses  Kettenbruches  in  einwandfreier  Weise,  um  e/* 
linear  durch  J^  und  J,  auszudrücken,  während  der  unendliche 
Kettenbruch  als  solcher  nur  eine  untergeordnete  Rolle  spielt. 

Eine  ganz  interessante  Variante  des  gleichen  Fehlschlusses 
möchte  ich  nicht  unerwähnt  lassen,  obwohl  sie  sich  nur  auf 
den  Spezialfall  des  Lambert  sehen  Kettenbruches  bezieht.  Sie 
findet  sich  in  einer  Note  des  Herrn  J.  W.  L.  Glaisher,*) 
welcher  die  Formel  (5)  auf  folgende  Art  »beweist*: 

Die  Funktion  y  =  J.  cos  (]^a;  +  B\  wo  A,  B  Konstante 
sind,  ist  das  allgemeine  Integral  der  Difi^erentialgleichung 

y  +  y'  +  2ary"  =  0. 

Aus  dieser  findet  mau  durch  s- malige  Difierentiation  : 

*)  On  Lambert's  proof  of  the  irrationality  of  .t,  and  on  the  irra- 
tionality  of  certain  other  quantities.  Report  of  the  fortj-first  meeting 
of  the  British  association  for  the  advaneement  of  science,  held  at 
Edinburgh  1871. 


0.  Perton;  Ober  die  KettealirnciieDtwicklung  etc. 


489 


ffi"-j-(2s+  l}y««+'>  +  2xy<'+«=0, 


oder,  was  dasselbe  ist: 

(6)  lör- 


—  1 


2*  +  H-2ifS^ 


»»• 


Hieraus  soll  nun  wieder  folgen,  daf^ 

-II 


2x\ 


2*1 


1 


ist.  Die  IntegratioDskoiifitanie  B  bestimmt  Herr  Gkisher  iiacb- 
träglicb  noch  dadurch,  daö  er  für  x  den  Spezialwert  jo  ^  Q 
einsetzt;  es  kommt  so  ß  ==^  0-  Aber  hier  ist  es  natürlich 
wieder  durchaus  unstatthaft,  au.s  (6)  ohne  weiteres  einen  unend- 
lichen Kettenbruch  her  vorgehen  zu  lassen*  und  durch  die  nach* 
trägliche  Berechnung  einer  Integrationskonstanten»  wodurch 
die  Sache  offenbar  besonders  glaubhaft  gemacht  werden  soll, 
wird  hieran  nicht  das  geringste   gebessert. 

Viel  korrekter  ist  schon  die  Methode  von  Schlömiich,') 
der  sich  aber  auch  auf  ganzzahlige  Indlces  beschränkt.  Hier 
wird  die  Rekursionsformel  (3)  in  der  Form  geschrieben: 


Jä-.W 


2   M^) 


W' 


woraus  zunächst  der  endlicha  Kettenbruch 


\h-h2 


m 


|Ä  +  1 


hervorgeht,     Hiegegen  ist»  solange  e  keine  NullsteUe  von 

1)  Oh«r  die  Besiebcbfl  Funktion*  ^eiUchrifb  für  Mathematik  und 
Physik,  2.  Jahrg.,  1857,  Man  verpfleiche  auch:  Über  den  Kettenbnich 
fUr  tau  f.    Gkiche  ZeiUchnfi,  16.  J&hrg.,  IB7L 


ita^ 


490        Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

ist,  nichts  einzuwenden.    Nun  beweist  Schlömilch  weiter  ganz 

richtig,  daß  der  „Rest"  —  -^'^''^-  ^^  mit  wachsendem  k  gegen 

Null  konvergiert.     Hiedurch  wird  es  ja  allerdings  recht  plau- 
sibel gemacht,  daß 


Jkjjs;)    _     2 


"  m  (ly  (i-)"i 


Ja_,(^)       \h  \h-\-\  lA  +  2  |A  +  3 

gesetzt  werden  darf;  aber  nichtsdestoweniger  bedarf  doch  dieser 
Schluß  immer  noch  dringend  der  Rechtfertigung.  Denn  in  der 
Reihenlehre  gilt  ja  allerdings  der  leicht  zu  beweisende  und 
sehr  häufig  benutzte  Satz:  „Wenn  für  w  =  1,  2,  3,  ... 

M  =  a,  -f  a,  H \'an  +  Rn 

ist,  so  besteht  die  notwendige  und  hinreichende  Bedingung 
dafür,  daß  die  Größe  u  gleich  der  unendlichen  Reihe 

aj  +  a,  4-  ttj  +  .  •  . 

gesetzt  werden  darf,  darin,  daß  der  absolute  Wert  des  Restes 
Rn  mit  wachsendem  n  unter  jede  Grenze  herabsinkt.*  Wenn 
dagegen  eine  Kettenbruchentwicklung  der  Form 

"  =  ^«'  +  T^-+  A" '''■••  +  ""*« +  Ä-" 

vorliegt,  so  ist  die  Bezeichnung  der  Zahl  ü„  als  Rest  des 
Kettenbruches  insofern  recht  irreführend,  als  die  Bedingung 
lim  jR„  =  0  jetzt  weder  notwendig  noch  hinreichend  dafür  ist,  daß 

gesetzt  werden  kann.  Dies  hat  später  Schlömilch  selbst  in 
seinem  Handbuch  der  algebraischen  Analysis  hervorgehoben, 
und  er  hat  dort  zugleich  einige  besondere  Fälle  entwickelt,  in 
denen  die  Bedingung  wenigstens   hinreichend  ist.^)     Diese  be- 

M  Auoh  in  dem  ohcn  zitierten  Antsatz  von  Stern  wird  die  Frage 
berührt,  wsinn  der  Rest  eines  Kettenbniches  vernachlftsaiKt  werden  darf. 
Doch  sind  die  doiti^'en  Angaben  sehr  unvollständig  und  unrichtig. 


0*  Perron?  Ober  die  Kettenliruchentwicklting  etc. 


491 


fthen  sich  aber  nur  auf  reelle  Ketteiibrüche  und  können  in 
der  Tat,  wenn  nicht  nur  h  sondern  auch  /*  reell  i?5t,  für  die 
vorliegende  Frage  nnti^bar  geraacht  werden  ^  sodaü  für  diesen 
Spe:fiialfall,  aber  auch  nur  für  diesen  die  Mittel  zu  einem 
exakten  Beweis  von  Schlömilch  im  wesentlichen  geliefert 
sindi')  Trotzdem  ist  der  ursprün gliche  Seh lörai Ichsehe  Be- 
weis, bei  dem  das  scUieüliche  Verschwinden  des  Restes 
ohne  weiteres  als  ausreichend  erachtet  wird,  nie  angefochten 
worden,  er  scheint  vielmehr  noch  heute  für  einwandfrei 
gehalten  zu  werden  und  wird  sogar  für  beliebige  Indices 
in  Anspruch  genommen.  So  ist  er  in  die  Monographie  von 
Lomniel")  übergegiingen  und  findet  sich  sogar  auch  in  dem 
neuen  Handbuch  des  Herrn  Nielsen.*)  In  letzterem  ist  auf 
pag,  38  zu  lesen:  ^Sucht  man  nun  die  Bedingung  dafflr, 
daß  der  Kettenbrnch  unbegrenzt  fortgesetzt  werden  darf*  so 
ist  offenbar,  daß  lim  iJ^  ^^  0  sein  mnfä,  eine  Bedingung, 
die  sowohl  notwendig  als  hinreichend  ist/  Demgegen- 
über :ceigt  aber  doch  die  einfachste  Überlegung,  daß  die  Be- 
dingung gewilä  nicht  notwendig  sein  kann;  jeder  regelniafäige 
Kettenbruch,  dessen  Teilnenner  endlich  bleiben,  ist  ein  Beispiel 
dafür.  Dagegen  erweist  sich  hier  die  Bedingung  allerdings, 
wie  wir  im  nächsten  Paragraphen  sehen  werden,  bis  zu  einem 
gewissen  Grad  als  hinreichend.  Aber  mit  der  Wendung  ,Es 
ist  offenbar;  dali  . .  .*  ist  dies  natürlich  keineswegs  bewiesen* 
Vielmehr  lieLie  sich  die  Konvergenz  des  Ketten bruches  noch 
mit  triftigen  Gründen  bezweifeln*     Denn  wenn  der  Ketten  brach 


wirklieh  die  Funktion 


darstellen   soll,   so  wird   man 


'  Kon^ergen«  wohl  nicht  erwarten»  sobald  s  eine  Nulktelle  von 
«/i_i(#)  ist.  Nachdem  dann  aber  für  eine  gewisse  unend- 
liche Menge  von  ^r -Werten  die  mögliche  Divergenss  des  Ketten- 


')  Eine  an  Scblömilcb   anschlieüende,  in  jeder  Hinsicht  mMster- 
giltige    Durchführung    diesea   Spezitil falle«    findet    sii:h    bei    Stolz    und 
Q meiner:  Einleitung  in  die  Funktionentbeorie,    Leipzig  1905,  pag,  579  ff. 
*)  Studien  über  die  Besaelscben  Funktionea,    Leipijig  ISUS, 
^)  Handbuch  der  Theorie  der  Cylinderfunktionen.    Leipzig  1901 


492        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

bruches  einmal  zugegeben  wird,  fallt  es  doch  schwer,  seine 
Konvergenz  für  alle  anderen  Werte  von  z  auf  Grund  einer 
so  zweifelhaften  Beweisführung  auch  nur  für  wahrscheinlich 
zu  halten. 

Schlömilch  hat  noch  einen  weiteren  Beweis  gegeben. 
In  seinem  Handbuch  der  algebraischen  Analysis  führt  er  in 
§71  die  beiden  Reihen  ein:^) 

77-1      ^*  ^*  ^^ 

^-^■^lT];+1.2j.(j.  +  i)"*"l.2.3j'(y  +  l)(y  +  2)^"*' 


l-(l  +  y)'l.2(y+l)(y+2)'l.2.3(y+l)(y  +  2)(y+3)"      ' 

welche  wieder  auf  die  Legendresche  99-Funktion  hinauskommen. 
Mail  kann 

ir=limFfa,a,^?*Y      F=  lim  ^fa,  a  +  1,  j^  +  1,  ^"j 

setzen,  wo  F  die  Qaußsche  hypergeometrische  Reihe  bedeutet. 
Schlömilch  gewinnt  nun  den  Kettenbruch 


einfach   durch  Grenzübergang   aus   dem  bekannten  Gaußschen 
Kettenbruch  für  den  Quotienten: 

F(a,ß,y,x) 

Aber  abgesehen  davon,  daß  der  Schlömilchsche  Beweis  für  den 

Gaußschen  Kettenbruch  nur  in  ganz  speziellen  Fällen  bindend 

ist,   während  später  Schlömilch  die  Sache  sehr  wohl  auch  für 

andere  Fälle   in  Anspruch   nimmt,   weist   diese  Methode    noch 

V 
einen  weiteren  Fehler  auf.    Um  nämlich  -^r  zu  erhalten,  müßte 

man  von  dem  den  Quotienten 

F(a,a  +  l,Y  +  l,''J^ 

^)  Ich  zitiere  nach  der  6.  Auflage,  zweiter  Druck.    Stuttgart  1889. 


0*  Perron;  Üb^r  clie  Kettenbruciieiitwicklung  etc. 


493 


darstellenden  Ketten bruch,  nachdem  er  ins  unendliche  fort- 
ist» hinterher  den  Grenzwert  für  0  =  00  berechnen* 
Schlömilch  aber  geht  in  den  einzelnen  Gliedern  des  Ketten- 
brnches  zur  Grenze  0  =  x  über  und  macht  sich  dadurch  einer 
ungerechttertigten  Vertanschung  zweier  ÖreDzprozesse  Bchuldig* 
Bas  Verdienst,  die  Formel  (4)  zum  erstenmal  in  ihrem 
rollen  Umfang  einwandfrei  bewiesen  zu  haben,  gebührt  Herrn 
tL  H.  Graf,^)  der  allerdings  die  Mängel  der  anderen  Methoden 
selbst  nicht  erkannt  zu  haben  scheint  Sein  eleganter  Beweis 
baut  sich  auf  ganz  anderer  Grundlage  auf  als  die  früheren 
Versuche.  Bezeichnet  man  den  Zähler  des  n**^  Näheruögsbruches 
des  Ketten bruches 

1    !   ,        1      K        1        ., 


»  + 


+ 


mit  /"«-(-](«,?>),  so  ist  der  Nenner  des  gleichen  Näherungs- 
bruches gleich  f'n(a  +  b,fi),  wobei /^  {«,  6)  =  1  gesetzt  wird. 
Der  Ketten  bruch  ist  also  konvergent,  wenn  der  Grenzwert 

n  =.  *  U  (ö  +  ^.  &) 

existiert,  und  er  ist  dann  diesem  Grenzwert  gleich.    Herr  Graf 
stellt  nun  einen  expliziten  Ausdruck  für  die  Funktion  /^  (a,  6) 
her  und  gewinnt  daraus  die  Grenzheziehung!*) 
/2c +  2     ^\ 
^"X    ix    '  ix)  nny/xV  , 


(7) 


lim 


r{c  +  l  +  n) 

Ersetzt  man  hier  n  durch  »  +  1,  und  c  durch  c?  —  1,  so  kommt 
auch: 


')  Eelationft  entre   Im   fonction  Beas^lienne   de  premi^  espece  et 

üne  fraction  continue.     Annali   äi  muternfttka,   Reihe  2,  Bd.  29  (1B95). 

*)  Eine  Formel,  die  sich  von  dieser  nur  durcli  die  Bej^eichnungsweiae 

I mnterodieidet,  hat  echon  etwas  früher  auf  anderem  Weg  Herr  Hurwita 

abgeleitet  (Über  die   Nullttellen  der  Beaselschen  Punktion,    Mathema- 

tiicbe  Amtalen  33  (1889))*    In  dem  Beweis  ?on  Herrn  Graf  kommt  aller- 

dingB   eine  Vertanst'Uung  von   Kwei  GreuKprozessen   vor-   doch  iat  deren 

^Bechtfertlgung  lo  leipht^   dai  sie  ohne  weiteres  dem  Leser  öberhiaaen 

werden  könnt«. 


4:94         Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 


(8) 


/n+ 


lim 


(2c     2\ 
\ix'  ix)  fiu 


r'(ir'= 


i(^)- 


=00  r(c  +  i  +  «)  V2, 

Durch  Division   der   zwei   letzten  Gleichungen  folgt,   wenn  x 
keine  Nullstelle  von  Je  (x)  ist: 


/»+i 


lim 

H  =00 


/2c    ^\ 
\ix'  ix) 


/2j5        2     ^\ 
\ix       ix^  ix) 


i  Je  ipc) ' 


Mit   Rücksicht   auf  die    Definition   der   Funktion  fn   ist   diese 
Gleichung  aber  völlig  gleichbedeutend  mit  der  folgenden: 


Jc^yA^^2c 
iJc{x)        ix 


1 


ix 


+ 


1 


2{c  +  2) 


+ 


IX 


oder,  was  das  selbe  ist: 

Je-]^^2c 1 

Jc{x)    ""  X 


2(^+1) 


2{c  +  2) 


X 


2(^  +  3)  + 
ix 


_  1_    i 
I  2(^+1) 

X 


Dies  ist  aber  genau  die  Gleichung  (4),  und  für  die  Nullstellen 
von  Je  (x)  gilt  offenbar  auch  das  dort  Gesagte,  wie  man  erkennt, 
wenn  man  nicht  Gleichung  (8)  durch  (7),  sondern  umgekehrt 
(7)  durch  (8)  dividiert,  i) 

Ein  von  dem  Graf  sehen  ganz  verschiedenes  Beweisverfahren 
besteht  darin,  daß  man  aus  irgendeinem  allgemeinen  Theorem 
die  Tatsache  entnimmt,  der  Kettenbruch  (4)  stellt  eine  im  End- 
lichen überall  meromorphe  analytische  Funktion  von  z  dar 
(wobei  in  den  Polen  eigentliche  Divergenz  stattfindet).  Nach- 
dem  dies   feststeht,    läßt   sich    dann   hinterher    leicht    zeigen, 

*)  Diese  Division  ist  sicher  erlaubt,  weil  Jc(x)  und  Jc—\(x)  außer 
allenfalls  .r  =  0  keine  geraein<*ame  Nullstelle  haben  können.  Für  eine 
solche  müßten  ja,  wie  man  aus  der  Rekursionsformel  (3)  erschließt,  auch 
die  Funktionen  Jc-\-\{jc),  Jc  +  2(.r),  Je-^'.iiJr).  ..  alle  verschwinden.  Bei 
Jc^vix)  ist  dies  aber  gewiß  nicht  möglich,  wenn  r  sehr  groß  ist,  wie 
sich  leicht  aus  der  Definitionsgleichung  (1)  ergibt. 


0.  Perron:  Ober  die  Hettenbruchentwicklung  etc< 


495 


diese  Funktion  fon      ,~.  -     nicht  yerschieden  sein  kann. 

Dies  ist  die  Methode  des  Herrn  E.  B  van  Vleck.*) 

Ich  will  nun  in  den  folgenden  Zeilen  ein  gany,  einlaches 
direktes  Verfahren  angeben,  indem  ich  die  Schlömilchsch© 
Methode  etwas  modifiziere  und  ihren  wunden  Punkt  beseitige. 
Dazu  Bedarfes  eines  einfachen,  wohl  auch  zu  anderen  Zwecken 
brauchbaren  Hilfssatzes  aus  der  Theorie  der  Kettenbrüche,  aus 
welchem  dann  die  Formel  (4)  selbst  fast  ohne  jede  Eeclmung 
gefolgert  werden  kann. 

§2. 
Wo  immer  man  in  der  Analysis  auf  ein  System  von  un- 
endlich vielen  Gleichungen  der  Form 

(9)  - ^ 


geführt   wird,   ist   man  versucht,   die  Zahl   -"  als  unendlichen 
Kettenbruch  darzustellen : 


(10) 


?«*o  + 


«.I 


+ 


'ft,     ^  )».     ^  Ift. 


+ 


und  es  wird  manchmal  nicht  beachtet,  daß  eine  solche  Dar- 
stellung durchaus  nicht  ohne  weiteres  erlaubt  ist*  Und  doch 
dürfen  die  Fälle,  in  denen  die  Gleichung  (10)  falsch  ist,  nicht 
als  eine  besonders  merkwardige  Ausnahme  gelten,  für  deren 
Auftreten  uian  er«t  künstlich  Beispiele  koni*truieren  nruß,  sondern 
sie  bilden  die  Regel*     Denn  sei 


*)  On  the  öoiiTergence  of  thc  coutinued  fractioa  of  Gauß  antl  gthar 
eontiiJU*?d  ftactioat.     Ännals  of  matheniatict,  Reibe  3,  M.  S  fV»01), 


496        Sitsnng  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

ein  beliebiger  Eettenbruch,  bei  welchem  selbstverständlich  sämt- 
liche a^  als  von  Null  verschieden  vorausgesetzt  werden.  Wählt 
man  dann  ganz  willkürlich  zwei  Zahlen  x^  und  o;,,  deren  letztere 
von  Null  verschieden  ist,  so  kann  man  aus  dem  System  (9) 
wegen  a^^Q  eine  unbegrenzte  Folge  von  Zahlen  x^^  x^^  x^^  ... 
der  Reihe  nach  berechnen.  Die  so  gefundenen  Zahlen  genügen 
natürlich  dem  System  (9),  und  wenn  es  erlaubt  wäre,  hieraus 
die  Gleichung  (10)  zu  folgern,  so  hätten  wir  damit  wegen  der 
Willkürlich keit  von  x^  und  x^  das  absurde  Resultat  gewonnen, 
daß  jeder  Kettenbruch  jeder  Zahl  gleich  ist.  Auch  ist  hienach 
klar,  daß,  selbst  wenn  für  die  Konvergenz  des  Ketten- 
bruches (10)  ein  eigener  Beweis  erbracht  werden  kann,  dies 
durchaus  noch  nicht  ausreicht,  um  die  Gleichung  (10)  aus  dem 
System  (9)  zu  folgern. 

Dagegen  lassen  sich  sehr  wohl  gewisse  zusätzliche  Bedin- 
gungen für  die  Zahlen  a^,  ft^,  Xy  angeben,  deren  Erfülltsein 
dafür  ausreicht,  daß  das  System  (9)  die  Gleichung  (10)  nach 
sich  zieht.  Ich  will  nur  ein  derartiges  Kriterium  beweisen, 
welches  uns  für  den  gegenwärtigen  Zweck  gute  Dienste  leisten 
wird.     Es  lautet: 

Wenn  die  (komplexen)  Zahlen  ay{^  0),  hy,  Xy  das  Glei- 
chungssystem (9)  befriedigen  und  außerdem  von  einer 
gewissen  Stelle  v>  N  d^h  den  Ungleichungen 

|a?y|>(l+     \ay\)\XyJ^X     I      +      \ay^lXy^2     |>0 

genügen,  so  besteht  auch  die  Gleichung  (10),  sofern 
nur  rc,  t  0  ist.  Für  iPj  =  0  aber  ist  notwendig  x^^O 
und  der  Kettenbruch  (10)  ist  eigentlich  divergent. 

Vermöge  (9)  kann  man  x^^  und  x^  linear  durch  Xy  und 
Xy^\  ausdrücken,  und  zwar  geschieht  dies  durch  die  Formeln: 

.^         V  Xq     =     Äy-lXy    -f-     ayAy-2Xy^\ 

X^      =     By^lXy     -j-     ayBy^oXv^-ll 

wobei  die  Koeffizienten  Ar,  Ä  den  Gleichungen  genügen : 


O.  Perron:  Ober  die  Kettenlinicbentwicklung  etc. 


497 


(12) 
(13) 


Aq  —  b^,    A^  —  Oq^i  +  ^1,     Ay=  hyAr-i  +  ürAy^i, 

A^^i  B^  —  AyB^-\  ^^  ( — Vfa^  «^  •*'***-■ 
Es  gilt  dann  die  Beziehung: 

(14)  ^0+  j^^    ^  |ia     ^  1'^         i?;^ 

Setzt  man  analog  zu  (11)  auch; 


(15) 


:ca+i  ~  By-i^ix^^x  +  a^+Ä-Bi'-^a^i'+A+ii*) 
so  ist  ebenso: 

(16)  b.  +  iT^+^  +  "-  +  Tr^=w-'- 

Wenn  man  in  (11)  den  Index  v  durch  l  ersetzt»  sodann 
flir  Xit  X),^i  ihre  Werte  aus  (15)  substituiert,  so  werden  2:^  und  x^ 
linear  durch  Xy^x^  Xt,^x^j  ausgedrückt  Das  gleiche  erreicht 
man  aber  auch  direkt,  wenn  mau  in  (11)  k  +  a  an  Stelle  von  v 
90tzt.  Indem  man  dann  die  beiden  so  entstehenden  AusdrQcke 
miteinander  vergleicht,   findet  man  die  bekannten  Relationen: 

Wir  nehmen  nun  eunächst  an,  die  geforderten  Bedingungen 

(18)  x,\>il+\aA)\3c,^i\-h\^^i^+^\>^ 

seien    bereits    von   v  ^1    ab    erfüllt,    abo    insbesondere    auch 

la?j|>0.     Dann  ist  wegen 

a  fortiori; 

I ft^x^+i  I  +  1 01.-1-1  Xy-^2 1  >  (1  +  I o.  I)  I  Xy+^  I  +  I öE*.+i  :r,+a  I; 
oder  auch,  da  \x^^j\>0  gefordert  ist: 


(17) 


M  Man  könnte  hierliei  den  ßnchätaben  B  vermeiden,  indem  otTtitiljiir 
B¥,i=^Ar—\,k'+i  i«t;  mdessen  ist  et  dodi  KweckmUiig«  auch  B  h 
behAltati, 


ritadlM 


rfta 


498        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

(19)  |6.|>l  +  ia.|       (^=1,  2,  ...00). 

Hieraus  folgt  bereits  jiach  einem  bekannten  Satz  des  Herrn 
Pringsheim^)  die  Konvergenz  des  Kettenbruches;  doch  ist 
OH  nicht  nötig,  dieses  Resultat,  welches  uns  an  sich  noch  gar 
nichts  nützt,  hier  als  bekannt  vorauszusetzen.  Aus  der  letzten 
der  Gleichungen  (12)  schliefst  man: 

\By\    '^    \byBy^l\     |    tty  -By  _2   |  , 

alno  mit  IlUcksicht  auf  (19): 

^|a.|(|i?,_,|-|£,.o|). 
Daher  auch: 

!//,|-<|iy,-,|>|a.a._ij(ii?._2|  — |^K-8|)>... 

>  |a^a^_i  . .  .a2|(|&i|  —  1)^  |aia2.  ..a„|; 

hieraus  folgt  endlich: 

(20)  I  jö.  I  >  1  +  |a,  I  +  \a,a,\  +  -  •  •  +  |a,a, . . .  a,|. 

Forner  ist  nach  Voraussetzung  (18): 

\xy\>(l  +  |a„|)|a;,.4.i|, 
also  auch: 

(21)  ^i|>(l  +  |ai|)(l  +  |a2|)...(l  +  |a,i)|a;.4.,|. 

Ä 

Es  ist  nun  zu  beweisen,  daß  der  Bruch   ^-,  dessen  Nenner 

nach   Ungleichung   (20)    stets   von    Null    verschieden    ist,    mit 

X 

wachsendem  v  der  Grenze  --  zustrebt.    Es  ist  aber  nach  (11): 

Xo  Ar  -\   Äy-i  Xy  4"  O'v  Ar-2  ^v-f  1   -4^-1 

Xl  Bv-\  By^l    Xy     +     ay    By-^Xy^X  By  ^\ 

nyjAy-^By^i  —  Ay-]  By-2)oi^v4-] 

(By-\    Xy    4"     (^V    By-  O  Xy^l)   By  ^\ 

.  .  y_I  aia2   '  '   '  CLy  ^r  +  l 

Xi  jDy-i 

•)  über  die  Konvergenz  unendlicher  Kettenbrücbe.    Diese  Sitzungs- 
berichte, Bd.  28  (1898). 


O.  Perron:  Über  die  Kettfinbnichentwtrklung  etü. 


im 


unJ    hieraus   folgt  unter  Berücksichtigung  der  Ungleichungen 
(20)  und  (21): 


laiü'y 


,  a^[ 


^(l+|a,|)(l  +  |a,l)...(i  +  |a.;)|i^.^r| 


1 


Von  den  zwei  Ausdrückeu  auf  der  rechten  Seite  hat  aber 
wegen  (20)  iiiindestens  einer  den  Grenzwert  Null;  daher  ist  in 
der  Tat: 


tt%  z.  b.  w\ 


Nehmen  wir  jetxt  an,  die  Bedingung  (18)  sei  erst  von 
dem  Wert  v^^  N  +  i  ah  erfdllt,  also  gewiiä  |  ^.v+i  |  >  ^.  Dann 
ist  nach  dem  soeben  Bewiesenen  doch  jedenfalls  J?,,^  n  ^  ^i  und 
außerdem : 

hm  ^,^-  =  -  — . 

r  =  goi5r.  .V  X^*^\ 

Wenn  man  dann  in  (17)  für  X  speziell  die  Zahl  N  wählt  nnd 
die  entstehenden  Gleichungen  durch  ii»-i,,Y  dividiei%  so  kommt: 


^f-ij 


Ä-i,  j 


Hieraus  folgt,  wenn  v  unbegrenzt  wächst: 


m 

(23) 


lim    „^— —  =  J.J^^-l  - —  -\-.asAti-^  = , 


Ist  nun  a-j  :{:  0»    so   kann  man  Gleichung  (22)  durch  (23) 
dividieren  und  erhält: 

lim  4^  =  ^. 

Ist  aber  etwa   ^^=^0»    so    ist  jedenfalls  x^  ^  0;  denn    sousi 
würde  aus  (9)  der  Reihe  nach  auch  x^  ^  0,  a^j  ^  0,  ♦ , ,  folr 


riife 


500        Sitzung  der  matb.-phjs.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

während  doch  x tf ^id^O  vorausgesetzt  ist.    Daher  ist  jetzt,  in- 
dem man  umgekehrt  (23)  durch  (22)  dividiert: 

Um  1^  =  ^  =  0. 

Hiemit  ist  aber  unser  Satz  vollständig  bewiesen. 

Schreibt  man  die  Ungleichung  (18)  in  der  Gestalt: 

^»'      l>»1_i_l^l_Ll^  ll  ^'  +  2  j 


so  erkennt  man  augenblicklich,  daß  sie  sicher  von  einem  ge- 
wissen V  ab  erfüllt  ist,  wenn  die  Zahlen  |  a^  \  unter  einer  end- 
lichen Schranke  bleiben,  und  außerdem  die  Beziehung 

lim  ^-±1  =  0 

besteht.     Wir  finden  also  speziell: 

Wenn  die  Zahlen  |av|(>0)  unter  einer  von  v   un- 
abhängigen  Schranke    bleiben,    und   wenn    außerdem 

r  =  00         Xy 

ist,  so  folgt  aus  dem  System  (9)  allemal  die  Gleichung 
(10),  sofern  nur  x^  :^  0  ist.  Für  a;,  =  0  aber  ist  not- 
wendig Xq:^0  und  der  Kettenbruch  (10)  ist  eigentlich 
divergent. 

§3. 
Wenden  wir  uns  jetzt  wieder   zu  den  Besselschen  Funk- 
tionen, so  ist  leicht  zu  sehen,  daß  durch  den  letzten  Satz  der 
Schlö milch  sehe  Beweis  legalisiert  wird.    In  der  Tat  ist  nach 
Gleichung  (3),  sobald  z  von  Null  verschieden  ist: 


js: 


(24) 


Jh  (*)  = —-     -  Ji,  +  i{z) Ji,  +  2  (z) 


O,  PetroB:  Über  die  Ketten bnichentwicklung  ete. 


501 


Diese  GleichuQgen  haben  die  Form  des  Systems  (9),  and  zwar 
ist  durchweg  a^  ^=  —  L  Wenn  wir  also  noch  zeigen  könuen, 
daß  für  jedes  von  Null  verschiedene  endliche  ^  die  Beziehung 


(25) 


statthat,  so  sind  die  Voraussetzungen  des  ohigen  Satzes  erfüllt, 
und  wir  kdnnen  daher  aus  (24)  sehlieien: 


Ji-iW       2A 

1 

1       1 

1      1 

M^)          M 

2(A+1) 

g 

2{Ä+2) 

2(A+3) 

mit  dem  Zusatz,  daß  der  Kettenbruch  für  die  Nullstellen  von 
Jk{^)  eigentlich  divergent  ist.  Daß  aber  die  Gleichung  (25) 
in  der  Tat  richtig  ist,  ergibt  sich  sehr  einfach  auB  der  Defi- 
nition (1),    Setzt  man  dort  A  -|-  v  an  Stelle  von  h^  so  kommt; 


(f)* 


(I)' 


iTTl-l-, 


(0* 


(A+v-i-l)l!  ^(A  +  i'4-l)(A  +  v-|-2)-2! 
also  wenn  man  >'  >  1 A 1  wählt : 


j;+,(£)r(A+v+i) 


W 


—  1 


+ 


'{v-\h\)X\^  {y-\h 


U[j_ 
=  e4tf-MI)  —  1**) 


)*2f 


+  " 


Hier  konvergiert    aber  die   rechte  Seite   für   jeden    endlicheß 
AYert  von  m  mit  wachsendem  y  gegen  Null;  also  folgt: 


<)  Die  von  Herrn  KieUen  angegebene  Abflchatzungsformel  tHand- 
buch,  pag.  7  Formel  (3))  igt  niekt  allgemein  richtig. 

Ii07.  fiitcaDfsK  d.  mmÜL-phya.  Kl.  34 


502        Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 


Ebenso,  wenn  v —  l  an  Stelle  von  v  tritt: 

j,+..i(0)rih  +  v)  _ 

■"  (ir' 

Also  durch  Division  der  zwei  letzten  Gleichungen: 

hieraus  folgt  aber  augenblicklich  Gleichung  (25),  womit  dann 
alles  bewiesen  ist. 

Ich  bemerke,  da&  die  Konvergenz  des  Kettenbruches  (4) 
nicht  immer  eine  unbedingte  ist  im  Sinne  des  Herrn  Prings- 
heim;  dies  ist  offenbar  nur  dann  der  Fall,  wenn  wir  von  £f 
auch  die  Nullstellen  aller  Funktionen  Jk-\-i,  «/a+2»  «/a+s,  .  .  . 
ausschließen. 

In  der  auf  pag.  493,  Fußnote  2  genannten  Arbeit  hat 
Herr  Hurwitz  die  Kettenbruchdarstellung  oder  vielmehr  ge- 
wisse Eigenschaften  der  Näherungsbrüche  dazu  benutzt,  um 
zu  beweisen,  daß  die  Nullstellen  der  Funktion  Jh  (^),  wenn  der 
Index  h  reell  und  größer  als  — 1  ist,  alle  reell  sind.  Man 
kann  aber  aus  der  Kettenbruchentwicklung  noch  eine  weitere 
Eigenschaft  dieser  Nullstellen  entnehmen,  die,  wie  es  scheint, 
noch  nicht  bemerkt  worden  ist.  Die  Nullstellen  sind  nämlich, 
wenn  der  Index  h  rational  ist,  stets  irrational  (abgesehen  von 
der  eventuellen  Nullstelle  jsi  =  0).    Auch  die  Funktion 

wo  p,  q,  h  irgendwelche  rationale  Zahlen  bedeuten,  hat  keine 
von  Null  verschiedene  rationale  Nullstelle.  Es  folgt  dies  aus 
dem  Legen  dreschen  Irrationalitätssatz,  den  ich  folgender- 
maßen formuliere: 

Wenn  in  dem  unendlichen  Kettenbruch 


0.  Perron:  Über  die  SetteBbrochentwicklnDif  etc. 


503 


K  + 


+ 


+ 


+ 


|6.       '     |6.      '     |fta 
die  a^{^0%by  garsÄe  rationale  Zablea  sind,  welche  Ton  einer 
gewissen  Stelle  v>N+t  ab  der  Ungleiehung 

genügen,  so  ist  der  Kettenbruch  konvergent  und  hat  einen 
irrationalen  Wert,  es  sei  denn,  daH  von  einem  bestimmten  v 
an  durchweg  a^  <  0^  b^  =  l  -\-  \  a^  ^  ist, 

Herr  Pringsheim  hat  zwar  den  Beweis  dieses  Satzes  in 

der  auf  Seite  498  zitierten  Arbeit  nur  für  den  Fall  durchgeführt, 

dag  die  Ungleichung  £»,.>;  l  H-  |  a,  |  schon  von  r  =  1  ab  besteht* 

I  Es  ist  aber  leicht  zu  seheu^  daß  der  Satz  gleichwohl  in  diesem 

weiteren  Umfang  gilt.    Denn  es  ist  jetzt  jedenfalls 


'•"''^^:^+ 


E?x¥+a 


eine  irrationale  Zahl.  Indem  man  dann  wieder  in  (17)  X  ^  N 
setzte  sodann  durch  Ä-i.j^  dividiert  und  v  unbegrenzt  wachsen 
läßtf  erhält  mau: 


(26) 


(27) 


lim     *^^     =  Äif-i  ßji  +  anAu-i 


lim 


^v  +  N-i 


^^  Bjf-i  ßu  +  ajii  Sji^2  * 


Nun  ist  EU  beachten,  daß  dieser  letzte  Ausdruck  notwendig 
von  Null  verschieden  ist.  Denn  da  alle  a^,  by  rational  sind, 
so  gilt  das  gleiche  von  Bn^i^  Bn-^^  Aber  ß^\  ist  irrational; 
also  könnte  der  Ausdruck  nur  dann  verschwinden,  wenn  gleich- 
zeitig B}i-\  -=■  0,  Bs-i  =  0  wäre,  was  bekanntlich  nicht  möglich 
ist  (wegen  Gleichung  (13)  für  v^N — 1),  Man  kann  also 
(26)  durch  (27)  dividieren  und  findet  so: 

lim  ^  =  Aj!f-i  ßjif  ^ajfAjf^i 

r  =  ai  B^  Bjf-i  ßjf  +  ajf  £^_2 

'  Daher  ist  unser  Kelten bruch  in   der  Tat  konvergent  und  hat 
©inen  irrationalen  Wert.     Der  obige  Bruch  könnte  ja  offenbar 

34* 


504        Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  7.  Dezemper  1907. 

nur  dann  rational  werden,  wenn  die  Determinante  Ajf-i  3x^2 
—  A21-2  Bn-i  den  Wert  Null  hätte,  was  wegen  (13)  nicht  der 
Fall  ist. 

Um  diesen  Satz  nun  anzuwenden,  führen  wir  in  Glei- 
chung (4)  für  h  und  js  beliebige  rationale  Werte  ein;  man 
wird  stets 

9     9 

setzen  können,  wo  e,f,g  ganze  Zahlen  sind  und  (^  positir.  Es 
folgt  dann: 

Ji-iC^)      2e  1      i  1       I  1       I 


Jh{z)        f      12  i±^ 


e±29        :    e+3^ 

f  \         f 


oder  wenn  man  den  Kettenbruch  durch  einen  äquivalenten 
ersetzt:^) 

JM        f       |2(e-i-^)      |2(c  +  2i,)       ;2(e+3(/)       "  *• 

Dieser  Kettenbruch  erfüllt  nun  die  Voraussetzungen  des  Irra- 
tionalitätssatzes, und  der  Ausnahmefall  tritt  offenbar  nicht  ein. 

Er  ist  also   zunächst  einmal  konvergent;   daher   kann   z  ^=z  L 

keine  Nullstelle  von  Jwiß)  sein,  sonst  müßte  ja  der  Ketten- 
bruch eigentlich  divergieren.  Aber  außerdem  ist  sein  Wert 
auch  irrational;    daher  ist  die  Zahl 

für  rationale  'p,  q  notwendig  von  Null  verschieden.  Damit  ist 
aber  unsere  Behauptung  in  allen  Teilen  bewiesen. 

M  Man  beachte,  daß  dadurch  Konvergenz  oder  Divergenz  nicht 
beeinflußt  wird ,  weil  bei  zwei  äquivalenten  Kettenbrüchen  auch  die 
Reihe  der  sukzessiven  Näherungsbrüohe  die  gleiche  ist. 


605 


Protokoll 

über  die  SitEung  der  Itiftelektrischeii  Kommission  der 
kartellierten  Deutschen  Akademien  zu  München 

am  26.  Ottober  1907. 

Auf  Anregung  der  Göttinger  Gesellschaft  der  Wissen- 
scUafteti  war  die  Erforschung  der  Loftelektrizität  wiederum  in 
das  Arljeiisprogramni  des  Kartells  Deutsclier  Akademien  auf- 
genomnien  w^arden,  naehdera  sich  die  internationale  Assoziatioa 
der  AJcadeinien  diesen  Fragen  gegenüber  ablehnend  verhalten 
hatte*  Von  der  Abhaltung  eines  Kartelltages  war  mit  Rücksicht 
auf  den  Mangel  an  anderweitigen  Beratungsgegenständen  Ab- 
stand genommen  worden,  wohl  aber  wurde  vorgeschlagen,  da^ 
die  kartellierten  Akademien  Vertreter  zu  einer  Besprechung 
nach  München,  dem  diesjährigen  Vororte  des  Kartells,  delegieren 
sollten,  um  ein  Programm  Über  die  zunächst  in  Angriff  zu 
nehmenden  Arbeiten  zu  entwerfen  und  verschiedene  von  diesen 
Arbeiten  seihst  an  die  einzelnen  Akademien  zu  verteilen. 
Dieser  Vorschlag  wurde  angenommen,  und  am  Samstag  den 
26*  Oktober  1907  vormittags  9  Uhr  traten  in  dem  Physika- 
lischen Institute  der  Technischen  Hochschule  zu  München  die 
folgenden  Delegierten  zu  der  genannten  Kommission  zusammen: 

Herr  Fr*  Einer,  Vertreter  der  Kaiserlichen  Akademie 
der  Wissenschaften  in  Wien;  Herr  Ed.  Rieck©  und  Herr 
E,  Wiechert,  beide  als  Vertreter  der  Göttin ger  Gesellschaft 
der  Wissenschaften:    Herr  W,  Ha II wachs,    als  Vertreter  der 


506        Sitzung  der  math.-phjs.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

Sächsischen  Gesellschaft  der  Wissenschaften  zu  Leipzig  und 
Herr  H.  Ebert,  als  Vertreter  der  Bayerischen  Akademie  der 
Wissenschaften  zu  München. 

Zunächst  begrüßte  Herr  Direktor  H.  von  Seeliger  die 
Anwesenden  im  Namen  der  Münchener  Akademie  in  Vertretung 
von  deren  Präsidenten,  welcher  sein  Bedauern  darüber  aus- 
sprechen ließ,  daß  es  ihm  nicht  möglich  sei,  die  Vertreter  der 
kartellierten  Akademien  persönlich  hier  in  München  willkommen 
zu  heißen,  da  er  habe  verreisen  müssen.  Herr  von  Seeliger 
hob  die  große  Bedeutung  der  geplanten  gemeinsamen  Arbeiten 
hervor.  Er  berichtete,  daß  auch  die  Preußische  Akademie  der 
Wissenschaften  zu  Berlin  ihre  vollste  Sympathie  dem  Unter- 
nehmen gegenüber  zum  Ausdruck  gebracht  habe;  sie  zähle 
nur  zur  Zeit  unter  ihren  Mitgliedern  keinen  Gelehrten,  der 
den  luftelektrischen  Forschungen  nahe  genug  stehe,  um  als 
Delegierter  zu  den  Kommissionsberatungen  entsendet  zu  werden ; 
sie  wünsche  aber  über  die  Arbeiten  der  Kommission,  sowie 
über  die  in  Vorschlag  gebrachten  Unternehmungen  auf  dem 
laufenden  erhalten  zu  werden. 

Hierauf  ergriflF  Herr  Riecke  das  Wort,  um  zunächst  im 
Namen  der  Anwesenden  für  die  freundliche  Begrüßung  zu 
dank(jn ;  er  führte  weiter  aus,  daß  es  jetzt,  nachdem  die  inter- 
nationale Assoziation  auf  die  Vorschläge  der  Deutschen  Aka- 
d(miion  nicht  eingegangen  sei,  geradezu  eine  Ehrenpflicht  des 
Kartells  sei,  nun  erst  recht  die  angeregten  Forschungen  aus 
eigener  Kraft  weiter  zu  fördern;  er  hoffe,  daß  hierfür  auch 
di(»  nötigen  Mittel  zu  beschaffen  sein  würden,  insofern  nament- 
lich, als  es  sich  zunächst  vor  allem  um  die  Weiterbildung  und 
Klärung  der  luftelektrischen  Meßmethoden  handele.  Er  erin- 
n(»rte  an  das  reiche  Maß  von  Anregungen,  das  die  Teilnehmer 
auf  den  Sitzungen  der  früheren  luftelektrischen  Kommission 
des  Kartells  gewonnen  hatten,  und  gibt  der  Zuversicht  Aus- 
druck, daß  sich  die  Sitzungen  der  wieder  erstandenen  Kom- 
mission nicht  minder  fruchtbar  erweisen  werden. 

Endlich  hieß  Herr  Ebert  die  Erschienenen  als  Hausherr 
willkommen;  man  habe  es  für  vorteilhaft  gehalten,  die  Sitzung 


Protofcoll  über  die  Sitzung  der  luftelekta*.  Kommissioii.        507 


in  ein  Institut  zu  verlegen,  in  welchem  im  Ansehliisse  an  die 
Benitungen  einige  Neueinrichtungen  Bowie  die  verschiedenen 
instrumenteilen  Ililfeniittel  besichtigt  werden  kÖDuten, 

Hierauf  wurde  in  die  Beratungen  selbst  eingetreten;  die 
Konmiission  wählte  Herrn  Riecke  zu  ihrem  Vorsitzenden  und 
betraute  Herrn  Ebert  mit  der  FiÜirung  des  ProtoboUes. 

Herr  Riecke  knüpfte  zunächst  an  den  Antrag  der  König- 
lichen Gesellschaft  der  Wissenschaften  zu  Göttingen  an. 

Derselbe  lautet: 

,Dje  kartellierten  Akademien  mögen  eine  ständige  Kom- 
tnission  ernennen,  mit  der  Aufgabe^  die  Methoden  und  Instru- 
mente, welche  zur  Messung  der  luftelektrischen  Elemente  dienen^ 
einer  planmäßigen  Prüfung  zu  unterzieheOi  und  insbesondere 
diejenigen  Methoden  auszuarbeiten ,  deren  Anwendung  bei 
ausgedehnteren  Beobachtungsnetzen  die  besten  Resultate  ver- 
spricht* 

Herr  Riecke  führte  zur  Erläuterung  zu  diesem  Antrage 
ireiter  folgendes  aus: 

flAuf  der  Versammlung  der  internationalen  Assoziation 
der  Akademien  in  London  wurde  eine  KomDiission  gewählt, 
Eur  Dotersuebung  der  Frage,  ob  sich  zur  Zeit  eine  inter* 
nationale  Bearbeitung  der  luftelektrischen  Forschung  in  die 
Wege  leiten  ließe.  Diese  Kommission  ist  im  Anfange  dieses 
Jahres  zu  dem  Schlüsse  gekommen ,  daß  von  einer  solchen 
AJction  vorläufig  abzusehen  sei,  da  eine  Reihe  von  Fragen,  die 
'  sich  auf  Methoden  und  Instrumente  beziehen,  noch  nicht  end- 
^gDltig  geklärt  seL  Unter  diesen  Umständen  tritt  an  das  Kartell, 
¥on  dem  die  Anregung  zu  internationaler  Verfolgung  der  luft- 
r  elektrischen  Probleme  ausgegangen  ist,  die  Aufgabe  heran,  die 
Hoch  der  Diskussion  unterworfenen  Punkte  einer  erneuten  Be- 
arbeitung zu  unterziehen,  und  so  die  gegen  ein  internationales 
Vorgehen  erhobenen  Bedenken  zu  zerstreuen.  Die  kartellierten 
Akademien  zählen  eine  Reihe  von  Forscheni  zu  ihren  Mit- 
gliedern, die  sich  in  hervorragender  Weise  an  der  luftelek- 
irischen  Forschung  beteiligt  haben;  der  genannte  Zweck  würde 
ohne  Zweifel    in    der    vollkommensten   Weise   erreicht,    wenn 


508        Sitzung  der  njatb^-plijs,  Klasse  vom  7.  Desamber  1907. 

diese  Forscher,  in  der  ständigeD  Kommission  vereinigt,  Ge- 
legenheit haben  würden»  in  regelmät^igen  Sitzungen,  etwa  im 
Ansclilufi  an  die  Kartellversammlungen^  ihre  Erfahrungen  aus- 
zutauschen  nnd  über  eine  zweckmäßige  Verteilung  der  bei  den 
Beratungen   sich   ergebenden  Aufgaben   sich   zu  verständigen.* 

Diese  Aüsfahrungen  begegneten  der  vollsten  Zustimmung 
aller  Anwesenden, 

Herr  Exner,  welcher  den  Vorsitz  in  der  erwähnten  Kom- 
mission der  Assoziation  geführt  hatte,  berichtetet  welchen  Ver- 
lauf die  Tätigkeit  dieser  Kommission  genommen,  und  wie  die 
ablehnende  Haltung  derselben  zum  Ausdruck  gckümmen  sei;j 
er  ist  der  Ansicht,  dalä  diese  internationale  Kommission  auf- 
gebort habe,  zu  existieren,  was  sich  mit  der  Auffassung  dar! 
sämtlichen  Anwesenden  deckt- 

Herr  Kiecke  machte  hierauf  den  Vorschlag,  um  der  gegen- 
wärtigen Tagung  ein  bestimmtes  Programm  zu  Grunde  legen 
zu  können,  zuerst  A)  die  allgemeinen  Gesichtspunkte  zur 
Sprache  zu  bringen  und  sodann  B)  in  die  Beratung  der  ein- 
zelnen Gegenstände  einzutreten,  wobei  jenes  Programm  als 
Richtschnur  dienen  könne,  welches  seinerzeit  der  Assoziation 
vorgeschlagen  worden  ist. 

Ad  A)  ftihrte  Herr  Ebert  aus,    man    habe   in    der  Eom-| 
mission  der  Assoziation    das  Bedenken  erhoben »    daß   die  luft- 
elektrischen   Meßmethoden    noch    nicht   genügend   ausgebildet 
seien,    um   ein   groläeres  Untemehnien   internationaler   Art   zu 
rechtfertigen;    dies   könne   wohl  nicht  von   den  Methoden   der 
Potentialmessung  gelten,    wo   durch  Exner    und  seine  Schule  1 
ein  allen  Anforderungen  genügendes  und  nach  allen  Richtungen 
hin  durchprobiertes  transportables  Instrumentarium  geschaffen 
sei,  andererseits  erprobte  Registrierverfahren  fortlaufeüde  Auf- 
zeichnungen an  gewissen  Basisstationen  ermöglichten.    Gerade 
die  Messung    iwse&  Elementes   sei    aber    —    wie    schon  früher  j 
oft  genug  betont  worden  ist,    —    wenn  sie  einmal  in  Tennin- 
beobachtungen   über  den   ganzen   Erdball    ausgedehnt   würdet 
eine  besonders  wichtige  und  für  die  Assoj^iation  auch  besondernJ 
geeignete  Aufgabe.     \^on  den  anderen  Vürtretern  wurde  hier-1 


Protokoll  über  die  Bitxung  der  luftelektr*  KommiBsioti.         509 


gegen  geltend  gemacht,  man  solle  vorderhand  von  der  Be- 
teiligung der  Assoziation  überhaupt  Abstand  nehmen;  wenn 
von  Seiten  der  kartellierten  Deutschen  Akademien  aus  erst 
ausgedehntere  Unternehmungen  auf  luftelektrischem  Gebiete 
in  die  Wege  geleitet  seien,  würden  sieh  sicher  auch  fremde 
Akademien  anschliei^en^  ohne  daß  es  nötig  wäre,  den  Apparat 
der  Assoziation  in  Bewegung  zu  setzen. 

Ad  B.  Der  Reihe  nach  werden  die  folgenden  einzelnen 
Punkte  genauer  durch b e ra te u : 

L  Potentialm^ssungen*  In  neuerer  Zeit  sind  ver- 
schiedene Elektrometerformen  in  Vorschlag  gebracht  worden, 
welche  dazu  bestimmt  sind,  das  Blättchenelektroskop  zu  er- 
setzen, dem  trotz  der  nicht  unwesentlichen  Vervollkommnungen, 
die  man  an  demselben  angebracht  hat,  noch  gewisse  Mangel 
ohne  Zweifel  anhaften.  In  Betracht  kommen  vor  allem  Biättchen- 
elektrometer  mit  Mikroskopablesung,  das  Elektrometer  von 
Wulff  und  das  Lutz-Edelraannsche  Saitenelektrometer.  Herr 
Wiechert  teilt  mit,  daÜ  er  mit  Untersuchungen  über  die 
Brauchbarkeit  des  Torsionselektrometers  beschäftigt  ist.  Herr 
Hall  wachs  erwähnt^  daß  er  seit  5  Jahren  mit  Blättchen- 
elektrometern mit  Mikroskopablesung  bei  seinen  Untersuchungen 
gearbeitet  und  sehr  gute  Erfahrungen  mit  denselben  gemacht 
habe.  Es  sollen  eingehende  Vergleiche  zwischen  diesen  ver- 
schiedeuen  Elektrometern  angestellt  werden,  namentlich  bezüg- 
lich ihrer  Verwendbarkeit  für  luftelektrische  Untersuchungen, 
Die  Herren  Ebert  und  Wiechert  Übernehmen  den  Auftrag 
hierüber  im  nächsten  Jahre  an  die  Kommission  zu  berichten, 
Herr  Hallwachs  erklärt,  daß  er  die  Kommission  durch  seine 
Erfahrung  auf  elektrometrischem  Gebiete  gerne  unterstützen 
werde.  Es  wird  weiter  hervorgehoben,  wie  wichtig  es  ist,  daß 
an  einzelnen,  mit  größeren  wissenschaftlichen  Hilfsmitteln  aus- 
gerüsteten Stationen  Registrierungen  des  Putentialgefälles  aus- 
geführt werden.  Es  wird  betont,  daß  sich  das  mechanische 
Registrierverfahren  in  der  Benndorf sehen  Anordnung »  und 
diese  selbst  durchaus  bewährt  haben,  und  an  dtT  punktweise^ 


510        Sitauug  der  Tuath.-phjB.  Elasse  vom  T*  DeEfim!>er  1907» 

Registrierung  festgehalten  werden  könne,  trotz  der  gegen  dieeen 
Verfahren  von  gewisser  Seite  erhobenen  Bedenken. 

Eine  ganx  besondere  Sorgfalt  erfordert  die  Wahl  der 
Sonden,  Kollektoren  oder  Elektroden,  Hier  haben  sich  die 
Polonium-  (also  Radium-F,  aber  nicht  die  Kadi« ni-)Elek trollen 
bewäbj^;  da  dieselben  in  ihrer  Wirksamkeit  aber  mit  der  Zeit 
abklingen,  ist  es  von  besonderem  Werte,  daÜ  Herr  Exner| 
bekannt  gibt»  daß  die  Wiener  Akademie  über  einer  grö&eren 
Vorrat  an  Polonium  aus  den  Joachinistaler  Krzen  verfügt  und 
die  Neu  akti vier ung  von  Elektroden  für  die  Zwecke  der  wissen- 
st^haffelichen  Untersuchungen  des  Kartells"  übernehmen  würde; 
mir  die  eine  Bedingung  sei  zu  erfüllen,  dali  die  eingescbickteu 
Elektroden  und  ihre  Zuleitungen  nur  aus  Platin  bestehen,  ' 
damit  die  das  Polonium  enthaltenden  Losungen  nicht  verun- 
reinigt werden- 

So  veertvoll  die  Radiokollektoren  auch  im  allgemeinen 
sind,  so  kann  doch  im  speziellen  die  Wolke  von  Ionen,  welche 
sie  dauernd  um  sich  herum  erzeugen,  fllr  gleichzeitig  anzu- 
stellende andere  luftelektrische  Messungen  unter  Umständen 
störend  wirken,  z,  B<  im  Luftballon,  Hier  können  die  söge*  j 
nannten  ^  Aktinoelektroden*  als  Ersatz  herangezogen 
werden,  frisch  amalgamierte  Zinkplatten ,  welche  infolge  des 
Hallwachs-Effektes  im  Sonnen-  oder  hellen  Tageslichte 
elektrisch  ausgleichend  wirken.  Ein  Nachteil  haftet  ihnen 
nach  den  bisherigen  Erfahrungen  an:  sie  ermüden  ziemlich 
rasch,  wie  es  scheint,  besonders  rasch  in  den  höheren  Schiehteu 
der  Atmosphäre.  Herr  Hallwachs  spricht  die  Vermutung 
aus,  data  vielleicht  der  größere  Ozongehalt  dieser  Schichten 
hierbei  mitwirke  und  fragt  an,  ob  zuverlässige  vergleichende 
Messungen  des  Ozongehaltes  der  höheren  Schichten  vorliegen; 
nach  eingehender  Erörterung  wird  festgestellt,  daß  zur  Zeit 
leider  noch  keine  zuverlässige  Metliode  bekannt  ist,  den  Ozon- 
gehält  der  Luft  mit  einiger  Sicherheit  zu  messe».  Herr  Hall- 
wachs  stellt  in  Auftsicht,  die  gana^e  Frage  der  Aktinoelek- 
troden  einer  eingehenden  Prüfung  unterwerfen  xii  lassen  nnd 
darüber  im  nächsten  Jahre  zu  berichten. 


Protokoll  über  die  SitÄUUg  der  luftelektr.  KoGimission,        SU 


Herr  Wiechert  hebt  die  Bedeutung  der  Spritzkollek- 
toren hervor,  die  sich  bei  den  VeiToIlkommnüngen  von  Linke 
und  Gerdien  sehr  gut  bewährt  haben.  Er  berichtet  fernerj 
id&§  er  auf  die  schon  ?on  Palmieri  benutzten  mechanischen 
festen  Elektroden  aufinerksam  geworden  sei;  es  seien  über 
diese  am  Qeophjsikalischen  Institute  zu  Göttingen  Unter- 
suchungen im  Gange,  welche  Erfolg  versprechen,  und  Über  die 
der  Genannte  im  nächsten  Jahre  Näheres  berichten  wird. 

Um  die  Angaben  der  Registriernp parate  »auf  die  Ebene 
reduzieren*  zu  können,  mufa  man  gleichzeitige  Messungen  mit 
einem  transportablen  Instrumente  im  Terrain  anstellen;  dabei 
hat  sich  gezeigt,  daß  es  nicht  gleichgültig  iBt,  in  welcher  Uöhe 
über  dem  Boden  man  den  Kollektor  aufstellt.  Es  scheint  dem- 
nach das  Potential  gefalle  in  den  untersten  Schichten  des  Luft- 
meeres nicht  konstant,  sondern  ziemlich  stark  veränderlich  zu 
sein.  Diesem  Punkte  soll  gfinz  besondere  Aufmerksamkeit  ge- 
widmet werden,  da  ja  Änderungen  im  Gefalle  nach  der  Poia- 
sonschen  Gleichung  mit  der  Anwesenheit  freier  räumlicher 
Ladungen  im  innigsten  Zusammenbange  stehen  müssen.  In 
Wien,  Göttingen  und  München  soll  diese  Frage,  sei  es  durch 
gleichzeitige  Anwendung  mehrerer,  in  verschiedenen  Höhen 
angebrachter  Kollektoren,  sei  es  mittels  kleiner  gefesselter 
Sondenballons  der  Klärung  näher  gebracht  und  über  die  dies- 
be^glichen  Ergebnisse  im  nächsten  Jahre  berichtet  werden^ 

2.  Le  i  t  f  ä h  i  gk  ei  ts  b  e  s t  i  ni  m  u  nge  n.  Es  wird  zunächst  über 
die  Verwendung  des  Elster- Geitelschen  Apparates  gesprochen, 
der  sich  durch  seine  ungemeine  Handlichkeit  auszeichnet»  und 
dem  in  der  Entwickhing  der  luftelektrischen  Forschung  eine 
so  große  Bedeutung  zukommt.  Die  Mitglieder  der  Kommission 
sind  darüber  einig,  da&  die  früher  übliche  Benutzung  mit 
Schutzdach  auf  alle  Fälle  zu  verlassen  sei,  da  unter  diesen 
Umständen  die  Angaben  des  Apparaten  in  keiner  genau  zu 
bestimmenden  Beziehnng  zu  den  zu  messenden  luftelektrischen 
Elementen  stehen.  Dagegen  haben  die  Untersuchungen  von 
Schering  gezeigt,  daß  der  Apparat  vollkommen  brauchbare 
Werte  der  Leitfähigkeit  liefert,  wenn  man  ihn  der  freien  Luft 


512        Sitxung  der  n]atli,*pbjt.  Kl«««e  rom  T*  Desember  19<IT. 

exponiert,  und  wenn  man  außerdem  die  Anordnung  so  abändert, 
diii  diu  gmMiigiAin  Stromteüe  zwischen  dem  geladenen  Körper 
und  ^iriseheB  den  benachbarten  Teilen  des  Elektrometers  keinaj 
Rolle  spielen.     Gegen  das  Erdfeld  wird  der  Apparat  hinreichend] 
geschützt,   wenn   er    unter  einer  Laube,    einem  Baume,    ein^m  1 
atia    Drahtnetz    hergestellten    Sehutsdaebe    auf  gestellt    wirdJ 
Wichtig  ist  es  vor  allen  Dingen,  daü  die  Gegeh windigkeit  der 
Lijftbewegung   dabei   ganz   heraustaUt,    ein  Theorem,    welches 
für    alle   Formen   der   Leitei^ächen    zu   beweisen    vor  kurzem  ' 
HeiTn  Itiecke  gelungen  ist  (die  betrefiende  Abhandlung  wird 
in  der  Sitzung  vorgelegt).     Die  Bedenken,    welche  von  Herrn 
K.    Kurz    gegen    den  Gebrauch    des    Gerdienschen    Apparates 
vor  kurzem  erhoben  worden  sind,  sollen  noch  eingehender  gte* 
prüft  werden. 

Von  großer  Bedeutung  sind  die  fortlaufenden  Registrie- 1 
rungen  der  Leitfuhigkeit  in  absolutem  Malle,  v?eldie  am  Göt- 
tinger Observatorium  auf  Grund  der  Kl  eck  eschen  Theorie  und 
im  Anschlüsse  an  die  Arbeiten  Scherings  durchgeführt  wer- 
den und  über  die  Herr  Wiechert  eingebender  berichtet  Die 
Versuchesollen  fortgesetzt  werden;  Herr  Wieahert  wird  Über 
die  Ergebnisse  dieser  Begistriernng  im  nächsten  Jahre  Näheres 
tjiitteilen. 

Kennt  man  das  Potentialgeialle  und  die  gleichzeitigen 
Werte  der  Leitfähigkeit,  so  kann  man  die  Intensität  des  verti- 
kalen lonenstrotnes  berechnen,  eine  Größe,  welche  zur  Be- 
urteÜung  des  £lektri:£iUi^shaushaltes  in  der  Natur  von  gr^üter 
Wichtigkeit  ist.  Herr  Ebert  kommt  auf  seine  sf'iuerzeit  auf 
Anrt^gung  der  luftelektriscben  Kommission  unternommenen  Ver» 
suche  xurück,  diese  Intensität  direkt  galTanometrisch  zu  be- 
stimmen, und  hebt  die  Schwierigkeiten  herror,  welclie  hbrbei 
tiie  Influenae  Wirkungen  von  Seiten  de^  erdelüktrischeii  Feldiss 
dta  Messungen  entp  *  ^^  gj.  erwähnt  die  Vn  '  r  n 
Wilson»    wtdche   m  n   von   Herrn  K.  Li  ^r 

verfolgt  werdcsQ  nod  spricht  die  UoSntinif  ans,  dafi  es  g^lingi^ii 
aiftge,    aitch  <ii«e  wich^  li  %n  registrieren. 

£ho  diesar  Punkt  U. .    .^f. ....^  .^rbasm  wird»  wtr.1 


i^ 


Protokoll  Über  die  Sitzung  der  Inftelekti'.  Komtnisiioti*         51^ 


die  Frage  aufgeworfen,  ob  es  nicht  möglich  ist,  die  mit  dem 
Elster-Geite Ischen  Apparate  durchgeführten  Messuiigert  noch 
nachträglich  auf  absolutes  oder  doch  wenigstens  vergleicli- 
bares  Maü  zurückzuführen,  Herr  Exner  erwähnt,  dali  sich 
Herr  Seh  weidler  eingehend  mit  dieser  Frage  beschäftigt 
habe,  daä  die  Aussichten  hier  aber  sehr  wenig  günstig  sind. 
Um  dennoch  das  umfangreiche^  mit  ilieaera  Apparate  bereits 
erhaltene  Material  nach  Möglichkeit  nutzbar  zu  machen,  soll 
diese  Frage  noch  einmal  eingehender  behandelt  werden  und 
zwar  wird  Torgeseh lagen,  daH  die  Wiener  Akademie  diesen 
Teil  des  Arbeitsprogramms  übernimmt, 

3.  lonenzählungen.  Gegenüber  den  Messungen  mit 
den  Aspirationsapparaten  zur  Bestimmung  der  lonendichte  in 
der  Atmosphäre,  wie  sie  namentlich  von  Ebert  eingeführt 
wurden,  sind  im  ganzen  drei  Bedenken  erhoben  worden; 

a)  diese  Apparate  ließen  einen  grotäen  Teil  der  in  der 
Atmosphäre  vorhandenen,  elektrisch  geladenen  Partikelchen 
ungezählt  durch  sich  hindurchfliegen  (Langevin); 

b)  sie  täuschten  eine  Unipolarität  vor  infolge  der  Defor- 
mation, welche  die  Potentialflächen  des  Erdfeldes  durch  den 
Apparat  selbst  erleiden  (Gerdien); 

c)  sie  täuschten  ein  zu  grolaes  Überwiegen  der  positiven 
Ionen  vor,  weil  sich  1)ei  dem  Einfangen  derselben  auf  dem 
negativ  geladenen  Innenzjlinder  aktive  Zerfallsprodukte  des 
Radiums  (induzierte  Aktivität)  niederschlagen  {K,  Kurz). 

Ad  a.  Die  Apparate  wurden  zunächst  zu  dem  Zwecke  kon- 
struiert, um  ein  Urteil  über  die  Zahl  der  Ionen  Ton  nor- 
maler Beweglichkeit  pro  Raumeinheit  zu  erlangen,  wie  sie 
durch  Röntgenstrahlen  oder  die  Strahlungen  der  Radioelemente 
direkt  erzeugt  werden.  Schon  bei  den  Versuchen,  welche  zum 
Ausprobieren  der  ilir  diesen  Zweck  zu  wählt*nden  Apparat- 
dimensionen angestellt  wurden,  entging  die  Tatsache  nicht, 
dali  neben  diesen  beweglichen  Ionen  noch  weit  trägere,  elek- 
trisch geladene  Partikelchen  in  der  Atmosphäre  regelmällig 
mit  vorhanden  sind^  welche  eben  wegen  ihrer  Trägheit  durch 
den  Apparat  hindurchschlüpften    und   von  dem   in  diesem  be- 


514         SitÄung  der  maili.^phjr3.  fO^aae  vom  7.  DeKemb^ir  1907, 

stehenden  elektrischen  Felde  nicht  mit  eingefäßgen  wurden, 
lUr  Betrag  war  ein  sehr  wechselnder.  Sollten  aie  mit  abge- 
fangen werden,  so  hätte  der  Aspirationsapparat  weit  größere 
Dimensionen,  das  Feld  desselben  eine  unbequem  höbe  Starke 
erhalten  milssen,  der  Apparat  wäre  unhandlich  geworden,  seine 
Transport fahigkeit  stand  in  Frage.  Schließlich  entschied  die 
Erwägung,  daß  diese  trägen  Ionen,  selbst  wenn  sie  an  Zahl 
die  beweglichen  um  das  Mehrfache  übertrafen,  m  der  Leit- 
fähigkeit der  Luffc  doch  nur  einen  verschwindend  kleinen  Bei- 
trag Defem  konnten,  eben  wegen  ihrer  geringen  Wanderungs« 
geschwind igkeit.  Der  Apparat  wurde  daher  in  den  kleinen 
Dimensionen  ausgeführt*  Immerhin  ist  diesen  BLa^g^-^^io- 
Jonen"  seither  fortgesetzt  Aufmerksamkeit  gewidmet  worden. 
Es  sseigte  sich,  daß  ihre  Zahl  einen  gewissen  Parallelismus  mit 
dem  Staubgehalte  der  Luft  aufweist,  wie  er  mittels  eines 
Aitkenschen  Staubzählers  ermittelt  wurde.  Es  scheint  daher, 
dati  dieöe  Ionen  nichts  anderes  sind,  als  gewöhnliche  Ionen, 
welche  durch  Adsorption  an  Staubpartikelchen  gefesselt  sind; 
namentlich  die  negativen  Ionen  können  hierdurch  in  über- 
wiegender Zahl  Tjmolisiert"  werden,  ebenso  bei  Taubildung 
infolge  von  Kondensation;  hierüber  hat  Herr  Daunderer 
eingehende  Studien  gemacht,  welche  demnächst  veröffentlicht 
werden  sollen» 

Ferner  ist  zu  bemerken,  daia  die  in  der  Umgebung  von 
München  auE^erhalb  der  Stadt  angestellten  Beobachtungen  bei 
weitem  nicht  den  hohen  Betrag  an  solchen  trägen  Ionen  er- 
geben, wie  ihn  Lange v in  in  seiner  Mitteilung  angibt;  bei 
seinen  Beobachtungen  müssen  daher  wohl  besonders  ungünstige 
Verhaltnisse  mitgewirkt  haben. 

Die  neuen  von  Günther  und  Tegetmeyer  (Braunschwetg) 
gebauten  Apparate  sind  so  dimensioniert,  daü  alle  Ionen  bis 
herab  zu  einer  Beweglichkeit  von  0^2  cm/sec»  pro  1  Volfc/cin 
Gefalle  sicher  abgefangen  werden;  oberhalb  dieser  Grenze  liegt 
aber  die  Beweglichkeit  aller  jener  elektrischen  Trilger,  welche 
man  als  „Qn,si()nen*  zu  bezeiclinen  pflegt.  Unterhalb  die«er 
Grenze  liegen  zunächst  nur  aehi*  wenige  (mei^t  positive  Träger), 


PfOtakoII  tiber  die  Sil^ung  der  luftelektr.  Eommiaaioa.         ^1^ 


dann  erst  kommen  die  Langevin-Ionen  mit  Beweglichkeiten 
von  1/1500  bi«  herab  zu  1/4500  cui/sec.  pro  1  Volt/cm  Getalle, 
also  von  einer  ganz  anderen  Größenordnung.  Es  kann  daher 
als  ausgemacht  gelten,  daß  der  Ionen aspirator  auch  wirklich 
«Ionen"  zählt. 

Ad  b.  Dai  das  meist  und  an  allen  Orten  unter  normalen 
Verhältnissen  konstatierte  Überwiegen  der  Zahl  der  positiven 
Ionen  eine  reale  Bedeutung  hat,  und  nicht  durch  eine  Beein- 
tlussung  des  Apparates  durch  das  Erdfeld  vorgetäuscht  wird, 
ist  durch  zahlreiche  Versuche  erwiesen,  bei  denen  besonders 
darauf  geachtet  wurde,  daß  die  Wirkungen  dieses  Feldes  ab- 
geschirmt waren;  auch  wurde  die  genannte  Unipolaritat  in 
Kellerräumen  konstatiert,  in  welche  die  Luft  direkt  aus  den 
Erdkapi  Haren  übertrat»  in  denen  aber  natürlich  von  Störungen 
von  Seiten  des  Erdfeldes  nicht  die  Rede  sein  konnte.  Hierher 
gehören  namentlich  auch  interessante,  seither  noch  nicht  ver- 
öffentlichte Beobachtungen  in  der  Steinbruchshöhle  7M  Krenis- 
münster. 

Ad  c.  Infolge  des  Emanationsgehaltes  der  Luft  schlagen 
sich  auf  negativ  geladenen  Körpern  Zerfallsprodukte  des  Radiums 
nieder,  welche  ihrerseits  bei  ihren  fortschreitenden  Verwand- 
lungen wieder  neue  Ionen  erzeugen»  Hierfiir  sind  Spannungen 
von  ca,  200  Volt,  wie  sie  im  Aspirationsapparate  verwendet 
werden,  bereits  ausreichend,  Herr  Kurz  hatte  daraufhin  die 
Vermutung  ausgesprochen,  daß  ein  Teil  der  bei  diesen  Appa- 
raten gefundenen  Unipolari täten  auf  diese  Ursache  zurückzu- 
führen sei.  Hier  ist  aber  noch  folgendes  zu  beachten  (worauf 
unterdessen  zum  Teil  auch  schon  Herr  K.  W.  F,  Kohlrausch 
aufmerksam  gemacht  hat):  Ist  der  Innenzylinder  —  geladen^ 
so  ist  die  Innenwand  des  äußeren  Zylinders  +  geladen,  auf  dem 
inneren  Zylinder  setzen  sich  die  Zerfallsprodukte  der  Ema- 
nation ab*  die  nun  von  hier  aus  neue  Ionen  erzeugen,  ent* 
sprechend  der  Reichweite  ihrer  a- Strahlen,  da  ja  diesen  der 
Hauptanteil  an  der  Ionisierung  der  umgebenden  Luft  zukommt. 

Bei  Umladung  müssen  sich  aber  diese  Produkte  an  der 
Innenwand  des  äußeren  Zylinders  absetzen;  sie  zerfallen  hier 


516        Sitmng  der  math.-pfajs.  Klasie  ?om  T,  Deaember  1907, 

und  senden  dabei  a-Stralilen  von  derselben  Reicb  weite  wie 
vorher  aus.  Daß  durch  die  Verschiedenheit  der  lo  dea  heiden 
Fällen  zur  Verfügung  stehendan  looisierungsgebiete  die  Höhe 
der  tatsLichüch  beobachteten  Unipolaritäten  bei  weitem  nicht  ^ 
erreicht  wird,  lehrt  sowohl  ein  ungefährer  Überschlag  als  auch 
eine  Reihe  direkter,  in  München  von  Herrn  Heis  unter  be- 
sonders günstigen  üniständen  angestellter  Versuche,  Wieweit 
der  Von  Herrn  Kurz  angezeigte  Einfluß  in  Wirklichkeit 
reicht,  aoU  durch  direkte  Versuche  noch  eingehender  studiert 
werden,  und  zwar  übernimmt  München  diesen  Teil  des  Pro* 
gramms. 

4,  NiederschlagseiektrizitäL  Herr  Wiechert  be- 
richtet über  die  neueren  Arbeiten  im  Oöttinger  Observatorium, 
welche  es  möglich  gemacht  haben,  die  Niederschlagselektrizjtät 
mittels  des  Galvanometers  zu  registriereu.  Es  wird  dabei  eine 
Auffangfläche  von  25  Quadratmetern  benutzt.  Die  Einrichtung 
wurde  von  Dn  Hermann  zusammengestellt.  Jetzt  ist  Dr.  Zoep- 
pritz  damit  beschäftigtj  sie  anzuwenden  und  auch  noch  weiter 
zu  yervoUkommnen. 

Auf  die  regelmäßige  Prüfung  der  Isolationen  und  auf  Ver- 
meidung von  Störungen  durch  verspritzendes  Wasser  (Lenard- 
Eifekt)  und  durch  das  Erdfeld  wurde  besonders  Bedacht  ge- 
nommen. Die  ganze  Apparatur  erfordert  freilich  einen  ziem- 
lichen Aufwand  an  Mitteln  und  Wartung,  so  daß  wohl  nur 
größere  Observatorien  ähnliche  Registrierungen  werden  aus- 
ftlhren  können. 

Daher  verweist  Herr  Exner  auf  die  sehr  bequeme  Methode 
der  direkten  Beobachtung  von  Herrn  Mache,  bei  welcher  die 
Nisderschläge  auf  einer  isoliert  aufgestellten  Bürste  aufgefangen 
und  mit  dieser  in  da**  Zimmer  hereingebracht  werden,  wo  ihre 
Ladung  geprüft  wird.  Diese  Methode  hat  sich  bei  der  Unter- < 
öuchung  von  Herrn  Weiß  trefllieh  bewährt  und  wird  äugen« 
blicklich  von  Herrn  K,  W-  F.  Kohl  rausch  auf  einer  Expe* 
diiion  nach  Portoriko  dazu  benutzt ^  die  elektrischen  Etgen- 
^cbaftau  der  Tropenregen  zu  tstudieren. 


Protokoll  Obtr  die  Sitzung-  der  luftelektr.  Sommiision.        517 


Von  den  erhaltenen  Resultaten  wird  zunächst  nur  die 
eigentlhüliche  Tatsacht;  hervorgeliobeu,  daß  im  Anfange  eines 
Niederschlages  die  Ladung  auch  dem  Vorzeichen  nach  aniäer- 
ordentlich  wechselt  Die  Fortführung  dieser  Untersuchungen 
empfiehlt  die  Kommission  ganz  besonders  dringlich »  damit 
einmal  klargelegt  wird,  welchen  Einfluß  dieser  augenscheinlich 
sehr  wichtige  Faktor  in  dem  Etektrizftatshaushalfce  des  Systems 
Atmosphäre-Erde  eigentlich  besitzt* 

5,  Radioaktivität  der  Atmosphäre  und  des  Erd- 
bodens. Hierbei  handelt  es  sich  einerseits  um  die  aktiven 
Bestandteile  der  Luft^  andererseits  um  diejenigen  der  Boden- 
konstituenten. Was  erstere  betrifft,  so  ist  wohl  kaum  zu  leugnen, 
daö  die  auf  negativ  geladenen  und  frei  exponierten  Drähten 
induzierte  Aktivität    kein   genaues  Maai   für   die   pro  Kubtk- 

-meter  vorhandene  Enmnationsmenge  abgeben  kann,  da  die  Akti- 

piernng  des  Drahtes    ebenso    von    der  Menge    der   Induktions- 

jer  in  der  Volumeinheit  wie   von    ihrer  Beweglichkeit  ab* 

^ängt.     Es  werden    die  Methoden    besprochen,    bei  denen   die 

^Umanation  in  Flüssigkeiten  absorbiert  und  dann  aus  diesen 
wieder  ausgeschüttelt  wird.  Der  Versuch,  die  Emanation  auf 
gekühlter  Kohle  zu  adsjorbieren,  führte  nicht  zum  Ziel»  da  die 

-Kmanation  nur  zum  Teil  wieder  losgelassen  wird.  Herr  Eber t 
erwähnt,  daß  in  München  die  Versuche  wieder  aufgenommen 
werden  sollen,  die  Emanation  durch  Verflüssigung  zunächst 
einzufangen  und  anzureichern,  und  dann  ihren  Betrag  im 
Laboratorium  quantitativ  äu  bestimmen.  Natürlich  wird  diese 
Methode  nur  in  einzelnen  geeignet  ausgerüsteten  Instituten 
Anwendung  finden  können. 

Herr  Rieeke  erwähnt  eine  Untersuchung  von  HeiTn 
Gerdien,  deren  Ziel  in  erster  Linie  die  Bestimmung  der  Be- 
weglichkeit war,  welche  die  Träger  der  radioaktiven  Induk- 
tionen in  der  Atmosphäre  besit/en.  Beobachtet  wurde  in 
einem  Bereiche  von  Beweglichkeiten,  das  von  2b  cmfsec*  bis 
zu  ViotxM)  cm/see.  pro  Volt/ cm  mch  erstreckte:  es  wurde  unter- 
sucht, wie  sich  die  Gesamtzahl  der  Träger  auf  die  einzelnen 
Beweglichkeitsintervalle    verteilt.     Aus    der    spezifischen    Zahl 


518  Sitzung  der  math.-phys.  Klasse  vom  7.  Dezember  1907. 

der  Träger  wurde  die*  von  den  Radium-  und  den  Thorinduk- 
tionen in  der  Atmosphäre  entwickelte  lonisierungsstärke  be- 
rechnet. Sie  ergab  sich  als  ein  kleiner  Bruchteil  von  der- 
jenigen, die  zur  Aufrechterhaltung  der  Ionisation  in  der  Atmo- 
sphäre notwendig  ist. 

Bezüglich  der  Prüfung  von  Bodenproben  hat  sich  der 
Apparat  von  Elster  und  Geitel  in  der  neuen  Form  trefiFlichst 
bewährt.  Die  Kommission  beschließt,  an  die  genannten  beiden 
Herren  das  Ersuchen  zu  richten,  die  Arbeiten  des  Kartells 
nach  dieser  Richtung  hin  zu  unterstützen. 

6.  Ballonbeobachtungen.  Eines  der  wichtigsten  Pro- 
bleme bildet  hier  die  Elimination  der  durch  den  Ballonkörper 
hervorgerufenen  Störungen  des  freien  Feldes.  Die  theoretischen 
Arbeiten  der  Herren  Linke  und  Benndorf  werden  besprochen. 
Herr  Ebert  erwähnt,  daß  die  Frage  mittels  eines  in  ein  künst- 
liches Feld  gebrachten  Ballonmodells,  wie  er  es  früher  schon 
vorgeschlagen  habe,  von  Herrn  K.  Lutz  untersucht  worden 
ist,  worüber  demnächst  in  der  Zeitschrift  für  Physik  der  Atmo- 
sphäre eingehender  berichtet  werden  wird.  Trotzdem  kann  es 
natürlich  nur  begrüßt  werden,  wenn  auch  von  anderer  Seite, 
wie  Herr  Wiechert  hier  im  Namen  von  Dr.  Linke  ankündigt, 
die  Frage  nach  anderen  Methoden  noch  behandelt  wird. 

Für  die  Beobachtungen  im  Ballon  wie  übrigens  auch  auf 
der  See  bedarf  das  Instrumentarium  noch  einer  besonderen 
Aus-  und  Durchbildung.  Die  Kommission  spricht  aus,  wie 
wichtig  es  ist,  daß  Methoden  gefunden  werden,  welche  sichere 
luftelektrische  Messungen  auch  im  Ballon  und  auf  dem  Meere 
auszuführen  gestatten,  da  die  bisherigen  Methoden  der  Ver- 
vollkommnung gerade  nach  dieser  Richtung  hin  noch  bedürfen. 

7.  Beweglichkeit  und  Wiedervereinigung.  Die  Be- 
stimmung dieser  lonenkonstanten  ist  zwar  ebenfalls  als  sehr 
wichtig  zu  bezeichnen,  da  aber  das  entwickelte  Programm  an 
sich  schon  sehr  reichhaltig  ist,  so  möchte  die  Kommission 
nach  dieser  Richtung  hin  dem  Kartell  zunächst  noch  keine 
bestimmten  Vorschläge  unterbreiten,  sondern  überläßt  die  För- 
derung dieser  Fragen  privater  Initiative. 


Protokoll  über  die  Sitzung  der  luftelektr.  Eommisaior,         ^19 


Als  das  große  Ziel,  auf  welches  alle  Arbeiten  des  Kartells 
in  letzter  Instanz  gerichtet  sein  müs^sen,  betrachtet  die  Kom- 
mission nach  wie  vor  die  Ausdehnung  luftelektrischer  Messung 
über  die  ganze  Oberfläche  der  Erde.  Als  Vorarbeit  für  ein 
so  umfassendes  Unternehmen  halt  die  Kommission  die  probe- 
weise Abhaltung  von  einigen  Termin  beobachtungen  in  dem 
Bereiche  des  Kartells  für  durchaus  nötig.  Denn  nur  so  kann 
man  sich  darüber  unterrichten,  wie  solche  Beobachtungen  am 
bebten  zu  organisieren,  welches  die  äuieren  Bedingungen  sind, 
unter  denen  sie  Erfolg  versprechen.  Mit  Rücksicht  hierauf 
muß  in  hohem  Maläe  bedauert  werden,  dalä  sich  im  Königreich 
Sachsen  noch  keine  luftelektrische  Station  befindet:  dieselbe 
wTh'de  in  hervorragendem  Maße  geeignet  sein,  als  Zwischen- 
station die  nord-  und  süddeufechen  Stationen  äu  verbinden* 
Die  Kommis-sion  spricht  sich  dahin  aus,  data  es  für  das  Zu- 
sammenarbeiten der  Deutschen  Luftelektriker  von  der  grolaten 
Bedeutung  wäre,  wenn  in  Sachsen  eine  Station  errichtet  würde, 
Herr  Hall  wachs  erklärt  sich  bereit,  die  Wünsche  der  Kom- 
mission   der   K.   Sächsischen   Staatsregierung  zu   unterbreiten. 

Die  nächste  Tagung  der  Kommission  soll  im  Anschlüsse 
ao  das  uöchstjährige  Zusammentreten  des  Kartell  Verbandes, 
abo  der  Reihenfolge  der  Vororte  entsprechend,  voraussichtlich 
in  Berlin  stattfinden. 

Nach  kurzer  nochmaliger  Zusammenfassung  der  Haupt- 
punkte der  stattgehabten  Besprechungen  schlieM  Herr  Riecke 
die  Sitzung,  — 

Am  Nachmittage  wurde  ein  Rundgang  durch  das  Physi- 
kaliscbe  Institut  der  Technischen  Hochschule  vorgenommen, 
wobei  die  luftelektrischen  Apparate  und  Einrichtungen  daselbst 
besichtigt  wurden  und  sich  noch  Gelegenheit  gab,  eine  Reihe 
von  Einzelfragen  zu  erörtern. 

Oezeichnet: 
Riecke,  als  Vorsitzender.       Ebert,  als  Protokollführer, 


520 


öffentliche  Sitzung 

zu  Ehren   Seiner  Königlichen   Hoheit  des 
Prinz-Regenten 

am   14.  Dezember   1907. 


Der  Präsident  der  Akademie,  Herr  K.  Th.  v.  Heigel, 
eröffnete  die  Festsitzung  mit  einer  Rede: 

Die  Anfänge  des  Weltbundes  der  Akademien, 
welche  besonders  im  Druck  erschienen  ist. 

Hierauf  verkündigte  der  Klassensekretär,  Herr  C.  v.  Veit, 
die  Wahlen  der  mathematisch-physikalischen  Klasse.  Es  wurden 
gewählt  und  von  Seiner  Königlichen  Hoheit  dem  Prinz- 
Regenten  bestätigt: 

zu  korrespondierenden  Mitgliedern: 

1.  Dr.  Theodor  Curtius,  Großh.  Bad.  Geheimrat,  Professor 
der  Chemie  an  der  Universität  Heidelberg; 

2.  Karl  Grove  Gilbert,  Mitglied  der  U.  S.  geological  Survey 
in  Washington; 

3.  Joseph   John    Thomson,    Professor   der   Experimental- 
physik am  Trinity-College  in  Cambridge  (England); 

4.  Dr.  Wilhelm  Wien,  K.  Geheimer  Hofrat,  Professor  der 
Physik  an  der  Universität  Würzburg. 


521 


Namen-Register. 


Bauer  Gustav  (Nekrolog)  249. 

V.  Bezold  Wilhelm  (Nekrolog)  249.  269. 

Burmester  Ludwig  16.  17. 

Boltzmann  Ludwig  (Nekrolog)  249.  263. 

Curtius  Theodor  (Wahl)  520. 

Ebert  Hermann  33.  506. 
Edelmann  Max  Thomas  33.  35. 

Gilbert  Karl  Georg  (Wahl)  520. 

Goebel  Karl  115.  119. 

Günther  Siegmund  116.  139.  277. 

V.  Heigel  Theodor  233.  520. 
Hertwig  Richard  173.  175.  285. 
Hofmann  Karl  Andreas  282. 

Joffe  A.  277.  279. 

Koenigs  Wilhelm  237.  257. 
Koch  Peter  Paul  175. 

Landsberg  Georg  2.  3. 

V.  Linde  Karl  15. 

Lindemann,  Ferdinand  173.  177.  284. 

Lutz  C.  W.  33.  61. 

Messerschmitt  J.  B.  381. 
Moissan  Henri  (Nekrolog)  271. 


522  Namen-Begister, 

Parrot  Karl  176. 
Perron  Oskar  285.  401.  483. 
Perwanger  16. 
Pringsheim  Alfred  2.  286. 

Eöntgen  Konrad  113.  116.  176.  277.  278. 

Thalreiter  Franz  173.  211. 
Thomson  Joseph  John  (Wahl)  620. 

Toit  Erwin  16. 
Voß  Anrel  34.  77. 

Wassilieff  Dr.  286. 

Wien  Wilhelm  (Wahl)  620. 


523 


AiifttJifsgeiebwindigkeit    und    Meng«?    dör   phototskktriiuben    Elektronen 

211,  279. 
Aposporie,  künntlich«  inn  Fwriien   JIS, 
Aj^pirationa-Ujgrgmetör  33,  S5> 

Bi^ttbUduitg  amphibiecher  PflAnseo  116. 

Cjanide,  Struktur  der  282. 

Pünenbildung,  NaturmodeU  der  HS.  1B9. 

Biweiftr#t0rptloti.  über  den  seitlicheii  Ablauf  der  16. 
Elektro  114^11,  übi^r  dk  Bewegung  der  L  116.  155.  173, 
ElektriiJientbf^orie,  tm  177.  2Ö1.  284,  363. 
Klüptinrb«'  Äfodulfunktion^n,  jtar  Tbeorie  der  2*  3. 
gzperimertt«ll-inorpbo1ogiscbe  untersuch uagen  115. 

I>rmat«cb6a  Tbeoreni,  über  dju  logenAtmi«  kt^te  264.  237. 
Fiücbeii  eine«  drcJfatb  unpiidlicben  Sji^tem*»  welche  mit  einer  gegebenen 
«Igebniittcben  liaunikürve  iJitHJ  Berührung  3,  Ordnung  eingeben  173* 

Jttpiini»che  Aktinien  285. 

Riaetogmpbisebe  Verwundticbaft  ebener  Sjttato^  16*  17» 
Ketl^nbruchentwitklung  d«i*  QuotiöDt4!u  iweitr  ßestdiioher  Funktionen 

286. 
ttonlbfmo  Trnnüfornmiicuii  und  Krümmung  S4.  77. 
iC(»nvergen«    d(^r    •1meobi-Ki«ttenii.Igoritlinieii    nüt    komplexen    Ebmentenf 

286.  401. 


^jB«^ 


524  Sach-Reyister, 

Leitung  der  Elektrizität  in  Kalkspat  und  Einfluß  der  X-Strahlen  darauf  118. 
Luftelektrische  KommisBion.   Protokoll  über  die  Sitzung  zu  München  am 
26.  Oktober  1907   505. 

Magnetische  Ortsbestimmungen  in  Bayern  881. 

Ornithologie :  Beiträge  zur  Ornithologie  Sumatras  und  der  Insel  Bangka  1 75. 

Portugiesischer  Portulanatlas  des  Entdeckungszeitalters  277. 

Saitenelektronen  33.  61. 

Sexualitätsproblem,  Untersuchungen  über  das  173. 

Spezifische  Wärme:  Über  die  Abhängigkeit  des  Verhältnisses  der  spezi- 

C  V 
fischen  Wärme  -—  =  ^  in  trockener  kohlensäurefreier  atmosphä- 
rischer Luft  von  Druck  und  Temperatur  175. 

Wärmedurchgang  von  einem  wärmeren  zu  einem  kälteren  Wasserstrome 

durch  eine  Metall  wand  15. 
Wurzelregeneration  137. 


10 


18 


1.6 


1.+ 


1.2 


to 


Oß 


0.6 


a+ 


0,2 


-0,2 


0^ 


Ofi 


0,8 


1.0 


1.2 


1.+ 


1,6 


Pinl^ 


•  ♦      •*#     «   • 


J'*^ 


-•     -s  -•• 


1^ 


Verzeichnts  der  im  Jahre  (907  eingelaufenen  Druckschriften. 


Di«  vorebrLiehAD   GeAftlläcbAfUtii    und    Iiutitut«,    lali   welebon    uiiaer«  Akäd^mlm   lo 


Ton  rolgfndeD  öeseUsolialteik  und  iMtttiitaii : 

ßeschidOgv^tin  in  Aachen: 
Ib^rifl.    Bd,  28,    1906. 

BiMütischt  QtßeUjtchafl  des  Kaniom  Aaffiatt  tn  Aar  au: 

ArgoTia.    BtK  3L    I90o:  Bd.  32,    1907. 
Tatdimhuth  für  dne  Jiüir  1906. 

'  &tciUi  d'imulaimn  in  AhbetilU: 

BnBetm  ^njuestriel  1906^  No.  3  et  4;  1907,  No.  t  ei  2, 

UnicerMitf  of  Ah€Td€€n: 
[fitoaSis.    No.  U-21;  No.  24.    19Ü&-^k^.    4^ 
[Eui^book  lo  Clif  anfi  üsifcnilj  of  Aherd&ea.    190$, 

B(»^  Soeieff  üf  SourJb-Jiuirr^ilia  in  Addmde: 
«od  Ptt>o©€diiigf,    VoL  XXX.    1906. 
Index  to  iKc»  Tm&ACtioiii.   Vol.  1-14.   ia77-imia  1907. 

Säd4mn$dm  Akmdemtk  der  Wu^tMwekttfltm  im  Ägrum: 
tMrtofU,  Sl  Bwemk.   1907. 
l£ii   Bd.  165-160.    19OS-07. 

Bd.  XI,  2;  XU,  !.    1906-07. 
|€ote  dinloeAttL-iSi.    VoL  1¥.    190^. 
[^j•ba  iweMMk  36.    LS07.    4^. 

K.  Kf9mi^Täamn.'4^mtsiian*Au  LnmditmrtAtv  m  Afram: 
V3«tjRkL    Bd.  IX.  Beft  1-^4    1907.    4^. 

i&Mlue^  .4rdbdei(ap«adbe  Qmt/Uämft  m  A^rmmi 
V^mm^  M.  teie.  Bd.  IX.   immlm.  4ß. 

I 


2*  Verzeichnis  der  eingelaufenen  Druckschriften. 

FaciUte  de  droit  et  des  lettres  in  Aix: 
Annales.    Tome  II,  No.  2.    Paris  1907. 

Observatory  in  Allegheny: 
Miscellaneous  scientific  paj)er3.   N.  S.    No.  18 — 20.    1907. 

Neto  York  State  Education  Department  in  Alhany: 
New  York  State  Library.    87th  annual  Report  1904,  2  vols.    1906. 
New  York  State  Museum.    Bulletin  85.    1905. 
!•*  annual  Report  of  the  Education  Department  und  Supplemental  volume. 

2n<*  annual  Report.    J905— OG. 
New  York  State  Library.    Bulletin  No.  Ü8,  99.    1905. 

Xat urforschende  Gesellschaft  des  Osterlandes  in  Altenhurg: 
Mitteilungen  aus  dem  Osterlande.    N.T.,  Bd.  XI.    1907. 

Si)ciete  des  Antiquaires  de  Picardie  in  Awiens: 
Album  archeologique.    Fase.  1-4:  6—11,  1886-96:  Fase.  15,  1906.    foL 
Bulletin.    Annee  1906,  trimestre  1 — 4;  1907  trimestre  1. 
La  Picardie  historique  et  monumentale.    Tome  III.  No.  3.    1906.    fol. 

K.  Akademie  der  Wissenschaften  in  Amsterdam: 

Verhandelingen.    Afd.  Natuurkunde,  I.  Sectie.  Deel  IX.  No.  4:  II.  Seotie, 

Deel  XiU.  No.  1-3.    1V06— 07    4». 
Yerbandeliogen.  Afd.  Letterkunde.  N.Reeks.  Deel  VII  et  VIII.  3.   1907.   4®. 
KttingsvereLigen.    Afd.  Natuurkunde.  Deel  XV,  1.  ±    1907.   gr.  8*^. 
Tenlagen  en  Mededeelingen.   Afd.  Letterkunde,  4®  Reeks.  Deel  VIII.  1907. 
Jaarboek  voor  1906.    19U7. 
Bufius  Cri^pinus  poeraa     1907. 

Etdaction  der  Xederiandsch  TiJ.lsehrift  voor  G^neeskunde  in  Amsterdam: 

Opuscula  >»»lo(  la  Nivrlandioorum  de  arte  meJioa.    Fa^e.  1.    VMM. 

Histonsi-her  Verein  in  Ahshach: 

54.  Jahre*K-riont.    1907. 

Die  Handsohrilieu  de>  Hi<tor.  Verein^  für  Mitt^'l franken  I.    lvKi7. 

Stadt  A n t nerpen : 

l\iedologisoi;  ,laarK>ek.    Jahrg.  VI.  afl.  2.    1907. 

X.iUtrtri^.'te nschj^i . . cht r  Vertin  m  A <ch '.i .7V n h u r,t : 

M:rtr:lur.j:or.  VI.    191^7. 

Ki  l  :-:U"n  der  Zf-tschrir  ,.A:heuX'   im  Athen: 

A:h-::.i.    Totho  18.  Hr-rt  2  -4.  :;■:-•-  IJ»  U-.-::   1.  2     1900  -»»7. 

B::>:::;  d-    «".rr-^:    ::  •     :"  hr::-n:::e.     :^\  ..:-■-.    N  •.  9     12:  :^1.  ann.-»», 

\v.  1      7.    !■..:>  i  vT. 

>..  i:  r:!*t e i:  .1  v.  <  Uf :: :  ."  .■:  :*. r •>   1  "^  • '  - 1 ►'^ 

.  1  '.V  ■  >v -  • .  : .      1  ^»'  »o— •  • ;  -:    :  •>  '  4  -  -  • ' "».     1  •■  •  7 

H'.<    ' f.* .-Ä^ r   V-  V i H    'ii r    N^A *r .ifv «    •,..;'    S-f'-i'  A-J    IM    .4 H^S^.  H rj : 

Z^::>  l.rif^     .'.i::r:j.  ;^>.    VMM. 


VerseühnU  der  eingelaufenen  Druch^chtifterh 


8* 


NatttrwimenschaftHeher    Vereifi  in  Äuffabt^r^: 
S7.  Bericht    1906. 

ffPöUkhia**  in  Bad  Dürklmm : 

Mitteilungen.    63.  Jahrg.,  Nr.  22,  190G.    1907. 
GruTidlagen  einer  Stabilitätstheorie  v.  H.  Zwick.    IJW>7.    4*. 
Der  Arflengebiill:  der  ,Majiquelle*  v.  E.  Ehler.    Heidelberg  lUOT. 

Peahodif  Institute  in  BaUimon: 
40.  annual  Reiiört  19ü7. 

Johm  Hopkim  Univemty  in  Baliimorei 
Circuhira.    1906.  No.  4  5.  T-lOj  1907,  Nö.  l— a. 
Ameridiin  Journal  oiMÄtUematica,  Vol. 28,  No.  2—4,  1906;  ¥oU29,  No.  1—4, 

1907.    #, 
The  American  Journal   of   Philoloj^.    Vol.  27,   No,  1-4,    1906:    vol  28, 

No.  1-3,  1907. 
ÄJaenL-an  Chemical  JoumaL    VoL  So,  No,  5,  6j  vol.  36.  No.  1—6;  voL  37, 

No.  1-6;  voL  38,  No.  1  —  5;  Genenil  Index  zu  vol.  11-20,    1906-07. 
Johns  Hopkins  University  tJtudies,    äeriea  XXIV,  No.  3  —  12;  3me«  XXV, 

No.  1-7.    1906-07. 
Bulletin  of  tbe  Johns  Hopkins  Hospital.  Vol,  XVIH,  No.  190-197,  l^i,  200. 

1907.    4<*. 
Tfae  Johns  Hopkins  Hospital  Reports.    Vol.  Xlll,  XIV.    1906.    4* 

MaryldHd  Geolotpcal  Surmtf  in  BnUimöre: 
Pliocene  and  Pleiatoeene.    1906. 

liiätt}mcher  Verein  in  Bamberg: 
65,  Jahresberichtp    1907. 

NaUtrßmchende  GesdtBehaft  in  Basel: 
VerhAfidlüttgen.    Bd.  XIX,  üeft  1,  2,    1907. 

Histons€h-afUiquarische  Geacthehnft  in  Band: 
Bailer  Zeitöchrift  für  Geschichte  und  Altertum^kuntle.    Bd.  VI,  Heft  2; 
Bd.  Vll  Heft  l.    1907. 

Societc  lifj*  scienctA  in  Bmtin: 
Bulletin.    Ännee   25,    trimestre   l  et  2,    1904;    trimt'ötre   3  et  4,    IIHIÖ; 
trimeatre  1,   1906. 

Batnmamch  GenöoUchap  van  Kumten  en  Wcleustrhappen  in  B ata  via  i 
Tydschrift.    Deel  49,  afl-  1  -6;  Deel  50,  afl,  1,  2.    1906-07. 
Verhandelingen.    Deel  56,  stuk  5     1907,    4*>. 
Nottii.ni.    Deel  44,  afl.  2-4;   Deel  45.  afl.  1-3.    1906-07. 
}^--  f  '      '  "  'r:«'s  Küiner  vaü  bi^t  Museum.    1907.    l*, 

gehouden  int  Ctiateel  Batavia.    Anno  1678.    1907^    4^'. 
l.,,!,  ,r...  ..   .,,[1  de  Coinmi»*aic  in  Nederlandacb  Indie  voor  oudheidktindij^ 

imderxoek  1905-06.    1907.    4<». 

DefiarteiHenl  van  LandbntiH)  in  Nederlandüch-Imhe  iu  Balnvin: 
liiArUoek  1906, 

R,  Ohsfreafonj  iu  Bataviat 
Obflerviitions.    Vol.  28.    Appendix  1— IlL    1007.    foL 

[Bugetiwaanvemingen   Iti  Nederlikntkcb'lndie.    27.  Ji^hrg.  1905.    1900.    4^. 

1* 


riMito^ta 


4*  Vergeicknia  der  eingelaufenen  Druckschriften, 

K,  Natuurkundige  Vereeniging  in  Nederlandsch-Indie  eu  BcUavia: 
Natuurkundig  Tydschrift.   Deel  66.   Weltevreden  1907. 
Museum  in  Bergen  (Norwegen): 

0.  0.  Saw,  An  Account  of  the  Crustacea  of  Norway.    Vol.  V,  parte  15—20. 

1906-07.    4P, 
Aarbog.    1906,  Heft  3;  1907,  Heft  1.  2. 
Aarsberetning  for  1906.    1907. 

University  of  California  in  Berkeley: 
Schriften  aus  dem  Jahre  1906-07  in  4<>  u.  8®. 

Lick  Observatory  in  Berkeley: 
I^lblication8  of  the  Lick  Observatory.   Yol.  IX,  parts  1-3.    1907.    4. 

K,  Preup,  Akademie  der  Wissenschaften  in  Berlin: 
Corpus  inscriptionum  latinarum.  Vol.  13,  partis  secundae  fasc.2.   1906.  fol. 
Acta  Borussica.    Die  Behördenorganisation,    Bd.  IV,    1.  Hälfte  1723—25, 

2.  Hälfte  1726-29,  1908;  Bd.  IX,  1750-53.1907. 
Abhandlungen  aus  dem  Jahre  1906.   4^. 
SiUungsberiohte.    1906,  Nr.  39-53;  1907,  Nr.  1-38.   gr.  ^, 

K.  Preup,  Geologische  Landesafistalt  in  Berlin: 
Abhandlungen.    N.  F.,  Heft  46,  50.    1906.    4«. 
Abbildungen    und    Beschreibungen    fossiler    l^nzenreste.    Lief.  4  u.  5. 

1906-07.   4«. 
Jahrbuch  fiSr  das  Jahr  1903.    1907.    4^. 

Physikal. 'Technische  Beid^anstalt  in  Berlin: 

Die  Tätigkeit  der  Physikal.-Techn.  Reiohsinstalt  im  Jahre  1906.    1907.   4«. 

A'.  Bibliothek  iH  Berlin: 

Jahrea>erioht  für  19v>5  06  u.  1906  07. 

Zfutralhureau  der  internationalen  Erdmessunn  in  Berlin: 

Veröffentlichungen.    N.  F.,  Nr.  14.    19i)7.    4*. 

Denii'Che  Chemische  GesellM^aft  in  Berlin: 

Btmohte.    3l».  Jahrg..  Nr.  16.  IS.  1906:  40.  Jahrg..  Nr.  1  — IS,    ll<>7. 

l^ents^  Geo!i^<rische  Gesellschaft  in  Berlift: 

Zeitschrift-    W.  NS.  Heft  2—4:  Bii.  5i\  H.ft  1-S.    19i>5-07. 
Monauberlcbte  IvKC  Nr.  1-9. 

MfAici*,k,*ehe  Gtsetlitchafi  in  BerJ^n: 
Verhir..i:ur.ct::.    Ri.  37.    hV7. 

P;e  F.r:s/::r:::o  vlor  rhy*"-'*^  *•••-  -^-'"^    'i^V^     ? -->.    Prä.'.rs.-^hweig  1»7. 
Vorr.Är.,:.,:r.ctv..    .Wr.r*:.  ^.  :'>n.^   Nr  JA:  .'.ihre   i^.  lÄ-T.  Nr.  1     i4.    Bnun- 

P*.  vnt •.'. vk^rVf  G(<f'. rs\'*^  ■:  -":  w  Br-^i%' 
Zvr.Trüir...::  f:.r  :'":.w:.:,x::e-    Ki  J     :^>     »    v.     ^^ -.  Kf-risTt-r:  Bd.  21 

:a-    Nr.  :    -v-. 

VerrjiT.d:.:   Ctz.    ;:»:rc.  '.A*!?     07.  Nr   1-7. 

RiV:..^CTfc}  :.*A  v-,''K^  -»Vi-^-  ^^  ^^ne*  ^  -  Nr  .V  ^ .  K:.  &.  Nr.  l.  1SW--07- 


V^nmekms  d^  ein^tlaüfefien  Drucksührifltn, 


6^ 


Giaotz,  KuHurelle  Bedeutung  der  Wftaaerwirtichaft    Rede.    1907,  4**. 

Katßi^rlit;h  Deutsches  Archäologi»eh€S  ImtittU  in  Berlin: 
Jalirbucli,    Bd.  21,  Heft  4:  Bd.  22,  H«ft  1-2,    li*07.   4^, 
Bencht  über  die   FarUchritte  der  römisch-germaniacben  Porachang  im 

Jahre  1905.    Frankfurt  a.  M.,  1906, 
VeröffenÜichQii^eii.    N.  F.    Nr.  30 -33.    1907.    4». 

K,  Pretfß,  Meteorologisches  ItiätUuf  in  Berlin  r 
Deutsches  meteorologiBches  Jahrbuch  fvir  1905,  Heft  1,  2  und  1906,  Heft  1 1 

Preiilien  und  benachbarte  Staaten.    1907.   4*. 
Erg-ebnisae  der  meteorologischeTi  Beobachtungen  in  Potsdam  im  Jahre  1903* 

1907.    4». 
Erprebnisäe  der  mag-net.  Beobaeh tunken  in  Potadiim  im  Jubre  190:1.  1907.  4^ 
Ergebnisse   der    Nie^Jerschkgsbeobachtungen    im   Jahre  1903    und    1904. 

190Ö  -  07,    4». 
Ergebnisse  der  Beobachtungen  an  den  Stationen  IL  und  111.  Ordnung  im 

Jahre  1901,    1906.    4«>. 
Ki^ebnisße  der  Gewitterbeobachtungen  1901  und  1902.    Berlin  1907.    4^. 
Beriebt  über  dat  Jahr  1906.    1907. 

Bedaktiim  des  ^JüJifhuch  über  die  Fortschritte  der  Mathematik'^  in  Berlin: 
Jahrbuch.   Bd,  35.  Heft  3;  Bd.  3ß.  Heft  1  u.  2,    1907. 

Vtrün  sur  Bißräerung  des  Gartenhaueu  in  den  preufi.  Staaten 
in  Berlin: 

Verzeiehnij  der  Mitglieder  1907. 
Garteaaor».  Jahrg*  1907,  Heft  1—24. 

Verein  für  Geschichte  der  Mark  Brandenburg  in  Berlin: 

Forschungen  zur  Brandonliürgisi-hen  und  Preußischen  Qeachichte.   Bd.  XX, 
1.  und  2.  Hälfte.   Leipzig  1907, 

Verein  Detäscher  Ingenieure  in  Berlin: 

Hubert  Jansen,   Eecht Schreibung  der  naturwisienscbaftliehen   und  tecb- 
uisehen  Fremdwörter.    1907. 

Bmtschrift  für  Insirumentenkunde  in  Berlin ^ 
Zeitficbrift.   27,  Jahrg.»  Nr,  1-12.    1907.    A^. 

Allgemeine  Elektrizitntsgesellschaft  in  Berlin: 
Jahreaberiebt  Juli  1906  bis  .luni  1907.    1907.    i^ 

Schifiei^eriiiche  Naturforschende  Geselhchaß  in  Bern: 
Verhandlungen  der  89.  Jahresversammlung  in  Set,  Gallen.    Aarau  1907, 
CompU  rendu  dea  travaux  19»4-0€.    Gencve  1904-06. 

AUgemeine  Qeschichtforschende  Gesellschaft  der  Schweig  in  Bern: 
Quellen  zur  Sehweiaer  Geschiebte.    Bd.  XXV.    Basel    1906. 
Jahrbuch  der  SchweiJEerbcben  Geachichte.    Bd.  XXXll.    Zürich  1907. 

MUjem,  Schweig.  Geselhehaft  für  die  gesamten  NainnoiagemchafteH 

in  Bern: 

Neue  OenkÄchHfteti*    Bd.  40.    Biwel   1906.    4". 

Nueseh  Jak,,  Das  Sehweizerbild,  2.  Auti.    Zürich  1902.    4** 


8*  Vereeiehfds  der  eingelaufenen  Druckschriften, 

SocUti  entamölogique  de  Belgique  in  Brüssel: 
Annales.   Tom.  50.    1906. 

SocilU  Beige  de  gMogie  in  Brüssel: 
Bulletin.    Tom.  20,  fosc.  3-5;  tom.  21,  fasc.  1,  2. 
Tables  generales  des  tomes  I  ä  XX.    1907. 
Proces  verbaux  da  Jan  vier —Juillet  1907. 

Polar-Institut  in  Brüssel: 
Congres  international  pour  l'etude  des  regions  polaires,  tenu  k  Bruxelles 
1906,  rapport  d'enaemble.    1906. 

K.  Ungarische  Akademie  der  Wissenschaften  in  Budapest: 
Die  im  Jahre  1906  erschienenen  Schriften  der  Akademie  in  4®  und  8^. 

K.  Ungarische  Geologische  Anstalt  in  Budapest: 
Mitteilungen.   Bd.  XV,  Heft  3  u.  4;  Bd.  XVI,  Heft  1.    1906-07.   4P, 
Földtani  Közlöny.    Bd.  36,  Heft  6— 12;  Bd.  37,  Heft  1-8.    1906-07.    4« 

und  3  Blätter  der  geologischen  Karte  von  Ungarn. 
Jahresbericht  für  1905.    1907. 
A   Magyar   Kir.  földtani  int^zet  ^vkönyve.    Bd.  XV,  2-4;   Bd.  XVI,  1. 

1906-07.    49, 
fivkönyve.    Bd.  XV,  2.    1906. 
A.  v.  Kalecsinszky,  Die  untersuchten  Tone  der  Länder  der  ungar.  Krone.  1906. 

Magistrat  der  Stadt  Budapest: 
Budapest  R^gisegei.   Bd.  IX.    1906.    49, 

Museo  nacional  in  Buenos  Aires: 
Annales.    Serie  III,  tom.  6,  8.    1906. 

Secciön  hidromedrica  in  Buenos  Aires: 
Gunnar  Lange,  The  River  Pilcomayo  mit  Karten  in  fol.    1906. 

Deutscher  wissenschaftlicher  Verein  in  Buenos  Aires: 
K.  Th.  Stöpel,  Eine  Reise  in  das  Innere  der  Insel  Formosa.    1903. 

Society  of  natural  history  in  Buffalo: 
Bulletin.    VoL  VIII,  No.  4— 6.    1906-07. 

Departement  de  Vagriculture  in  Buitemorg  (Java): 

Bulletin.    No.  4-9.    1906-07.    4«. 

Observations  metoorologiques.    Annee  1906.    1907.    fol. 

Academia  Romana  in  Bukarest: 
Analele.    4  Bände  in  4^  und  8  weitere  Hefte  in  4^  und  8^.    1906. 
Cresterile  Colectiunilor  in  anul  1905  u.  1906.    1907,  Jan.— April.    1907.   4^ 

Jiumänischcs  Meteorologisches  Institut  in  Bukarest: 
Analele.    Tom.  18.    1907.    4^ 

Service  de  1a  Statislique  generale  des  finances  in  Bukarest: 
B«?richt  nn  den  Herrn  Finanzminister  über  die  Steuereinschätzunpf  vom 
Jahre   IÜ05.    1906.    4^. 


Vffrmchnk  der  eintfdaufmen  DruckachrtfUn, 


9* 


Sneiiti  lAnniimne  de  Normandie  in  Caen: 

Bulletin*    5*  8*:*rie,  voU  9.    1906. 
Memoires.    Vol,  22.    1907.    4**. 

Iftäiüut  ^gyptien  in  Cmmt 
Metnoirea.    Tötne  V,  fftsc,  L    1906*   4"*. 
Bulletin.    IV«  Serie,  No.  6,  7,  1900-07;  V«  Starte,  toro.  l,  fusc*  L    1907. 

Meteordogical  litpnHment  of  the  Government  af  Inäia  in  CaUtäta: 

Memoire.   Vol.  XVUI,  pari  1  and  S,    1907.   4. 
Montbly  Wi?ath*>r  Review.   Maj-December  mm.    1906.    fcil. 
India  Weatber  Review  and  Annaal  Sumnmry   1905.    fol. 
Report  on  the  Admioiatration  in  1906—07.    1907*    foL 

Motfal  Amitic  Socictfi  of  Bengat  in  Calcutta: 
The  Ad^entures  of  Hiiji  Biiba  üf  1  späh  an  trän  als,  ted  int€>  I^ersinn,    1905. 
Bibliotheca  Indica.    New  Seriea,   Nu.  1139,    1142.   1145^47,   1150»    U5H, 

1155-60,  1162,  1169.  U7r>. 
Memoire.   Vol.  I,  Nö.  10^19  auJ  Vol.  1,  Suppl.  pp.  l-^-V,  IX— XI  1906; 

VoL  n,  No.  1-4.    1907,   40. 
Journal  and  Proceedings.    VoL  II. 

Office  of  Supeiintendent  üf  Goe^rnme>H  Printinff  ut  Cahutta: 
Änthropometric  Data  froiu  Bombay  and  Burma*    1906. 

G(Silogieal  Suri^et/  af  India  in  CaleHtia  .• 
E^ordt.    Vol.  30,  part  2;   vol.  34,  part  4;   voK  35  part  1,  3,  4;  voL  3C 

part.  1.    1906-07.    40. 
PalÄontologica    Indica.    Serie   XY*    ¥oK  V;    Memoir   Ko.  2.     1907.   fol. 

N.  s.  Vol.  11,  No.  3.  nm.  fol. 

Board  of  mentific  ndm^e  for  India  in  üf^lmdtai 
KnminX  Report  for  tbe  ymt  1905-06,    1907.    4®* 

Mmrum  of  compfirative  Zodogji  at  Harcard  üolUge  in  Cnntbridffe,  Mms.  .* 
Biälletin.    Vol.  43,    No.  5;    ?oi,  48»    No.  4^    toI*  60,    No.  6-9;    vol  51, 

Nr.  l-ö.     19i>6-07. 
Memoira.    VoU  34,  No.  1;  toI.  36  Nr.  I.    1907.   4^, 
Annüd  He|*ort  lfHl5"06.    UM)6* 

Ästrononncfd  Oft«fiT(itort/  of  Han^ard  Cdhgt  in  Cambridge,  Mm»*: 
61,  annual  Report  for  1905-06.    1Ü06. 
Annals.   Vol.  47.   p^iH  1;  vol.  50»  part.  l:   voL  52,  part  1;  vol  57,  part  l; 

vol.  60.  No,2-5:  vol.  62.  part  L    1907.    4". 
Ciroular,    No.  UU-ISO.    1906    07.    4«. 

Hartard  üuiecrmttf  in  Cambridge^  Matm,: 
Hurvftrd  Orientel  8eriea*    Vol.  X.    1906.   4«. 

OhMervntonj  in  (Ifimbridgt: 
Äntiual  Report  for  1006-07.    1907,   4^. 

Pküötfophieal  Soeiety  in  Cambridge: 
Pro       ''       .    Vol.  14*  part  1—3.    1907. 
Tnr  Vol.  XX,   No.  11-14.    Ut07.    40. 

LiBt  Ol  r^'iiowN.    August  1907. 


i^ 


12*  Verzeichnis  der  eingelaufenen  Druckachrißen, 

Royal  Society  in  Dublin: 

The  economic  Proceedings.   Vol.  I,  part  9—11.    1907. 

The  scientific  Proceedings.    Vol.  XI,  part  13.  14,  16—20.    1907. 

The  scientific  Transactions.    Series  II,  vol.  IX,  part  4-6.    1906.    4<>. 

American  Chemical  Society  in  Boston,  Pa,: 

The  Journal.    Vol.  29,  No.  9-5. 
Chemical  Abstracts.   Vol.  1,  No.  1. 

Royal  Society  in  Edinburgh: 

Proceedings.    Vol.  27  part  1-5;  vol.  28,  part  1.    1907. 
Transactions.    Vol.  45,  part  2,  3.    1907.    4». 

Geological  Society  in  Edinburgh: 

Transactions.   Vol.  IX,  part  1.    1907. 

Royal  Physical  Society  in  Edinburgh: 

Proceedings.   Vol.  16.  No.  8;  vol.  17,  No.  2,  3.    1907. 

Royal  Observatory  in  Edinburgh: 

Annais.    Vol.  2.    Glasgow  1906.    4». 

Oesellsdiaft  für  bildende  Kunst  und  vaterländische  Altertümer 
in  Emden: 
Jahrbuch.    Bd.  16,  Heft  1  u.  2.     1907. 

Natur  forschende  Gesellschaft  in  Emden: 
90.  Jahresbericht  för  1904-05.    1906. 

K.  Akademie  gemeinnütziger  Wissenschaften  in  Erfurt: 
Jahrbücher.    N.  F.    Heft  32  u.  33.    1906—07. 

K.  Unicersitätsbibliothek  in  Erlangen: 
Schriften  aus  dem  Jahre  1906/07  in  4<>  u.  8®. 

Reale  Accademia  dei  Georgofili  in  Florenz: 
Atti.    Serie  V,  vol.  3,  disp.  4;  supplemento  alla  diap.  4;  vol.  4,  disp.  1  u.  2. 
1906—07. 

Societä  Asiatica  Italiana  in  Flore fiz: 
Giornale.    Vol.  19.    1906.    1907. 

Senckenbergische  Naturforschende  Gesellschaft  in  Frankfurt  a,  M.: 
Festschrift   zur  Erinnerung  an  die  Eröffnung   des  neuerbauten  Museums 

der  Senckenb.  Naturf.  Gesellschaft.    1907. 
Abhandlungen.    Bd.  29,  Heft  1  u.  2;  Bd.  30,  Heft  1—3.    1907.    4». 
Bericht.    1907. 

Verein  für  Geschichte  und  Altertumskunde  in  Frankfurt  a.  M.: 
Mitteilungen  über  römische  Funde  in  Heddernbeim  IV.    1907.    4. 
Archiv  für  Frankfurts  Geschichte.    III.  Folge.    Bo.  IX.    1907.    gr.  8. 

Physikalischer  Verein  in  Frankfurt  a.  M.: 
Jahresbericht  für  1905/06.    1907. 

Breisgau- Verein  Schau-ins-Land  in  Freiburg  i.  Er.: 
,Schau-ins-Land.*    84.  Jahrlauf  1907.  I.  u.  II.  Teil.    fol. 


V^rMeidmiM  der  eingelaufenen  DmcksehrifUn, 


13* 


Kkckengtsi^U^tUcher  Vermn  m  I^Veiburg  t,  Br.: 
Freiburger  Diö^tesan-ArcMv,    N.  F.,  Bd.  VI!!.    1907, 

Naturforsehenfk  Geseltachaß  in  Fretbur^  i,  Bf,: 
Berichte.   Bd.  XV.    1907. 

Unwemtät  in  Freibur^  i.  Br\: 
Scbriften  aus  dem  Jahxe  1906/07  in  4<>  u.  &>, 

Uniüerisiät  Freiburif  L  Schweü; 
Collectanea  Friburgensia.    N.  S,    Faec,  VII J.    1907.    gr.  SP. 

Imtüut  nationai  m  Genfi 
BuUetiu,    Tarnt;  37.    1907. 

Mü^ie  d'hmtmre  ntiiurtUe  in  Oifnf: 

Oeuvres  de  J.  C,  Oalisaard  de  Mariß'nac.   2  voh.   4**, 

Obserüaiöii'e  in  Qenf: 

OliMermtioiis  meyorologiqueg  pendant  \m  atiti^es  1904  et  1005.    1906- 
Refiumu  müteorologjque  de  Tannoe  1905.    1906. 

SöcUii  d^hisioire  et  d'archtoioißß  in  Qmf: 
Bulletin.   Tom  3,  livr,  U   1907. 

Unwermiäl  i»  Genf: 
Sühriften  atii  dem  Jahre  1906/07  in  4^  «,  8». 

SodH6  rftf  phtfsiqui  et  (Chiätöire  natureUe  in  Genf: 
Memoires.   Vol.  36,  fasc.  3.   1907.   4«, 

Mttseo  civico  in  Genua: 
Ann&li.   Serie  3*,  voL  2.    1905.   4"*. 

Oberheäsische  OesdUdiafi  für  Natur-  und  Heü künde  in  Gifficn: 
Bericht.    N,  F.    1.  MedizinisL-he  AbteiluDg;  Bd.  !J.    1907. 

2.  NftturwietienBrhttftl.  ÄbteiluDg.  ÖtL  L    1907. 

Öberhtrsäiitcher  Ge^duehtseerein  in  Giffitni 
lüttdlüngea.    N.  F..  Bd.  16.    1907. 

ün%Cf-rsüüt  in  Gifßen: 

Lüdoviciana.   Featzeitiing  zut  3,  Jahrhundertfeier  der  Universität  Gie&en. 
1907.    foL 
ohriften  aua  dem  Jahre  1906/07  in  4*'  n.  8". 

NfUurforncfiende  Geaelhchdft  in  Görlitz: 
Äbhandluogen.    Bd.  XXV,   Heft  2.    1907. 

ObcrlauAiUiache  Gentlhchafi  der  Wissenschaft  e>i  in  GMiti: 
.KeQet  Lautitziäches  M^azin.    Od.  83.    1907. 
piOodex  diplomatieus  IjUüiitiat*  supenoria.    II L  Bd.,  3.  Heft.    10y7. 

K.  GeHeliHchafi  tfcr  Wtssrnmhfiften  tu  Göttin^^en: 
Göttijigische  Gelehrte  Anzeigen.    1906,  Nr.  12;    1907.  Nr.  1—1 L    Berlin. 

gr.  6^ 
Abhandlungen.   N.  F.  a)  Pbilol.-hiaL  Klawe.   Bd.  IX,  Nr.  1-5. 

b^  Math.-phy».  Klasse.  Bd,V.  Nr.  1-  B.  Berlin.  4«. 


14*  Verzeichnis  der  eingelaufenen  Druckschriften. 

Nachrichten,     a)  Philol.-hist.  Klasse.  1906,  Heft 4;  1907,  Heft  1  u.  Beiheft; 
1907,  Heft  2. 

b)  Math.-phys.  Klasse.     190Ü,    Heft  6;    1907,    Heft  1—3. 
Berlin.    49. 

c)  Geschäftliche  Mitteilungen.    1907,  Heft  1.    Berlin.    4«. 

A".  Gesellschaft  der  Wissenschaften  in  Gothemhurg: 
Handlingar.    IV.  Folge.   Bd.  7-9.    1906/07. 

Historischer  Verein  für  Steiermark  in  Graz: 
Steirische  Zeitschrift.  IV.  Jahi^.,  Heft  1^4, 1906;  V.  Jahrg.,  Heft  1—4,  1907. 
Beitrüge  zur  Erforschung  steirischer  Geschichte.    35.  Jahrg.    1906. 

Mügisch'Pommerscher  Geschichtsverein  in  Greifswald: 
Pommersche  Jahrbücher.    Bd.  8.    1907. 

Naturwissenschaftlicher  Verein  für  Neu -Vorpommern  in  Greifswald: 
Mitteilungen.    38.  Jahrg.  1906.    Berlin  1907. 

Ünioersili  in  Grenöble: 
Centenaire  de  la  faculte  de  droit.    1906. 

K.  Instituut  voor  de  Taal-,  Land-  en  Volkenkunde  van  Nederlandsch- 
Indie  im  Haag: 
Bijdragen.   VII.  Reeks,  Deel  3;  Deel  6,  Lief.  1,  2.    1907. 

Musee  Teyler  in  Haarlem: 
Archives.    Serie  II,  vol.  10,  partie  1,  3,  4.    1906—07.    4«. 

SociitS  Hollandaise  des  Sciences  in  Haarlem: 
Archives  Neerlandaises  des  sciences  exactes.    Ser.  II,  tome  12,  livr.  1 — 5. 
La  Haye  1907. 

K.  Leojioldinisch-Karolinisclie  Deutsche  Akademie  der  Natur forsdier 

in  Halle: 

Leopoldina.    Heft  42,  Nr.  11,  12;  Heft  43,  Nr.  1-11.    1907.    4^. 
Nova  Acta.    Bd.  85,  86.    1906.    40. 

Deutsche  Morgenländische  Gesellschaft  in  Halle: 

Zeitschrift.    Bd.  00,  Heft  4;  Bd.  61,  Heft  1 -3.    1906-07. 

Universität  Halle: 

Schriften  aus  dem  Jahre  1906  07  in  4<>  u.  8®. 

Naturicissenschaftlicher  Verein  für  Sachsen  und  Thüringen  in  Halle: 

Zeitschrift  für  NaturwisHen8chaft43n.    IM.  78,  Heft  4—0;  Bd.  79,  Heft  1—4. 
Leipzig  1907. 

Thüringisch-Sächsischer  Verein  für  Erforschung  des  vaterläjulischefi 
Altertums  in  Halle: 
Neue  Mitteilungen.    Bd.  23,  Heft  1.    1907. 

Mathematische  Gesellschaft  in  Hamburg: 

Katalog  der  auf  den  Hamburger  Bibliotheken  vorhandenen  Literatur  aus 

der  Mathematik  und  Phv.sik.    2.  Nachtrag  1906. 
Mitteilungen.    Bd.  IV,  Heft  7.    Leipzig  1907. 


VmrMßidmm  der  mngtimufmtn  DrucUchriftm, 


U 


DtutRehe  Si^mparte  in  Hamhm'fff 
2a  JahreBbericbt  für  1906.    19ü7- 
VIL  Nacbtrag  zum  Katalog  der  Bibliothek  der  Üeutachen  Seewarte.    1907. 

^teiHwarit  in  Hamburg: 
Mitteilungen-    Nn  9.    1907.    gv.  8, 

Nahmt isscnschafVicher  Verein  in  Hiimh»rg: 

Verhandlungen.    IIL  Folge,  Bil.  XtV.    1907. 
Abhandlungen,    Bd.  XIX,  Heft  1.  2.    1907.    \^ 

Verßin  für  Natutwismen.'idiaßlich^  Unierhaiiung  in  Hamburg: 
Verhandlimgeti.    XllL  Bd.    1905—07.    1907, 

£cäle  ff  anhake  d' Extreme  Orienl  in  Hanoi: 
Bulletin,    Tom.  ¥1,  No.  1,  2.    1906.    4». 

HiHofkchtv  Vtrem  ftlr  Niedergaehsen  in  Hunnmeti 
BitÄdarift,   Jahrg.  1907.  Heft  1-4. 

Ämtricafi  Philologkai  A^iocmtion  in  Hanafier: 
'  TmnBSwtionB  and  Proceedinj^g  1906*    VoL  37.    Boston  1907. 

Großherzoglkhe  Sterntt}arte  in  Heitklberg: 
Veröffentlichungen.    Bd.  4.    Karlsruhe  1906,    4* 

Asirophi/dkfiUjiche»  Inutiitd  in  Heitielhergi 
Publikationen,    ßd.  H  Nr.  1— 12^  Bd,  HI.  Nr,  l—B.    1907,    4"'. 

Unimrsilät  HtHtktherfj: 
Sebriften  der  UriiTersitilt  aus  rletu  Jtihre  190Ö/07  in  4**  u.  Ö*', 
Di©   Trennung    von    Staat   und   Kirehe.     Akademiacbe    Rede   ron    Emil 

TroeUsch.    1906.    4*, 
Der  Rampf  des  alten   mit  dem   neuen  Hecht,     Äkailemische   Rede   ?on 

Georg  JeUinek    1907.    4« 
D\B  Matrikel  der  üniversitilt  Heidelberg,    Teil  VL    1907. 

NuiurhiMtorüch-mcdiiiniHchir  V^ein  in  Heidelberg: 

Verhandlungen,    N.  P,»  Bd.  VUl,  Heft  3  u,  4.    1907. 

Qeschäftgfikhremkr  Ausschtifi  der  RewhiiHmeihmnmisBhn 
in  Hetddhttg. 

'Der    ohergenttÄniBeb* rätische   Liinea    dßji    Röraerreiehea.      Lief.  28.    29, 
1907/ 4", 

Commismon  giologique  de  Finnlattde  in  Hehifigforst 
Bulletin.    No.  17,  18.  20-23,    1906-07, 

iHitilui  meUorohtjique  eentrat  in  IhlmngfofM: 

ObBervatione   met^orologiquea  fttat  des  glaeea   et  des  neigeB,    1895-96, 
1907.    4». 

Ümeersität  Hehingfors: 

Öcbrifteii  tiUfl  dem  Jukre  I9ü6/07  in  4^  ii.  8*. 


16*  Verzeichnis  der  eingelaufenen  Druckschriften, 

Verein  für  siebenbürgische  Landeskunde  in  Hermannstadt: 
Archiv.   N.  F.,  Bd.  34,  Heft  1  u.  2.    1907. 

Siebenbürgischer  Verein  für  Naturwissenschaften  in  Hermannstadt: 
Verhandlungen  u.  Mitteilungen.    Bd.  55,  Jahrg.  1905;  Bd.  56,  Jahrg.  1906. 
1907. 

Verein  für  Sachsen-Meiningische  Geschichte  in  Hüdburghausen: 
Schriften.   Heft  56.    1907. 

Voigtländischer  Ältertumsverein  in  Hohenleuben: 
76.  u.  77.  Jahresbericht.    1907. 

Ungarischer  Karpathen- Verein  in  Iglö: 
Jahrbuch.    34.  Jahrg.  1907. 

Historischer  Verein  in  Ingolstadt: 
Sammelblatt.    Heft  30.    1906. 

Ferdinandeum  in  Innsbruck: 
Zeitschrift.    3.  Folge,  Heft  50,  61.    1906—07. 

Naturwissenschaf tUch-mediziniscIier  Verein  in  Innsbruck: 
Berichte.    30.  Jahrg.  1905/06  u.  1906/07. 

Journal  of  Physical  Chemistry  in  Ithaca,  N.  Y. : 
The  Journal.    Vol.  10,  No.  9,  1906;  Vol.  11,  Nr.  1—9.    1907. 

Universität  in  Jassy: 
Annales  scientifiques.    Tome  4,  fasc.  2 — 4.    1907. 

Medizinisch-naturwissenschaftliche  Gesellschaft  in  Jena: 

Jenaische   Zeitschrift   für  Naturwissenschaft.    Bd.  42,   Heft  1—3;    Bd.  43, 

Heft  1.    1906-07. 
Denkschriften.    Lief.  29.    Text  u.  Atlas.    1907.    fol. 

Verein  für  Thüringische  Geschichte  und  Altertumskunde  in  Jena: 
Zeitschrift.    N.  F.,  Bd.  XVII,  2;  XVIII,  1.    1907. 

Gelehrte  Estnische  Gesellschaft  in  Jurjew  (Dorpat): 

Sitzungsberichte  1906.    1907. 
Verhandlungen.     Bd.  XXII,  1.    1907. 

Natur  forschende  Gesellschaft  bei  der  Universität  Jurjew  (Dorpat): 

Sitzungsberichte.    Bd.  XV,  2-4;  Bd.  XVI,  1.    1906-07. 

Unicersität  Jurjew  (Dorpat): 

Schriften  aus  dem  Jahre  1906/07  in  4<>  u.  8^. 

Badische  Historische  Kommission  in  Karlsruhe: 
Zeitschrift  für  die  Geschichte   des  Oberrheins.    N.  F.,  Bd.  22,  Heft  2—4. 

Heidelberg  1907. 
Neujahrsblätter  1907.    Heidelberg. 

Zentralbureau  für  Meteorologie  und  Hydrographie  in  Karlsruhe: 
Jahresbericht  für  das  Jahr  1906.    1907.    4". 


V$riiU^nii  der  mngeJmifemn  DruckAchrifttn.  17* 

Gr<>fih€rsog1ich  Techfmche  BochgehaJe  in  Kartsruh«: 
Schriften  aua  dem  Jahre  1906/07  in  4*  ii,  8^, 

Soeiiti  ph^sifio^itithimaiiqm  in  Kasan : 
Bulletin.    IJ.  S^rie,  tome  15»  No,  3.    1900. 

Univefsüäi  Kasan: 
üificlienia  Öapiaki.   Bd,  73,  No.  11  n.  12,  1906,  ßd-  74,  No.  1-12,  1907. 

Verein  für  hessiiche  Geschieht e  und  Landeskunde  in  Kasmi: 
ätechnft    N,  F.,  Bd,  SO,  L  u.  2.  Hälfte.    1907. 

Verein  für  Naturkunde  in  Kassel: 

Abhftndlungen  und  Bericht  LI,    1907 

SocUU  mathimatique  in  Kharhnc: 
Communications,   2*  Sdrie»  tome  IX,  No.  1—6.    1904—6.   gr.  8*, 

UniversiU  Imperiale  in  Khark&w: 
3at»iiki.    1906,  Heft  3,  4:  1907,  Heft  L  2. 

GestUsehafi  für  s^^mwig-holsimmt^  Gesehichte  in  Ki0l: 

^itsohrift,    Bd.  37,    Leipzig  1907. 

Srief Wechsel    des    Herzogs   FnedricH   ChriBtimn    zu   Schlenwig- Holstein. 
HeraoBgel^en  von  Hans  Sebnlz.    Leipzig  1908. 

K&mmission  Mur  wissenschafUichen  üniersrnhun^  der  deuisd^n  Meere 

in  Kiel: 

WiÄaenaehaftliche  Meeresuntereuchungen.    N.  F*,  Bd.  8  (Abteilung  Helgo- 
land, Heft  1).    1906.    4<^. 

Jt.  Universität  in  Kieh 
VOM  dem  Jiüire  1906/07  in  4^  u,  6^. 

NatunDiMtenschaftlicher  Verein  für  SMesmif-Holstiin  in  Kieh 
Sclinften.   Bd.  XUh  Bett  3.    1906. 

Universitäi  in  Kiew: 
liweßtüft.   Bd,  46,  Nr*  9— 12,  1906:  Bd.  47,  Nf.  1—6,  8-9.    1907, 

Gest^iehisverein  /Ör  KäfnUn  in  Klagen  fürt: 
"^iOmAnnehi  über  1905  itnd  1906.   1906—07. 
OtfhlMft  L  96.  Jahrg.  1900,  Nn  1-6;  97.  Jiihrg..  1907,  Nr,  1-6* 

Naiurhüiorischis  LandesmuMeum  in  Rtatfenfuri: 

|€lmnthia  Tl.    .lahrg.  190ß,  Nr.  6,  6;  Jahrg.  11*07,  Nr,  3.  4. 

8iebenbürfjijtche4  Museum  in  KiaHsenbarff: 
Uiji  Museum.    Bd.  23,  Heft  6;  Bd.  24,  No.  1--6.    1906-07.    4^. 

Ph^Aiknlisi':h^lkQnQmischß  Geseltsehaft  in  Künißi^kerg: 
Schriften.   47.  Jahrg.  1906>    1907* 

tlnivertniät  in  Königuherg: 
Bchriften  aus  dem  Jahre  1906/07  in   1*  u.  8^, 


18*  Verzeichnis  der  eingelaufenen  Druckschriften, 

K,  Gesellschaft  der  Wissenschaften  in  Kopenhagen: 
Oversigt.    1907,  No.  1-4. 

Memoires.    I.  Section  des  Lettres,  6«  Serie,  tome  6,  No.  4;  7«  S^rie,  tom.  1, 
No.  1,  tome  4,  No.  3,  4 ; 
II.  Section  des  Sciences,  tome  3,  No.  2,  tome  4,  No.  1,  2,  tome  5, 
No.  1.    1907.    40. 
Regesta  diplomatica  historiae  Danicae.    Serie  II,  tom.  2,  No.  6.    1907.   4^. 

Conseü  j^crtnanent  international  pour  Vexploration  de  la  mer 
in  Kopenhagen: 

Bulletin  trimestriel.    Annöe  1905—06,  No.  4;  1906-07,  No.  1-2. 
Publications  de  circonstance.    No.  35— 41.    1906-07.    4<^. 

Gesellschaft  für  nordische  Altertumskunde  in  Kopenhagen: 
Aarböger.    1906,  II.  Raekke,  Bd.  21. 

Akademie  der  Wissenschaften  in  Krakau: 
Anzeiger.   (Bulletin  international),  1.  Classe  de  philolopfie,  1906,  No.  4  —  10; 

li>07,  Nr.  1—7.    2.  Classe  des  sciences  mathematiques,  1906,  No.  4 — 10; 

1907,  No.  1-8. 
Atlfiw  geologiczny  Galicyi.    Zeszyt  18—20  (Tablice),  Mapy  i  tekst.    1906. 
Katalog  literatury  naukowej.    Tome  6,  Heft  1  —  4.    1907. 
Rozprawy  mathem.    Tome  45  A  i  B.    1906. 
Corpus  iuris  Polonici.    Vol.  III.    1906.    40' 
Spraw.  kom.  bist,  sztuki.    Tom.  VllI,  4.    1906.    fol. 

College  of  Science  in  Kyoto : 
Memoirs.   Vol.  I,  No.  3.    1907. 

Historischer  Verein  in  Landshut: 
Verhandlungen.    Bd.  43.    1907. 

Universidad  in  La  Plata: 
Comunicaciones.    Diciembre  1906.    1907.    fol. 

Sociite  Vaudoise  des  sciences  naturelles  in  Lausanne: 
Bulletin.    5«  Serie,  vol.  42,  No.  156,  157;  vol.  43,  No.  158-160.    1906—07. 
Observations  meteorologiques  faites  au  Champ  de  l'air.    Annee  190G.    1907. 

Sodete  dliistoire  de  la  Suisse  romande  in  Lausajuie: 
Memoires  et  Documents.    11^  Serie,  tome  6,  Molangcs.    1907. 

University  of  Kansas  in  Lawrence: 
Bulletin.    Vol.  VIT,  No.  5.    1907.    4^. 
Mineral  Resources  of  Kansas  1902,  1903.    1903  -  04.    4<^. 
The  University  Geologicul  Survey  of  Kansas.    Vol.  VI  11.    1904.    4^. 

Maatschappij  can  NcderlamJsche  Letterkunde  in  Jjciden: 
Tijdschrift.    N.Serie,  Deel  24,  afl.  4;  Deel  25,  afl.  1-4;  Deel  i>(i,  afl.  1.  2. 

1905-07. 
Handelinj?on  en  Mededeelin<,'cn,  jaar  1005-06  und   1900—07,    19üü     07. 
Levensborichten.    1905 -00  und   190G--07.    1906-07. 

Sternwarte  in  Leiden: 

Verslag  1904—06.    1907. 

Sternwarte.    Bd.  IX,  lieft  1.    Haag  1906.    4«. 


WtfMH^md»  der  einffdaufenen  Drttck^chrifttn, 


10' 


A'   GeaeUsehaft  der  Wissenschaften  in  Leipzig: 
AUbaijtllangen  d«!r  philoL*bi»t.  Kkste.    Bd.  29,  Kr.  3,  4^  Bd,iäß,  Nr.  2— Ö; 

HJ,  m.  Nn  1.    1907.    4*^. 
Abbintllunpen  der  math.^phy».  Kliwse.    Bd.  30.  Nn  l-S.    1907.    4«. 
aericbte  der  philol,-hist.  Kläwi^e.    Bd.  56,  Nr.  3     5;  Bd.  69,  Nr.  1—3. 
,  ,     mathem,'phYs.   Kljisse.    Bd.  &a,   Nr.  6-6:   Bd.  50,   Nr.  1—3, 

1906-07. 

Fürgtlich  Jahtf^mn^ski'seh^  GestUsehaft  in  Leipng: 

abbricht  1907* 

Versin  für  Ertlkanfh  in  Lmpwig; 

Mitteilungen  190G,    1907, 

Cu^po  de  ingenierö»  de  mintij  dtl  Peru  in  Lima: 
Boletin.    No.  41,  44,  46-49,  51.  52,  54.    1906-07. 

Mufteum  Franmea-Vamlinum  in  Lint: 

65.  Jahreabcricht.    1907. 

SaciedatU  de  gtographia  in  Lisnaban; 
Boletim.   24.  S^rie  1906,  Nu.  11.  12;  25.  S^rie  1907,  No.  1—4,  0  -  10.  1907. 

Ltfffftfy  and  philomphiüal  Society  in  Liverpool: 
Proc^dingi.    No.  59  u.  m    1 906— 07. 

Uniüerjfiti  ÜatMifjue  in  Laewen: 
FiiblieationB  ai-üdf^iMiiiueä  df  Fanni^e  1906, 

ZeiUchrift  ^La  CsUvle'  in  Loeteent 
La  CöUule.   Tome  XXUi,  fiwn.  1;  t^me  HIV.  fiii#o.  l.    1906-07*    4«. 

Briti^  Aeademif  in  London: 
Proceedingfl  1900—04  u.  1906—06* 

Hoytü  Imlit»tion  of  Qteat  BrUain  in  London: 
Piooeediags.    VoL  18,  pari  2.    1907* 

India  Ofßes  in  Londons 
Gftzetteer  nf  Üie  Y-  im  Diatriet.    Vol.  1*    Madnw  1907. 

Vol  32  of  tht^  Di.i  ,  teer  of  the  üniii-^  Provinc^^»   of  Ä^ra  &nd 

Oudb.    .VllahuiiLLii   rmt. 
The  State  Muaual  of  Tmv&ncorts*   3  Volu.   Tritandniiri  1906* 
.Madma  Distriöt  GaKtate^ais.    21  Vola.    MiwlraH  1906—07. 

The  £ngiiiih  ltiäioru:id  Memew  in  iMmion: 
HiütoHeäl  Reiriow*  Vol  XXU,  No*  &5-Ö8;  Vol.  XXIU,  No.  b9.   1907-08. 
Ütflfoi  iSoei«f|/  in  X->»iilofi; 
epofi  Ott   tht^  Perl  Ojuter  FUheriet  af  Ih«  Gulf  of  Matiaar.    Part  V* 
I9<i6.    4*>. 
Year>ni>c>k.    1907- 
Pror  r   '  ^    vaL  78,  No,  626,  foK  79,  No*  A  627  -636;  Serie«  B, 

586.    1907. 
Pliilu>.o|nM,.>i  Mitii^Lutiunit*   Sotp«  A.vdL  200;  Serie«  B,rol.  196.    1907.   4°. 
Hi'porU  of  the  (A>mmiÄiii>n  for  thfi  inTe»tigution  of  Mt»diterrarH'.aD  Ft'fer. 
Part  V,  VI,  VIL    1907. 

2* 


20*  Verzeichnis  der  eingelaufenen  Druckschriften, 

R,  Astronamical  Society  in  London: 
Monthly  Notices.   Vol.  67,  No.  1—9;  vol.  68,  No.  1.    1906-07. 
Memoirs.   Appendix  to  vol.  57.    1906.   4<^. 

Chemical  Society  in  London: 
Journal.    No.  631-542.    1907. 
Proceedings.   Vol.  22,  No.  318—333.    1907. 

Geological  Society  in  London: 
The  quarterly  Journal.    Vol.  63,  part  1—4.    1907. 
Geological  Literature  for  the  year  1906.    1907. 

Linnean  Society  in  London: 

Proceedings.   Nov.  1906  to  June  1907. 

The  Journal,   a)  ßotany,  vol.  38,  No.  263, 264;  b)  Zoology,  vol.  30,  No.  195, 

196.    1907. 
List  of  the  Linnean  Society  1907—08. 
Transactions.   Zoology,  vol.  IX,  part  11,  vol.  X,  part  6,  7 ;  ßotany,  vol.  VII, 

part  4,  5.    1906—07.    4«. 

B.  Microscopical  Society  in  London: 

Journal.    1907,  part  1—6. 

Zoologiccd  Society  in  London: 

Proceedings.    1906,  vol.  I,  part  1,  2:  vol.  II,  part  1,  2.    1907,  January  —  June. 
Transactions.    Vol.  XVll,  No.  6;  vol.  XVIII,  No.  1.    1907.   4». 

Zeitschrift  „Natur e*^  in  London: 
Nature.   No.  1941—1992.   Index  zu  tom.  75  u.  76.    4«. 

Museums- Verein  für  das  Fürstentum  Lüneburg  in  Lüneburg: 
Lüneburger  Museumsblätter.   Bd.  1,  Heft  1—4.    1907. 

SociHi  giologique  de  Belgique  in  Lüttich: 
Annales.    Tome  34,  livr.  1,  2.    1906-08. 

Institut  Grand  Ducal  in  Luxemburg: 

Archives  trimestrielles   de  la  section  des  sciences  naturelles.   Fase.  3,  4. 
1906.   40. 

Section  historique  de  V Institut  Grand-DucaX  in  Luxemburg: 
Publications.   Vol.  53.    1906. 

Historischer  Verein  der  fünf  Orte  in  Luzern: 
Der  Geschichtsfreund.    Bd.  LXII.    Stans  1907. 

Societi  d'agriculture  science  et  industrie  in  Lyon: 
Annales.    1905  u.  1906.    1906-07.   gr.  8^. 

Societi  Linnienne  in  Lyon: 
Annales.    Tom.  52  u.  53.    1906-07.    gr.  8«. 

üniversite  in  Lyon: 
Annales.    Nouv.  S^rie,  L  Sc.-med.  Nr.  19;  II.  Dr.-let.  No.  16— 18.    1906. 

Wisconsin  Academy  of  Sciences  in  Madison: 
Transactions.    Vol.  XV,  part  1.    1905. 


Venekhfm  der  eitt^dauftn^n  Dntct^chriffen. 


21* 


Wafii^urn  ObsermHonf  in  Madtsim: 
Publicationa.    Yol.  X,  part  3.    1907.    4». 

Wisconsin  Geo!4}^ieal  and  Natura!  HiBtory  Surve^  in  Madisön: 
Btilletin.   No.  15.    1900. 

GcHmment  Mmtum  in  Madras: 
Bulletin.   VoK  V,  Ho,  3.   1907. 

Kodmkatjnl  and  Madrm  Ohsereatorie»  in  Madrmt 
Ännual  Report,  for  1906.    1907.    fol 
BallefciD.    No,  VHl-XL    1906-07*   4«. 

E.  Äcddemia  de  cieneifm  €mactas  in  Madrid: 
EeWita,    Tottio  5,  Nö.  1—4  11.  7—12,    1906. 
Memorias,    Tomo  25,    1907.    4», 
Änuario.    1907, 

B.  Academia  de  la  histi^ria  in  Madrid: 
BoleHü,    Touio  60,  cuad,  1,  2  u.  4-6;  tom.  51,  cmd  1—6.    1907. 

J?.  ItiiitiUo  lAimbardo  di  seiende  in  Mailand: 
Rendiconti.  Serie  11,  vol,  39,  fasc,  17—20;  vol.  40,  fasc,  1—16,  1906-07. 
Meinorie,  Clasäse  di  scienae,  vol,  XX,  fasc.  9;  Clatse  dl  lettere»  vol.  XXI, 
fafle,  6,    I90e,    4<*, 

3fuseo  9tofi&)  eivim  in  Mailand: 
EaceoUa  Vinmana»   Fase,  1,  2  0905-06). 

E,  Önstrvatorio  di  Brera  in  Mailand: 
Pubblicftssioni.    No.  XL! IL    1907.   4^. 

Socielä  Italiana  di  ncieHSt  naiurali  in  MaUami: 
Atti.    VoL  45,  fasc.  S  u.  4j  vol.  46,  feac.  1,  2.    1907. 

Sambia  Stüfiea  Lomharda  in  Mailand: 
Archim  Storico  Lombardo.    Seile  1\\  anno  31  faac,  13—15,    1907- 
R&ecolta  Yinciaoa.    Fa^e.  111.    1907. 

ESmiaeh-ßeTmanisches  Zentralmmeum  in  Main£: 
Mainzer  ZaiUcbrift,    Jahrg.  11.    1907.   4*. 

Lit^arti  ntid  philngophicai  Söciettf  in  Manch§ster: 
MfiJiioira  und  Proceedings,    Vol,  51,  part  1  -S,    1907. 
AHeriummereift  in  Mannheim: 
Mannheinier  GeBübichtablätten    1906,  Nr.  12;  1907,  Nr,  1-12.    4«, 

Universitäi  in  Marhar^: 
Scbriften  aus  dem  Jahre  190Ö/OT  in  49  n.  B^. 

Abbatfe  de  MaredHOfi^t 
Hevtjti  Benedictine,    Annee  24,  No,  1—4:  annee  25,  No,  1.    1907—08. 

Naturwi^^enttchaftiiche  Qeielhchaft  Im  in  Meißen: 
Mitteilungen  1906/07. 


iteta 


üi 


22*  Verzeichnis  der  eingelaufenen  Druckschriften, 

Verein  für  Geschichte  der  Stadt  Meißen  in  Meißen: 
Mitteilungen.    Bd.  VII,  2,  3.    1906-07. 

Royal  Society  of  Victoria  in  Melbourne: 
Proceedings.   New  Series,  vol.  XIX,  part  2;  vol.  XX,  part  1.    1907. 

Accademia  Peloritana  in  Messina: 
Atti.    Vol.  XXII,  fasc.  1,  2.    1907. 
Resoconti.    Marzo-Giugno  1907. 

Gesellschaft  für  lothringische  Geschichte  in  Metz: 
Jahrbuch.    18.  Jahrg.  1906.   49. 

Instituto  geolögico  in  Mexico: 
Boletfn.    No.  22  u.  24.    1906.    4». 

Observatorio  meteorolögico-magnetico  central  in  Mexico: 
Boletfn  mensual.    Diciembre  1902,  Enero— Abril  1903,  Julio— Septiembre 
1904.    1902-04.    40. 

Sociedad  cientifica  „Antonio  Alzate"  in  Mexico: 
Memorias  y  revista.    Tomo  22,  No.  9-12;   tom.  23,  No.  6— 12;   tom.  24, 
No.  1—12;  tom.  25,  No.  1.    1906-07. 

Sociedad  de  geografia  in  Mexico: 
Boletin.    Tomo  I,  tom.  II,  No.  1—5.    1904-07. 

Regia  Accademia  di  scienze  lettere  ed  arti  in  Modena: 
Memorie.    Serie  III,  vol.  6.    1906.    4^. 

MusSe  ocSanographique  in  Monaco: 
Bulletin.    No.  87—108.    1906  -  07. 

Meteorological  Researchea  in   the  Hip^h  Atmospheres,   by   the   Prince  of 
Monaco.    1907. 

Museo  nacional  in  Montevideo: 
Annale8.   Vol.  VI,  entrega  1. 

Academie  de  sciences  et  lettres  in  Montpellier: 
Section   de»  sciences.    Tom.  III,  No.  6,  7.     Section   des  lettres.    Tom.  HI, 
No.  3.    1907. 

Socieie  Imperiale  des  Naturalistes  in  Moskau: 
Bulletin.    No.  4;  1906,  No.  1,  3,  4.    1906-07. 
Nouveaux  Memoires.    Tom.  XVII,  No.  1.    1907.    4^. 

Mathematische  Gesellschaft  in  Moskau: 
Matematitscheskij  Sbomik.    Bd.  XXV,  4;  Bd.  XXVI,  1,  2.    1906-07. 

Lick  Obserratory  in  Mount  Hamilton,  California: 
Bulletin.    No.  104—124. 

Ä".  Staatsministerium  des  Innern  für  Kirchen-  und  Schulangelegenheiten 

in  München: 

Das  Deutsche  Reich  in  gesundheitlicher  und  demographischer  Beziehung. 
Berlin.    1907.    4. 


Versekhrm  dm'  cnigelaufiiTien  Druckschriften. 


28* 


Statiäthrhes  Amt  der  Stndt  Münchtn: 
l'Hjgiene  und  iöziale  Für&orge  in  Miinchen  von  K.  Sin^'er,    1907, 

Deut9eh€  QeseV schaß  für  Anthrojmloiiit   in  BerHn  und  Münchtm 
'  KorrespondenzblaiL    39.  Jahrg.,  1007,  Nn  1-12.    BraunBchweig.    4"*, 

Hyämitchnkchtn  Burmu  in  Münehtn: 
Jahrbuch,   TIIL  Jahrg.,  190C>,  Heft  3;  IX.  Jahrg.,  1907,  Heft  1,  2.   foL 
Genetfüdwektum  dtt  K,  B.  FöHen  und  Tefefjrapfien  in  München: 
jVrmMT^r^ßidhmi  der  Zeitung'en  etc,  für  da*  Jahr  1908>  L  Abt.    1907.   fol. 
K  Bayer,  Ttchniache  HrtchsehüU  in  München: 
Bericht  ßir  das  Jahr  1905  -06.    1007.   4». 
[Progtamni  für  da«  Jahr  1906-07.    190Ö. 
Schriften  au»  dorn  Jahre  1906—07  in  A^  ü.  8^. 
?i?iraonaktand  im  Sömmeröeme«ter  1907  üud  hii  Wintersemeater  1907—08. 

Laboratorium  für  Uchni^che  Phydk  an  der  K^  Techrtinchen  Hochitchuie 

Mi  MÜHchen: 

Mitteüatigen  über  Forichitngfiarbeif4?n.   Heft  35  u.  36.   BerÜE  1906,    4», 

]^e.irf>politan-Kapifrt  Münehcn-Freimmf  in  Müncfmi: 
Schematismus  der  Geistlichkeit  für  das  Jahr  1907. 
Amtsblatt  der  Eridiözese  München  und  Freiging.    1907,  Nr.  1— 31, 

K.  Obrrbffffamt  in  München; 
Geogtiostiiche  Jahrej*hefte.    XVIII.  Jahrg.  fl905).    1907.    4«. 

Ünivermtät  in  München: 
Amtlichei  YerzeichniÄ  der  Lehrer  etc.  im  Sommeraemester  1907  und  im 

Wintersemester  1907-08. 
Schriften  aus  dem  Jahre  »906/07  in  4**  u.  8*. 
Die  Leiatungsßihi^^keit  der  Forst w^irtschaft*    Rede.    1907.    4**. 
Verxeiehnis  der  Vorlesungen  im  Somnierscmester  1907  und   im  Winter- 
Semester  1907  -  06.    4^. 

Hbtforischer  Verein  in  München: 
Ältbayeniche  MonatsBolmft.    Hhrg,  6,  Nr,  (>:  Jahrg,  7,  Nr.  l,  2,   1907. 

Verein  ßr  LuffHchiff^rt  itt  München: 
17.  Jahresbericht  für  1906, 

Ornithi^otfisehe  Gesdlmchaft  in  München: 
?erbitndlaiigen.    Bd.  VI.    1906. 

Mefefnvlnßü^he  Zentr^htmtifm  in  München: 
Beobe^htungen  der  meteorologischeti  Stationen   de»  Königreichs  Bayern, 

Jahrg.  XV-XX!I  (16^3-1900).    -t«». 
Die  Schneedecke  in  Bayt*in  itn  Winter  1898/99  u.  1899/1900    4^. 
Dent^srhei  Meteorologi^ithe«  JakrhuHi  ftir  1901     03.    Hayeru  1907.   foL 

Verein  für  Geschichte  und  ÄUertutnakundc  Wfgtfahm  in  Münnter: 
Zeitscbnft.   Bd.  ß4,  Abt  2    1906* 

A^adftnie  de  Siani.^ln^  tu  Knnnj: 
Memoire«,   6*  S^rie,  totne  3.  4,   1906—07, 


24*  Vereeiehnia  der  eingelaufenen  Druckschriften, 

Reede  Aecademia  di  scienee  moraii  et  politiche  in  Neapel: 
Rendiconto.   Serie  3,  vol.  12,  fasc.  9—12;  vol.  13,  fasc.  1,  3—7.    1906-07. 

Zoologische  Station  in  Neapel: 
Mitteilungen.    Bd.  18,  Heft  1—3.   Berlin  1906—07. 

Gesellschaft  Philomathie  in  Neisse: 
33.  Bericht  1904—06.    1907. 

Historischer  Verein  in  NetimarJct  i.  0.: 
Jahresbericht.   3.  Jahrg.    1906—07. 

Institute  of  Engvneers  in  New-Castle  (upon  Tyne): 
Transctions.    Vol.  54,   part  9;  vol.  65,   part  7;   vol.  66,  part  4,  5;    vol.  57, 

part  1—5.    1907. 
Annual  Report  for  the  year  1906/07.    1907. 

Connectitut  Academy  of  Ärts  and  Sciences  in  New-Haven: 
Transactions.   Vol.  XII,  vol.  XIII,  p.  1—297.    1907. 

The  American  Journal  of  Science  in  New-Haven : 
Journal.   4.  Series,  No.  133—145.    1907. 

American  Orient al  Society  in  New-Haven: 
Journal.    Vol.  27,  second  half;  vol.  28,  firsth  half.    1907. 

Academy  of  Sciences  in  New -York: 
Annais.    Vol.  XVII,  part  1,  2.    1906-07. 

New- York  State  Museum  in  New -York: 
67«»  annual  Report  1903.    Vol.  I.  1,  2;  vol.  II— IV.    1905.    4». 
58^b  annual  Report  1904.    Vol.  I-V.    1906.    4<>. 
Bulletin.    No.  83,  84,  86-92,  94-98,  100,  102-104,  106-109.    1905-07. 

American  Museum  of  Natural  Hiatory  in  New -York: 
Peruvian  Mummies  by  Charles  W.  Mead.    1907. 
Anthropological  Papers.    Vol.  I,  part  1—3.    1907. 
Pioneers  of  American  Science.    1907. 
Journal.    Vol.  VII,  No.  1—8.    1907. 
Annual  Report  for  the  year  1906. 

Bulletin.    Vol.  XVII,  part  5  u.  6;   vol.  VIII,  part  4;   vol.  XXII.    1906-07. 
Memoirs.    Vol.  IV,  6;  vol.  XI,  2.    1907.    4». 

American  Geographical  Society  in  New -York: 
Bulletin.    Vol.  38,  No.  12;  vol.  39,  No.  1-12.    1906 -07. 

Nederlandsche  botanische  Vereeniging  in  Nijmegen: 
Recueil  des  travaux  botaniques  Neerlandais.    Vol.  III,  livr.  3,  4.    1907. 

Naturhistori^che  Gesellschaft  in  Nürnberg: 
Abhandlungen.    XVI.  Bd.    1906. 
Jahresbericht  für  1905  und  1906.    1906-07. 

Verein  für  Geschichte  der  Stadt  Nürnberg: 
Jahresbericht  fQr  das  Jahr  1905.    1906. 
Mitteilungen.    17.  Heft.    1906. 


VitJieichnis  der  eingelaufenen  Bruckschrifien, 


25* 


ßermanucheB  Nationalmmeum  in  Nürnberg: 
Anzeiger.   Hhrg.  1906,  Beft  1—4. 

OrUüümehuß  de^  1$.  i>eüf#cA«n  Geographenimjeg  in  Nürnbertj: 
PesUchrift.    1907. 
Katalog  der  ÄniateHtmg.    19Ü7. 

Verein  für  Oegchichte  und  Landeskunde  wi  Omabrüek: 

Mitteüyiigen.    31,  Bd.,  1906*    1907. 

Geological  Survey  of  Canada  m  Ottawat 
Section  of  Mine^.    Annual  Report  far  1904.    1906* 
Summary  Report  of  the  Geolü^ciil  Survey  Departeinent  for  IÖ06. 

:  Prelimiuary  Report  on  the  Rossla^nd  Mining  District.    1906. 

(Eepori  OB  the  Chibouganian  Mining  Regioa,  1905,    1906. 

itoyaJ  Society  of  Canada  in  OUawa: 
ProeeedingB  and  Tranaactionä.    11.  Seriea,  voL  Xll»  purt  1.    1906. 

Accoflemia  $cientißca  VenetQ-Trentino-IUriftna  in  Padova: 
Atti.   K.  Serie,  annolll,  faac,  l,  2[  anno  IV',  &«c,  1,  2.    1906—07. 

R,  Accademia  di  $eien^e  in  Faduas 
'  Atti  e  Memorie,   NuoYa  Serie,  ?oL  22*    1906. 

Bedaüii&n  der  Zeitschrift  jfEimsta  di  storim  anttca"  in  Paduti: 
Bmat^.    N.  Serie,  anno  XI,  faac.  1—4.    1907.  * 

Circolo  matematico  in  Paiermo: 
Annuario  1907. 

Rindiconti.    Tomo  XXII,   fasc.  3r   tomo  XXIIl,   fasc.  1—3;    tomo  XXIV, 
fasc.  1— 3  n.  Supplemento,  vol.  2,  No.  3  e  4,    1906"  07.    gr,  8*. 

Meide  Accademin  di  ^meiue,  lettere  e  belle  arti  in  Pahrmo: 
Bnllettino.    Anni  1903—1906.    1907.    4", 

CdU^  degU  Imgegneri  in  Palemw: 
Atti.    1906,  Luglio— Dic^mbre.    4* 

Acadimie  de  midecine  in  Paris: 
Bulletin.    1907,  No*  1-45. 

Aeadimit  des  Scienets  in  Paris r 
Comptee  rendofl.    1907,  No.  1-27.   4«, 

£e4ite  d^anthropot&git  in  Paris  ^ 
L*ficole  d'anthropolope  de  Parie,  1876—1906.    1907. 

Institut  de  France  in  Paris; 
Annnaire  pour  1907. 

^cfile  politfchnique  in  Paris: 
Jourtua«    lL8erie,  cahier  IL    1906.    4*. 

MonHeur  Seientiflque  in  Paris: 
Monitetir.  Livr,  781  -79a  (Janvier-D^oeinbre  1907).   A^. 


^ 


26*  Verzeichnis  der  eingelaufenen  Druckschriften, 

Musie  Chiimet  in  Paris: 
Annales.    Bibliotheqiie  d'etudes,  tome  22  u.  23.    1906—07. 
Revue  de  Thistoire  des  religions.    Tome  53,  No.  2,  3;  tome  64,  No.  1—3. 
1906. 

Musium  d^histoire  naturelle  in  Paris: 

Bulletin.    Annee  1906,  No.  4—7;  ann^e  1907.  No.  1-5. 
Nouvelles  Archives.    Serie  IV,    tome  VIII,    fasc.  1,  2;    tome  IX,    fasc.  1. 
1906-07.    40. 

SocieU  d'anthropologie  in  Paris: 
Bulletins.    1906,  No.  1-6;  1907,  No.  1. 

SociiU  des  itudes  Mstoriquts  in  Paris: 
Revue.    73«  annäe,  Janvier— Avril  1907. 

SociiU  de  geographie  in  Paris: 
La  Geographie.    Annee  XIII,  No.  5,  6;   XIV,  1-6;   XV,  1-6;   XVI,  1,  2. 
1906-08. 

SodHi  mathhnatique  de  France  in  Paris: 
Bulletin.    Tome  34,  fasc.  4;  tome  35,  fasc.  1-4.    1906—07. 

SociHi  zoölogique  de  Fratice  in  Paris: 

Bulletin.    Tome  XXX  u.  XXXI.    1905-06. 
Memoires.    Annee  XVIII  u.  XIX.    1905-06. 

•  Western  Australia  Geological  Survey  in  Perth: 

Bulletin.    Anno  1907,  No.  23—26. 

Academie  Imperiale  des  sciences  in  St.  Petersburg: 
Schedae  ad  Herbarium  Florae  Rossicae.    No.  IV,  V.    1902  —05. 
A.  Liapounotr,  Sur  les  figures  d'cquilibre.    1906.    4®. 
Travaux  du  Musee  botanique.    Fasc.  1 — 3.    1902-07. 
Bulletin.    1907,  No.  1  —  18.  4»    und  5«  Serie,  tome  21,  No.  5,  tome  22— 24, 

tome  25.  No.  1,  2.    1904-07.    4». 
Annuaire  du  Musoe  zoölogique.    Tome  X,  No.  3,  4;  tome  XI;  tome  XII, 

No.  1,  2.    1907. 

Section  geohgique  du  cabinet  de  Sa  Majeste  in  St.  Petersbunj: 
Travaux.    Tom.  VI,  livr.  2.    1907. 

CotuitS  gSoIoqique  in  St.  Petersburg: 
Explorations  geologiques  dans  les  regions  auriferes  de  la  Siberie.    10  Hefte 

und  Karten.    1906- 07. 
Bulletins.    Vol.  24,  No.  I-IO;  vol.  25,  No.  1—9.    1905-06. 
Memoiren.    Nouv.  Serie,  livr.  16,  21,  23  -27,  29,  31,  33.    1906—07.    4^. 

Kaiserl.  Botanischer  Garten  in  St.  Petersburg: 

Scripta  Hotanica.    Fasc.  24.  25.    1907. 

Acta  horti  retropolitani.    Tome  25,  livr.  2;  tome  27,  livr.  1.    1907. 

Kaiser!.  liussische  Archäolotjischv  Gesellschaft  in  St.  Petersburg: 

Sapiski.    Bd.  VIII,  Hfft  1. 

Nuinismatisclie  Abtoilung,  Bd.  I.  Heft  1.    1906.    49. 
Kkdsische  Abteilung,  Bd.  IV.    1907. 


Vfsrifkhnis  ä^r  etv^eTaufentn  Drurl'schHfteH, 


27* 


KßiserJ.  Mlficrah^Udie  Gesellschaft  in  St.  PHer^urg: 
Terbftndlangeii.    II.  Serie.  Bd.  44,  Lief,  l,  2.    1906. 

Fh^Hk-ehem.  Gtgelhchaß  an  der  Kauert  UnivergitM  Sl  Fetersbtir<j : 
Schumal,    B±  58,  Heft  2^9^  Bd.  30,  öeft  1--9.    1906^07. 
SöCiite  Imp.  de»  NaUralkUs  in  St  Petefnbuftj: 

Tmmttx.    VoL35.   Uvr.  3,   No.  1—4,   livr.i;   VoL  3Ö.   li^.  U   No.  6— 8, 
UFT.  2,  No.  2—Bi  Vol  37,  Uvr.  4;  VoL  38,  livr.  2-4.    1906-07. 

Observaioire  phtfwique  central  Nicolm  in  St.  Peitrubury: 
5  Mt^moirea  de  la  ConiinisaioD    pour  1a  meeuje  d*un  are  de  m^ridieu  iiu 

Spit'^berg.    1904-  05.    AK 
.Annales,    Aiin«e   1904,  part.  I  et  IL    1906.    4^. 
■Etade  de  ratmoiphere.    Faac-  2.    190Ö.    4"^. 

HiMmriiküdop,  FaIcuUäi  (fer  Kai».  UniistrsitM  St,  PHfräi/HrgT 

Sapiski.    Bd.  65,  Heft  4;  Bd.  78-80,  83.    1902 --07, 

Kniserl.  Unk^cmtät  in  St.  Peiernburg: 

Utschenia  Sapiski.    Bd.  74,  No,  8.  d.    1907. 

Ottschet  IHOU.    1907. 

Katanov,  N.  F.    Versuch  einer  Studie  über  die  Sprache  der  ürjancbaier. 

KfLsan  1903. 
Kmioenl;  G.  Z.    Geßchicbte  des  Reieht^a  von  Kaflnu.    St,  PetersJ)iirg  1905, 
La-Bartt  Graf  F.  de.   (^Ixateaubriand  uöd  die  Dichtknnat  de**  Weltschinerzea 

iti  Frankreich.    Kiew  1905. 
Latjsev,  V.    Über  einige  äoliscbe  \md  dorische  Kftlenda.rien*    St,  Peters- 
burg 1ÖS3* 
Malinin,  V,    Der  Mönt-h  des  Eleazar-Kloatera  PhilotheuB  und  *eiiie  Briefe. 

Kiew  lÖ^U. 
Mödnikov,  N.  A,    PaUtitina  von  »einer  Eroberung  durch  die  Araber  bi« 

35U   den  Kreüznlgtin    nach   arabiacben  Quellen.    1.  Untersuchung  der 

Quellen.    St  Peteraburg  1902. 
Nikiteky.  A.    Unteraticbungen  auf  dem  Gebiete  griechiächer  Intchriften. 

Jurjew  1901. 
Novgorodcev,  P,  Kant  und  Hegel  in  ihren  Lehren  von  Recht  und  Regierang, 

Moskau  lyoi. 
Pirogov,  N,  J.    Briefe  aus  Sebastopol   1854-55.    St  Petersburg  1809. 
Eudakov,  A.    Blaterialien  zur  tiesehiehte  der  chinesischen  Kultur  in  der 

ProvinE  Kinn  (»644     1902),    l.  Die  Übersetzung  des  Cii-ün  tun-tii. 

Wladiwostok   1903. 
S<*röSevakii»  V.  L.   Die  Jakuten.    Versuch  einer  ethnographischen  unter- 

suchung,    Str.  P*»tergburg  1896, 
Soionovio,  J,    Zur  Frage  lavh  dem  Einfluß  des  Weatent  auf  die  «laviscbe 

und  russische  Poesie.    Wargcbau  181*B. 
StrC4eoVj  A.    Die  Ärzte  bei  den  alten  Eimern.    Moskau  1888. 

Acaätmy  of  natuftä  SdenceM  in  Phiiaddphiai 
Joitmab    II'J  Serie?.  voL  XIH.  pari  3.    1907.   4®. 
Froceedinge.    VoL  58,  part  2,  3:  voL  Ö9,  part  1,    190Ö-07.    gr*  8^. 

Historical  Socteiy  öf  PennHi/lvmiia  in  PhHadtfphia: 
The  Pennfijrlvimisi  MügnTsine  of  History.    VoL  XXX,  Xü.  120;    vol  XWi 
Ko,  lÄl— 128*    1906-07* 


28*  Verzeichnis  der  eingelaufenen  Druckschriften. 

Änierican  PhüosophiccU  Society  in  Philadelphia: 
Proceedings.    Vol.  46,  No.  183,  184;  vol.  46,  No.  186  u.  186.    1906—07. 
The  Volume  of  the  Franklin  Bicentennial  Celebration.    1906. 

Societä  Toscana  di  sdenze  naturaHi  in  Pisa: 
Atti.   Processi  verbali,  vol.  XVI,  No.  2—6.    1906—07.    4«. 
Atti.   Memorie,  vol.  XXII.    1906.   gr.  8<>. 

Societä  Itdliana  di  fisiea  in  Pisa: 
II  nuovo  Cimento.    Serie  V,  tomo  12,  Ottobre— Dicembre  1906,  tomo  13, 
Genajo— Maggo  1907,  tomo  14,  Giugno— Ottobre  1907. 

Altertumsverein  in  Plauen: 
Mitteilungen.    18.  Jahresschrift  für  1907—08.    1907. 

Historische  Gesellschaft  in  Posen: 
Zeitschrift.    21.  Jahg.,  1.  u.  2.  Halbband.    1906. 
Historische  Monatsblätter.   Jahrg.  VII,  1906,  Nr.  1—12. 

Ästrophysikalisches  Observatorium  in  Potsdam: 
PubHkationen.    Bd.  XV,  stuk  1 ;  Bd.  XVII.    1907.    4^. 
Photographische  Himmelskarte.   Katalog,  Bd.  IV.    1907.    4^. 

Böhmische  Kaiser  Franz  Joseph- Akademie  in  Prag: 
Sbirka  pramenu.    Skupina  I,   6islo  7;   Skupina  II,   öislo  8;  Skupina  III, 

öfslo  6,  6.    1905-06. 
Pamätky  archaeologick^.   Bd.  XXII,  Heft  6,  6.    1907.    4^. 
Historicky  Archiv.    Öislo  25-29.    1905-07. 
V&tnfk.    Bd.  XIV,  XV.    1904—05. 
Bulletin  international.    Classe  des  sciences  math^matiques.    IX«  annäe, 

Heft  2;  Xe  annee.  Heft  1,  2.    1904—05. 
Almanach.    Rocnik  XVI,  XVII.    1906—07. 
Archiv  pro  Lexikographie.    Cislo  IV,  VI,  1,  2.    1906. 
Bibliografie  Ceskä  Historie.    Tom.  III,  svazek  2,  3.    1905—06. 
Rozpravy.    Th'da  I,  cislo  34-36,  THda  II;   Rocnfk  XIV,  XV,  Th'da  III, 

6islo  21,  22.    1905—06. 
Zikmund  Winter,  Dejiny  femesel.    1906. 
Katalog  öesk^ch  fossilnfch.    1905. 
J.  Baborovsky,  Elektrochemie.    1904. 
Bibliotäka  Klassiku.    Cislo  11—14.    1905—07. 
Filip  Poöta,  Palaeozoologie.    Bd.  1,  2.    1904—05. 
A.  Reychler,  Chemie  fysikalnö».    1902. 
Antonm  Pavli6ek,  Dodatek.    1905. 
Filosofickä  Bibliotheka.    Rada  II,  cislo  1.    1906. 
Max  Kfepinsky,  0  pomeru  pfedlohy.    1905. 
Karel  Chodounsky,  Nastuzenf.    1906. 

Landesarchiv  in  Prag: 
Mitteilungen.    I.  Bd.    1904. 
Archiv  Öesky.    Dfl  23.    1906.    4». 
Codex  diplomaticus  et  epistolaris  regni  Bohemiae.  Tomi  I,  fasc.  2.  1907.  4®. 

Gesellschaft  zur  Förderung  deutscher  Wissenschaft,  Kunst  und  Literatur 

in  Prag: 
Rechenschaftsbericht  für  das  Jahr  1906.    1907. 
Bibliothek  deutscher  Schriftsteller  aus  Böhmen.    18.  u.  19.  Bd.    1906-07. 


VefMtidtnü  der  eingelaufmen  DrucUckrißgn. 


29* 


K.  Bähmi»ch€  Gesdl^thaft  der  Wkiengehaßen  in  Prag: 
Möauraenta  Vaticans  res  gestsj  Bohemicas  illuätmatia-    1907.    4**, 

Ltnc-  und  Meäehalle  tief  deutschen  Htudenien  in  Praß: 
5a  Bei-icht  über  das  Jahr  1906,    1907, 

K.  Böknmche»  Museum  in  Prag: 
Bericht  für  djta  Jalir  19ü6.    1907. 
Caaopis.    Bd,  81,  Heft  l'-i.    1907. 
PamÄtkj  arcbaeologiaeke.    Dil  22,  Heft  3  -  6,    19OC-07,   4». 

K.  K,  StüTnwarU  in  Prag: 
Magnetiache  und  meteorolog.  Beobachtungen.    67,  Jahrg.  1906,    19l»7,    faK 

Verein  böhmkcker  MathemaUker  in  Prag: 
Ciwopia.    Tome  36,  No.  1-^4.    1906. 

V^ein  für  Geschichte  der  DeuUchen  in  Bi^men  in  Pragi 
Mitteihingen.    4G.  Jahrg.,  Nr.  1—4.    1907, 

DeiUicher  naturuissenAchafHich^mediünischer  Verein  für  Böhmen  „iMtoa*' 

in  Prag: 

Sitxulxgaberichte,   Jahrg.  1906,  N*  F.,  Bd.  26.    1906. 
Naturwiaaenschaftliche  Zeitschrift.   Neue  Folge,  Bd,  l,  Nr.  1—3.    1907.   4». 

Metemological  DeparttHtnt  of  Trammial   in  Pretoriii: 
Aniiaal  Report«  für  the  year  1905—06.    1907.    foL 

Agrictditiral  Mesearch  In^HltUe  in  Pusa: 
Bulletiii.    No.  4,    1907.    4». 

IKfltnoiri.   Botanieal  Seriea,  vol.  I,  No.  1«  pari  II,  No.  5.    Chemioil  Serien, 
vol.  II,  No.  2,    1907.    4^ 

Historiachtr  Verein  in  Beßenshurg: 
Verhandlangen.    Bd.  68.    1907. 

Nattirfotifehcr- Verein  in  Riga: 
Kofreipondenzblatt.    Bd.  49  u.  GO.    1906—07. 
Sttttut  des  Naturforech  er- Verein  B,    1906. 

Bibli(yth^que  nationale  in  Mia  de  Janeiro: 
Annaes.    VoL  27,  1905.    1906.   4«. 
A  Bibliothecü  Nacional  em  1904.    1906. 
Cataloffo  da  coUecgAo  Salvador  de  Mendon^,    1906. 
DocumeiitoB  relivtivos  a  Mem  de  Sa.    1906* 
Genemi  F.  M.  de  Soiaza  ÄguJar,  Eelatocio.    1906, 
Madeira  e  Mamore.    18B5* 

O&ao-votom  in  Bia  de  Janeiro: 

Annuario.    Anno  2B.    1907, 

Boietlm  mensuL  Jan.— Deaembro  1906.    4**. 

Eeaie  Äe^ademia  dei  Lincei  in  Born: 
Anniiario.    1907, 
Hemorie.    Clause  di  «elende  fisi che,  Serie  V,  vol,  6,  fa^e.  9- 12,    1906.    4^. 

,  Nol^sie  degli  scavi  di  antichita    8erie  V»  voL  3,  faac,  7 — 12  und 

Indici;  vol.  4,  faac  1—6,    1906-07.   4^. 


30*  Verzeichnis  der  eingelaufenen  Druckschriften, 

Atti.  Serie  V,  Rendi conti.  Classe  di  scienze  fisiche.  Vol.  15,  semestre  2, 
fasc.  11,  12;   vol.  16,  semestre  1,  fasc.  1  —  12,  semestre  2,   fasc.  1 — 11. 

Rendiconti.  Classe  di  scienze  morali.  Serie  IV,  vol.  15,  fasc.  5—10;  vol.  16, 
fasc.  1—5.    1906-07. 

Atti.   Rendicontodeiradunanza  solennedel  2Giugno  1907,  vol.  II.  1907.  4^. 

B,  Comitato  geologico  d'Italia  in  Born: 
Bollettino.    Anno  1906,  No.  3,  4;  1907,  No.  1,  2. 

Äccademia  Pontiflcia  de'  Nuovi  Lincei  in  Born: 
Atti.   Anno  59  e  60.    1906-07.    4». 

Kaiserl.  Deutsches  Archäologisches  Institut  (röm,  ÄbtJ  in  Born: 
Mitteilungen.   Bd.  21,  Heft  1—4;  Bd.  22,  fasc.  1,  2.    1906-07. 

jR.  Ministero  della  Istruzione  puhhlica  in  Born: 
Le  opere  di  Galileo  Galilei.   Vol.  III,  parte  2 ;  vol.  XIX.  Firenze.  1907.   4^. 
Per  la  Edizione  nazionale  delle  opere  di  Galileo  Galilei.   TrenV  anni  di 
studi  Galileari  per  Ant.  Favaro.   Firenze  1907.    4®. 

Societä  itdliana  delle  scienze  in  Born: 
Memorie.    Serie  III,  tome  14.    1907.    4^. 

B.  Ufficio  centrale  meteorologico  Itäliano  in  Born: 
Annali.    Serie  II,  vol.  23,  parte  1,  1901.    1906.   4». 

B.  Societä  Bomana  di  storia  patria  in  Born: 

Archivio.    Vol.  29,  fiwc.  3,  4;  vol.  30,  fasc.  1,  2.    1906—07. 

Stadtmagistrat  in  Bosenheim: 

Aus  Alt-Rosenheim.    Von  Lud.  Eid.    1906. 

Universität  Bostock: 

Schriften  aus  dem  Jahre  1906/07  in  4^  u.  8®. 

Bataafsch  Genootschap  der  Proefofidervindelijke  Wijsbegeerte 
in  Botterdam: 

Nieuwe  Verhandelingen.    Reeks  II,  Deel  VI,  stuk  2.    1906.    4^. 

Academie  des  sciences  in  Bauen: 

Procis  analytique  des  travaux.    Annee  1904     05  u.  1905—06.    1906—07. 

B.  Äccademia  di  scienze  degli  Agiali  in  Bovereto: 
Atti.    Serie  III.  vol.  12,  fasc.  3,  4;  vol.  13,  fasc.  1,  2.    1906-07. 

Ideale  fran^aise  d' Extreme-Orient  in  Saigon: 
E.  Lunet  de  Lajonquiero,    fnventaire  descriptif  des  monuments  du  Cam- 

bodge.    Tome  II.    Paris  1907.    gr.  8^. 
Publications.    Vol.  VII.    Paria  1906.    gr.  8^. 
Bulletin.    Tome  6,  No.  3,  4.    Hanoi  1906.    4». 

Gesellschaft  für  Sahburger  Landeskunde  in  Salzburg: 
Mitteilungen.    47.  Vereinsjahr  1907. 

Alt  märkischer  Vereifi  für  vaterländische  Geschichte  in  Salrtcedel:] 
34.  Jahresbericht.    1907. 


rimü  ihr  eingdaitßmn  Druck  sehn  fttn^ 


BV 


Histomch^r  V^rttn  in  St.  Galkn: 
Die  llurgen  iL  Kantone  St.  Gallen  n.  AppenzelL  Tei]  i  v.  G.  Felch^r.  1907.  4<>, 
Drei  JSt  GHllisfcbp  Reisktufer  v,  Tmugott  Öubielj.    190Ö.    4«. 
Mitteilungen.    Bd.  XXX,  1.  Hftlfte.    IWüC- 
ürkundenbiicli